Luận văn thạc sĩ: Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền

Chia sẻ: Vo Danh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết về phương pháp chia miền đã được phát triển trong vòng 20 năm qua, xuất phát từ công thức đa miền và phương trình biên chung Steklov- Poincare, các phương pháp chia miền được phát triển từ các sơ đồ lặp cơ bản như: Sơ đồ Dirichlet-Neumann, sơ đồ Neumann-Neumann và sơ đồ Robin được nghiên cứu bởi tác giả trên thế giới. Có thể thấy cơ sở của các phương pháp đều xuất phát từ giá trị điều kiện trên biên phân chia từ đó xây dựng các sơ đồ lặp dạng hai lớp đối với phương trình toán tử. Việc nghiên cứu...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn thạc sĩ: Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Cao Thị Anh Thư Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 Luận văn thạc sỹ Khoa học máy tính Người hướng dẫn Khoa học: TS. Vũ Vinh Quang Thái Nguyên - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC ĐẶT VẤN ĐỀ ............................................................................................. .......... 2 Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giải số phương trình đạo hàm riêng.... ... 4 1.1 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN....................................................................... 4 1.2 THUẬT TOÁN THU GỌN KHỐI LƯỢNG TÍNH TOÁN.......................... 6 1.2.1 Bài toán biên thứ nhất............................................................... ............... 6 1.2.2 Bài toán biên thứ hai....................................................... ......................... 12 1.3 ÁP DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC.......................... ........... 15 1.3.1 Bài toán biên Dirichlet............................. ................................................ 15 1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp.............................................................................. 16 1.4 PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ CÁC SƠ ĐỒ LẶP CƠ BẢN.............................. 18 1.4.1 Không gian năng lượng............................................................................ 18 1.4.2 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử............................................ 19 Chương 2: Cơ sở Toán học của phương pháp chia miền.................................. 27 2.1 CÔNG THỨC ĐA MIỀN VÀ PHƯƠNG TRÌNH STEKLOV- POICARE.. 28 2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN CƠ SỞ.................................................. 30 2.2.1 Phương pháp Dirichlet-Neumann............................................................ 30 2.2.2 Phương pháp Neumann-Neumann............................................................ 31 2.2.3 Phương pháp Robin.................................................................................. 31 2.3 MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIA MIỀN....................................................... 33 2.3.1 Thuật toán chia miền Patrick Le Talle. ................................................... 33 2.3.2 Thuật toán chia miền J.R.Rice, E.A. Vavalis, Daopi Yang...................... 35 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2.3.3 Thuật toán chia miền Saito-Fujita............................................................ 37 2.3.4 Phương pháp DQuangA-VVQuang.......................................................... 38 2.3.5 Phương pháp chia miền giải bài toán biên gián đoạn mạnh .................. 40 Chương 3: Mô hình tính toán song song giải bài toán Elliptic dựa trên chia miền ........................................................................................... ............................ 43 3.1 CÁC BƯỚC LẶP TRÊN NHIỀU MIỀN CON............................................. 43 3.2 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN GIÁN ĐOẠN MẠNH................................................ ........................................................ 45 3.2.1.Hướng tiếp cận hiệu chỉnh đạo hàm........................................................ 46 3.2.2. Hướng tiếp cận hiệu chỉnh hàm....................................... ........................ 47 3.3. CÁC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM............................................................... 49 3.4. ỨNG DỤNG MÔ HÌNH SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC.......... 51 3.4.1 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh đạo hàm ................................... 53 3.4.2 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh hàm .......................................... 57 3.4.3 Các kết quả thực nghiệm.......................................................................... 60 NHẬN XÉT KẾT LUẬN...................................................................................... 63 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN ................................................................................................................ ....... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 65 PHỤ LỤC............................................................................................................... 68 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sỹ chuyên ngành Khoa học máy tính, đến nay luận văn :"Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền" của tôi đã được hoàn thiện và đầy đủ. Để có đ ược kết quả như mong muốn tôi luôn nhận được sự quan tâm, chỉ bảo sự giúp đỡ từ thầy giáo hướng dẫn: Tiến sĩ Vũ Vinh Quang - Phó trưởng Khoa Công nghệ thông tin- Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy giá o, các vị giáo sư của Viện Công nghệ Thông tin, các thầy cô giáo thuộc Khoa Công nghệ thông tin - Đại học Thái Nguyên đã truyền đạt những kiến thức bổ ích cho các học viên cao học khoá 6 nơi tôi được học tập và nghiên cứu trong suốt 2 năm qua. Tôi xin bày tỏ tình cảm và lời cảm ơn chân thành nhất tới các đồng nghiệp Viễn thông Thái Nguyên, tới bạn bè người thân và gia đình đã khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo Vũ Vinh Quang đã hướng dẫn, tạo điều kiện để tôi được học tập và nghiên cứu hoàn thiện luận văn của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 30 tháng10 năm 2009. Học viên Cao Thị Anh Thư Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 ĐẶT VẤN ĐỀ Lý thuyết về phương pháp chia miền đã được phát triển trong vòng 20 năm qua, xuất phát từ công thức đa miền và phương trình biên chung Steklov- Poincare, các phương pháp chia miền được phát triển từ các sơ đồ lặp cơ bản như: Sơ đồ Dirichlet-Neumann, sơ đồ Neumann-Neumann và sơ đồ Robin được nghiên cứu bởi tác giả trên thế giới. Có thể thấy cơ sở của các phương pháp đều xuất phát từ giá trị điều kiện trên biên phân chia từ đó xây dựng các sơ đồ lặp dạng hai lớp đối với phương trình toán tử. Việc nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp sử dụng kết quả của các không gian Sobolev và toán tử Steklov-Poincare. Nội dung chính của luận văn là trên cơ sở của lý thuyết chia miền, luận văn đề xuất mô hình tính toán song song giải quyết các bài toán với điều kiện biên rất phức tạp trên tư tưởng chia miền, tiến hành cài đặt thử nghiệm mô hình đồng thời ứng dụng mô hình song song giải quyết một bài toán trong môi trường vật lý bán dẫn. Luận văn cấu trúc gồm 3 chương: Chương 1: Đưa ra cơ sở về phương pháp lưới, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải phương trình lưới và cơ sở lý thuyết về các sơ đồ lặp tổng quát. Chương 2: Trình bày tóm tắt cơ sở toán học về phương pháp chia miền, các sơ đồ lặp cơ bản trong phương pháp chia miền. Một số phương pháp chia miền của các tác giả trên thế giới và đặc biệt là các sơ đồ lặp trên tư tưởng hiệu chỉnh hàm hoặc đạo hàm trên biên phân chia của các tác giả Việt Nam và Nhật Bản, phương pháp chia miền đối với bài toán biên gián đoạn mạnh. Chương 3: Trên cơ sở của các sơ đồ lặp theo hướng hiệu chỉnh hàm và đạo hàm, luận văn đề xuất sơ đồ tính toán song song dựa trên tư tưởng hiệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 chỉnh hàm hoặc đạo hàm, tiến hành tính toán bằng số so sánh hai sơ đồ tính toán song song và đồng thời áp dụng phương pháp song song giải quyết một bài toán cơ học được các tác giả trên thế giới quan tâm. Các kết quả lý thuyết được kiểm tra bằng các chương trình thực nghiệm lập trình trong môi trường MATLAB trên máy tính PC. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức liên quan đến việc giải số phương trình đạo hàm riêng bao gồm cơ sở của phương pháp lưới, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán và lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử. Những kiến thức cơ sở và kết quả được tham khảo từ các tài liệu [ 5, 10, 16, 21]. 1.1 Phƣơng pháp sai phân Lƣới sai phân: u  f , x , Xét bài toán  (1.1)  u  g, x . trong đó   ( x, y)  R2 , a  x  b, c  y  d  , chọn 2 số nguyên N > 1 và M > 1, đặt h = (b  a) / N gọi là bước lưới theo x , k = (d  c) / M gọi là bước lưới theo y . Đặt xi = a  ih, y j = c  jk , i  0..N , j  0..M . Mỗi điểm ( xi , y j ) gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (i, j ) . Tập tất cả các nút trong ký hiệu là  hk . Nút ở trên biên  gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu là  hk , tập hk = hk   hk gọi là một lưới sai phân trên  . Hàm lƣới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị của hàm lưới u ( x, y ) tại nút lưới (i, j ) viết tắt là ui , j . Mỗi hàm u ( x, y ) xác định tại mọi ( x, y )  tạo ra hàm lưới u xác định bởi ui , j . Bài toán sai phân: Ký hiệu Lu  f là tập các hàm số hai biến x, y có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tục trong  =    Giả sử bài toán có nghiệm u  C 4 () , khi đó: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5  4u  4u max( x , y ) | 4 ( x, y) | C1 = const , max( x , y ) | 4 ( x, y ) | C2 = const . x y Do đó theo công thức Taylor ta có: u h2  2u h3  3u u ( xi 1 , y j ) = u ( xi )  h, y j = u ( xi , y j )  h    o(h 4 ) hay x 2! x 3! x 2 3 u ( xi 1 , y j )  2u ( xi , y j )  u ( xi 1 , y j )  2u = 2  o( h 2 ) x 2 h Một cách tương tự: u k 2  2u k 3  3u u ( xi , y j 1 ) = u ( xi , y j  k ) = u ( xi , y j )  k    o( k 4 ) y 2! y 3! y 2 3 u k 2  2u k 3  3u u ( xi , y j 1 )  u ( xi , y j  k ) = u ( xi , y j )  k    o(k 4 ) y 2! y 3! y 2 3 Do đó: u ( xi , y j 1 )  2u ( xi , y j )  u ( xi , y j 1 )  2u = 2  o( k 2 ) y 2 k Vậy ta có: u ( xi 1 , y j )  2u ( xi , y j )  u ( xi 1 , y j ) u ( xi , y j 1 )  2u ( xi , y j )  u ( xi , y j 1 )  = h2 k2 u  o(h 2  k 2 ) Ta đặt: ui 1, j - 2ui , j  ui -1, j ui , j 1 - 2ui , j  ui , j -1 -1  hk u   h2 k2 Khi đó chứng tỏ: khu = u  o(h2  k 2 ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 Số hạng O(h 2 +k 2 ) là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử  kh xấp xỉ toán tử , điều đó cho phép  thay phương trình vi phân bằng phương trình sai phân:  hk u = fij , f ij = f ( xi , y j ), ( xi , y j ) hk tức là: ui 1, j  2ui , j  ui 1 j ui , j 1  2ui , j  ui , j  1   f ( xi , y j ), ( xi , y j )  hk (1.2) h2 k2 đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện: uij  g ( xi , y j ), ( xi , y j )  hk (1.3) Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: tìm hàm lưới u tại các nút (i, j ) thoả mãn hệ phương trình sai phân (1.2) với điều kiện biên (1.3). Như vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân (1.1) với độ chính xác cấp hai được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.2) với điều kiện (1.3) bằng các phương pháp đại số. 1.2 Thuật toán thu gọn khối lƣợng tính toán Được đề xuất bởi Samarski-Nicolaev. Bằng các phép biến đổi đơn giản về vec tơ và ma trận, các bài toán sai phân luôn luôn được đưa về hệ phương trình vec tơ 3 điểm thuộc một trong các dạng sau đây: 1.2.1 Bài toán biên thứ nhất Xét bài toán biên thứ nhất đối với phƣơng trình véc tơ ba điểm Yj 1  CYj  Yj 1 = Fj , 1  j  N  1 , Y0 = F0 , YN = FN . (1.4) Trong đó Yj là véc tơ cần tìm, C là ma trận vuông, Fj là véc tơ cho trước. ý tưởng của phương pháp rút gọn hoàn toàn giải (1.1) là khử liên tiếp các ẩn Yj đầu tiên với các j lẻ, sau đó từ các phương trình còn lại khử các Yj Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 với j là bội của 2, rồi bội của 4,… Mỗi bước khử sẽ giảm được một nửa số ẩn. Như vậy nếu N = 2n thì sau một số lần khử sẽ còn lại một phương trình chứa véc tơ ẩn YN / 2 mà từ đó YN / 2 có thể tính được qua Y0 và YN . Sau khi đã có được Y0 ,YN / 2 và YN thì quá trình ngược lại là việc tìm các Yj với j là bội của N N rồi bội của ,… Rõ ràng, phương pháp rút gọn hoàn toàn là một biến 4 8 thể của phương pháp khử Gauss áp dụng cho bài toán (1.4) trong đó việc khử các biến được thực hiện theo một thứ tự đặc biệt. Sau đây, ta sẽ mô tả cụ thể phương pháp. Giả sử N = 2n , n > 0 Ký hiệu C (0) = C , Fj(0) = Fj ; j = 1,2,..., N  1 . Khi đó (1.4) được viết dưới dạng Yj 1  C 0Yj  Yj 1 = Fj(0) (1  j  N  1) , Y0 = F0 , YN = FN . (1.5) Bước khử thứ nhất: Từ các phương trình đầu của (1.5) ta khử các Yj với j lẻ. Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp: Yj  2  C (0)Yj 1  Yj = Fj(0) , 1 Yj 1  C (0)Yj  Yj 1 = Fj(0) , Yj  C (0)Yj 1  Yj  2 = Fj(0) 1 Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với C (0) vào bên trái rồi cộng cả 3 phương trình lại ta được Yj 2  C (1)Yj  Yj  2 = Fj(1) , j = 2,4,..., N  2 , Y0 = F0 , YN = FN (1.6) 1 trong đó: C (1) = (C( 0))2  2 E Fj(1) = Fj(0)  c (0) Fj(0)  Fj(0) , j = 2,4,..., N  2 . 1 1 Nhận xét rằng hệ (1.6) chỉ chứa các Yj với j chẵn, số véc tơ ẩn Yj là N  1. Do đó nếu giải được hệ này thì các Yj với j lẻ sẽ tìm được từ phương 2 trình Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 C (0)Yj = Fj(0)  Yj 1  Yj 1 , j = 1,3,..., N  1 (1.7) Như vậy hệ (1.5) tương đương với hệ gồm (1.6) và (1.7). Bước khử thứ hai: ở bước khử này ta sẽ tiến hành khử các của hệ (1.6) với j là bội của 2 nhưng không là bội của 4. Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp của (1.6) Yj  4  C (1)Yj  2  Yj = Fj(1)2 ,  Yj 2  C (1)Yj  Yj  2 = Fj(1) ,( j = 4,8,..., N  4) , Yj  C (1)Yj  2  Yj  4 = Fj(1)2 .  Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với C(1) vào bên trái rồi cộng cả 3 vế phương trình lại ta được Yj 4  C (2)Yj  Yj  4 = Fj(2) , j = 4,8,..., N  4 , Y0 = F0 , YN = FN (1.8) trong đó: C (2) = (C(1))2  2 E Fj(2) = Fj(1)2  c (1) Fj(1)  Fj(1)2 , j = 4,8,..., N  4 .   N  1 Véc tơ ẩn Yj , trong đó j là bội của 4. Nếu Hệ (1.8) chỉ chứa 4 giải được hệ này thì các Yj , với j là bội của 4 sẽ tìm được từ phương trình 2 nhưng không là bội của 4 sẽ tìm được từ phương trình: C (1)Yj = Fj 2  Yj  2  Fj(1) , j = 2,6,10..., N  2 . Cứ tiếp tục quá trình khử này. Kết qủa là sau bước khử thứ l ta nhận N  1 ẩn Yj , trong đó j là bội của 2l được một hệ gồm l c Yj  2l  C ( l )Yj  Yj  2l = Fj( l ) , j = 2l ,2.2l ,3.2l ,..., N  2l , Y0 = F0 , YN = FN (1.9) và nhóm các phương trình: C ( k 1)Yj = Fj( k 1)  Yj  2k 1  Y j  2k 1 , j = 2k 1 ,3.2k 1 ,..., N  2 , k = l , l  1,...,1, (1.10) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 trong đó các ma trận C ( k ) và các véc tơ vế phải Fj( k ) được tính theo các công thức truy toán: C ( k ) = (C ( k 1) )2  2E , Fj( k ) = Fj(k2k1)1  C k 1Fj (k  1)  Fj  2k 1 ,  j = 2k ,2.2k ,3.2k ,..., N  2k , k =1,2,3... , (1.11) Từ các bước khử trên suy ra rằng sau n  1 bước khử (l = n  1) ta thu được hệ chỉ gồm một phương trình đối với biến Y2N  1 = YN /2 là C ( n 1)Yj = Fj( n 1)  Y j  2n 1  Y j  2n 1 = Fj( n 1)  Y0  YN ,Y0 = F0YN = FN (1.12) Với vế phải đã biết. Vì vậy từ (1.12) ta có thể tìm được YN / 2 , và tất cả các ẩn còn lại được tìm liên tiếp từ các phương trình C ( k 1)Yj = Fj( k 1)  Yj  2k 1  Yj  2k 1 , Y0 = F0 YN = FN (1.13) j = 2k 1 ,3.2k 1 ,5.2k 1 ,..., N  2k 1 , k = n, n  1,...,1 Các công thức trên đã mô tả phương pháp rút gọn hoàn toàn giải. Việc tính các Fj( k ) theo công thức truy toán có thể dẫn đến việc tích luỹ sai số nếu như chuẩn của ma trận C ( k 1) lớn hơn 1. Ngoài ra các ma trận C ( k ) nói chung là các ma trận đầy đủ, thậm chí cả với ma trận ban đầu là C (0) = C là ma trận ba đường chéo. Điều này dẫn đến tăng khối lượng tính toán khi tính các Fj( k ) theo (1.13). Để khắc phục những khó khăn trên, thay cho Fj( k ) ta sẽ tính các véc tơ p (j k ) và q (j k ) liên hệ với theo công thức sau: Fj( k ) = C ( k ) p (j k )  q (j k ) , j = 2k ,2.2k ,3.2k..., N  2k , k = 0,1,2,..., n  1 (1.14) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 trong đó ta chọn p (j0) và q (j0) = Fj , j = 1,2,..., N  1 . Bằng các công thức toán học, có thể thấy mối quan hệ mà p (j k ) và q (j k ) phải thoả mãn như sau. C ( k ) p (j k )  q (j k ) = C ( k 1) [q (j k 1)  p (j k1)1  C ( k 1) p (j k 1)  p (j k1)1 ]  q (j k1)1  q (j k1)1 , 2k 2k 2k 2k j = 2k ,2.2k ,3.2k ,...,N  2k ,k = 1,2,3..., Ta sẽ chọn p (j k ) và q (j k ) thoả mãn q (j k ) = 2 p (j k )  q (j k1)( k 1)  q (j k1)( k 1) 2 2 Khi đó, kết hợp với công thức C ( k )  2 E = [c ( k 1) ]2 ta có C ( k ) p (j k ) = q (j k 1)  p (j k1)1  C ( k 1) p (j k 1)  p (j k1)1 2k 2k Đặt S (j k 1) = p (j k )  p (j k 1) , suy ra S (j k 1) phải thoả mãn C ( k 1) S (j k 1) = q (j k 1)  p (j k1)1  p (j k1)1 2k 2k Như vậy ta thu được thuật toán sau đây để xác định các véc tơ p (j k ) và q (j k ) C ( k 1) S (j k 1) = q (j k 1)  p (j k1)1  p (j k1)1 , S (j k 1) = p (j k )  p (j k  1) , 2k 2k q (j k ) = 2 p (j k )  q (j k1)( k 1)  q (j k1)( k 1) (1.15) 2 2 q (j0) = Fj ; p (0) = 0 , j = 2k ,2.2k ,3.2k ,...,N  2k , k = 0,1,2,...,n  1. j Ký hiệu t (j k 1) = Yj  p (j k 1) , ta sẽ thấy rằng Yj có thể tính được từ các công thức sau C ( k 1)t (j k 1) = q (j k 1)  Yj  2k 1  Y j  2k 1 , Yj = p (j k 1)  t j( k 1) , Y0 = F0 ;YN = FN , j = 2k ,2.2k ,3.2k ,...,N  2k , k = n, n  1,...,1 (1.16) Nhận xét rằng các quá trình (1.15) và (1.16) luôn cần tính ma trận nghịch đảo [C ( k  1)]1 . Bằng các phép biến đổi sơ cấp từ các mối quan hệ của 1 k 1 ma trận C ( k ) và đa thức Chebysev C ( k ) = 2T2k ( C ) , ta có C ( k 1) =  (2l =1)Cl ,k 1 , 2 trong đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 (2l  1) Cl ,k 1 = C  2cos E. 2k Như vậy, chẳng hạn ta có phương trình C ( k 1) =  , (1.17) thì với việc giải lần lượt các phương trình Cl ,k 1 l =  l 1 , l = 1,2,...,2k 1 ,  0 =  sẽ cho ta nghiệm của (1.17) là  =  2k 1 Tóm lại qua các bước phân tích trên đây ta có thuật toán rút gọn hoàn toàn giải bài toán biên thứ nhất như sau  Quá trình xuôi Bước 1.1 Cho các giá trị ban đầu p (j0) , q (0) = Fj , j = 1,2,3,..., N  1 j Bước 1.2 Với k = 1 giải phương trình Cp (j1) = q (0) và tính q (j1) = 2 p (1)  q((0)1)  q((0),1)=2,4,6,..., N 2 j j j j j Bước 1.3 Với k = 2,3,..., n  1 xác định các véc tơ  (j0) = q (j k 1)  p(( kj 21)k 1 )  p (j 1)1 , j = 2k ,2.2 k ,3.2 k..., N  2k . k 2k Sau đó, với mỗi l = 1,2,...2k 1 và với mỗi j = 2k ,2.2k ,3.2k..., N  2k , giải phương trình Cl ,k 1 (j l ) =  (j l 1) Khi đó k 1 ) p (j k ) = p (j k 1)   (2 , q (j k ) = 2 p (j k )  q((kj 21) 1 )  q j(kk1)1 , j = 2k ,2.2k ,3.2k..., N  2k j k 2  Quá trình ngƣợc Bước 2.1 Cho các giá trị ban đầu Y0 = F0 ,YN = FN Bước 2.2 Với k = n, n  1,...,2 tính Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12  (j0) = q (j k 1)  Yj 2k 1  Yj  2k 1 , j = 2k 1 ,3.2k 1...N  2k 1 Sau đó, với mỗi l = 1,2,...,2k 1 và với mỗi j = 2k 1 ,3.2k 1...N  2k 1 , giải phương trình Cl ,k 1 (j l ) =  (j l 1) Khi đó: k 1 ) Yj = p (j k 1)   (2 , j = 2 k , 2.2 k ,3.2 k ,...N  2 k j Bước 2.3 Với k = 1, giải phương trình CYj = q (j0)  Yj 1  Yj 1 , j = 1,3,5,..., N  1 1.2.2 Bài toán biên thứ hai Xét bài toán thứ hai  Y0 = F0 , j = 0,  Yj 1  CYj  Yj 1 = Fj ,1  j  N  1, (1.18)  2YN 1  CYN = FN .  trong đó N = 2n , n > 0 Để giải bài toán (1.18) ta cũng thực hiện các bước khử lần lượt như đã được trình bày ở bài toán biên thứ nhất. Sau n phép khử, ta nhận được các phương trình Y0 = F0( n ) , 2Y(0)  C ( n )YN = FN( n ) . (1.19) Và nhóm các phương trình C ( k 1)Yj = Fj( k 1)  Y j  2k 1  Y j  2k 1 , j = 2k 1 ,3.2k 1 ,..., N  2 k 1 , k = n, n  1,...,1. Trong đó Fj( k ) và C ( k ) được xác định bởi công thức truy toán sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 F0( k ) = F0 , Fj( k ) = Fjkk11  C ( k 1) Fj 1  Fj(k2k1)1 ,  1 j = 2k ,2.2k ,..., N  2k FN( k ) = 2 FNk21k 1  C ( k 1) FN( k 1) , C ( k ) = [C ( k 1) ]2  2 E , Kí hiệu: Fj( k ) = C ( k ) p(jk)  q(jk) , j = 2k ,2.2k ,..., N  2k , N , k = 0,1,2,..., n Bằng các phép biến đổi đơn giản và cách chọn p (j k ) và q (j k ) thích hợp, ta nhận được quá trình sau để xác định các véc tơ p (j k ) và q (j k ) với J  N C ( k 1) S (j k 1) = q (j k 1)  p (j k1)k 1)  q (j k1)k 1) 2( 2( p (j k ) = p (j k 1)  S (j k 1) , q (j k ) = 2 p (j k )  q (j k1)k 1)   q (j k1)k 1) , 2( 2( j = 2k ,3.2k ,..., N  2k , k = 0,1,2,..., n  1 q (0) = Fj , p (0)=0 j j Tương tự, với j = N , ta có: C ( k 1) S N 1 = qNk 1)  2 pNk21)k 1) , k ( ( ( pNk ) = pNk 1)  S Nk 1) , ( ( ( qNk ) = 2 pNk )  2qNk21)k 1) , ( ( ( ( (0) (0) qN = FN ; pN = 0, Trong đó Yj = pJ( k 1)  t (j k 1) , j = 2k 1 ,3.2k 1 ,..., N  2k 1 , k = n, n  1,...,2,1 Trong đó t (j k 1) là nghiệm của phương trình . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 ( k 1) t ( k 1) = q (j k 1)  Yj 2( k 1)  Yj  2( k 1) , j C Tóm lại, ta có thuật toán sau đây giải bài toán biên thứ hai.  Quá trình xuôi Bước 1.1 Xác định các giá trị ban đầu p (j0) = 0; q (0) = Fj , j = 1,2,..., N j Bước 1.2 Với k = 1,2,..., n  1 xác định các véc tơ: v (j0) = q (j k 1)  p (j k1)k 1)  p (j k1)k 1) , j = 2k ,2.2k ,..., N  2k ( ( 2 2 Sau đó, với l = 1,2,...,2( k 1) và với mỗi j = 2k ,2.2k ,..., N  2k , giải phương trình Cl ,k 1v (j l ) = v (j l 1) Khi đó p (j k ) = p (j k 1)  v (2 k 1) , qJ( k ) = 2 p (j k )  q j(k(1) 1)  q j(k(1) 1) , j = 2k ,2.2k ,..., N  2k k k j 2 2 Bước 1.3 Với k = 1,2,..., n  1xác định các véc tơ vN0) = qNk 1)  2 pNk21)k 1) ( ( ( ( Sau đó, với l = 1,2,...,2( k 1) , giải phương trình Cl ,k 1vNl ) = vNl 1) ( ( Khi đó k 1 ) PN( k ) = pNk 1)  vN , qNk ) = 2 pNk )  2qNk21)1 ( (2 ( ( ( k  Quá trình ngƣợc Bước 2.1 Xác định YN . Xác định véc tơ vN0) = qNn )  2Y0 ( ( Sau đó, với l = 1,2,..., n , giải hệ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 Cl ,n vNl ) = vNl 1) ( ( Khi đó YN = pNn )  vNn ) ( ( Bước 2.2 Xác định Yj , j = 1,2,..., N  1 Với k = n, n  1,...,2,1, xác định các véc tơ v (j0) = q (j k 1)  Y j  2( k 1)  Y j  2( k 1) , j = 2k 1 ,3.2k 1 ,..., N  2k 1 Sau đó, với l = 1,2,...,2k 1 và với mỗi j = 2k 1 ,2.2k 1 ,..., N  2k 1 , giải phương trình Cl ,k 1v (j l ) = v (j l 1) Khi đó k 1 ) Y j = p (j k 1)  v (2 , j = 2k ,2.2k ,3.2k ..., N  2k . j Trên đây là nội dung của thuật toán thu gọi khối lượng tính toán giải bài toán biên thứ nhất và bài toán biên thứ hai. Trong các tài liệu của Samaski-Nicolaev [21] đã chứng minh độ phức tạp của các thuật toán là O ( M  N log N ) . 1.3 Áp dụng đối với phƣơng trình elliptic Trên cơ sở phương pháp lưới, ta thu được các kết quả xây dựng lược đồ sai phân cho các bài toán Dirichlet và bài toán Neumann 1.3.1 Bài toán biên Dirichlet Cho  là hình chữ nhật  = x = ( x1 , x2 )  R2 : 0 < x1 < l1;0 < x2 < l2  Xét bài toán u =  ( x) x  x   =  u = g ( x) (1.20) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 trong đó   L2 (); g  L2 () Rời rạc hoá miền  bằng lưới h  h =  x = (i, j ) = ( x1i , x2 j ); x1i = ih1 ; x2 j = jh2 ; l1 l ; h2 = 2 ; i = 0,1,..., M ; j = 0,1,..., N  . h1 = M N Bằng cách biến đổi đơn giản ta có thể đưa bài toán sai phân tương ứng về hệ phương trình vec tơ 3 điểm có dạng như sau: Yj 1  CYj  Yj 1 = Fj , j = 1,2,..., N  1 Y0 = F0 ;YN = FN Yj = ( y1, j ; y2, j ;...; yM 1, j )T (1.21) F0 = ( g1,0 ; g 2,0 ;...; g M 1,0 )T FN = ( g1, N ; g 2, N ;...; g M 1, N )T Ma trận C có dạng  2(r  1) r  0 ... 0 0 0  r 0 2(r  1) r ... 0 0   0 0 r 2(r  1) ... 0 0   C=         0 0 2( r  1) r 0 0 ...   r 2( r  1) r  0 0 0 ... 0 2( r  1)  r   0 0 ... 0  h2 1, j  rg 0, j  2   h222, j   h22 Fj    Với r = 2    h1  h2  M  2, j 2   h2  M 1, j  rg M , j  2   1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 Cho miền  = x = ( x1 , x2 );0 < x1 < l1;0 < x2 < l2  Xét bài toán biên hỗn hợp u =  ( x); x  u = g ( x) với x 1 (1.22) u =  ( x) với x  2 x2 Trong đó:   L2 (); g  L2 (1 );   L2 (2 ) 1 = x = ( x1 ,0);0  x1  l1  x = (l1 , x2 );0  x2  l2  x = (0, x2 );0  x2  l2  2 = x = ( x1 , l2 );0  x1  l1 Tương tự, ta đưa bài toán sai phân về hệ phương trình vec tơ 3 điểm Y0 = F0 Yj 1  CYj  Yj 1 = Fj 1 j  N 1 (1.23) 2YN 1  CYN = FN j=N Trong đó: F0 = ( y1,0 , y2,0 ,..., yM 1,0 )T ; Yj = ( y1, j , y2, j ,..., yM 1, j )T ; j = 1,..., N  2(r  1) r  0 ... 0 0 0  r 0 2(r  1) r ... 0 0   0 0 r 2(r  1) ... 0 0   C=         0 0 2( r  1) r 0 0 ...   r 2( r  1) r  0 0 0 ... 0 2( r  1)  r   0 0 ... 0  h2 1, j  rg 0, j  2   h222, j   Fj       h22 M  2, j    h22 M 1, j  rg M , j    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn