intTypePromotion=1

SKKN: Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9

Chia sẻ: Lê Thị Trà Giang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:34

0
36
lượt xem
3
download

SKKN: Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán, tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng tạo. Từ việc suy luận và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng phong phú.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: SKKN: Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9

Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> Nội dung Trang<br /> I. PHẦN MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài 2<br /> 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 2<br /> 3. Đối tượng nghiên cứu 3<br /> 4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu 3<br /> 5. Phương pháp nghiên cứu 3<br /> I. PHẦN NỘI DUNG<br /> 1. Cơ sở lí luận 4<br /> 2. Thực trạng<br />    2.1 Thuận lợi – khó khăn 5<br />    2.2 Thành công – hạn chế 5<br />    2.3 Mặt mạnh – mặt yếu 6<br />    2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động ... 7<br />    2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề  về  thực trạng mà đề  tài đặt  7<br /> ra.<br /> 3. Giải pháp, biện pháp<br />    3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp 8<br />    3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp 8<br />    3.3 Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp 26<br />    3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp    26<br /> 4. Kết quả  thu được qua khảo nghiệm, giá trị  khoa học của vấn   27<br /> đề nghiên cứu<br /> I. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ<br /> 1. Kết luận 28<br /> 2. Kiến nghị 29<br /> <br /> <br /> I. PHẦN MỞ ĐẦU<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     1<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> 1. Lý do chọn đề tài:<br /> Tri thức nhân loại nói chung và kiến thức toán học nói riêng là vô tận. <br /> Để  chiếm lĩnh, nắm bắt kiến thức toán học một cách hiệu quả, tích cực thì <br /> cần phải có phương pháp nghiên cứu, học tập đúng đắn, phù hợp. Một trong <br /> những phương pháp tích cực đó là khám phá, tìm tòi từ  kết quả  của các bài  <br /> toán đã có. Trong quá trình dạy học Toán nói chung, người giáo viên phải biết <br /> lựa chọn phương pháp thích hợp để kích thích tính tích cực, tư duy  sáng tạo ở <br /> học sinh. Trong thực tế hiện nay, mỗi khi học xong bài học, giáo viên đưa ra <br /> các bài tập trong sách giáo khoa và cho học sinh giải các bài tập đó, nếu chỉ <br /> dừng lại các bài tập đơn lẻ sẽ gây cho học sinh sự nhàm chán trong học Toán <br /> đặc biệt là môn Hình học. Nếu áp dụng cách học này sẽ  không kích thích  <br /> được tính tò mò, tư duy sáng tạo cho học sinh. Qua nhiều năm giảng dạy và <br /> bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9, bản thân tôi nhận thấy việc suy luận,  <br /> mở rộng và phát triển các bài toán từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa <br /> sẽ  kích thích cho học sinh tính sáng tạo và phát triển tư duy, học sinh sẽ kết  <br /> nối các kiến thức lại với nhau. Với cách học và cách dạy như thế sẽ luôn tạo  <br /> cho học sinh tình huống có vấn đề, bắt buộc học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ <br /> để giải quyết các vấn đề đặt ra.<br /> Với những lý do trên, tôi chọn đề  tài nghiên cứu: “Suy luận và phát  <br /> triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9” với mong muốn <br /> góp phần nâng cao chất lượng bộ  môn Toán nói chung và môn Hình học nói  <br /> riêng ở trường THCS, giúp học sinh lớp 9 biết suy luận và phát triển được các  <br /> bài toán từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời tôi cũng mong muốn được chia sẻ <br /> một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để đồng nghiệp tham khảo, rất mong <br /> được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả.<br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     2<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:<br /> Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản <br /> Hình học lớp 9” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn  bản chất  của bài toán, tạo <br /> cho các em phong cách học tập chủ  động và sáng tạo. Từ  việc  suy luận  và <br /> phát triển bài toán sẽ  có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm <br /> cho kho tàng toán học ngày càng phong phú.<br /> Giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, chủ động trong học tập để <br /> các em luôn có thể  tự học và tự  sáng tạo, tạo cho mình một thói quen là sau <br /> khi đã tìm được lời giải bài toán Hình học, dù là đơn giản hay phức tạp, từ bài <br /> toán đã có cần tiếp tục suy luận, đặc biệt hóa một số điều kiện hay thay đổi <br /> một số  điều kiện trong giả  thiết và áp dụng kiến thức vốn có của mình để <br /> phát triển các bài toán mới. Từng bước giúp các em học sinh chủ  động sang  <br /> tạo trong việc tiếp thu kiến thức, làm chủ  tình huống, từ  đó càng yêu thích <br /> môn Hình học hơn.<br /> Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy <br /> giúp các em học sinh có được sự  tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất  <br /> sáng tạo khi giải toán và niềm đam mê bộ môn.