Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ bởi một lớp mỏng đàn điện

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ bởi một lớp mỏng đàn điện đưa ra các phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong cấu trúc vật liệu như trên. Bằng cách áp dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng, tác giả đã thu được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc 3.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ bởi một lớp mỏng đàn điện

BÀI BÁO KHOA HỌC SÓNG RAYLEIGH TRUYỀN TRONG BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI TRỰC HƯỚNG PHỦ BỞI MỘT LỚP MỎNG ĐÀN ĐIỆN Nguyễn Thị Khánh Linh1 Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu sự lan truyền của sóng Rayleigh trong một bán không gian đàn hồi trực hướng được phủ một lớp mỏng. Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt và giả thiết lớp là đàn điện và bán không gian đàn hồi trực hướng nén được. Mục đích chính của bài báo này là đưa ra các phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong cấu trúc vật liệu như trên. Bằng cách áp dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng, tác giả đã thu được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc 3. Có thể thấy rằng, phương trình này ở dạng hoàn toàn tường minh, có độ chính xác cao và sẽ hữu ích trong các ứng dụng thực tế. Từ khóa: Sóng Rayleigh, bán không gian đàn hồi nén được, lớp mỏng đàn điện, phương trình tán sắc. 1. GIỚI THIỆU * thuyết để chắt lọc ra các tính chất cơ học của cấu Sóng mặt Rayleigh truyền trong bán không trúc từ dữ liệu đo được từ thực tế. gian đàn hồi đẳng hướng lần đầu tiên được Cấu trúc lớp mỏng đăt trên bán không gian đối Rayleigh tìm ra vào năm 1985 trong tài liệu tham với các vật liệu đàn hồi đẳng hướng, trực hướng khảo (Rayleigh, 1885), vẫn đang là đề tài thu hút và các vật liệu có ứng suất trước đã có rất nhiều một khối lượng lớn các nhà khoa học trên thế giới công trình nghiên cứu và đã thu được các phương vì những ứng dụng quan trong của nó trong trình tán sắc chính xác và phương trình tán sắc nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công xấp xỉ (Vinh and et. al., 2013, 2014, 2016 ). Tuy nghệ như địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nhiên đối với môi trường bán không gian trực nghệ truyền thông và khoa học vật liệu. Có thể nói hướng phủ lớp vật liệu đàn điện chưa có bất kỳ rằng những nghiên cứu của sóng mặt Rayleigh có công bố nào. ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiện tại và có Do vậy việc nghiên cứu sự truyền của sóng vị trí cao trong khoa học. Raleigh trong bán không gian được phủ bởi một Ngày nay cấu trúc lớp mỏng đặt trên bán lớp vật liệu piezoelectric là cần thiết và quan không gian đã và đang được sử dụng rộng rãi trọng. Điều này đưa đến mục tiêu của báo bái là trong công nghệ hiện đại. Do vậy việc đánh giá tìm phương trình tán sắc dạng tường minh của không phá hủy các tính chất cơ học của chúng sóng mặt Rayleigh truyền trong bán không gian trước và trong quá trình sử dụng là quan trọng và trực hướng được phủ bởi một lớp đàn điện. có nhiều ý nghĩa. Để đánh giá không phá hủy các 2. CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG tính chất cơ học của lớp vật liệu và bán không XẤP XỈ BẬC BA ĐỐI CỦA LỚP ĐÀN ĐIỆN gian, sóng mặt Rayleigh là công cụ thuận lợi 2.1. Phương trình cơ bản (Adams and et. al., 2007). Khi đó, phương trình Xét một bán không gian đàn hồi x3  0 tán sắc của chúng được sử dụng như là cơ sở lý được phủ bởi một lớp đàn hồi mỏng h  x3  0 . Giả thiết, bán không gian là 1 Bộ môn Cơ học kỹ thuật, khoa Cơ khí, Trường Đại học trực hướng, lớp là đàn điện, liên kết giữa lớp Thủy lợi và bán không gian là gắn chặt. Chú ý các đại KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) 3
lượng đặc trưng cho bán không gian và lớp là ngang nếu các đại lượng đó thuộc về lớp. Ta cùng ký hiệu nhưng phân biệt bởi dấu gạch xét biến dạng phẳng có dạng: ui  ui ( x1 , x3 , t ), ui  ui ( x1 , x3 , t ), i  1, 3, u2  u2  0. (1.1) ở đây t là thời gian. Giả sử vật liệu của lớp là vật liệu đàn điện. Mối quan hệ ứng suất-biến dạng và điện thế  có dạng (Bernard Collet and et. al, 2005):  11  c11u1,1  c13u3,3  e31 ,3 ,  33  c13u1,1  c33 u3,3  e32  ,3 ,  13  c55 (u1,3  u3,1 )  e15  ,1 (1.2) trong đó  ij và cij tương ứng là ứng suất, áp suất thủy tĩnh và hệ số độ cứng không nén được của vật liệu, dấu phẩy chỉ đạo hàm theo biến không gian xk . Các phương trình chuyển động của đàn điện có dạng: 11,1  13,3   u1 ,  13,1   33,3   u3 , D1,1  D3,3  0 (1.3) đây  là mật độ khối lượng, dấu chấm chỉ đạo hàm theo biến thời gian t . U    M 1 M 2  U  Từ (1.2)-(1.3), ta có:     (1.4)     M 3 M 4     ở đây U  [u1 u2  ]T ,   [ 13  33 D3 ]T và "T" chỉ ma trận chuyển vị, dấu phẩy chỉ đạo hàm theo biến x3 và  0 1  s6 1   n66 0 0   2t  12 0 0    M 1   r4 1 0 0  , M 2   0  n22 n24  , M 3   0  2 t 0  , M 4  M 1T (1.5)  r2 1 0 0   0 n24 n44    0 0  12  trong đó 12   2 / x12 ,  t2   2 / t 2 , 1   / x1 e15 c e c e c ò e e 1 ò c s6  , r2  13 33 33 31 , r4  13 33 31 33 , n66  , n22  33 , n44   33 , c55   c55   e152 2 c13 (c13ò33  2e31e33 )  c33 e31   ò11  ,   ò33 c33  e33 ,   c11  . c55  U ( n )  U   M1 M2  Từ (1.4), ta có:  ( n )   M n   , M   , n  1, 2,3,..., x2  [h,0]. (1.6)     M 3 M 4  2.2. Điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ bậc ba Với h là nhỏ (lớp mỏng), bằng cách khai triển Taylor (h) tại x3  0 lên đến bậc ba của h, (h) có dạng: h2 h3 ''' (h)  (0)  h(0)  (0)   (0) (1.7) 2 6 Thay (1.4), (1.5) và (1.6) vào (1.7), lấy U (0)  [u1 (0) u3 (0)  (0)]T , và (0)  [ 13 (0)  33 (0) 0]T , ta có: h2   a   13  h(r4 33,1   u1,11   u1 )  (a2  ,111  s6  ,1  4 13,11  n66  13   u3,111  a1  u3,1 ) 2 (1.8) h3  (a10 33,111  a11 33,1  a12 u1,1111  n66  2 u1,tt  a13  u1,11 )  0 6 4 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022)
h2  33  h( 13,1   u3 )  ( r4 33,11  n22 33   u1,111  a1  u1,1 )  2 (1.9) h3   a    2   ( a2 1,1111  a3  ,11 4 13,111  a5  13,1   u3,1111  a6  u3,11  n22  u3, tt )  0 6 h2 h(  ,11  s6 13,1 )  ( a7 33,11  a2 u1,111  s6  u1,1 ) 2 (1.10) 3 h   a    ( a8  ,1111  s62  ,11  9 13,111  n66 s6  13,1  a2 u3,1111  a3 u3,11 )  0 6 trong đó: a1  1  r4 , a2   r2   s6 , a3   n24  s6 (1  r4 ), a4  r4  r2 s6   n66 a5  n22  n66 (1  r4 )  n24 s6 ; a6  1  2r4 ; a7  r4 s6   n24 a8  2 r2 s6   s62   2 n44 , a9  r2 s62   n44 s6   n66 r2   n66 s6   n24  r4 s6 (1.11) a10  r42   n22   n22   n24 r2   n66 r4   n24 s6  r2 r4 s6 , a11  n22 (1  r4 )  n66 r4  n24 s6 , a12   r22   2 n66  2 (r4  r2 s6 ), a13  2( n66  r4  r42  r2 s6 ) Bây giờ ta xét sự lan truyền của sóng mặt trong lớp x3   h, truyền với vận tốc c và số sóng k theo hướng x1 ,tắt dần theo hướng x3 . Chuyển dịch u , điện thế  và ứng suất  ij có dạng: ui  U ( y ) i eik ( x1 ct ) ,  i 3  kti 3 ( y )eik ( x1  ct ) ,   ik ( y ) eik ( x1 ct ) , y  kx3 , i  1,3, (1.12) Thay thế (1.12) vào (1.8) - (1.10) và tính đến tại x3  0  t13 (0)   { ( X   )U1 (0)   r4t33 (0)} 2 1 2  { (  aX )U 3 (0)  (a2 s6  a8  a4    n66 X  s6 2 X )t13 (0)} 1 2 3 3  3 3 3 (1.13)  {(( a10   a2 a7  a8 r4  a11  X  a7 s6 X  r4 s6 2 X )t33 (0) 6 2 2 3 1  (a12   a2 2  a8  a8 X  a13  X   n66 X 2  3a2 s6 X   s6 2 X  s6 2 X 2 )U1 (0)}  0 2 2  t33 (0)   { XU 3 (0)   t13 (0)} 2  { (a X   )U (0)  (1 s 1 1 1 X  a8   r4   n22 X )t33 (0)} 6 2 (1.14) 2 3 3 2 2 2  3 (    a8 X  a6  X   n22 X  s6 X )U 3 (0)    0 6 (a2 s6  a8  a4   a5  X  a3 s6 X  s62 X ) t13 (0)  với   k.h. Ở đây U k (0) và tij (0) là các biên U  [u1 u3 ]T , T  [ 12  22 ]T thỏa mãn các điều độ của chuyển dịch và ứng suất của bán không kiện biên hiệu dụng (1.13) và (1.14) và điều kiện gian tại mặt x3  0 . Đây là điều kiện biên hiệu tắt dần tại x3   như sau: dụng xấp xỉ bậc ba. Nó thay thế xấp xỉ toàn bộ U T 0 tại x3  . (1.15) ảnh hưởng của lớp đàn điện mỏng không nén Mối liên hệ giữa chuyển dịch-ứng suất có dạng sau: được lên bán không gian.  22  c12u1,1  c22u2,2 , 13  c55 (u1,3  u3,1 ) (1.16) 3. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC Xét một bán không gian đàn hồi nén được. Khi Xét sóng Rayleigh truyền trong một bán không đó, các vectơ chuyển dịch và ứng suất gian trực hướng nén được với vận tốc c (  0 ), số KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) 5
sóng k theo hướng x1 và tắt dần theo hướng x3 . B1 , B2 là các hằng số xác định, và Theo (Odgen and Vinh, 2004) , các thành phần (c13  c55 )bk k  (1.19) chuyển dịch có dạng: (c33bk 2  c55  X ) u1  U1 ( y )eik ( x1 ct ) ; u3  U 3 ( y ) eik ( x1 ct ) ; (1.17) b1 , b2 là hai nghiệm có phần thực dương của trong đó phương trình: b1y b2y b1y b2y U1  Be 1  Be 2 ; U3 1Be 1 2Be 2 (1.18) b4  Sb2  P  0 (1.20) Đã được chỉ ra rằng nếu sóng Rayleigh tồn tại, thì 0  X  min{c66 , c11}; X   c2 (1.21) và P  0, S  P  0, b1b2  P , b1  b2  S  2 P (1.22) Thay (1.17) vào (1.16) dẫn đến:  13  kt13 ( y )eik ( x1  ct ) ;  33  ikt33 ( y )eik ( x1 ct ) ; y  kx3 (1.23) trong đó t13 (0)  1 B1e b1 y   2 B2 e b2 y ; t33 (0)   1 B1e b1 y   2 B2 e b2 y (1.24)  k  c55 (bk   k );  k  c13  c33 bk  k , k  1, 2. Với x3  0 , phương trình (1.18) và (1.24) có dạng: U1 (0)  B1  B2 ; U 2 (0)  1 B1   2 B2 ; t13 (0)  1 B1  2 B2 ; t33 (0)   1 B1   2 B2 . (1.25) Thay (1.25) vào (1.13) và (1.14), ta có: f1 B1  f 2 B2  0, f3 B1  f4 B2  0 (1.26) trong đó 2 1 2 f1  1   ( X    r4 1 )  ( (  a1 X )1  (a2 s6  a4   a8   n66 X  s6 2 X ) 1 ) 2 3 3  3 2 1  3  a12   a8  a2  a8 X  a13  X   s6 2 X  3a2 s6 X   n66 X 2  s6 2 X 2    2 2    ; 6  3 3 2  (a10   a8 r4  a2 a7  a11  X  a7 s6 X  r4 s6 X ) 1  2 2  2  1 2 f 2   2   ( X    r4  2 )  (  (  a1 X ) 2  ( a2 s6  a4   a8   n66 X  s6 2 X )  2 ) 2 3 3  3 1  (1.27) a   a8  a2 2  a8 X  a13  X   s6 2 X  3a2 s6 X   n66 X 2  s6 2 X 2   3  12 2 2    ; 6  3 3 2   ( a   a8 r4  a2 a7  a11  X  a7 s6 X  r4 s6 X ) 2  10 2 2  2  1 2 1  f3   1   ( X 1  1 )    ( a1 X   )  ( s6 X   n22 X   r4  a8 ) 1  2  3 3  3  6 (  a X  a  X   n 8 6 22 X 2  s6 2 X 2 )1  (a2 s6  a8  a4   a5  X  a3 s6 X  s6 2 X ) 1  ; 2  1 2 1  f 4   2   ( X  2   2 )    (a1 X   )  ( s6 X   n22 X   r4  a8 ) 2  2  3 3  2 2 2 (1.28) 3   (   a8 X  a6  X   n22 X  s6 X ) 2    2  6   (a2 s6  a8  a4   a5  X  a3 s6 X  s6 X )  2  6 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022)
Do B12  B22  0 , dẫn đến định thức ma trận hệ số của hệ thuần nhất (1.26) phải bằng 0, ta có: f1 f4  f2 f3  0 (1.29) Thay thế (1.27) - (1.28), ta có: 2 3 A0  A1  A2  A3  O( 4 )  0 (1.30) 2 6 A0   2 [ ,  ], A1  (  2 X [ ,  ]   2 ( X   )[ ] A2  2 2 X ( X   )[ ]   2 [  ]   2 [ ,  ] 2 1  ( 2  a5   a2  2   2 n66 X  a1  s6   s6 2 X )[ ,  ] 3 3  2 3 2 2  a3   2 a1   2a5   2a5  X  3 X  A3   [ ]  a  2 X   2 n X 2  3a  s X  2  s 2 X  1  s 2 X 2  (1.31) 4 66 1 6 6 6  2   3 2 X  2  2  2a5  X  3a2  2 X  3 2 n66 X 2  3a1  s6 X   s6 2 X 2 [ ,  ] [ ]  X  c11  c55 P , [ ]  [ ;  ]  c55 (c11  X  c13 P ); [ ]  c33 c55 P S  2 P , [ ;  ]  c55 (c11  X ) S  2 P , [ ;  ]  c55 [(c132  c33 (c11  X )) P  X (c11  X )], c33 (c11  X )  c55 (c55  X )  (c13  c55 )2 (c  X )(c55  X ) S , P  11 (1.32) c33 c55 c33 c55 Phương trình (1.30) là phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba hoàn toàn tường minh. Ở dạng không thứ nguyên phương trình (1.30) được viết như sau: 2 3 D0   D1  D2  D3  O( 4 )  0 (1.33) 2 6 ở đây D0   * [ ,  ]* ; D1   * ( rv 2 x[ ,  ]*  ( rv 2 x   * )[ ]* ) D2  (2  * rv 2 x(rv 2 x   * )[ ]*  2  * ((1  r4* )rv 2 x   * )[  ]* 2 1  (a2* s6*  a8*   * (r4*  a4* )  (  * (n22 *  1)  ( s6* )2 )rv2 x )[ ,  ]* 3 3  * * 3 * 2 * * * * * * 2 *  a12   (a2 )  2a8   [3a2 s6  2 ( s6 )  2a8  * D3   2 [ ]   (a  3 n  3r (a  1))]r x   (3n  1) r x  * * * * * * 2 * * 4 2  13 22 4 1 v 22 v  (1.34) * * * * * * * * * 2  2   ((3a1  3a4  a6 )  2a8  3a2 s6 )rv x  *  * * * 2 4 2 [ ,  ]  (  (n22  3)  (s6 ) )rv x )  X c c c c c c  e15 x ; e1  11 ; e2  33 ; e3  13 ; c11*  11 ; c13*  13 ; c33*  33 ; 11*  11 ; e15*  ; c55 c55 c55 c55 c55 c55 c55 33 33 c55 với * e31 * e33 c55 c2 c55 c55 * * * c13*  e31*e33* e 31  ;e 33  , r  ; rv  ; c2  ;c  , s  e15 ; r4  * ; 33 c55 33 c55 c55 c2  2  6 c33  (e33* )2 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) 7
* c13* e33*  c33* e31* * 1 * e33* * c33* r2  ; n22  * ; n24  * ; n44  * ; c33*  (e33* ) 2 c33  (e33* ) 2 c33  (e33* ) 2 c33  (e33* ) 2 c13* (c13*  2e31* e33* )  c33* (e31* )2 *  *  c11*  ;   (11*  (e15* )2 ); a1*  1  r4* ; a2*   * r2*   * s6* ; c33*  (e33* )2 a4*  r4*  r2* s6*   * ; a6*  1  2r4* ; a8*  2  * r2* s6*   * ( s6* ) 2  (  * ) 2 n44* ; a12*   * ( r2* )2  ( * ) 2  2 * r4*  2 * r2* s6* ; a13*  2 *  2r4*  ( r4* )2  2r2* s6* . 1 1 [ ]*  x  e1  P* ,[ ]*  (e1  x  e3 P* );[ ]*  e3 P* S *  2 P* ; r r 1 1 [ ,  ]*  (e1  x) S *  2 P* ;[ ,  ]*  2 [(e32  e2 (e1  x )) P*  x(e1  x)] (1.35) r r e2 (e1  x )  1  x  (e3  1)2 * (e1  x )(1  x) S*  ,P  e2 e2 e1  3.5; e2  2.8; e3  1; e1*  2.5; e3*  1.5; e2*  3.2; e15*  0.2, e31 * *  1, e33  0.5, 11  0.01, r  0.5, rv  2.8 . Từ hình vẽ cho chúng ta thấy đường cong vận tốc chính xác và đường cong vận tốc xấp xỉ bám khá sát nhau. Điều này chỉ ra đường cong vận tốc xấp xỉ tìm được từ phương trình (1.33) là rất tốt và có độ chính xác cao. Vì vậy phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba (1.33) thu được thực sự tốt và là công cụ rất thuận tiện trong ứng dụng thực tiễn.  4. KẾT LUẬN Bài báo nguyên cứu sóng Rayleigh truyền Hình 1. Đường cong vận tốc xấp xỉ (đường nét trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ bởi đứt) được tìm từ phương trình (1.33) và đường một lớp mỏng đàn điện. Bài báo đã thu được 2 cong vận tốc chính xác (đường nét liền) điều kiện biên cho lớp đàn điện. Từ 2 điều kiện biên này, tác giả để tìm được phương trình tán sắc Hình 1 biểu diễn vận tốc xấp xỉ tìm được từ xấp xỉ bậc 3 cho sóng Rayleigh. Đây là các kết phương trình (1.33) và phương trình vận tốc chính quả mới, có ý nghĩa khoa học và hữu ích cho các xác với số liệu: nhà khoa học nghiên cứu các bài toán truyền sóng cho môi trường đàn điện từ. TÀI LIỆU THAM KHẢO Adams, S. D. M., Craster, R. V. and Williams, D. P. (2007), "Rayleigh waves guided by topography", Proc. R. Soc., A 463, pp. 531-550. Bernard Collet and Michel Destrade (2005), “Explicit secular equations for piezoacoustic surface waves: Rayleigh modes”, Journal of Applied Physics 98, 054903. 8 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022)
Rayleigh, L. (1885), "On waves propagating along the plane surface of an elastic solid", Proc. R. Soc. Lond. A17, pp. 4-11. Pham Chi Vinh and Nguyen Thi Khanh Linh (2013), “Rayleigh waves in an incompressible elastic half- space overlaid with a water layer under the effect of gravity”, Meccanica, Vol. 48, pp.2051 – 2060. Pham Chi Vinh, Vu Thi Ngoc Anh, Nguyen Thi Khanh Linh (2016), “Exact secular equations of Rayleigh waves in an orthotropic elastic half-space overlaid by an orthotropic elastic layer”, International Journal of Solids and Structures, Vol. 83, pp. 65–72. P. C. Vinh, N. T. K. Linh, V. T. N. Anh (2014), "Rayleigh waves in an incompressible orthotropic half- space coated by a thin elastic layer", Arch. Mech, 66, 173-184. Pham Chi Vinh, R. W. Ogden (2004), “Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids”, Arch. Mech., 56, 3, pp. 247–265, Warszawa. Abstract: THE APPROXIMATE SECULAR OF THE RAYLEIGH WAVE PROPAGATING IN AN ORTHOTROPIC ELASTIC HALF-SPACE COATED WITH A THIN PIEZOELECTRIC LAYER This paper investigates the propagating of the Raleigh wave in an orthotropic elastic half-space coated with a thin elastic layer. The layer and the half-space are in welded contact with each other with supposing the layer is piezoelectric and the half-space may be compressible. The main aim of the paper is to give explicit secular equations of the Rayleigh wave traveling in the materials. By applying the effective boundary method, approximate secular equations of third-order in terms of the dimensionless were obtained. It is shown that these approximate secular equations have high accuracy and will be useful in practical application. Keywords: Rayleigh wave, compressible orthotropic elastic half-space, thin piezoelectric layer, approximate secular. Ngày nhận bài: 07/3/2022 Ngày chấp nhận đăng: 15/4/2022 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) 9