Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lưới giải bài toán song điều hòa trong miền tròn và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về mô hình toán học của bài toán song điều hòa, các phương pháp phân rã và đặc biệt là nghiên cứu các phương pháp sai phân bài toán trên miền tròn sử dụng hệ trục tọa độ cực, xây dựng các thuật toán giải hệ các phương trình sai phân thông qua các thuật toán giải các hệ phương trình đại số tuyến tính. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lưới giải bài toán song điều hòa trong miền tròn và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN QUANG HẢI PHƯƠNG PHÁP LƯỚI GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA TRONG MIỀN TRÒN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2016
i MỤC LỤC Trang Mục lục ....................................................................................................... i Danh mục các bảng .................................................................................... ii Mở đầu ........................................................................................................ 1 Chương 1: Một số kiến thức cơ bản .......................................................... 3 1.1 Lý thuyết về sai phân.............................................................................. 3 1.2 Công thức Taylor.................................................................................... 3 1.3 Các phương pháp sai phân và đạo hàm ................................................... 5 1.4 Phương trình song điều hòa .................................................................... 10 1.4.1 Dạng tổng quát .................................................................................... 10 1.4.2 Phương pháp phân rã ........................................................................... 11 1.5 Hệ tọa độ cực ......................................................................................... 12 1.5.1 Một số khái niệm cơ bản...................................................................... 12 1.5.2 Biểu diễn các bài toán biên 2 chiều trong hệ tọa độ cực ....................... 13 1.6 Phương pháp truy đuổi 3 đường chéo ..................................................... 14 1.6.1 Hệ truy đuổi 3 đường chéo .................................................................. 14 1.6.2 Thuật toán truy đuổi phải ..................................................................... 15 1.6.3 Thuật toán truy đuổi trái ...................................................................... 16 Chương 2: Phương pháp giải trực tiếp nhanh phương trình song điều hòa trên miền hình tròn ............................................................................. 20 2.1 Đặt vấn đề .............................................................................................. 20 2.2 Giới thiệu phương pháp .......................................................................... 22 2.2.1 Công thức khai triển Fourier chặt cụt ................................................... 23 2.2.2 Phương pháp sai phân .......................................................................... 24 2.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính ......................................... 27 2.4 Thuật toán .............................................................................................. 30 2.5 Một số kết quả thực nghiệm ................................................................... 31 Chương 3: Một số kết quả mở rộng cho phương trình Navier – Stokes trên miền tròn ............................................................................................. 34 3.1 Dạng bài toán tổng quát .......................................................................... 34 3.2 Hệ phương trình sai phân theo thời gian ................................................. 36 3.3 Hệ sai phân theo không gian ................................................................... 37 3.4 Kết quả thực nghiệm .............................................................................. 38 Kết luận....................................................................................................... 40 Tài liệu tham khảo ..................................................................................... 41 Phần phụ lục ............................................................................................... 42