<br /> Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và hiệu quả  giảng dạy,chất <br /> lượng bồi  dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo học sinh yếu kém; phát huy được <br /> tính tích cực, chủ động và sáng tạo của giáo viên cũng như của học sinh trong  <br /> quá trình dạy ­ học môn Hình học cấp THCS.<br /> 3. Đối tượng nghiên cứu:<br />   Một số  suy luận từ  bài toán Hình học đã giải, phát triển thêm các bài <br /> toán mới, từng bước hình thành cho học sinh sự  tự  tin và niềm đam mê bộ <br /> môn.<br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     3<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> 4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu:<br /> Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ suy luận và phát triển các <br /> bài toán mới từ một bài toán Hình học cơ bản lớp 9.<br /> Đối tượng khảo sát: học sinh lớp 9A3, 9A4   trường THCS Lê Đình <br /> Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.<br /> Thời gian: Năm học 2015 ­ 2016<br /> 5. Phương pháp nghiên cứu:<br /> ­ Nghiên cứu lí thuyết.<br /> ­ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.<br /> ­ Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận<br /> ­ Thực nghiệm giảng dạy cho học sinh lớp 9A3, 9A4   trường THCS Lê Đình <br /> Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana<br /> ­ Điều tra, đánh giá kết quả  học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng  <br /> dạy.<br /> II. PHẦN NỘI DUNG<br /> 1. Cơ sở lí luận:<br />   Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán cấp THCS tôi nhận thấy đa số <br /> học sinh sợ học môn Hình học, nhiều em chưa có phương pháp học phù hợp  <br /> với đặc thù bộ  môn, những em khá, giỏi cũng ít hứng thú với môn Hình học. <br /> Có rất nhiều nguyên nhân, trong đó  có thể  xem xét một số  nguyên nhân cơ <br /> bản sau:<br /> ­ Đặc thù của môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để  có kĩ <br /> năng này học sinh không chỉ phải nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải có <br /> kĩ năng trình bày suy luận một cách logic, kĩ năng này đối với học sinh là <br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     4<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> tương đối khó. Đứng trước một bài toán Hình học các em thường không biết <br /> bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào. <br /> ­ Trong quá trình dạy học, giáo viên đôi khi còn xem nhẹ hoặc chưa chú  <br /> trọng việc nâng cao, mở  rộng, phát triển các bài toán đơn giản  ở  sách giáo  <br /> khoa hoặc chưa thực sự đầu tư vào lĩnh vực này. Vì thế, chưa tạo được hứng  <br /> thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đề từ bài toán cơ bản.<br /> Để giải quyết vấn đề trên, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chú <br /> trọng các bài toán  ở  sách giáo khoa, biết phát triển các bài toán đơn giản đã  <br /> gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học vừa có <br /> điều kiện để tăng khả  năng nhìn nhận vấn đề  mới từ  cái đơn giản đã có, từ <br /> đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này. Việc phát triển một  <br /> bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần thiết và quan trọng, <br /> nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải <br /> toán vì nó không tạo cho học sinh sự  nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp <br /> cho học sinh có sự  tự  tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn  phát huy <br /> được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự  học, hình thành cho học sinh <br /> tư  duy tích cực, độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui  <br /> cho các em, từ đó các em yêu thích và đam mê bộ môn hơn.<br /> 2. Thực trạng:<br />  2.1 Thuận lợi, khó khăn:<br />     Thuận lợi:<br /> Điều kiện kinh tế  của địa phương ngày càng phát triển,  nhiều cha mẹ <br /> học sinh đa có s<br /> ̃ ự đâu t<br /> ̀ ư, quan tâm nhiều đến viêc hoc cua h<br /> ̣ ̣ ̉ ọc sinh . Môn Toán <br /> ̀ ̣<br /> la môt trong nh ưng môn h<br /> ̃ ọc ngày càng được hoc sinh va cha me h<br /> ̣ ̀ ̣ ọc sinh quan  <br /> tâm nhiều hơn. <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     5<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Nội dung  ở  sách giáo khoa Toán 9 được biên soạn khá công phu, hệ <br /> thống kiến thức trình bày khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh. Đặc biệt  <br /> hệ  thống bài tập  trong  sách giáo khoa  phong phú  và hết sức cơ  bản, được <br /> chọn lọc kĩ, có nhiều bài tập được viết dưới dạng mở chứa nhiều vấn đề để <br /> suy luận, khai thác và phát triển, tạo điều kiện thuận lợi để  học sinh và giáo <br /> viên khai thác, tìm tòi thêm các bài toán mới nhằm phát huy sự sáng tạo trong  <br /> giảng dạy và học tập.<br />     Khó khăn: <br /> Một số  gia đình học sinh hoàn cảnh còn khó khăn, chưa thực sự  quan <br /> tâm đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến việc  <br /> đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho con em học tập. <br /> Đa số  học sinh chưa hứng thú khi học Hình học, bởi vì  các bài toán <br /> trong phân môn Hình học rất đa dạng và khá trừu tượng, mỗi bài toán có thể <br /> có nhiều cách giải khác nhau, để chứng minh được bài toán Hình học thì học  <br /> sinh phải vận dụng các định lí, các tiên đề  đã được học một cách linh hoạt.  <br /> Thế nhưng, tất cả kiển thức cơ bản đã học hầu như các em đã bị  quên ngay <br /> từ ở lớp dưới. <br /> 2.2  Thành công, hạn chế:<br />         Thành công:<br /> Chất lượng đại trà môn Toán tương đối tốt, tăng từng năm, có nhiều <br /> học sinh tham gia thi học sinh giỏi văn hóa, thi giải toán qua mạng internet đạt <br /> kết quả cao. <br /> Công nghệ  thông tin ngày một thịnh hành,  thuận lợi cho học sinh tìm <br /> tòi, nghiên cứu và mở rộng kiến thức.<br />         Hạn chế:<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     6<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Trước khi chưa áp dụng đề  tài vào giảng dạy tôi nhận thấy đa số  học  <br /> sinh<br /> còn bộc lộ hạn chế sau đây:<br /> ­ Đa số học sinh chưa thực sự hứng thú học tập môn Hình học, sau khi <br /> tìm được lời giải đúng cho một bài toán thì các em hài lòng và dừng lại mà <br /> không tư  duy tìm ra cách giải khác và cũng không khai thác thêm bài toán, <br /> không có sự sáng tạo gì thêm trong quá trình học tập bộ môn Hình học. Do đó <br /> tính tích cực, chủ động, sáng tạo của bản thân còn nhiều hạn chế và hiệu quả <br /> học tập chưa cao. <br /> ­ Học sinh còn yếu về  kỹ  năng phân tích đa chiều một bài toán, chưa  <br /> biết khai thác và tổng quát hóa bài toán đã cho. <br />  2.3  Mặt mạnh, mặt yếu:<br />         Mặt mạnh:<br /> Công nghệ  thông tin ngày một  phát triển, có nhiều phần mềm trình <br /> chiếu phục vụ cho tiết dạy khiến tiết dạy sinh động hơn sẽ  kích thích trí tò <br /> mò và tăng hứng thú học tập cho học sinh.<br /> Nhiều cuộc thi Toán học được tổ chức hàng năm như: cuộc thi học sinh  <br /> giỏi văn hoá môn Toán, giải toán trên máy tính cầm tay CasiO, giải toán trên <br /> mạng Internet, ... là những sân chơi bổ ích góp phần rất lớn trong việc thu hút <br /> và lôi cuốn học sinh đến với Toán học.  <br />     Mặt yếu: <br /> Nhiều học sinh bị mất kiến thức ngay từ lớp dưới, chưa nắm được kiến thức <br /> cơ  bản của hình học nên rất khó khăn trong việc phân tích tìm lời giải, khả <br /> năng tư <br /> duy, kỹ năng vẽ hình và trình bày bài giải chưa tốt<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     7<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Học sinh còn thụ động khi tiếp thu kiến thức, khả năng tư duy toán học  <br /> ở  học sinh còn mờ  nhạt, nhiều  em  học không đi đôi với hành, làm cho bản <br /> thân ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để  làm <br /> nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy <br /> hết.<br />  2.4  Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:<br /> ­ Học sinh còn yếu về khả năng phân tích bài toán để tìm lời giải.<br /> ­ Học sinh không nhớ những kiến thức Hình học đã được lĩnh hội ở các <br /> lớp dưới nên khả  năng vận dụng kiến thức vào giải một bài toán còn hạn <br /> chế.<br /> ­ Sự hứng thú, tính tích cực của học sinh với môn Hình học chưa cao.<br /> ­ Đa số  học sinh chưa có thói quen khai thác bài toán đã giải , chưa có <br /> tính sáng tạo trong giải toán, khả  năng vận dụng kiến thức còn chưa linh  <br /> hoạt.<br />   ­ Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa  <br /> có thời gian để ôn tập, giải bài tập nhiều. <br />  2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:<br /> Hình học là một môn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh  <br /> trung bình, yếu, kém. Đa số học sinh sợ học  môn Hình học, khả năng tư duy, <br /> phân tích tổng hợp của học sinh còn hạn chế, nhiều học sinh không xác định <br /> được bài toán, không vẽ được hình hoặc vẽ hình không chính xác nên rất khó <br /> khăn trong quá trình chứng minh. Với đặc thù của phân môn Hình học là mọi <br /> suy luận đều phải có căn cứ, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng trình bày suy <br /> luận một cách logic. Kĩ năng này đối với học sinh  thì tương đối khó, vì mức <br /> độ ghi nhớ các kiến thức Hình học từ những lớp dưới của nhiều học sinh còn <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     8<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> hạn chế. Do đó khi gặp một bài toán Hình học học sinh thường không biết <br /> bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào. Chính vì thế mà việc giúp <br /> HS nắm vững kiến thức, hiểu một vấn đề  theo nhiều khía cạnh khác nhau,  <br /> vận dụng linh hoạt các kiến thức vào làm bài tập, tạo niềm say mê, hứng thú <br /> học Toán nói chung và Hình học nói riêng cho  các em học sinh  là  rất  quan <br /> trọng đối với người giáo viên. <br /> Để giúp học sinh học tập tốt môn Hình học, hãy bắt đầu bằng những <br /> bài tập trong sách giáo khoa và đừng quên khai thác bài toán sau khi giải. Với <br /> đề tài nghiên cứu: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ <br /> bản Hình học lớp 9” sẽ đáp ứng được phần nào yêu cầu này, bên cạnh đó còn <br /> góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích và suy luận <br /> cho học sinh, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm <br /> đam mê bộ môn.<br /> Mỗi  bài toán đưa  ra trong đề  tài đều có phân tích cụ  thể, định hướng <br /> chứng minh, chỉ ra được kiến thức cần vận dụng để chứng minh bài toán, sau <br /> khi trình bày lời giải đều có những nhận xét từ  các kết quả có được của bài <br /> toán và đề xuất các bài toán mới. Qua đó, củng cố, khắc sâu, mở rộng và nâng <br /> cao kiến thức cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích  <br /> cực, chủ  động, sáng tạo trong giải Toán, đồng thời giúp học sinh tự  tin hơn, <br /> thích thú hơn với phân môn Hình học <br /> Đề tài này được lồng ghép vào các tiết luyện tập, ôn tập chương, các <br /> tiết ôn tập học kì , các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh <br /> giỏi.<br /> Sau khi áp dụng đề  tài nhìn chung học sinh nắm vững kiến thức cơ <br /> bản, các em đã hứng thú hơn trong học tập, nhìn nhận bài toán một cách rộng <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     9<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> hơn, yêu thích bộ  môn hơn và đặc biệt nhiều em đã có phương pháp tự  học <br /> tốt, biết cách phát triển bài toán và tự tin hơn khi học Hình học.<br /> 3. Giải pháp, biện pháp:<br />  3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:<br /> Đề  tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ  một bài toán Hình  <br /> học cơ  bản lớp 9” nhằm mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn  bản chất <br /> của bài toán, tạo cho các em phong cách học tập chủ  động và sáng tạo.  Từ <br /> việc suy luận và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành,  <br /> góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng phong phú.<br />  3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:<br />            Việc suy luận và phát triển một bài toán Hình học có thể  theo nhiều <br /> hướng <br /> khác nhau. Tuy nhiên, trong phạm vi đề  tài này tôi chỉ  nghiên cứu việc khai <br /> thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán và đề xuất các bài toán mới <br /> nhằm rèn luyện khả  năng sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư <br /> duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải toán, đồng thời giáo <br /> dục lòng say mê học Toán cho học sinh. Đề tài này không đề  cập nhiều đến <br /> việc hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh mà quan tâm đến hướng khai  <br /> thác, suy luận để  phát triển bài toán. Bắt đầu từ  bài toán cơ  bản và quen <br /> thuộc sau:<br /> a) Bài toán 1: ( Bài tập 11 trang 104 ­ SGK Toán 9 tập 1)<br />    Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi <br /> H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng <br /> minh rằng: CH = DK. Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.<br /> Giải:<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     10<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> GT Đường   tròn   (O)   đường   kính   AB;   dây  H<br /> C<br /> M<br /> CD; CD  AB = ;  D<br /> K<br /> <br /> AH ⊥ CD (H CD);<br /> A B<br /> O<br />  BK ⊥ CD (K CD)<br /> KL CH = DK<br /> <br /> Hướng dẫn chứng minh: Kẻ OM  ⊥  CD (M  CD)<br /> Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau:  CH = DK<br />                                    <br />                                     MH – MC =  MK – MD<br />                                   <br />                                    MH = MK ;  MC = MD<br /> Ta có: MH = MK vì AHKB là hình thang, hình thang này có O   AB, OA = OB, <br /> OM//AH//BK<br /> Ta cũng có:  MC = MD vì OM  ⊥  CD (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và <br /> dây).<br /> Chứng minh:  <br /> AH ⊥ CD và BK  ⊥  CD (gt)  AH // BK  AHKB là hình thang<br /> Kẻ OM  ⊥  CD (M  CD)   MC = MD (1) (Quan hệ giữa đường kính và <br /> dây)<br /> Xét hình thang AHKB có O   AB, OA = OB (Bán kính); OM//AH//BK (cùng <br /> vuông góc với CD)   MH = MK (2)<br /> Từ (1 ) và (2) ta có: MH – MC = MK – MD hay CH = DK<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 1:<br /> * Nhận xét 1.1:  Từ việc vẽ OM  ⊥  CD ta có MH = MK ta nhận thấy rằng:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     11<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> S∆OMH = S∆OMA =S∆OMK =S∆OMB H<br /> C<br /> <br /> M<br /> <br /> S∆OMH +S∆OMK = S∆OMA +S∆OMB D<br /> K<br /> <br /> Hay  S∆HOK = S∆AMB B<br /> A C' O M' D'<br /> <br /> Kẻ MM’  ⊥  AB (M’   AB)<br /> Vì  S∆ HOK = S∆ AMB  nên HK.OM = AB.MM’ (1)<br /> <br /> Mặt khác, ta có OM là đường trung bình của hình thang AHBK nên <br /> AH + KB AH + KB<br /> OM =    � HK.OM = HK. = SAHKB    (2)<br /> 2 2<br /> Từ (1 ) và (2) ta có:  SAHKB = AB.MM '    <br /> Vẽ thêm CC’ ⊥ AB, DD’ ⊥ AB (C’, D’   AB), ta có: <br /> CC '+ DD '<br /> MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’ � MM ' =  <br /> 2<br /> CC'+ DD' 1 1 1<br />   � SAHKB = AB. = AB ( CC'+ DD' ) = AB.CC'+ AB.DD' = S∆ACB +S∆ADB<br /> 2 2 2 2<br /> Qua nhận xét 1.1, ta có bài toán khó hơn bài toán 1 như sau:<br /> Bài toán 1.1:  Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường <br /> kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B <br /> <br /> đến CD. Chứng minh rằng:  SAHKB = S∆ACB + S∆ADB<br /> * Nhận xét 1.2:<br /> Từ bài toán 1, nếu giả thiết dây CD không  C<br /> H<br /> cắt đường kính AB được thay thế bằng <br /> giả thiết dây CD cắt đường kính AB thì  I<br /> <br /> kết luận CH = DK vẫn đúng.  A<br /> B<br /> O<br /> <br /> Thật vậy, để chứng minh CH = DK ta  F<br /> K<br /> chứng minh CD và HK có chung trung  D<br /> <br /> <br /> điểm.<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     12<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Qua O vẽ đường thẳng song song với BK <br /> và AH, cắt CD và AK lần lượt tại I và F.<br /> Vì OI // BK mà BK  ⊥  CD nên OI  ⊥ CD<br />  IC = ID (1) (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)<br /> ∆AKB  có O   AB, OA = OB và OF // BK   FK = FA<br /> ∆KAH  có F   KA, FK = FA (chứng minh trên) và FI // AH  IH = IK (2) <br /> Từ (1 ) và (2) ta có: IC – IH = ID – IK hay CH = DK<br />  Từ nhận xét 1.2 ta có bài toán 1.2 như sau:<br /> Bài toán 1.2:  Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt AB tại G. Gọi <br /> H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK.<br /> * Nhận xét 1.3:<br /> Từ bài toán 1, nếu sử dụng phương pháp  H<br /> C<br /> H'<br /> phản chứng ta sẽ chứng minh được H và K ở <br /> D<br /> bên ngoài đường tròn (O). Thật vậy, giả sử  K<br /> <br /> <br /> chân đường vuông góc hạ từ A đến đường  A O<br /> B<br /> <br /> <br /> thẳng CD là H’, H’ là điểm nằm giữa 2 điểm <br /> C và D.<br /> Xét  ∆ACH ' ta có:  ACH'<br /> ᄋ ᄋ<br /> = ACB ᄋ = 900 +BCD<br /> + BCD ᄋ<br /> <br /> ᄋ<br /> ACH' ᄋ<br /> > 900 Mà  AH'C = 900 (theo giả sử) <br />  Tổng các góc trong của  ∆ACH '  lớn hơn 1800 . Điều này vô lí.<br /> Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn (O)   H nằm ngoài đường tròn (O)<br /> Chứng minh tương tự đối với điểm K <br /> Từ nhận xét 1.3 ta có bài toán 1.3 như sau:<br /> Bài toán 1.3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường <br /> kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B <br /> đến CD. Chứng minh rằng: H và K ở bên ngoài (O)<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     13<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> * Nhận xét 1.4:  Ở bài toán 1, để chứng minh CH = DK ta chứng minh hai <br /> đoạn thẳng CD và HK có chung trung điểm bằng cách vận dụng định lí : <br /> "Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy” và <br /> định lí : "Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và <br /> song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai”. Với ý <br /> tưởng này, ta xây dựng một bài toán mà cách giải hoàn toàn tương tự như <br /> cách giải của bài toán 1: <br /> Bài toán 1.4: Cho đường tròn O đường kính AB, dây CD không cắt đường <br /> kính. Qua C và D kẻ  các đường vuông góc với CD lần lượt cắt AB tại H và  <br /> K. Chứng minh rằng AH = BK.<br /> Giải: <br /> GT Đường tròn (O) đường kính AB;  D<br /> I<br /> dây CD; CD  AB = ; C<br /> <br /> <br />  CH ⊥ CD (H AB);<br /> B<br />  DK ⊥ CD (K AB) A H O K<br /> KL AH = BK<br /> <br /> <br /> <br /> Hướng dẫn chứng minh: Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau:<br /> AH = BK<br /> <br /> <br /> OA ­ OH = OB – OK <br /> <br /> <br /> OA = OB;  OH = OK<br /> Ta có OA = OB (Bán kính)<br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     14<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Để chứng minh OH = OK ta kẻ OI  ⊥  CD(I  CD)    IC = ID  (Quan hệ <br /> vuông góc giữa đường kính và dây). Tiếp tục vận dụng định lí : "Đường <br /> thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy <br /> thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai” để có OH = OK.<br /> Chứng minh: HC ⊥ CD và KD  ⊥  CD (gt)  HC // KD  CDKH là hình thang<br /> Kẻ OI  ⊥ CD (I  CD)   IC = ID (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và <br /> dây)<br /> Xét hình thang CDKH có IC = ID (Chứng minh trên); <br /> OI//HC//KD (cùng vuông góc với CD)  OH = OK (1) <br /> Lại có :  OA = OB (2) (Bán kính)<br /> Từ (1 ) và (2) ta có OA ­ OH = OB – OK Hay AH = BK<br /> b) Bài toán 2: ( Bài tập 30 trang 116 ­ SGK toán 9 tập 1)<br />    Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với <br /> AB (Ax, By và của đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua <br /> điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường <br /> tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:    a)  COD<br /> ᄋ = 900      <br /> <br /> b) CD = AC + BD          <br /> c) AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.<br /> Giải:<br /> nửa (O;R); AB = 2R ; Ax ⊥  AB;  y<br /> <br /> <br /> <br /> By ⊥ AB; M nửa(O;R); M A, B;  D<br /> <br /> x<br /> GT Mz (O) = { M} ;  Mz Ax= { C} ;  M<br /> <br /> C<br /> Mz   By=  { D}  <br /> KL ᄋ<br /> a)  COD = 900<br /> <br /> b) CD = AC + BD A B<br /> O<br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     15<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> c) AC.BD không đổi khi M di <br /> động trên nửa đường tròn<br /> Hướng dẫn chứng minh:<br />  Ở câu a) để chứng minh  COD<br /> ᄋ  = 900  ta cần chứng minh OC và OD là các tia <br /> phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM <br /> Ở câu b) ta nhận thấy rằng CD = CM + MD. Do đó để chứng minh CD = AC <br /> + BD ta cần chứng minh CM = AC và MD = BD.<br /> Ở câu c) ta có AC.BD = CM.MD (theo chứng minh trên). <br /> Do đó để chứng minh AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn ta <br /> cần chứng minh CM.MD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn<br /> Chứng minh:<br /> a) Ta có OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM (tính <br /> chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó OC  ⊥  OD    COD<br /> ᄋ  = 900.<br /> b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CM = AC, DM = AD.<br /> Do đó CD = CM + DM = AC + BD.<br /> c) Ta có AC.BD = CM.MD<br /> Xét  ∆  COD vuông tại O và OM  ⊥  CD nên CM.MD = OM2 = R2 (R là bán kính <br /> của đường tròn O)  AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 2:<br /> * Nhận xét 2.1: <br /> Chu vi tứ giác ABDC nhỏ nhất AC + AB + BD + CD nhỏ nhất<br />  AC + BD + CD nhỏ nhất   2CD nhỏ nhất  CD nhỏ nhất<br /> CD // AB  M là giao điểm nửa đường tròn tâm O và trung trực của AB. <br /> (hay M là điểm chính giữa của cung AB)<br /> Vậy nếu M là điểm chính giữa của cung AB thì tứ giác ABDC có chu vi nhỏ <br /> nhất.<br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     16<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Qua nhận xét 2.1, ta có bài toán 2.1:<br /> Bài toán 2.1: Thêm vào bài toán 2 câu d: Xác định vị trí của điểm M để chu vi <br /> tứ giác ABDC nhỏ nhất.<br /> * Nhận xét 2.2: <br />  Nếu gọi N là giao điểm của BC và AD, ta chứng minh được MN//AC (MN//BD)<br /> Thật vậy:<br /> y<br /> Ta có AC//BD (gt)<br /> Xét  ∆ANC  có AC//BD  D<br /> <br /> <br /> ND NB DB x<br />   = =  (1) (Định lí Talet) M<br /> NA NC AC<br /> C<br /> Vì CA, CM là tiếp tuyến của nửa (O) <br /> nên CM = CA (2)  N<br /> <br /> Tương tự ta có DB = DM (3) 2 3<br /> A 1 4 B<br /> O<br /> ND MD<br /> Từ (1), (2) và (3)  =  <br /> NA MC<br /> <br /> MN//AC (Theo định lí ta lét đảo) <br />  MN//BD (AC//BD)<br /> Qua nhận xét 2.2, ta có bài toán 2.2:<br /> Bài toán 2.2:  Thêm vào bài toán 2 câu e: Gọi N là giao điểm của BC và AD. <br /> Chứng minh rằng: MN//AC (MN//BD)<br /> * Nhận xét 2.3:<br /> Sau khi c/m được MN//AC ta có thể có thêm yêu cầu đối với học sinh trung <br /> bình là chứng minh CD.MN = CM.DB<br /> Chứng minh: Theo chứng minh trên MN//AC<br /> CD DB<br /> ∆CBD      ∆ANC =  CD.MN = CM.DB<br /> S<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> CM MN<br /> <br /> Bài toán 2.3: Thêm vào bài toán 2 câu f: Chứng minh rằng: CD.MN = CM.DB<br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     17<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> * Nhận xét 2.4:<br /> Từ bài toán 2, nếu cải tiến một chút thì ta có bài toán mới như sau:<br /> Bài toán 2.4: (Trích đề kiểm tra học kì I của phòng GD & ĐT Krông Ana năm <br /> học 2011 ­ 2012)<br />    Cho  ∆ABC  vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp <br /> tuyến BD, CE (D, E là các tiếp điểm).<br /> a) BC có phải là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) hay không? Vì sao?<br /> b) Chứng minh rằng ba điểm D, A, E thẳng hàng;<br /> c) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.<br /> Chứng minh:<br /> B<br /> a) BC là tiếp tuyến của đường tròn <br /> (A; AH) vì H BC; H (A; AH) và AH ⊥  BC (gt)<br /> ᄋ<br /> b) Ta có:  DAE ᄋ +A<br /> =A ᄋ +Aᄋ +A<br /> ᄋ   I<br /> 1 2 3 4<br /> <br /> D H<br /> ᄋ =A<br /> mà  A ᄋ ;  A<br /> ᄋ =Aᄋ  (tính chất của hai tiếp <br /> 1 2 3 4<br /> <br /> 2<br /> tuyến cắt nhau) 1<br /> 3<br /> A<br /> 4 C<br /> ᄋ =A<br /> A ᄋ = BAC<br /> ᄋ = 900 (gt)<br /> 2 3<br /> <br /> E<br /> ᄋ DAE = 2A<br /> � ᄋ + 2A<br /> ᄋ = 2(A<br /> ᄋ +Aᄋ ) = 2.900 = 1800<br /> 2 3 2 3<br /> <br /> <br /> Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.<br /> c) Vì D, A, E thẳng hàng nên A   DE (1)<br /> 1<br /> Gọi O là trung điểm của BC. Ta có AO =   BC (tính chất đường trung tuyến <br /> 2<br /> <br /> BC<br /> trong tam giác vuông)   A   (O;   )  (2)<br /> 2<br /> <br /> Mặt khác, ta có: BD  ⊥  DE; CE  ⊥  DE (tính chất tiếp tuyến) BCED là hình <br /> thang<br /> Lại có: AD = AE; OB = OC  OA // BD mà BD  ⊥  DE nên OA ⊥  DE (3)<br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     18<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Từ (1), (2), (3) ta có DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.<br /> c) Bài toán 3: ( Bài tập 39 trang 123 ­ SGK toán 9 tập 1)<br />     Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung <br /> <br /> ngoài BC  B �( O) ,C �( O') , tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung <br /> ngoài BC tại I. Chứng minh rằng:    <br /> a)  BAC<br /> ᄋ = 900            <br /> <br /> b) Tính số đo góc IOI’<br /> c) Tính độ dài BC biết OA = 9cm; OA’ = 4cm<br /> Giải:<br /> O) tiếp xúc ngoài (O’) tại A; BC  B<br /> <br /> là tiếp tuyến chung ngoài; B I<br /> C<br /> GT (O) ; C (O’); IA  là tiếp tuyến <br /> chung trong tại A; IA  BC = { I} O 9 A 4 O'<br /> <br /> ;<br /> OA = 9cm, O’A = 4cm.<br /> a)  BAC<br /> ᄋ = 90<br /> <br /> KL b)  OIO'<br /> ᄋ =?<br /> c) BC = ?<br /> Hướng dẫn chứng minh: Ở câu a) để chứng minh  BAC<br /> ᄋ   <br /> = 90 ta phân tích <br /> <br /> theo sơ đồ:           <br /> ᄋ<br /> BAC = 90<br /> <br /> <br /> <br /> ∆ ABC vuông tại A<br /> <br /> <br /> <br /> AI = BI = CI<br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     19<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Ở câu b) vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hai tia phân <br /> giác của hai góc kề bù.<br /> Ở câu c) Để tính BC trước hết ta tính IA vì BC = 2IA. Cách tính: IA2= OA.AO’ <br /> Chứng minh: a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: IB = IA và IA = <br /> IC.<br /> 1<br /> ∆ ABC có trung tuyến AI bằng  BC nên  ∆ ABC vuông tại A  ᄋ<br /> BAC = 90<br /> 2<br /> <br /> b) Ta có IO là tia phân giác góc BIA, IO’ là tia phân giác của góc AIC. (Tính <br /> chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà  BIA<br /> ᄋ  và  AIC<br /> ᄋ  là hai góc kề bù nên  OIO'<br /> ᄋ = 90  <br /> <br /> c) Xét  ∆ vuông OIO’ có IA  ⊥  OO’ nên IA2= OA.AO’ (hệ thức lượng trong  ∆<br /> vuông)<br /> Do đó IA2 = 9.4 = 36   IA = 6cm. Khi đó BC = 2IA = 2.6 =12cm.<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 3:<br /> * Nhận xét 3.1:  Nếu hai đường tròn (O) và (O’) không tiếp xúc ngoài tại A mà <br /> hai đường tròn đó ở ngoài nhau thì có chứng minh được  BAC<br /> ᄋ = 90  hay không?<br /> <br /> Ta có:<br /> ᄋ 1ᄋ ᄋ 1ᄋ<br /> ABC = BOD  và  ACB = CO'E  (góc  B<br /> 2 2<br /> <br /> tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)<br /> C<br /> mà  ABC<br /> ᄋ ᄋ<br /> + CO'E = 1800  (vì OB//O’C) O<br /> <br /> <br /> ᄋ<br /> � ABC ᄋ<br /> + ACB = 1800<br /> D<br /> E<br /> A O'<br /> <br /> ∆ABC có � ABC<br /> ᄋ ᄋ<br /> + ACB ᄋ<br /> = 1800 � BAC = 900<br /> <br /> Qua nhận xét trên, ta có bài toán sau:<br />  Bài toán 3.1: Cho hai đường tròn (O) và (O’)  ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến <br /> <br /> chung ngoài BC,  B ( O) ,  C ( O') , đoạn nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     20<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> (O’) lần lượt tại D và E, các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Chứng <br /> minh rằng:<br /> a)  BAC<br /> ᄋ = 900                  b) AD. AC = AE . AC          c) Tứ giác BCED nội tiếp<br /> <br /> Giải: a) Chứng minh như nhận xét 3.1<br />  b) Ta có:  ABC<br /> ᄋ ᄋ<br /> = ACO'  (vì cùng phụ với  ACB<br /> ᄋ )<br />                  ACO'<br /> ᄋ ᄋ<br /> = CEO' (vì  ∆EO'C  cân tại O’)<br />                  Mà  CEO'<br /> ᄋ ᄋ<br /> = AED  (đối đỉnh)<br />  Do đó :  AED<br /> ᄋ ᄋ<br /> = ABC<br /> <br /> ∆AED và  ∆ABC có:  AED<br /> ᄋ ᄋ<br /> = ABC  (chứng minh trên)<br />                                  A<br /> ᄋ  chung<br /> <br /> AE AD<br /> � ∆AED        ∆ABC (g.g)  � = � AE.AC=AB.AD<br /> S<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> AB AC<br /> <br /> c) Theo câu b) ta có:  AED<br /> ᄋ ᄋ<br /> = ABC   � ABC<br /> ᄋ ᄋ<br /> + DEC = 1800  Tứ giác BCED nội tiếp<br /> * Nhận xét 3.2:<br />      Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau thì kết luận  BAC<br /> ᄋ = 90  có còn đúng <br /> <br /> không?<br /> Ta có:<br /> ᄋ 1ᄋ ᄋ 1ᄋ<br /> DBC = BOD  và  ECB = CO'E B<br /> 2 2<br /> <br /> (theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp <br /> N C<br /> tuyến và dây cung) O A<br /> Mà  ABC<br /> ᄋ ᄋ<br /> + CO'E = 1800  (vì OB//O’C) E<br /> D O'<br /> ᄋ<br /> � DBC ᄋ<br /> + ECB = 1800  hay <br /> N<br /> ᄋ<br /> ABC ᄋ<br /> + ACB = 1800<br /> ∆ABC  có  � ABC<br /> ᄋ ᄋ<br /> + ACB ᄋ<br /> = 1800 � BAC = 900<br /> Qua nhận xét trên, ta có bài toán 3.2:<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     21<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br />  Bài toán 3.2:  Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M và N. <br /> <br /> Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC,  B �( O) ,C �( O') , đoạn nối tâm OO’ cắt các <br /> đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại D và E, các đường thẳng BD và CE cắt <br /> nhau tại A. Chứng minh rằng:<br /> a)  BAC<br /> ᄋ = 900               <br /> <br /> b) Tứ giác BCDE nội tiếp              <br /> c) AB.AD = AC.AE<br /> Giải:  a) Chứng minh như nhận xét 3.2<br />  b)  DBC<br /> ᄋ ᄋ<br /> = O'CE  (vì cùng phụ với  BCE<br /> ᄋ ) mà  O'CE<br /> ᄋ ᄋ<br /> = O'EC (vì  ∆EO'C  cân tại O’)<br /> ᄋ<br /> � DBC ᄋ<br /> = O'EC  hay  DBC<br /> ᄋ ᄋ<br /> = DEC<br /> <br />  Tứ giác BCDE có hai đỉnh B và E cùng nhìn cạnh CD dưới một góc bằng <br /> nhau nên nội tiếp được trong một đường tròn.<br /> c)  ∆AED và  ∆ABC có:  AED<br /> ᄋ ᄋ<br /> = ABC  (theo chứng minh câu b)<br />                                  EAD<br /> ᄋ ᄋ<br /> = BAC  (đối đỉnh)<br /> AE AD<br /> � ∆AED        ∆ABC (g.g)  � = � AE.AC=AB.AD<br /> S<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> AB AC<br /> <br /> d) Bài toán 4: ( Bài tập 95 trang 105 ­ SGK toán 9 tập 2)<br />     Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của  ∆ABC  cắt nhau tại H ( C<br /> ᄋ 900 ) và cắt <br /> <br /> đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC  lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:<br /> a) CD = CE                   <br />   b)  ∆BHD cân                            <br /> c) CD = CH<br /> Giải:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     22<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> A<br /> ᄋ 900 ; đường tròn <br /> ∆ABC ;  C E<br /> <br /> (O) ngoại tiếp  ∆ABC ;<br /> N<br /> GT AD ⊥ BC ; D  (O);<br /> H<br /> O<br /> BE ⊥ AC ; E  (O);<br /> a) CD = CE<br /> B M C<br /> KL b)  ∆BHD cân<br /> c) CD = CH D<br /> <br /> Chứng minh: <br /> Gọi M là giao điểm của AD và BC, N  là giao điểm của BE và AC<br /> a) Ta có:  DAC<br /> ᄋ ᄋ<br /> + AHN = 900  và   CBE<br /> ᄋ ᄋ<br /> + BHM = 900<br /> ᄋ<br /> � DAC ᄋ<br /> + AHN ᄋ<br /> = CBE ᄋ<br /> + BHM  mà  AHN<br /> ᄋ ᄋ<br /> = BHM  (đối đỉnh)<br /> ᄋ<br /> � DAC ᄋ<br /> = CBE ᄋ  (các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng <br /> ᄋ = DC<br /> � EC<br /> <br /> nhau)<br />  CD = CE (liên hệ giữa cung và dây)<br /> b) Ta có  EC ᄋ  (chứng minh trên) <br /> ᄋ = DC<br /> <br /> ᄋ<br /> � EBC ᄋ<br /> = CBD (hệ quả góc nội tiếp)<br /> � ∆BHD cân (vì có BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác)<br /> <br /> c) Ta có  ∆BHD cân tại B  BC là đường trung trực của HD (vì BC chưa BM)<br /> CD = CH (tính chất đường trung trực)<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 4:<br /> * Nhận xét 4.1:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     23<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> A<br /> Ta có CH là đường cao của  ∆ABC  nên ta kẻ <br /> E<br /> <br /> đường cao CH cắt AB tại Q và cắt đường <br /> tròn ngoại tiếp  ∆ABC  tại F.  F<br /> Q<br /> N<br /> <br /> H<br /> Từ câu a) ta có CD = CE    CD ᄋ  <br /> ᄋ = CE O<br /> <br /> ᄋ<br /> CFD ᄋ<br /> = CFE<br /> B<br /> FC là tia phân giác của  EFD<br /> ᄋ . M C<br /> <br /> <br />  Tương tự ta cũng có DA là tia phân giác  D<br /> <br /> của  EDF<br /> ᄋ  và EB là tia phân giác của  DEF<br /> ᄋ  <br /> H là tâm đường tròn nội tiếp  ∆DEF<br /> Từ nhận xét 4.1 ta có bài toán sau:<br /> Bài toán 4.1: <br />    Các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C của  ∆ABC  cắt nhau tại H ( C<br /> ᄋ 900 ) và cắt <br /> <br /> đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC  lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng: H là tâm <br /> đường tròn nội tiếp  ∆DEF<br /> * Nhận xét 4.2:<br /> <br /> Từ câu b) và c) của bài toán 3 ta có BD = BH, CD = CH  ∆BDC=∆BHC ( c.c.c )<br /> <br /> Tương tự ta cũng có  ∆AFB=∆AHB ,  ∆AEC=∆AHC<br />  Các đường tròn ngoại tiếp  ∆AHB ,  ∆BHC ,  ∆AHC  có bán kính bằng bán kính <br /> của đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC .<br /> Từ nhận xét 4.2 ta có bài toán 4.2<br /> Bài toán 4.2:  Cho  ∆ABC  có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và H <br /> là trực tâm của  ∆ABC . Chứng minh rằng: Các đường tròn ngoại tiếp  ∆AHB , <br /> ∆BHC ,  ∆AHC  có bán kính bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC .<br /> <br /> * Nhận xét 4.3:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     24<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br />     Từ câu a) của bài toán 3 ta có CD = CE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp <br /> ∆ABC  thì OC là đường trung trực của ED<br /> <br />  Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn đường kính <br /> AB<br /> <br /> <br /> A<br /> ᄋ<br /> BAM ᄋ<br /> = BNM (hai góc nội tiếp cùng chắn  E<br /> <br /> cung BM)<br /> F N<br /> Mặt khác, ta có:  BAD<br /> ᄋ ᄋ<br /> = BED (hai góc nội  Q<br /> H O<br /> tiếp cùng chắn cung BD) ᄋ<br /> BNM ᄋ<br /> = BED  <br />  MN//DE B M C<br /> <br /> <br /> D<br /> <br /> Từ nhận xét trên, ta có thêm bài toán sau:<br /> Bài toán 4.3: <br />       Cho  ∆ABC  có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường <br /> cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC  <br /> tại D, E, F (M BC, N AC, Q AB). Chứng minh rằng: MN//DE<br /> * Nhận xét 4.4:<br /> A<br /> Từ bài toán 3, nếu gọi P là trung điểm của <br /> BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Khi <br /> N<br /> đó tứ giác BHCT là hình bình hành    Q<br /> H O<br /> CT//BN  CT ⊥ AC (vì BN ⊥ AC) <br /> ᄋ<br /> ACT = 900 P<br /> B M C<br /> Tương tự, ta chứng minh được  ABT<br /> ᄋ = 900  <br /> <br /> Tứ giác ABTC có  ACT<br /> ᄋ ᄋ<br /> + ABT = 900 + 900 = 1800<br /> T<br /> <br /> <br /> Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn (O) <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     25<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Từ nhận xét trên, ta có thể khai thác thêm bài toán sau:<br />  Bài toán 4. 4<br />   :  <br /> Cho  ∆ABC  có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường <br /> cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H (M BC, N AC, Q AB). Gọi P là trung <br /> điểm của BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Chứng minh rằng: Tứ giác <br /> ABTC nội tiếp được trong một đường tròn<br />  e) Một số bài toán tham khảo:<br />  Bài  1<br />    ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2004 – 2005):<br />     Cho tam giác ABC có AB 
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2