Sử dụng lưới tựa đều giải gần đúng phương trình song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet trong nửa dải

Chia sẻ: ViPutrajaya2711 ViPutrajaya2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày việc tìm nghiệm gần đúng của bài toán song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet trong nửa dải. Sử dụng lưới tính toán tựa đều để tính chủ yếu các giá trị gần biên hữu hạn đồng thời có thể xử lý điều kiện biên tại vô cùng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sử dụng lưới tựa đều giải gần đúng phương trình song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet trong nửa dải

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 225(06): 459 - 463 e-ISSN: 2615-9562 SỬ DỤNG LƯỚI TỰA ĐỀU GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG NỬA DẢI Trần Đình Hùng*, Nông Quỳnh Vân Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Các bài toán giá trị biên cho phương trình song điều hòa có một số ứng dụng trong vật lý, cơ học và kỹ thuật. Trong bài báo này, chúng tôi tìm nghiệm gần đúng của bài toán song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet trong nửa dải. Sử dụng lưới tính toán tựa đều để tính chủ yếu các giá trị gần biên hữu hạn đồng thời có thể xử lý điều kiện biên tại vô cùng. Dựa trên ý tưởng của Polozhii trong phương pháp biểu diễn tổng, đưa phương trình véctơ ba điểm về dạng phương trình vô hướng ba điểm. Chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho hiệu quả của phương pháp. Từ khóa: Lưới tựa đều; phương trình song điều hòa; điều kiện biên Dirichlet; nửa dải; phương trình véctơ ba điểm. Ngày nhận bài: 21/5/2020; Ngày hoàn thiện: 28/5/2020; Ngày đăng: 31/5/2020 USING QUASI-UNIFORM GRIDS FOR SOLVING THE BIHARMONIC EQUATION WITH DIRICHLET BOUNDARY CONDITIONS IN SEMISTRIP Tran Dinh Hung*, Nong Quynh Van TNU - University of Education ABSTRACT Boundary value problems for biharmonic equations have many applications in physics, mechanics and engineering. In this paper, we find an approximation solution of the biharmonic problem with Dirichlet boundary conditions in a semistrip. Using quasi-uniform grids to find mostly near-finite boundary values and at the same time be able to handle boundary conditions at infinity. Using the idea of Polozhii in the method of summary representations to transform the system of three-point vector equations to systems of three-point scalar equations. Some examples demonstrate the applicability of the proposed method. Keywords: Quasi-uniform grids; biharmonic equation; Dirichlet boundary; semistrip; three-point vector equations. Received: 21/5/2020; Revised: 28/5/2020; Published: 31/5/2020 * Corresponding author. Email: hungtd@tnue.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 459
Trần Đình Hùng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 459 - 463 1. Giới thiệu nguồn sẽ được ưu tiên tính toán và cần độ Các bài toán giá trị biên cho phương trình chính xác cao hơn. Hơn nữa, theo lưới tựa Berger [1] có một số ứng dụng trong vật lý, đều, điều kiện biên tại vô cùng được xử lý cơ học và kỹ thuật. Cụ thể, bài toán Dirichlet một cách dễ dàng. cho phương trình Berger biểu diễn trực tiếp Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng lưới các ứng dụng trong lý thuyết về độ võng của tính toán tựa đều giải gần đúng phương trình các bản mỏng. Bài toán giá trị biên song điều song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet hòa với các điều kiện biên Dirichlet có thể trong nửa dải. được xét như trường hợp đặc biệt của bài toán 2. Lưới tựa đều giá trị biên Dirichlet cho phương trình Berger. Cho x( ) là hàm trơn, đơn điệu chặt của biến Các bài toán về phương trình song điều hòa   [0,1]. Lưới không đều thu hút được sự quan tâm lớn của rất nhiều nhà cơ học và toán học. Trong [2], Meleshko N = {xi = x(i / N ), i = 0,1,..., N }, (1) đã tổng hợp khá nhiều phương pháp mà các với x(0) = 0, x(1) = + được gọi là lưới tựa nhà cơ học đã sử dụng để giải bài toán song đều trên [0, +]. Để xây dựng các lưới tựa điều hòa hai chiều như phương pháp hàm đều, người ta thường xét 3 hàm [4]: Green, phương pháp hàm phức và một số phương pháp gần đúng giải tích như phương x( ) = −c ln(1 −  ), pháp chuỗi Fourier, phương pháp Ritz,  x ( ) = c tan , phương pháp Bubnov-Galerkin với các hàm 2 cơ sở được chọn là các hàm trơn đối với một  số miền đặc biệt như hình chữ nhật, hình x( ) = c . 1− ellip,... Trong bài này các vấn đề về định tính cũng như các đánh giá về độ phức tạp tính Khi đó ta được 3 lưới tựa đều tương ứng: toán của các phương pháp chưa được đề cập Lưới logarithm: đến. Matevossian [3] nghiên cứu về tính giải i được, duy nhất nghiệm của bài toán biên N = {xi = −c ln(1 − ), i = 0,1,..., N } . N Neumann cho phương trình song điều hòa Lưới tangent: trong miền không giới nội với giả thiết i nghiệm có tích phân Dirichlet bị chặn. N = {xi = c tan , i = 0,1,..., N } . 2N Các phương pháp gần đúng giải tích cũng được nhiều tác giả sử dụng để giải phương Lưới hyperbol: trình song điều hòa trong miền bị chặn như i N = {xi = c , i = 0,1,..., N } . phương pháp bình phương cực tiểu, phương N −i pháp nghiệm cơ bản, phương pháp phương Trong đó c  0 là tham số điều khiển. trình tích phân biên. Bài toán giải phương Sử dụng xấp xỉ đạo hàm cấp 2: trình song điều hòa trong nửa dải xuất hiện  2u 1 ui +1 − ui trong lý thuyết đàn hồi và trong nghiên cứu ( )i  ( − dòng chảy chậm của chất lỏng nhớt. x 2 xi +1/2 − xi −1/2 2( xi +3/4 − xi +1/4 ) (2) Một số bài toán biên Dirichlet trong miền ui − ui −1 − ). không giới nội được xử lý khá hiệu quả thông 2( xi −1/4 − xi −3/4 ) qua lưới tính toán tựa đều. Phương pháp này Xấp xỉ giá trị của u tại điểm giữa của lưới: thường được áp dụng đối với các bài toán mà xi +1 − xi +1/2 x −x sự lan truyền vật chất nhỏ dần khi càng xa ui +1/2  ui + i +1/2 i ui +1. xi +1 − xn xi +1 − xi nguồn phát. Khi đó, hầu như các giá trị ở gần 460 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
Trần Đình Hùng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 459 - 463 Các công thức trên chứa uN = u nhưng giá trị xấp xỉ của v( xi , y j ) và u( xi , y j ) với không chứa xN =  . Các xấp xỉ sai phân hữu ( xi , y j )   và −2 hạn trên có bậc chính xác O ( N ). bi = b( xi ), f ij = f ( xi , y j ), ( xi , y j )  . 3. Xây dựng lược đồ sai phân Xét bài toán giá trị biên Dirichlet cho phương Sử dụng công thức xấp xỉ đạo hàm bậc 2 (2) trình Berger: trên lưới tựa đều xi và công thức xấp xỉ đạo hàm thông thường trên lưới đều yi , ta có lược 2u − b( x )u = f ( x, y ), x  0, 0  y  1, đồ sai phân cho bài toán (4): u( x,0) = 01 ( x ), u( x,1) = 02 ( x ), 1 v i +1, j − v i , j u(0, y ) =  0 ( y ), u( x, y ) → 0, x → +, (3) ( − xi +1/2 − xi −1/2 2( xi +3/4 − xi +1/4 ) u( x,0) = 11 ( x ), u( x,1) = 12 ( x ), v i , j − v i −1, j v i , j −1 − 2v i , j + v i , j +1 − )+ − u(0, y ) =  1 ( y ). 2( xi −1/4 − xi −3/4 ) h22 với các giả thiết thông thường là các hàm −bi v i , j = f ij , ( xi , y j )   (6) trong (3) liên tục và v i ,0 = 11 ( xi ), v i ,M = 12 ( xi ), 0  b( x )  B, f ( x, y ) → 0, v 0, j =  1 ( y j ), v N , j = 0.  0i ( x ) → 0, i = 1,2, x → +. và lược đồ sai phân cho bài toán (5): Nhận xét rằng khi b( x ) = 0 , phương trình (3) là phương trình bản mỏng kinh điển và nó có 1 u i +1, j − u i , j ( − thể phân tích thành 2 bài toán dạng phương xi +1/2 − xi −1/2 2( xi +3/4 − xi +1/4 ) trình Poisson liên tiếp. u i , j − u i −1, j u i , j −1 − 2u i , j + u i , j +1 Đặt u = v, x  0, 0  y  1. − )+ = vi, j , 2( xi −1/4 − xi −3/4 ) h22 Khi đó bài toán (3) được chuyển về 2 bài toán cấp 2 như sau: ( xi , y j )   (7) v − bv = f , x  0, 0  y  1, v( x,0) = 11 ( x ), v( x,1) = 12 ( x ), (4) u i ,0 =  01 ( xi ), u i ,M =  02 ( xi ), v(0, y ) =  1 ( y ), v( x, y ) → 0, x → +. u 0, j =  0 ( y j ), u N , j = 0. Và u = v, x  0, 0  y  1, Lược đồ sai phân (6) và (7) có cấp xấp xỉ là O ( N −2 + h22 ). u( x,0) = 01 ( x ), u( x,1) = 02 ( x ), (5) 4. Phương pháp giải ux (0, y ) =  0 ( y ), u( x, y ) → 0, x → +. Viết lại lược đồ sai phân (6) dưới dạng hệ Xét lưới tựa đều N (1) theo hướng x và phương trình véctơ ba điểm: lưới đều theo biến y : 1 2 i i −1 + AV TV i + BiV i +1 − ( Ai + Bi + 2 + bi )V i = Fi1 , y j = jh2 , j = 0,1,..., M . h22 h2 Khi đó ta có lưới  = {xi , y j } với xi , y j được i = 1,2,..., N (8) xác định như trên. Gọi v i , j và u i , j lần lượt là trong đó: http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 461
Trần Đình Hùng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 459 - 463 1 Nhân (8) với S và đặt Ai = , 2( xi +1/2 − xi −1/2 )( xi −1/4 − xi −3/4 ) Wi1 = ( wi1, j ) = SV i , i = 0,1,2,..., N 1 Bi = , (9) Gi1 = ( gi1, j ) = SFi1 , i = 1,2,..., N , j = 1,2,..., M − 1. 2( xi +1/2 − xi −1/2 )( xi +3/4 − xi +1/4 ) Khi đó (8) được đưa về dạng hệ phương trình i = 1,2,..., N . véctơ ba điểm của Wi1 , i = 0,1,2,..., như sau:  v i ,1    1   1 ( y1 )  i i −1 + AW 1 Wi1 + BW i i +1 − 1   (y )   v i ,2  h22 V 0 =  1 2 , V i =  ...  ,  ...    2    v i ,M −2  −( Ai + Bi + + bi )Wi1 = Gi1 , i = 1,2,..., N . h22  1 ( y M −1 )     v i , M −1  Khi cố định chỉ số j ta có hệ phương trình vô  1  hướng ba điểm:  f i ,1 − h 2 11 ( xi )   2  Ai wi1−1, j − Ci1, j wi1, j + Bi wi1+1, j = − Fi1, j , i = 1,2,..., N  f i ,2    , i = 1,2,..., N . w0,1 j = 0 , w1N , j = 0, (10) Fi =  1 ...   f i ,M −2  trong đó Ai và Bi được xác định trong (9),   M −1 s f 1  Fi1, j = − gi1, j , 0 =  1 ( yl ) và  i ,M −1 − h 2 12 ( xi )  j ,l  2  l =1 V N = 0 và T là ma trận cấp M − 1 : 4 j Ci1, j = Ai + Bi + bi + 2 sin 2  0. h2 2M 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 1 0 ... 0 0 0  Để giải hệ phương trình vô hướng ba điểm  0 1 0 1 ... 0 0 0 (10), ta có thể áp dụng phương pháp truy đuổi   trong [6]. T =. . . . ... . . . . . . . . ... . . . Sau khi tìm được Wi1 , i = 0,1,2,..., N , V i   0 0 0 0 ... 1 0 1 được xác định bởi V i = SWi1 , i = 0,1,2,..., N . 0 0   0 0 0 ... 0 1 Nghiệm của lược đồ sai phân (7) được tìm Tiếp theo, chúng tôi áp dụng phương pháp đối tương tự như trên. trong [5] dựa trên ý tưởng của Polozhii trong Chúng tôi thực hiện một số ví dụ số trên 3 lưới phương pháp biểu diễn tổng để biến đổi hệ vô tựa đều logarithm, tangent và hyperbol, số nút hạn phương trình véctơ ba điểm thành hệ vô lưới là N, tham số điều khiển c . Trong bảng kết hạn phương trình vô hướng ba điểm. quả sai số max | ui . j − u( xi , y j ) | biểu diễn sai Ký hiệu i số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm đúng. 2 ij S = ( sij ), sij = sin , Ví dụ 1. Chọn M M j x(1 + y )  = [1 , 2 ,..., M −1 ],  j = 2cos , b( x ) = 2, u = . M x3 + 1 i, j = 1,2,..., M − 1. Bước lưới h2 = 0,1. Kết quả tính toán trên Dễ thấy S T = S , S 2 = E và T = S −1S. lưới tựa đều được cho trong bảng 1. 462 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
Trần Đình Hùng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 459 - 463 Bảng 1. Sai số của nghiệm gần đúng trong ví dụ 1 5. Kết luận N c Sai số Nội dung chính của bài báo là áp dụng lưới logarithm tangent hyperbol tựa đều vào giải bài toán biên Dirichlet cho −3 40 1 0,0216 2.10 2.10−3 phương trình song điều hòa trong nửa dải và 60 1 0,0159 4.10−4 3.10−4 áp dụng ý tưởng của Polozhii trong phương Ví dụ 2. Chọn pháp biểu diễn tổng để đưa phương trình véctơ ba điểm về dạng phương trình vô b( x ) = 1, u = e −2 x sin( x + 2)cos y hướng ba điểm. Một số thực nghiệm số được Tham số điều khiển c = 1. Kết quả tính toán thực hiện minh họa cho tính hữu hiệu của trên lưới tựa đều được cho trong bảng 2: phương pháp. Bảng 2. Sai số của nghiệm gần đúng trong ví dụ 2 N h2 Sai số TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES logarithm tangent hyperbol [1]. H. M. Berger, “A new approach to the 40 0.1 0,0445 0,0148 0,0163 analysis of large deflection of plates,” Journal 60 0.1 0,0329 0,0103 0,0092 of Applied Mechanics, vol. 22, pp. 465-472, 40 0.01 6.10-3 3.10-5 4.10-5 1955. 60 0.01 2.10-3 10-5 2.10-5 [2]. V. V. Meleshko, “Selected topics in the Ví dụ 3. Trong ví dụ này, ta xét trường hợp history of the two-dimensional biharmonic chưa biết trước nghiệm đúng của bài toán. problem,” Applied Mechanics Reviews, vol.  01 ( x ) = 0,  02 ( x ) = 0,  0 ( y ) = 1, Chọn 56, no. 1, pp. 33-85, 2003. 11 ( x ) = 0, 12 ( x ) = 0,  1 ( y ) = 0. [3]. O. A. Matevossian, “On solutions of the 5sin( x ) Neumann problem for the biharmonic Hàm vế phải: f ( x, y ) = . x + y + cos( y ) equation in unbounded domains,” Math Notes, vol. 98, pp. 990-994, 2015. Chọn bước lưới h2 = 0,1. [4]. R. Fazio, and A. Jannelli, “Finite difference schemes on quasi-uniform grids for BVPs on infinite intervals,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 269, pp. 14- 23, 2014. [5]. Q. A. Dang, and D. H. Tran, “Method of infinite systems of equations for solving an elliptic problem in a semistrip,” Applied Numerical Mathematics, vol. 87, pp. 114-124, 2015. [6]. A. Samarskii, The Theory of Difference Hình 1. Đồ thị nghiệm xấp xỉ sử dụng lưới tựa đều Schemes. New York:. Marcel Dekker, 2001. tangent với N = 40, c = 1. http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 463