ii DANH MỤC CÁC BẢNG STT Tên bảng Trang 1 Bảng 1: Kết quả kiểm tra RC0000.m 8 2 Bảng 2: Kết quả kiểm tra RC0002.m 9 Bảng 3: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng 3 30 u * (r, )  (er  1)sin , N  64. Bảng 4: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng 4 30 u * (r ,  )  sinr sin , N  64. Bảng 5: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng 5 30 u * (r ,  ) r 4 cos , N  64. Bảng 6: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng 6 35  x , y, t   2e 2t /Re cos x cos y,  x , y, t   2e  2t /Re cos x cos y
1 Mở đầu Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục nghiên cứu về các tấm đàn hồi qua mô hình hóa đều đưa về các bài toán biên cho phương trình song điều hòa là phương trình cấp bốn dạng đặc biệt với các hệ điều kiện biên khác nhau. Trong trường hợp khi điều kiện biên là bình thường (đủ cả điều kiện biên với hàm và đạo hàm cấp hai) đồng thời miền đang xét là miền chữ nhật, sử dụng phương pháp phân rã phương trình cấp bốn về 2 phương trình cấp hai, người ta có thể xác định nghiệm của bài toán thông qua các phương pháp sai phân truyền thống. Trong trường hợp khi thiếu điều kiện biên với đạo hàm cấp hai, kết hợp với phương pháp toán tử biên miền, chúng ta cũng có thể xây dựng các phương pháp lặp để xác định nghiệm gần đúng của bài toán. Tuy nhiên trong trường hợp khi miền đang xét của bài toán là miền tròn và hệ điều kiện biên là thiếu đối với biểu thức đạo hàm cấp 2 thì các phương pháp trên là không thực hiện được. Trong tài liệu [8], các tác giả Ming Chih Lai, Hsi Chi Liu đã đưa ra một phương pháp sai phân bài toán song điều hòa trên miền tròn bằng cách sử dụng hệ tọa độ cực (r, ) để chuyển bài toán song điều hòa về 2 bài toán cấp hai, từ đó xây dựng thuật toán lưới tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán gốc. Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về mô hình toán học của bài toán song điều hòa, các phương pháp phân rã và đặc biệt là nghiên cứu các phương pháp sai phân bài toán trên miền tròn sử dụng hệ trục tọa độ cực, xây dựng các thuật toán giải hệ các phương trình sai phân thông qua các thuật toán giải các hệ phương trình đại số tuyến tính, xây dựng các chương trình thực nghiệm trên môi trường Matlab. Kiểm tra tính chính xác của các thuật toán qua các ví dụ thực tế.
2 Trong thời gian nghiên cứu và thực hiện luận văn tác giả đã nhận được nhiều sự quan tâm, giúp đỡ và góp ý của nhiều tập thể, cá nhân. Trước hết tác giả xin được bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Vũ Vinh Quang – Thầy trực tiếp hướng dẫn khoa học đã tận tâm chỉ bảo, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn này. Với tình cảm chân thành và sâu sắc tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán – Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, chỉ dẫn cho tôi những tri thức, kinh nghiệm, bài học quý báu. Xin chân thành cảm ơn các anh chị, bạn bè trong khóa 8 chuyên ngành Toán ứng dụng đã chia sẻ tinh thần tình cảm cho tôi trong suốt khóa học. Mặc dù hết sức cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và đọc tài liệu để hoàn thành nhưng luận văn vẫn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được ý kiến chỉ dẫn của quý thầy, cô, của hội đồng chấm luận văn và ý kiến đóng góp chân thành của các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện với hiệu quả cao. Thái Nguyên, ngày 30 tháng 5 năm 2016 TÁC GIẢ LUẬN VĂN Nguyễn Quang Hải
3 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Nội dung chính của chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về phương pháp sai phân, các kết quả xây dựng các chương trình giải số các bài toán biên trong miền hình chữ nhật qua phương pháp sai phân, phương trình song điều hòa và phép biến đổi tọa độ cực áp dụng đối với phương trình song điều hòa, thuật toán truy đuổi 3 đường chéo. Đây là các kiến thức cơ bản, làm nền tảng để nghiên cứu các kết quả được trình bày trong chương 2 của luận văn. Các kiến thức trình bày được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 8, 9]. 1.1 Lý thuyết về sai phân Phương pháp lưới hay còn gọi là phương pháp sai phân được áp dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Nội dung chính của nó là đưa bài toán vi phân đang xét về giải hệ phương trình sai phân (tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của hàm số tại các thời điểm khác nhau) bằng các phương pháp đại số. 1.2 Công thức Taylor A/ Trường hợp hàm 1 biến số Giả sử u x  là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m1 trong một khoảng  ,   chứa x và x h , trong đó h là một đại lượng đủ nhỏ có thể dương hay âm. Khi đó trong giải tích toán học, chúng ta có công thức khai triển Taylor như sau. h  u '' 2   u x  h  u x   hu ' x   2! x   ... (1.1) h  h  m m 1  u m  x   u m 1 c m! m  1!
4 Trong đó c là một điểm nào đó ở trong khoảng từ x đến x  h ; để diễn tả điều đó ta có thể viết c  x   . x với 0    1 . Ta giả thiết thêm: u m 1 x   M  const, x  (,  ) Khi đó số hạng cuối cùng ở (1.1) là một vô cùng bé khi h  0 và công thức Taylor (2.3) viết gọn hơn: h  u '' x  ... 2 u x  h   u x   hu ' x    2! (1.2) h  u   x o(h ) m  m! m m Nhận xét: Về mặt ý nghĩa toán học tính toán thì công thức Taylor, giá trị của hàm số tại điểm x  h sẽ được tính qua các giá trị hàm và đạo hàm các cấp tại điểm x . Nếu chúng ta giữ đến số hạng chứa đạo hàm cấp m thì kết quả tính toán sẽ đảm bảo sai số xấp xỉ một đại lượng vô cùng bé là o(h m ) . B/ Trường hợp hàm 2 biến số Giả sử u x , y  là một hàm số xác định và có các đạo hàm riêng theo các biến đến cấp m1 trong một miền   R 2 chứa các điểm (x , y ) và (x  h, y  k ) , trong đó h , k là các đại lượng đủ nhỏ có thể dương hay âm. Khi đó tương tự như hàm 1 biến số, chúng ta có công thức khai triển Taylor như sau u u   u x  h, y  k  u x , y   h x k y  1 2  2u  2u 2  u 2 [h  2hk  k ]  ...  o(h m  k m ) (1.3) 2! x 2 x y y 2 Nhận xét: Về mặt ý nghĩa toán học tính toán thì công thức Taylor, giá trị của hàm số tại điểm (x  h , y  k ) sẽ được tính qua các giá trị hàm và các
5 đạo hàm riêng các cấp tại điểm (x , y ) . Nếu chúng ta giữ đến số hạng chứa các đạo hàm cấp m thì kết quả tính toán sẽ đảm bảo sai số xấp xỉ một đại lượng vô cùng bé là o(h m ) . Sau đây luận văn sẽ đưa ra một số kết quả khi xây dựng các phương pháp sai phân dựa trên công thức Taylor. 1.3 Các phương pháp sai phân và đạo hàm A/ Trường hợp 1 chiều  Phát biểu bài toán Cho khoảng x 0 , X . Tìm hàm u  u  x  xác định tại x 0 , X  và thỏa mãn: u '  f x, u  x0  x  X (1.4) ux 0    (1.5) Trong đó f x, u  là một hàm số cho trước và  là một số cho trước Giả sử bài toán (1.4), (1.5) có nghiệm u  u  x  đủ trơn, nghĩa là nó có đạo hàm liên tục đến cấp mà ta cần.  Lưới sai phân Ta chia đoạn x 0 , X  thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài h  b  a  N bởi các điểm x i (i  0..N ), x i  x 0  ih . Tập các điểm xi gọi là một lưới sai phân trên x 0 , X , ký hiệu là h , mỗi điểm x i gọi là một nút của lưới, h gọi là bước của lưới.  Hàm lưới Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới h . Một số hàm u x  xác định tại mọi x  a, b sẽ tạo ra hàm lưới u có giá trị tại nút x i là u i  u x i  .
6  Đạo hàm lưới Xuất phát từ công thức Taylor trong trường hợp 1 biến số, chúng ta sẽ có các công thức tính xấp xỉ đạo hàm lưới với độ chính xác cấp 1 như sau: ui 1  ui Công thức đạo hàm tiến: ux'   o(h ) i h ui  ui 1 Công thức đạo hàm lùi ux'   o(h ) i h 1 Công thức đạo hàm cấp hai: ui  (ui 1  2ui  ui1 )  o(h 2 ) '' h 2 Ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm thường. B/ Trường hợp 2 chiều  Lưới sai phân Xét bài toán u  f , x  ,   (1.6)  u  g, x  .  trong đó   (x , y )  R2 , a  x  b, c  y  d  , chọn 2 số nguyên N > 1 và M  1 , đặt h = (b - a)/N gọi là bước lưới theo x, k = (d - c)/M gọi là bước lưới theo y. Đặt x i  a  ih, y j  c  jk , i  0...N , j  0...M . Mỗi điểm ( xi , y j ) gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (i, j ); tập tất cả các nút trong ký hiệu là hk ; nút ở trên biên  gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu là hk , tập hk = hk  hk gọi là một lưới sai phân trên  .  Hàm lưới:
7 Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị của hàm lưới u(x,y) tại nút lưới (i, j ) viết tắt là ui , j . Mỗi hàm ui , j xác định tại mọi ( x, y )   tạo ra hàm lưới u xác định bởi ui , j .  Bài toán sai phân: Sử dụng công thức Taylor trong trường hợp 2 biến số, chúng ta thu được các công thức tính gần đúng các giá trị đạo hàm tại các nút lưới (i, j ) như sau u 1  (u  ui, j )  o(h) x (i , j ) h i 1, j u 1  (u  ui, j )  o(h) y (i , j ) k i, j 1  2u ui 1, j  2ui , j  ui 1, j (i , j )   o(h 2 ) x 2 h2  2u ui , j 1  2ui , j  ui , j 1 (i , j )   o(k 2 ) y 2 k 2 Đặt ui 1, j  2ui , j  ui 1, j ui , j 1  2ui , j  ui , j 1 hk u  2  2 (1.7) h k Khi đó chứng tỏ:  kh u =  u  o (h 2  k 2 ) 2 2 Số hạng o(h  k ) là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử  kh xấp xỉ toán tử  , điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương trình sai phân: hk u  fij , fij  f ( xi ,y j ), ( xi ,y j ) hk tức là:
8 ui 1, j  2ui , j  ui 1 j ui, j 1  2ui , j  ui , j   fi , j ,(i, j )  hk (1.8) h2 k2 đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện: uij  g (x i , y j ), (x i , y j )  hk (1.9) Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: tìm hàm lưới u tại các nút ( i, j ) thỏa mãn hệ phương trình sai phân (1.8) với các điều kiện biên (1.9). Như vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân (1.6) với độ chính xác cấp hai được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.8) với điều kiện (1.9) bằng các phương pháp đại số. Nhận xét: Hệ phương trình sai phân (1.8) với điều kiện biên (1.9) hoặc các hệ điều kiện biên dạng Neumann tương ứng trong miền chữ nhật [a,b ][c, d ] thông qua các phép biến đổi sơ cấp sẽ được biểu diễn dưới dạng các hệ phương trình vectơ 3 điểm dạng Yj 1  CYj Yj 1  Fj ; (1.10) Y0  F0 ,YN  FN ; j  1, N  1. Trong trường hợp điều kiện biên là Dirichlet và dạng Y j 1  CY j Y j  1  Fj ; (1.11) Y0  F0 , 2YN 1  CYN  FN ; j  1, N  1. Trong trường hợp điều kiện biên dạng Neumann trong đó kí hiệu Y j  (u 0, j , u1, j ,..., u N , j ) là các vectơ nghiệm, Fj  ( f0, j , F1, j ,..., FN , j ) là các vectơ vế phải, C  (ci , j )N N là ma trận hệ số của hệ dạng 3 đường chéo trội. Do tính chất đặc biệt của hệ nên hệ có thể giải được bằng thuật toán thu gọn khối lượng tính toán của Samarskij-Nicolaiev với độ phức tạp tính toán O(MN log N ) . Các kết quả xác định nghiệm số đối với bài toán biên elliptic cấp 2 đã được xây dựng thành các hàm mẫu trong thư viện RC2009 [3]. Sau đây là một số kết quả số của thư viện. Trong các kết quả được đưa ra sau đây,
9 sai số của quá trình tính toán ký hiệu là *   m ax u i, j  u i , j , i  0, M , j  0, N trong đó u i , j kí hiệu là giá trị nghiệm đúng của bài toán, u i , j kí hiệu là nghiệm xấp xỉ trên từng lưới điểm trong không gian lưới. Bảng 1: Kết quả kiểm tra RC0000.m Lưới Lưới Lưới Lưới 32x32 64x64 128x128 256x256 Nghiệm đúng u*  t  t  t  t sin x1 sin x2 3.10-5 0.1 9.10-6 0.2 2.10-6 0.6 5.10-7 2.3 x12  x 22 5.10-12 0.2 1.10-11 0.2 5.10-11 0.5 2.10-10 2.3 x13  x 2e x1  x 23  x1ex2 3.10-8 0.1 8.10-9 0.2 2.10-9 0.5 2.10-9 2.3 x e 1 logx2 5sinx2 logx1 6 9.10-7 0.1 2.10-7 0.2 6.10-8 0.5 1.10-8 2.1     Bảng 2: Kết quả kiểm tra RC0002.m Lưới Lưới Lưới Lưới 32x32 64x64 128x128 256x256 Nghiệm đúng u*  t  t  t  t sin x1 sin x2 7.10-5 0.1 1.10-5 0.2 4.10-6 0.8 1.10-6 2.8 x 12  x 22 1.10-11 0.1 5.10-11 0.2 1.10-10 0.7 5.10-10 2.9 x13  x2ex1  x23  x1ex2 2.10-4 0.1 6.10-5 0.2 1.10-5 0.7 4.10-6 2.8 x e 1 logx2 5sinx2 logx1 6 3.10-5 0.1 8.10-6 0.2 2.10-6 0.6 5.10-7 2.7
10 Qua các kết quả trên, chúng ta thấy rằng, các tính toán đảm bảo độ 2 2 chính xác tương đương với độ chính xác cấp hai O(h  k ). Thư viện trên luôn để sử dụng tìm nghiệm số của các bài toán biên elliptic cấp hai trong miền hình chữ nhật. 1.4 Phương trình song điều hòa Trong phần này, chúng ta xét một dạng của bài toán biên cấp 4 được gọi là dạng song điều hòa, một dạng bài toán biên mô tả các quá trình dao động của các mảng mỏng trong cơ học và vật lý. 1.4.1 Dạng tổng quát Phương trình tổng quát được xét có dạng 2u  cu  du  f , c  0, x  ,    0u  g 0 , x  ,  (1.12)    1 u   g1, x  ,  trong đó    m ,  là biên Lipshitz, f  L2 (),  0 ,  1 là một số dạng toán tử điều kiện biên đảm bảo điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất, g 0 , g1 là các hàm số cho trước. Phương trình (1.12) được gọi là phương trình song điều hòa tổng quát. Tùy thuộc vào các hệ số c, d, xét hai dạng bài toán cơ bản: Bài toán biên thứ nhất 2u  cu  f , c  0, x  ,    0u  g 0 , x  ,  (1.13)    1 u   g1, x  ,  Bài toán biên thứ hai
11 2u  cu  du  f , c  0, d  0, x  ,    0u  g 0 , x  ,  (1.14)    1 u   g1, x  ,  Trong trường hợp khi các toán tử điều kiện biên là các toán tử phức tạp thì việc tìm nghiệm số của bài toán là khó khăn, tuy nhiên khi các toán tử điều kiện biên là dạng Dirichlet hoặc Neumann đối với hàm u(x ) và u(x ) thì đối với bài toán biên thứ nhất, chúng ta có thể tìm nghiệm số của bài toán thông qua phương pháp phân rã và các hàm trong thư viên RC2009. Sau đây chúng ta sẽ xét phương pháp phân rã. 1.4.2 Phương pháp phân rã Xét bài toán biên 2u  cu  f , c  0, x  ,   u  g 0 , x  , (1.15)   u  g1, x  ,  Đặt v  u . Khi đó bài toán (1.15) tương đương với 2 bài toán biên elliptic cấp hai sau đây v  f , x  ,   (1.16)  v  g1, x  .  u  v, x  ,   (1.17)  u  g 0, x  .  Đối với các trường hợp khi các điều kiện biên là Neumann thì việc chuyển sang các bài toán cấp hai cũng được thực hiện tương tự.
12 Nhận xét: + Hiển nhiên qua phương pháp phân rã, nghiệm của bài toán song điều hòa dạng thứ nhất luôn luôn được xác định từ 2 lời giải của 2 bài toán biên elliptic cấp hai. + Trong trường hợp khi miền đang xét là miền hình chữ nhật thì thông qua phương pháp sai phân kết hợp với thư viện RC2009, chúng ta hoàn toàn có thể xác định được nghiệm số của bài toán song điều hòa dạng thứ nhất. Các kết quả giải số bài toán song điều hòa đã được đưa ra trong tài liệu [2]. + Đối với bài toán biên dạng thứ hai của phương trình song điều hòa thì phương pháp phân rã không thể áp dụng được vì tồn tại số hạng du trong phương trình. Trong trường hợp này, người ta phải áp dụng những sơ đồ lặp đặc biệt để tìm nghiệm số của bài toán. + Các kết quả trên chỉ áp dụng được khi miền đang xét là miền chữ nhật   [a,b ][c, d ] , khi đó lưới chia sai phân là các đường thẳng song song với các trục tọa độ. 1.5 Hệ tọa độ cực 1.5.1 Một số khái niệm cơ bản Xét trong không gian 2 chiều với hệ trục tọa độ đề các Oxy , Một điểm M(x, y) trong mặt phẳng sẽ được xác định qua 2 tham số. + Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm M r  x 2  y2 (1.18) + Góc tạo bởi chiều dương của trục Ox đến vectơ OM y   arctan( ) (1.19) x Như vậy trong hệ tọa độ cực điểm M sẽ tương ứng với M (r, ) .
13 Chúng ta dễ ràng xác định được mối qua hệ giữa hệ tọa độ cực và tọa độ đề các theo các hệ thức sau đây. x  r cos ; y  r sin  (1.20) Trong tính toán người ta thường sử dụng ma trận của phép biến đổi giữa hệ tọa đội đề các sang hệ tọa độ cực bằng ma trận.  x x    cos  r sin   J (r , )   r      r (1.21)  y   x   sin  r cos     r   Khi đó ta có J (r, )  r  0 . 1.5.2 Biểu diễn các bài toán biên 2 chiều trong hệ tọa độ cực Xuất phát từ hệ thức (1.20), chúng ta dễ ràng thu được các kết quả sau đây. u u r u  u 1 u 1     ; x r x  x r cos   sin  u u r u  u 1 u 1     ; y r y  y r sin   cos   2u  u 1 u 1 1  u 1 u 1 1  (  )  (  ) ; x 2 r r cos   sin  cos   r cos   sin  sin   2u  u 1 u 1 1  u 1 u 1 1  (  )  (  ) ; y 2 r  r sin   cos  sin   r sin   cos  sin  Thực hiện các phép tính toán với chú ý sin2   cos2   1, ta thu được kết quả.  2u 1 u 1  2u u  2   r r r r 2  2 Như vậy bài toán biên trong hệ trục tọa độ Đề các Oxy
14 u  f , x  ,   (1.22)  u  g, x  .  Được biểu diễn trong hệ tọa độ cực dạng  2 2 u   u  1 u  1  u  f (r , ), (r , )  ;  r 2 r r r 2  2 (1.23)   u  g(r , ), (r , )  . Đây là kết quả quan trong để chúng ta xét lời giải của bài toán song điều hòa trong miền tròn trong chương 2. 1.6 Phương pháp truy đuổi 3 đường chéo 1.6.1 Hệ truy đuổi 3 đường chéo Xét hệ phương trình: C x  B x  d1  1 1 1 2 A x C x  B x  di i  2,2,..., n  1 (1.24)  i i 1 i i i i 1  An x n 1  C n x n  dn  Hệ (1.24) có ma trận: C B1 0 ... 0 0   1  A C B ... 0 0   2 2 2  0 A3 C 3 ... 0 0   A =    ...................................................   0 0 0 ... C n 1 Bn 1     0 0 0 ... An C n   dạng 3 đường chéo. X  x 0 , x1 , ..., x n  ' - ẩn phải tìm.  D  d 0 , d 1 ,..., d n  ' - cột vế phải.
15 1.6.2 Thuật toán truy đuổi phải Ta đi tìm nghiệm của hệ trong dạng: x i   i 1x i 1   ; i  0,1, 2,..., n  1 (1.25) i 1 trong đó  i1 ,  i1 được tìm từ điều kiện ràng buộc (1.25), x i là nghiệm của hệ (1.25). Thay (1.25) vào hệ (1.24) và sử dụng đẳng thức. x i 1   ix i     i i  x i 1 i 1   i 1 i Ta được:   i 1  A  C   B  x    A  C    A  d i   0 i i i i i 1  i i i i 1 i i  Đẳng thức này đúng: i  1,2,...n  1 Nên  i 1  i Ai  C i    i  0  i Ai  C i   i1   i Ai  d i  0 Từ đó ta có công thức truy hồi: Bi Ai  i  d i  i 1  ;  i 1  ; i  1, 2, ..., n  1 C i   i Ai C i   i Ai Để có các hệ số đó, ta cần xác định  1 ,  1 . Do phương trình đầu tiên:  C 0 x0  B0 x1   d 0 Hay: B0 d0 x0  x1    1 x1   1 C0 C0 B0 ; d Nghĩa là: 1  1  0 C0 C0 Ẩn x n sẽ được tìm nhờ phương trình cuối cùng của hệ. Ta có: An xn 1  C n xn   d n
16 Lại theo (1.25) ta có: x n 1   n x n   n Loại trừ x n1 từ hệ này, ta suy ra được:  n An  d n xn  C n  An  n Như vậy nghiệm của hệ (1.24) được tìm theo công thức:  Bi Ai  i  d i  i 1  C  A ;  i 1  C  A ; i  1, 2, ..., n  1  i  i i i  i i  B0 d  1  C ; 1  0  0 C0 (1.26)  x   i 1 x   ; i  0,1, ..., n  1 i 1  i i 1   n An  d n xn   C n  An  n Công thức tìm nghiệm hệ (1.24) theo (1.26) gọi là công thức truy đuổi. Xuất phát từ  1 ,  1 ta tính  2 ,  2 …cuối cùng có  n ,  n . Có x n ta tính tiếp x n 1 , x n  2 , ..., x 0 . Khi tính nghiệm xuất phát từ x n bên phải nên còn gọi là công thức truy đuổi phải. 1.6.3 Thuật toán truy đuổi trái Bây giờ nếu ta tìm nghiệm của hệ (1.25) xuất phát từ cách đặt: xi 1   i 1 xi   i 1 (1.27) Trong đó  i 1 ,  i 1 sẽ được tìm từ điều kiện (1.27) là nghiệm của hệ (1.24) Thay (1.27) vào (1.24) và sử dụng đẳng thức: xi   i xi 1   i  xi 1   i 1  i x i 1   i    i 1  Ai xi 1  C i  i x i 1   i   Bi  i 1  i x i 1   i    i 1   d i  0
17   Ai   i  i 1 Bi  C i  x i 1   i Bi  i 1  C i   Bi  i 1  d i   0 Đẳng thức trên đúng i  1, 2, ..., n  1 . Nên Ai   i  i 1 Bi  C i   0  i Bi  i 1  C i   Bi  i 1  d i  0 Từ hệ đó ta có công thức truy hồi: Ai Bi  i 1  d i i  ; i  ; i  1, 2, ..., n  1 Ci  Bi  i 1 Ci  Bi  i 1 Để có các hệ số đó, ta cần xác định  n ,  n . Do phương trình cuối cùng ta có: An x n1  C n x n   d n An d Hay xn  x n1  n   n x n 1   n có dạng (1.27) suy ra: Cn Cn An dn n  , n  Cn Cn Để tính theo công thức ta cần có x0 . Ẩn x0 sẽ được tìm nhờ phương trình đầu tiên.  C 0 x 0  B0 x1   d 0 Lại theo (1.27) ta có: x1  1 x0  1 . Suy ra:  C 0 x0  B0 1 x0  1   d 0  0   C 0  B0 1  x 0   B0 1  d 0   0 B0   d 0 x0  C 0  B0 1 Như vậy nghiệm của hệ (1.24) tìm được theo công thức: