Luận văn: PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trên thực tế, nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua mô hình hóa toán học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng. Trong đó rất ít bài toán là các trường hợp đơn giản (miền hình học là miền đơn giản, hệ số của phương trình là hệ số hằng, ...) có thể tìm được nghiệm tường minh bằng phương pháp giải tích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc Më ®Çu 2 Ch¬ng 1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n 6 1.1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian hµm ......... 6 1.2. Lý thuyÕt vÒ ph¬ng tr×nh elliptic . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Ph¬ng ph¸p lÆp vµ c¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n . . . . . . . . . . . 21 Ch¬ng 2. Ph¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph¬ng tr×nh elliptic cÊp 2 28 2.1. Giíi thiÖu vÒ ph¬ng ph¸p chia miÒn . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Ph¬ng ph¸p chia miÒn Saito-Fujita . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Ph¬ng ph¸p chia miÒn Dang Quang A-Vu Vinh Quang . . . 39 2.4. Ph¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp m¹nh . . . 47 Ch¬ng 3. Ph¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa 55 3.1. Giíi thiÖu vÒ ph¬ng tr×nh song ®iÒu hßa . . . . . . . . . . . 55 3.2. Ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa b»ng ph¬ng ph¸p ph©n r· vÒ d·y hai bµi to¸n elliptic . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3. Ph¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4. Ph¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 KÕt luËn 81 Tµi liÖu tham kh¶o 83 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Më ®Çu Trªn thùc tÕ, nhiÒu bµi to¸n trong khoa häc kü thuËt th«ng qua m« h×nh hãa to¸n häc ®îc ®a ®Õn viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n biªn ®èi víi ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. Trong ®ã rÊt Ýt bµi to¸n lµ c¸c trêng hîp ®¬n gi¶n (miÒn h×nh häc lµ miÒn ®¬n gi¶n, hÖ sè cña ph¬ng tr×nh lµ hÖ sè h»ng, ...) cã thÓ t×m ®îc nghiÖm têng minh b»ng ph¬ng ph¸p gi¶i tÝch. Cßn ®¹i ®a sè c¸c trêng hîp kh¸c th× nghiÖm têng minh kh«ng cã hoÆc rÊt phøc t¹p. H¬n n÷a, mét sè bµi to¸n trong thùc tÕ chØ yªu cÇu t×m nghiÖm cña bµi to¸n t¹i mét sè ®iÓm rêi r¹c nµo ®ã. Khi ®ã, chóng ta buéc ph¶i sö dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i gÇn ®óng, chñ yÕu lµ ph¬ng ph¸p sè nh ph¬ng ph¸p sai ph©n, ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n. C¸c ph¬ng ph¸p nµy rêi r¹c hãa bµi to¸n vµ hÇu hÕt ®Òu ®a vÒ viÖc gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh cì lín, dÉn ®Õn nhu cÇu ph¸t triÓn c¸c ph¬ng ph¸p h÷u hiÖu ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh líi. Tuy nhiªn, khi miÒn h×nh häc lµ miÒn phøc t¹p, d÷ liÖu hoÆc c¸c hÖ sè cña ph¬ng tr×nh lµ gi¸n ®o¹n th× viÖc ¸p dông mét ph¬ng ph¸p nµo ®ã cho c¶ miÒn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n. V× vËy trong nhiÒu n¨m qua, ngêi ta ®· vµ ®ang ph¸t triÓn c¸c ph¬ng ph¸p víi môc ®Ých chÝnh lµ ®a c¸c bµi to¸n biªn trong miÒn h×nh häc phøc t¹p vÒ mét d·y c¸c bµi to¸n biªn trong miÒn h×nh häc ®¬n gi¶n ®Ó cã thÓ sö dông c¸c thuËt to¸n h÷u hiÖu ®· ®îc ph¸t triÓn cho c¸c miÒn ®¬n gi¶n nµy. C¸c ph¬ng ph¸p trªn cã tªn gäi lµ c¸c ph¬ng ph¸p chia miÒn (Domain Decomposition Methods). T tëng chÝnh cña c¸c ph¬ng ph¸p chia miÒn lµ t×m c¸ch x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ biªn trªn c¸c ®êng biªn ph©n chia th«ng qua mét ph¬ng ph¸p lÆp ®Ó chuyÓn viÖc gi¶i bµi to¸n trong miÒn phøc t¹p vÒ viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n trong c¸c miÒn ®¬n gi¶n tõ ®ã thu ®îc nghiÖm cña bµi to¸n gèc. Trong nhiÒu n¨m qua, lý thuyÕt vÒ ph¬ng ph¸p chia miÒn ®· vµ vÉn ®ang ®îc liªn tôc ph¸t triÓn. C¸c bµi to¸n thêng ®îc xÐt ®Õn lµ c¸c bµi to¸n 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
biªn elliptic tuyÕn tÝnh d¹ng Lu = f, x ∈ Ω, trong ®ã L lµ to¸n tö elliptic, Ω lµ miÒn d chiÒu (d = 2, 3) víi biªn Lipschitz ∂ Ω, f lµ hµm thuéc kh«ng gian L2 (Ω). Gi¶ sö miÒn Ω ®îc chia thµnh hai miÒn con kh«ng giao nhau Ω1 , Ω2 . Ta kÝ hiÖu Γ = Ω1 ∩ Ω2 , gi¶ sö Γ lµ biªn Lipschitz (d − 1) chiÒu. XuÊt ph¸t tõ c«ng thøc ®a miÒn vµ ph¬ng tr×nh Steklov-Poincare, c¸c ph¬ng ph¸p chia miÒn ®îc ph¸t triÓn tõ c¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n sau: 1. S¬ ®å Dirichlet-Neumann: XuÊt ph¸t tõ λ lµ gi¸ trÞ hµm cha biÕt trªn biªn ph©n chia, tiÕn hµnh gi¶i lÇn lît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Neumann trong miÒn Ω2 . Tõ ®ã, ngêi ta x©y dùng s¬ ®å lÆp ®Ó hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia. Ph¬ng ph¸p nµy ®· ®îc xÐt ®Õn bëi c¸c t¸c gi¶ Bjorstad vµ Windlund (1986), Bramble, ... (1986), Funaro, ... (1988), Marini vµ Quarteroni (1988, 1989). 2. S¬ ®å Neumann-Neumann: XuÊt ph¸t tõ λ lµ gi¸ trÞ hµm cha biÕt trªn biªn ph©n chia, tiÕn hµnh gi¶i lÇn lît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω2 . ViÖc x©y dùng s¬ ®å lÆp ®Ó hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia ph¶i dùa vµo kÕt qu¶ cña hai bµi to¸n d¹ng Neumann trong hai miÒn. Ph¬ng ph¸p nµy ®îc nghiªn cøu bëi c¸c t¸c gi¶ Agoshkov, Lebedev (1985), Bourgat, ... (1989). (0) 3. S¬ ®å Robin: XuÊt ph¸t tõ u2 trong miÒn Ω2 , tiÕn hµnh gi¶i lÇn lît hai bµi to¸n Robin trong hai miÒn Ω1 , Ω2 . ViÖc hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia ®îc thùc hiÖn th«ng qua s¬ ®å lÆp khi gi¶i lÇn lît hai bµi to¸n ®ã. Ph¬ng ph¸p nµy ®îc nghiªn cøu bëi t¸c gi¶ Agoshkov (1988), Lion (1990). Ta thÊy r»ng, c¬ së cña c¸c ph¬ng ph¸p trªn ®Òu xuÊt ph¸t tõ viÖc x¸c ®Þnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia, tõ ®ã x©y dùng c¸c s¬ ®å lÆp d¹ng hai líp ®èi víi c¸c ph¬ng tr×nh to¸n tö. ViÖc nghiªn cøu tÝnh héi tô cña c¸c s¬ ®å lÆp sö dông kÕt qu¶ cña c¸c kh«ng gian Sobolev vµ to¸n tö Steklov-Poincare. Ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp cao mµ tiªu biÓu lµ ph¬ng tr×nh song ®iÒu hßa lµ líp ph¬ng tr×nh vÉn cßn ®ang thu hót sù quan t©m rÊt lín cña 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
rÊt nhiÒu nhµ c¬ häc, kü s vµ c¸c nhµ to¸n häc. Trong vßng ba thËp niªn qua nhiÒu ph¬ng ph¸p míi, h÷u hiÖu gi¶i ph¬ng tr×nh trªn ®· ®îc nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn. Cïng víi sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña m¸y tÝnh ®iÖn tö , c¸c ph¬ng ph¸p sè ®· trë thµnh c«ng cô ®¾c lùc ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n kü thuËt tuy nhiªn vÉn cã kh«ng Ýt t¸c gi¶ ®· sö dông ph¬ng ph¸p gÇn ®óng gi¶i tÝch nh ph¬ng ph¸p b×nh ph¬ng cùc tiÓu, ph¬ng ph¸p nghiÖm c¬ b¶n ®Ó gi¶i líp ph¬ng tr×nh song ®iÒu hßa. ViÖc nghiªn cøu thuËt to¸n chia miÒn gi¶i ph¬ng tr×nh song ®iÒu hßa lµ mét lÜnh vùc cÇn nghiªn cøu. Néi dung chÝnh cña luËn v¨n tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ lý thuyÕt vµ thùc nghiÖm tÝnh to¸n ®èi víi ph¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn cho ph¬ng tr×nh elliptic cÊp hai vµ bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet hoÆc ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh víi t tëng hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm hoÆc ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia. Néi dung luËn v¨n gåm cã ba ch¬ng: Ch¬ng 1: Tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian Sobolev, ph¬ng tr×nh elliptic, lý thuyÕt vÒ ph¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph¬ng tr×nh to¸n ®©y lµ nh÷ng kiÕn thøc quan träng lµm nÒn t¶ng cho c¸c kÕt qu¶ sÏ tr×nh tö. bµy trong c¸c ch¬ng tiÕp theo cña luËn v¨n. Ch¬ng 2: Tr×nh bµy ba ph¬ng ph¸p chia miÒn: Ph¬ng ph¸p Saito- Fujita, ph¬ng ph¸p Dang Quang A-Vu Vinh Quang vµ ph¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp m¹nh trªn c¬ së cña ph¬ng ph¸p chia miÒn tæng qu¸t. Trong ®ã ph¬ng ph¸p Saito-Fujita xuÊt ph¸t tõ t tëng hiÖu chØnh hµm trªn biªn ph©n chia th«ng qua ph¬ng ph¸p lÆp trªn c¬ së s¬ ®å lÆp Dirichlet-Neumann, cßn ph¬ng ph¸p Dang Quang A-Vu Vinh Quang xuÊt ph¸t tõ viÖc hiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia b»ng c¸ch tiÕn hµnh gi¶i lÇn lît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n Neumann trong miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω2 . Giíi thiÖu tæng quan vÒ ph¬ng tr×nh song ®iÒu hßa vµ tr×nh Ch¬ng 3: bµy c¸c kÕt qu¶ cña ph¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hßa, trªn c¬ së ph©n r· bµi to¸n song ®iÒu hßa vÒ d·y hai bµi to¸n elliptic cïng 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
c¸c kÕt qu¶ vÒ ph¬ng ph¸p chia miÒn cho bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, luËn v¨n ®· tr×nh bµy ph¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet, ®a ra mét sè kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n ®Ó kiÓm tra sù héi tô cña hai ph¬ng ph¸p SF vµ ph¬ng ph¸p AQH, c¶i tiÕn c¸c s¬ ®å chia miÒn vµ so s¸nh tèc ®é héi tô cña c¸c ph¬ng ph¸p, ®ång thêi còng tr×nh bµy ph¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh. C¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n trong luËn v¨n ®· sö dông th viÖn ch¬ng tr×nh TK2004 trªn c¬ së thuËt to¸n thu gän khèi lîng tÝnh to¸n cña Samarskij A. - Nikolaev E. ®îc lËp tr×nh trong m«i trêng Matlab trªn m¸y tÝnh PC. MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng song luËn v¨n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. Em rÊt mong nhËn ®îc sù chØ b¶o ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c thÇy c« gi¸o vµ b¹n bÌ ®ång nghiÖp cho b¶n luËn v¨n hoµn chØnh h¬n. Th¸i Nguyªn, ngµy 18 th¸ng 09 n¨m 2009. Häc viªn §ç DiÖp Anh 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n Trong ch¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy nh÷ng kÕt qu¶ lý thuyÕt quan träng vÒ c¸c kh«ng gian Sobolev, ph¬ng tr×nh elliptic víi kh¸i niÖm nghiÖm yÕu vµ ®Þnh lý tån t¹i duy nhÊt nghiÖm, c¸c bÊt ®¼ng thøc Poincare, lý thuyÕt vÒ ph¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph¬ng tr×nh to¸n tö... Nh÷ng kiÕn thøc c¬ së vµ kÕt qu¶ ®îc tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu [ 4, 5, 6, 7, 11, 17]. 1.1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian hµm ¯ C k (Ω) 1.1.1. Kh«ng gian ¯ Ω lµ mét miÒn bÞ chÆn trong kh«ng gian Euclid n chiÒu Rn vµ Ω Gi¶ sö ¯ lµ bao ®ãng cña Ω. Ta ký hiÖu C k (Ω)(k = 0, 1, 2, ...) lµ tËp c¸c hµm cã ®¹o ¯ ¯ k kÓ c¶ k trong Ω, liªn tôc trong Ω. Ta ®a vµo C k (Ω) chuÈn hµm ®Õn cÊp max |Dα u(x)|, u = ¯ (1.1) C k (Ω) ¯ x∈Ω |α|=k trong ®ã α = (α1 , . . . , αn ) ®îc gäi lµ ®a chØ sè lµ vect¬ víi c¸c täa ®é nguyªn kh«ng ©m, |α| = α1 + · · · + αn , ∂ α1 +···+αn u α D u= ∂x1 α1 ...∂xn αn ¯ Sù héi tô theo chuÈn nµy lµ sù héi tô ®Òu trong Ω cña c¸c hµm vµ tÊt c¶ ¯ ®¹o hµm cña chóng ®Õn cÊp k kÓ c¶ k . Râ rµng tËp C k (Ω) víi chuÈn (1.1) lµ mét kh«ng gian Banach. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
LP (Ω) 1.1.2. Kh«ng gian Ω lµ mét miÒn trong Rn vµ p lµ mét sè thùc d¬ng. Ta ký hiÖu Gi¶ sö LP (Ω) lµ líp c¸c hµm ®o ®îc f x¸c ®Þnh trªn Ω sao cho |f (x)|p dx < ∞ (1.2) Ω Trong LP (Ω) ta ®ång nhÊt c¸c hµm b»ng nhau hÇu kh¾p trªn Ω. Nh vËy c¸c phÇn tö cña LP (Ω) lµ c¸c líp t¬ng ®¬ng c¸c hµm ®o ®îc tháa m·n (1.2) vµ hai hµm t¬ng ®¬ng nÕu chóng b»ng nhau hÇu kh¾p trªn Ω. V× (|f (x)| + |g (x)|)p |f (x) + g (x)|p 2p (|f (x)|p + |g (x)|p ) nªn râ rµng LP (Ω) lµ mét kh«ng gian vÐc t¬. Ta ®a vµo LP (Ω) phiÕm hµm ||.||p ®îc x¸c ®Þnh bëi 1/p    p (1.3) ||u||p = |u(x)| dx   Ω 1
W 1,p (Ω) 1.1.3. Kh«ng gian Ω lµ miÒn trong Rn . Hµm u(x) ®îc gäi lµ kh¶ tÝch ®Þa Cho §Þnh nghÜa 1.1 ph¬ng trong Ω nÕu u(x) lµ mét hµm cho trong Ω vµ víi mçi x0 ∈ Ω ®Òu tån t¹i mét l©n cËn ω cña x0 ®Ó u(x) kh¶ tÝch trong ω . Ω lµ miÒn trong Rn . Gi¶ sö u(x), v (x) lµ hai hµm kh¶ Cho §Þnh nghÜa 1.2 tÝch ®Þa ph¬ng trong Ω sao cho ta cã hÖ thøc ∂kϕ dx = (−1)k u vϕdx k1 ...∂x kn ∂x1 n Ω Ω k ®èi víi mäi ϕ(x) ∈ C0 (Ω), k = k1 + ... + kn , ki ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n). Khi ®ã, v (x) ®îc gäi lµ ®¹o hµm suy réng cÊp k cña u(x). KÝ hiÖu ∂ku v (x) = . ∂x1 k1 ...∂xn kn p lµ mét sè thùc, 1 ≤ p < ∞, Ω lµ miÒn trong Rn . Gi¶ sö §Þnh nghÜa 1.3 W 1,p (Ω) ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: Kh«ng gian Sobolev ∂u W 1,p (Ω) = u | u ∈ Lp (Ω), ∈ Lp (Ω), i = 1, 2, ..., n , ∂xi trong ®ã c¸c ®¹o hµm trªn lµ c¸c ®¹o hµm suy réng. p = 2, ta kÝ hiÖu W 1,2 (Ω) = H 1 (Ω), nghÜa lµ Víi ∂u H 1 (Ω) = u | u ∈ L2 (Ω), ∈ L2 (Ω), i = 1, 2, ..., n . ∂xi Bæ ®Ò 1.1 W 1,p (Ω) lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn i) Kh«ng gian n ∂u u =u + . W 1,p (Ω) Lp (Ω) ∂xi Lp (Ω) i=1 H 1 (Ω) lµ kh«ng gian Hilbert víi tÝch v« híng ii) Kh«ng gian n ∂ u ∂v ∀u, v ∈ H 1 (Ω). (u, v )H 1 (Ω) = (u, v )L2 (Ω) + , , ∂xi ∂xi L2 (Ω) i=1 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.1.4. Kh¸i niÖm biªn liªn tôc Lipschitz. §Þnh lý nhóng MiÒn Ω ®îc gäi lµ cã biªn liªn tôc Lipschitz nÕu nã giíi §Þnh nghÜa 1.4 néi vµ tån t¹i c¸c h»ng sè d¬ng α, β vµ mét sè h÷u h¹n m c¸c hÖ täa ®é (r) (r) (r) (r) (r) (r) ®Þa ph¬ng x1 , x2 , ..., xn vµ m hµm ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ), r = 1, 2, ..., m (n − 1) chiÒu K (r) liªn tôc trong c¸c khèi (r) |xi | < α, i = 1, 2, ..., n − 1 sao cho i) Mçi ®iÓm x cña biªn ∂ Ω cã thÓ biÓu diÔn trong Ýt nhÊt mét hÖ täa ®é d¹ng (r) (r) (r) (r) (r) (r) x = (x1 , x2 , ..., xn−1 , ar (x1 , x2 , ..., xn−1 )). (r) (r) (r) (r) ii) C¸c ®iÓm x = (x1 , x2 , ..., xn−1 , xn ) tháa m·n (r) |xi | < α, i = 1, 2, ..., n − 1 vµ (r) (r) (r) (r) (r) (r) ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ) < x(r) < ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ) + β n hoÆc (r) (r) (r) (r) (r) (r) ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ) − β < x(r) < ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ) n n»m trong hoÆc n»m ngoµi Ω. (r) (r) (r) iii) Mçi hµm ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ), r = 1, 2, ..., m tháa m·n ®iÒu kiÖn Lips- (r) (r) (r) (r) (r) (r) chitz trªn khèi K (r) , tøc lµ víi mäi (x1 , x2 , ..., xn−1 ), (y1 , y2 , ..., yn−1 ) ∈ K (r) , tån t¹i h»ng sè d¬ng L sao cho (r) (r) (r) (r) (r) (r) |ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ) − ar (y1 , y2 , ..., yn−1 )| ≤ (r) (r) (r) (r) ≤ L[(x1 − y1 )2 + ... + (xn−1 − yn−1 )2 ]1/2 . ∂ Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã: Gi¶ sö biªn §Þnh lÝ 1.4 1 ≤ p < n th× W 1,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) lµ: i) NÕu 1 11 q ∈ [1, p∗ ), trong ®ã =−. - Nhóng compact ®èi víi p∗ pn 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
q = p∗ . - Nhóng liªn tôc víi p = n th× W 1,n (Ω) ⊂ Lq (Ω) lµ nhóng compact nÕu q ∈ [1, +∞). ii) NÕu p > n th× W 1,p (Ω) ⊂ C 0 (Ω) lµ nhóng compact. iii) NÕu 1.1.5. Kh¸i niÖm vÕt cña hµm W0 ,p (Ω) ®îc ®Þnh nghÜa nh c¸c bao 1 Kh«ng gian Sobolev §Þnh nghÜa 1.5 ®ãng cña kh«ng gian c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n cã gi¸ compact trong Ω t¬ng W 1,p (Ω). øng víi chuÈn cña 1 Kh«ng gian H0 (Ω) ®îc ®Þnh nghÜa bëi H0 (Ω) = W0 ,2 (Ω). 1 1 ∂ Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã: Gi¶ sö biªn §Þnh lÝ 1.5 1 ≤ p < n th× W0 ,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) lµ: 1 i) NÕu 1 11 q ∈ [1, p∗ ), trong ®ã =−. - Nhóng compact ®èi víi p∗ pn q = p∗ . - Nhóng liªn tôc víi p = n th× W0 ,n (Ω) ⊂ Lq (Ω) lµ nhóng compact nÕu q ∈ [1, +∞). 1 ii) NÕu p > n th× W0 ,p (Ω) ⊂ C 0 (Ω) lµ nhóng compact. 1 iii) NÕu ®Þnh lý vÕt) ( §Þnh lÝ 1.6 Rn Ω ∂Ω Gi¶ sö lµ tËp më trong víi biªn lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc γ : H 1 (Ω) −→ L2 (∂ Ω) u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) γ (u) = u|∂ Ω . γ (u) sao cho víi bÊt kú ta cã Hµm ®îc u trªn ∂ Ω. gäi lµ vÕt cña ∂ Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Kh«ng gian H 1/2 (∂ Ω) Gi¶ sö biªn §Þnh nghÜa 1.6 ®îc gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ vÕt γ , tøc lµ H 1/2 (∂ Ω) = γ (H 1 (Ω)). 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
§Þnh lÝ 1.7 H 1/2 (∂ Ω) lµ kh«ng gian Hilbert víi chuÈn i) |u(x) − u(y )|2 2 2 |u(x)| dSx + u = dSx dSy . H 1/2 (∂ Ω) |x − y |n+1 ∂Ω ∂Ω ∂Ω Cγ (Ω) sao cho: ii) Tån t¹i mét h»ng sè ∀u ∈ H 1 (Ω). ≤ Cγ (Ω) u γ (u) H 1 (Ω) , H 1/2 (∂ Ω) Cγ (Ω) ®îc gäi lµ h»ng sè vÕt. Khi ®ã, H 1/2 (∂ Ω) ∂Ω Gi¶ sö biªn lµ liªn tôc Lipschitz. Kh«ng gian cã Bæ ®Ò 1.2 c¸c tÝnh chÊt sau: {u|∂ Ω , u ∈ C ∞ (Rn )} trï mËt trong H 1/2 (∂ Ω). i) TËp H 1/2 (∂ Ω) ⊂ L2 (∂ Ω) lµ compact. ii) Nhóng iii) Tån t¹i ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc g ∈ H 1/2 (∂ Ω) −→ ug ∈ H 1 (Ω) γ (ug ) = g C1 (Ω) chØ phô thuéc miÒn Ω sao cho víi vµ tån t¹i h»ng sè ∀g ∈ H 1/2 (∂ Ω). ≤ C1 (Ω) g ug H 1/2 (∂ Ω) , H 1 (Ω) ∂ Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã Gi¶ sö biªn Bæ ®Ò 1.3 H0 (Ω) = {u | u ∈ H 1 (Ω), γ (u) = 0}. 1 (BÊt ®¼ng thøc Poincare) §Þnh lÝ 1.8 CΩ Tån t¹i h»ng sè sao cho: 1 ≤ CΩ ∀u ∈ H0 (Ω). u u L2 (Ω) , L2 (Ω) Chøng minh I lµ mét kho¶ng trong Rn chøa Ω, u ∈ H0 (Ω). Ta kÝ hiÖu u lµ më 1 Gi¶ sö 1 réng bëi 0 cña u vµo I . Ta cã u ∈ H0 (I ) vµ (1.6) u =u L2 (I ) ; u = u L2 (I ) . L2 (Ω) L2 (Ω) 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
®Ó chøng minh ®Þnh lý ®óng víi Ω lµ kho¶ng bÊt kú trong Rn, kh«ng mÊt Ω = (0, a)n . tÝnh tæng qu¸t ta chøng minh ®Þnh lý ®óng víi ∞ Víi ∀u ∈ C0 (Ω) ta cã xn ∂u u(x) = u(x , xn ) = (x , t)dt. ∂xn 0 Ta l¹i cã 2 xn ∂u 2 |u(x)| = (x , t).1dt ≤ ∂xn 0 2 xn ∂u ≤xn (x , t) dt ≤ ∂xn 0 2 a ∂u ≤a (x , t) dt. ∂xn 0 LÊy tÝch ph©n hai vÕ bÊt ®¼ng thøc trªn Ω ta ®îc: 2 ∂u 2 2 dx ≤ a2 | u|2 dx, u dx ≤ a ∂xn Ω Ω Ω tøc lµ ∞ ≤a ∀u ∈ C0 (Ω). u u L2 (Ω) , L2 (Ω) 1 Do ®ã bÊt ®¼ng thøc trªn ®óng víi ∀u ∈ H0 (Ω). NÕu Ω lµ mét tËp më giíi néi bÊt kú, lu«n tån t¹i kho¶ng I víi c¸c c¹nh phô thuéc vµo ®êng kÝnh cña Ω tháa m·n Ω ⊂ I . Theo trªn, ®Þnh lý ®óng víi kho¶ng I , kÕt hîp víi (1.6) ta suy ra ®Þnh lý ®óng víi Ω. BÊt ®¼ng thøc Poincare cã ý nghÜa r»ng: L2 (Ω) lµ u= u NhËn xÐt 1.1 mét chuÈn trªn H0 (Ω), t¬ng ®¬ng víi chuÈn cña H 1 (Ω) ®îc x¸c ®Þnh bëi 1 2 2 2 u =u + u L2 (Ω) . H 1 (Ω) L2 (Ω) 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(BÊt ®¼ng thøc Poincare më réng) §Þnh lÝ 1.9 ∂ Ω = Γ1 ∪ Γ2 , ∂Ω Γ1 , Γ2 Gi¶ sö biªn liªn tôc Lipschitz, trong ®ã lµ c¸c Γ1 CΩ tËp ®ãng, rêi nhau, cã ®é ®o d¬ng. Khi ®ã, tån t¹i h»ng sè sao cho ≤ CΩ u u L2 (Ω) L2 (Ω) ∀u ∈ H 1 (Ω), γ (u) = 0 trªn Γ1 . H −1 (Ω) vµ H −1/2 (∂ Ω) 1.1.6. Kh«ng gian Sobolev víi chØ sè ©m H −1 (Ω) lµ kh«ng gian Banach ®îc ®Þnh nghÜa bëi KÝ hiÖu §Þnh nghÜa 1.7 H −1 (Ω) = (H0 (Ω)) , 1 H0 (Ω). ChuÈn cña phÇn tö F ∈ H −1 (Ω) 1 tøc lµ kh«ng gian ®èi ngÉu cña ®îc x¸c ®Þnh nh sau F, u 1 H −1 (Ω),H0 (Ω) F = sup , H −1 (Ω) u 1 1 H0 (Ω)\{0} H0 (Ω) trong ®ã F, u = F udx. 1 H −1 (Ω),H0 (Ω) Ω F ∈ H −1 (Ω). n+1 f0 , f1 , ..., fn Cho Khi ®ã tån t¹i hµm trong Bæ ®Ò 1.4 L2 (Ω) sao cho n ∂fi (1.7) F = f0 + . ∂xi i=1 H¬n n÷a n 2 2 F H −1 (Ω) = inf fi L2 (Ω) , i=1 [L2 (Ω)]n+1 (f0 , f1 , ..., fn ) trong ®ã infimum lÊy trªn tÊt c¶ c¸c vect¬ trong tháa m·n ®iÒu kiÖn (1.7). 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
∂ Ω lµ liªn tôc Lipschitz. KÝ hiÖu H −1/2 (∂ Ω) lµ Gi¶ sö biªn §Þnh nghÜa 1.8 kh«ng gian Banach ®îc ®Þnh nghÜa bëi H −1/2 (∂ Ω) = (H 1/2 (∂ Ω)) , H 1/2 (∂ Ω). ChuÈn cña phÇn tö tøc lµ kh«ng gian ®èi ngÉu cña kh«ng gian F ∈ H −1/2 (∂ Ω) ®îc x¸c ®Þnh nh sau F, u H −1/2 (∂ Ω),H 1/2 (∂ Ω) F = sup , H −1/2 (∂ Ω) u H 1/2 (∂ Ω) H 1/2 (∂ Ω)\{0} trong ®ã F, u = F udS. H −1/2 (∂ Ω),H 1/2 (∂ Ω) ∂Ω H −1/2 (∂ Ω) ∂Ω Gi¶ sö biªn lµ liªn tôc Lipschitz. Kh«ng gian cã Bæ ®Ò 1.5 c¸c tÝnh chÊt sau: L2 (∂ Ω) ⊂ H −1/2 (∂ Ω) lµ compact. i) Nhóng ii) Tån t¹i ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc v ∈ H (Ω, div ) −→ v.n ∈ H −1/2 (∂ Ω), H (Ω, div ) = v | v ∈ L2 (Ω), divv ∈ L2 (Ω) . víi kh«ng gian v ∈ H (Ω, div ) vµ w ∈ H 1 (Ω) th×: H¬n n÷a, nÕu − (divv )wdx = v wdx + v .n, w H −1/2 (∂ Ω),H 1/2 (∂ Ω) Ω Ω 1.2. Lý thuyÕt vÒ ph¬ng tr×nh elliptic 1.2.1. Kh¸i niÖm nghiÖm yÕu cña ph¬ng tr×nh XÐt ph¬ng tr×nh (1.8) − u = f. u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C (Ω) vµ ph¬ng tr×nh (1.8) tháa m·n trong miÒn Gi¶ sö Ω. Khi ®ã, u(x) ®îc gäi lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña ph¬ng tr×nh (1.8). 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
∞ LÊy hµm ϕ bÊt kú thuéc D(Ω) = C0 (Ω) nh©n víi hai vÕ cña (1.8) råi lÊy tÝch ph©n ta ®îc − uϕdx = f ϕdx. (1.9) Ω Ω ¸p dông c«ng thøc Green vµo (1.9) vµ kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ϕ|∂Ω = 0 ta cã n ∂ϕ ∂u dx = f ϕdx, (1.10) ∂xi ∂xi i=1 Ω Ω hay u ϕdx = f ϕdx. Ω Ω Nh vËy, nÕu u lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña ph¬ng tr×nh (1.8) th× cã (1.10). Nhng nÕu f ∈C (Ω) th× ph¬ng tr×nh (1.8) kh«ng cã nghiÖm cæ ®iÓn. VËy, f ∈ L2 (Ω). ta cÇn më réng kh¸i niÖm nghiÖm khi u ∈ H 1 (Ω), f ∈ L2 (Ω), u ®îc gäi lµ nghiÖm yÕu Gi¶ sö §Þnh nghÜa 1.9 cña ph¬ng tr×nh (1.8) nÕu (1.10) ®îc tháa m·n. ∈ C 2 (Ω), f ∈ NÕu u lµ nghiÖm yÕu cña ph¬ng tr×nh (1.8) vµ u MÖnh ®Ò 1.1 C (Ω) th× u lµ nghiÖm cæ ®iÓn, tøc lµ − u = f . Chøng minh u lµ nghiÖm yÕu cña ph¬ng tr×nh (1.8), tøc lµ u ∈ H 1 (Ω) vµ ta cã Gi¶ sö ϕ ∈ D(Ω), kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn u ∈ C 2 (Ω) ta suy ra (1.10) víi mäi hµm ∀u ∈ D(Ω). ( u + f )ϕdx = 0, Ω D(Ω) trï mËt trong L2 (Ω), V× u + f trùc giao víi mäi ϕ ∈ D(Ω) nªn u + f = 0 trong L2 (Ω). Nhng v× u liªn tôc nªn u + f ≡ 0 trong C (Ω). VËy u lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña ph¬ng tr×nh (1.8). 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.2.2. Ph¸t biÓu c¸c bµi to¸n biªn • Bµi to¸n Dirichlet XÐt bµi to¸n  − u = f, x ∈ Ω, (1.11) u = ϕ, x ∈ ∂ Ω,  f ∈ L2 (Ω). trong ®ã u ∈ H 1 (Ω) ®îc gäi lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.11) nÕu Hµm 1 (1.12) u − w ∈ H0 (Ω), w lµ hµm thuéc H 1 (Ω), cã vÕt b»ng ϕ vµ trong ®ã 1 ∀v ∈ H0 (Ω). u v dx = f vdx, (1.13) Ω Ω - NghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.11) lµ nghiÖm yÕu cña ph¬ng NhËn xÐt 1.2 tr×nh − u = f v× ta ®· ®Þnh nghÜa nghiÖm yÕu cña ph¬ng tr×nh nµy lµ hµm ∞ u ∈ H 1 (Ω) tháa m·n (1.13) víi mäi v ∈ C0 (Ω) ⊂ H0 (Ω). 1 - NÕu u lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.11) vµ u, f, ϕ ®ñ tr¬n th× u lµ nghiÖm theo nghÜa cæ ®iÓn. • Bµi to¸n Neumann XÐt bµi to¸n  − u = f, x ∈ Ω,  (1.14)  ∂u = h, x ∈ ∂ Ω,  ∂ν h ∈ C (∂ Ω), f ∈ C (Ω), u ∈ C 2 (Ω) lµ nghiÖm cæ ®iÓn. trong ®ã − u = f víi v ∈ H 1 (Ω) råi lÊy tÝch ph©n Nh©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh ta ®îc − v udx = vf dx. (1.15) Ω Ω 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
¸p dông c«ng thøc Green vµo (1.15) ta cã ∂u − v dS + u v dx = vf dx, ∂ν Ω Ω ∂Ω kÕt hîp víi (1.14) ta suy ra ∀v ∈ H 1 (Ω). u v dx = f vdx + hvdS, (1.16) Ω Ω ∂Ω h ∈ L (∂ Ω), f ∈ L2 (Ω) th× nghiÖm yÕu cña bµi to¸n 2 NÕu §Þnh nghÜa 1.10 u ∈ H 1 (Ω) tháa m·n (1.16). Neumann (1.14) lµ hµm Ta míi chØ xÐt nh÷ng trêng hîp trªn biªn ∂ Ω chØ cho mét NhËn xÐt 1.3 lo¹i ®iÒu kiÖn biªn. Trªn thùc tÕ cã thÓ gÆp c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp H×nh 1.1  − u = f, x ∈ Ω,     u = ϕ, x ∈ Γ1 ,   ∂u  = h, x ∈ Γ2 .   ∂ν Trong trêng hîp nµy, ta ®a vµo kh«ng gian V = {v ∈ H 1 (Ω), v |Γ1 = 0}. w ∈ H 1 (Ω) : w|Γ1 = ϕ. Khi ®ã, nghiÖm yÕu cña ph¬ng tr×nh Gi¶ sö − u = f víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn trªn lµ hµm u ∈ H 1 (Ω) sao cho u − w ∈ V vµ ∀v ∈ V. u v dx = vf dx + vhdS, Ω Ω ∂Ω 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.2.3. Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm yÕu (Lax-Milgram) §Þnh lÝ 1.10 H (v, u). B (v, u) lµ d¹ng Gi¶ sö lµ kh«ng gian Hilbert víi tÝch v« híng H, song tuyÕn tÝnh ®èi xøng, liªn tôc, x¸c ®Þnh d¬ng trªn tøc lµ tån t¹i k > 0 sao cho |B (v, u)| ≤ k v ∀u, v ∈ H u, α > 0 sao cho vµ tån t¹i B (v, v ) ≥ α v 2 , ∀v ∈ H. F H Khi ®ã, mçi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh giíi néi trªn cã thÓ biÓu diÔn trong d¹ng ∀v ∈ H, F (v ) = B (v, z ), z∈H F trong ®ã lµ duy nhÊt ®îc x¸c ®Þnh bëi vµ 1 z≤ F. α v ∈ H, B (v, z ) = F (v ) (Nãi c¸ch kh¸c lµ víi mäi bµi to¸n biÕn ph©n cã 1 z∈H z≤ F duy nhÊt nghiÖm tháa m·n ). α • Bµi to¸n Dirichlet thuÇn nhÊt XÐt bµi to¸n  − u = f, x ∈ Ω, (1.17) u = 0, x ∈ ∂ Ω,  f ∈ L2 (Ω). Bµi to¸n (1.16) cã nghiÖm yÕu lµ hµm u ∈ H0 (Ω) tháa 1 trong ®ã m·n 1 (1.18) ∀v ∈ H0 (Ω), B (u, v ) = F (v ), trong ®ã B (u, v ) = u v dx, F (v ) = f vdx. Ω Ω 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn