Sửa chữa dầm tựa đơn có nhiều vết nứt sử dụng các miếng vá áp điện

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Báo cáo "Sửa chữa dầm tựa đơn có nhiều vết nứt sử dụng các miếng vá áp điện" giải quyết bài toán phục hồi dầm tựa đơn hai đầu có nhiều vết nứt sử dụng các miếng vá áp điện dựa trên trường chuyển vị tĩnh, trong đó vết nứt mở được mô tả bằng một lò xo quay có độ cứng tương đương. Đã nhận được biểu thức tổng quát của chuyển vị tĩnh và mô men phục hồi tương ứng với điện áp được sinh ra trong các miếng vá áp điện cho dầm có số lượng vết nứt bất kỳ (n). Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sửa chữa dầm tựa đơn có nhiều vết nứt sử dụng các miếng vá áp điện

95 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Sửa chữa dầm tựa đơn có nhiều vết nứt sử dụng các miếng vá áp điện Lưu Quỳnh Hường1* , Trần Thanh Hải2, Nguyễn Tiến Khiêm2 1 Khoa Kỹ thuật Tài nguyên nước, Trường Đại học Thủy Lợi Hà Nội 2 Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam *Email: huonglq@tlu.edu.vn Tóm tắt. Báo cáo này giải quyết bài toán phục hồi dầm tựa đơn hai đầu có nhiều vết nứt sử dụng các miếng vá áp điện dựa trên trường chuyển vị tĩnh, trong đó vết nứt mở được mô tả bằng một lò xo quay có độ cứng tương đương. Đã nhận được biểu thức tổng quát của chuyển vị tĩnh và mô men phục hồi tương ứng với điện áp được sinh ra trong các miếng vá áp điện cho dầm có số lượng vết nứt bất kỳ (n). Kết quả tính toán đáp ứng tĩnh của dầm trước và sau khi sửa chữa được kiểm chứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Từ khóa: Vật liệu áp điện, Dầm bị nứt, Hiệu ứng áp điện, Sửa chữa dầm bị nứt. 1. Mở đầu Vết nứt xuất hiện trong kết cấu nói chung và dầm đàn hồi nói riêng chịu tải trọng làm giảm khả năng làm việc của kết cấu. Do đó, việc phát hiện và sửa chữa vết nứt đóng vai trò quan trọng. Vết nứt ở đây được giả thiết là vết nứt mở không phát triển và được mô tả bằng một lò xo xoắn có độ cứng được xác định từ độ sâu vết nứt. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm từ số liệu đo chuyển vị tĩnh đã được nghiên cứu chi tiết trong các tài liệu [1,2]. Tuy nhiên, trong các công trình mới chỉ dừng ở việc phát hiện vết nứt mà chưa giải quyết vấn đề sửa chữa vết nứt trong dầm, tức là phục hồi lại trạng thái chưa bị nứt của kết cấu. Ngày nay, việc sử dụng vật liệu áp điện trong phân tích kết cấu như là một sensor hoặc là actuator ngày càng nhiều và vật liệu áp điện được sử dụng như các miếng vá để sửa chữa kết cấu dầm bị nứt đã được nghiên cứu trong [3-12]. Trong công trình [3], tác giả đã giải bài toán tĩnh cho dầm đàn hồi gối tựa hai đầu có một vết nứt và một lớp áp điện bằng giải tích các tác giả đã tìm ra điều kiện để sửa chữa vết nứt sau khi sử dụng phương pháp Wavelet cho chuyển vị thẳng để xác định vị trí vết nứt. Tuy nhiên, trong công bố này nhóm tác giả mới chỉ dừng ở việc sử dụng áp điện để sửa chữa cho dầm có một vết nứt. Một trong các tác giả của báo cáo này đã giải bài toán sửa chữa hai vết nứt trong dầm công xôn [13] bằng miếng vá áp điện và đã nhận được biểu thức hiển của mô men phục hồi. Trong báo cáo này, nhóm tác giả phát triển việc sửa chữa vết nứt cho dầm gối tựa hai đầu có nhiều vết nứt bằng vật liệu áp điện Hình 1. Đã nhận được biểu thức tổng quát của chuyển vị tĩnh và mô men phục hồi tương ứng với điện áp được sinh ra trong các miếng vá áp điện cho dầm có số lượng vết nứt bất kỳ (n). Kết quả tính toán đáp ứng tĩnh của dầm trước và sau khi sửa chữa được kiểm chứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Kết quả thu được là phù hợp. 2. Cơ sở lý thuyết Xét dầm đàn hồi gối tựa hai đầu chiều dài L, mặt cắt ngang hình chữ nhật, dầm đẳng hướng mô đun đàn hồi E (N/m2) và mật độ khối lượng ρ (kg/m3), mômen quán tính I = bh3 /12 , có nhiều vết nứt trí đặt lực, ℓ1 = 𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 , ℓ2 = 𝑝𝑝3 + 𝑝𝑝4 ,… là chiều dai các miếng vá áp điện, 𝛿𝛿1 , 𝛿𝛿2 , … là chiều dầy như Hình 1. Trong đó sử dụng các ký hiệu: L là chiều dài dầm, L 1 , L 2 , … là vị trí các vết nứt, L F là vị miếng áp điện.
96 Lưu Quỳnh Hường, Trần Thanh Hải, Nguyễn Tiến Khiêm L3 L2 L1 δ1 δ2 δ3 p1 p2 p3 p4 p5 p6 LF L Hình 1. Mô hình dầm gối tựa hai đầu có nhiều vết nứt chịu lực F. 2.1. Mô hình vết nứt Vết nứt mở hoàn toàn được biểu diễn bằng một lò xo xoay có độ cứng tương đương được định nghĩa và tính theo [14-15] như sau: EI 5.346h = Kr ; Θ = f ( a / h) (1) LΘ L trong đó, a là độ sâu vết nứt, h là chiều dầy của dầm và f ( z= 1.8624 z − 3.95 z + 16.375 z − 37.226 z + 78.81z − 126.9 z + 172 z − 143.97 z + 66.56 z . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) 2.2. Ảnh hưởng của lớp áp điện lên dầm Xét một phần tử dầm chiều dài là L, chiều dầy là h được gắn một lớp áp điện có độ dầy D phía dưới dọc theo chiều dài của dầm. Điện tích sinh ra bởi lớp áp điện khi dầm chuyển dịch y được viết dưới dạng [3-6]  h + τ  ′′ L Q = −e31 ∫ D   y dx , (2) 0  2  trong đó e31 là hằng số áp điện. Điện áp đầu ra của lớp áp điện là Q e D(h +τ ) L Vs = Cv = Q = − 31 2Cv ∫ y′′dx 0 (3) với C v là điện dung của lớp dán áp điện. Khi lớp áp điện được sử dụng đồng thời như cả sensor và actuator, điện áp tác dụng lên lớp áp điện bằng e D(h +τ ) L e D(h +τ ) L Va = ∫ y ′′dx = , gVs = − g 31 − s 31 ∫ y′′dx (4) 2Cv 0 2 0 với g là hệ số hiệu dụng (gain) s = g/C v . Ứng suất dọc trục dọc theo lớp áp điện sinh ra bởi điện áp tác dụng có thể biểu diễn như sau: Va e31 D ( h + τ ) L 2 σ x = e31 τ = −s 2τ ∫ y′′dx . 0 (5)
97 Sửa chữa dầm tựa đơn có nhiều vết nứt sử dụng các miếng vá áp điện Mô men uốn trên dầm dạng không thứ nguyên e2 D 2 ( h + τ ) L L 2 h +τ L L Me = σ xτ D = − s 31 ∫ −G ∫ y ′′ y ′′dx =dx =, −G y ′ 0 L (6) 2 EI 4 EI 0 0 G – định nghĩa như hệ số mô men sửa được và bằng se31 D 2 ( h + τ ) 2 2 G= . (7) 4 2.3. Chuyển vị tĩnh của dầm bị nứt có các miếng vá áp điện Trước hết ta xét trường hợp có hai vết nứt như trong Hình 2, trong đó xét trường hợp tải trọng ở bên phải hai vết nứt. Như vậy, trong trường hợp này ta phải tìm chuyển vị tĩnh ở 8 đoạn dầm được chia ra bởi vị trí đặt tải, 4 đầu mút của hai miếng vá áp điện và từ đó tính được mô men phục hồi sinh ra trong các miếng vá áp điện. Vì theo công thức (6), mô men phục hồi tỷ lệ với độ lệch góc xoay tại hai đầu mút miếng vá với hệ số được tính theo công thức (7). L2 L1 x LF F L (a) L2 L1 δ1 δ2 p1 p2 p3 p4 F LF L (b) Hình 2. Mô hình dầm tựa đơn hai đầu có vết nứt với miếng vá áp điện chịu tải trọng tĩnh (a)Trước khi sửa chữa; (b) sau khi được sửa chữa bằng miếng dán áp điện. Xét trường hợp Hình 2b, phương trình biến dạng tĩnh của dầm trong 8 đoạn dầm dưới tác dụng của tải F có dạng =  EIy1′′  L − LF   L   Fx,0 ≤ x ≤ L1 −=  ′′ p1 ; EIy2  L − LF   L  ′ ( )  Fx + G1 y4 L1 + p2 − y1′ L1 − p1 , L1 − p1 ≤ x ≤ L1 ; = ′′ EIy3  L − LF  L  ( ′  Fx + G1 y4  L1 + p2 − y1′ L − p , 1 1 ) L1 ≤ x ≤ L1 + p2 ;
98 Lưu Quỳnh Hường, Trần Thanh Hải, Nguyễn Tiến Khiêm  L − LF  =  EIy4′′  Fx, L1 + p2 ≤ x ≤ L2 − p3 ; (8)  L  =  EIy5′′  L − LF   L  ′ ′ ( )  Fx + G2 y7 L2 + p4 − y4 L2 − p3 , L2 − p3 ≤ x ≤ L2 ; =  EIy6′′  L − LF   L  ′ ′ ( )  Fx + G2 y7 L2 + p4 − y4 L2 − p3 , L2 ≤ x ≤ L2 + p4 ;  L − LF  LF =  ′′ EIy7  Fx, L2 + p4 ≤ x ≤ L3 ; = L F ( L − x ) , L3 ≤ x ≤ L . EIy8′′  L  Các phương trình (8) cho ta nghiệm =  L−L   Fx + b1 x + b2 , 0 ≤ x ≤ L1 − p1 ; 3 y1  F  6 EIL  L − LF G  L − LF L − LF  = Fx 3 + 1  F ( L1 + p2 ) + b3 − F ( L1 − p1 ) − b1  x 2 + b7 x + b8 2 2 y2 6 EIL 2 EI  2 EIL 2 EIL  L − LF 3 G1  L − LF L − LF  = Fx + F ( L1 + p2 ) + b3 − F ( L1 − p1 ) − b1  x 2 + b9 x + b10 2 2 y3  6 EIL 2 EI  2 EIL 2 EIL  =  L−L   Fx + b3 x + b4 , L1 + p2 ≤ x ≤ L2 − p3 ; 3 y4  F (9)  6 EIL  L − LF 3 G2  L − LF L − LF  = Fx + F ( L2 + p4 ) + b5 − F ( L2 − p3 ) − b3  x 2 + b11 x + b12 ; 2 2 y5  6 EIL 2 EI  2 EIL 2 EIL  L − LF 3 G2  L − LF L − LF  = Fx + F ( L2 + p4 ) + b5 − F ( L2 − p3 ) − b3  x 2 + b13 x + b14 ; 2 2 y6  6 EIL 2 EI  2 EIL 2 EIL  =y7 ( ) Fx + b x + b , L − LF 6 EIL 3 5 6 L2 + p4 ≤ x ≤ = L3 y8 LF 6 EIL F ( L − x ) + b15 ( x − L ) + b16 , 3 trong đó các hằng số bi (i = 1, 2,316) được tìm từ các điều kiện tương thích tại các vết nứt và điều kiện biên. Tổng cộng có 16 ẩn được tìm từ 16 phương trình, viết gọn lại có dạng [K ]{b} = {C} , (10) trong đó ma trận [K] và véc tơ {C} cho trong Phụ lục. Ngoài ra, điều kiện sửa chữa được chính là sự liên tục của góc xoay tại vết nứt y3 ( L1 ) − y2 ( L1 ) = 0 ; y6 ( L2 ) − y5 ( L2 ) = 0 , ′ ′ ′ ′ (11) từ đó ta có thể tính được hệ số mô men phục hồi bằng [13] 2EIL1 2EIL2 G1 = , G2 = . (12) ( p1 + p2 )( p1 − p2 ) ( p3 + p4 )( p3 − p4 ) Các công thức (12) cùng với (7) cho phép ta chọn các tham số kích thước của miếng vá áp điện để sửa = = chữa dầm bị nứt. Điều đặc biệt ở đây là khi p1 p3 , p2 p4 tỷ số của hai hệ số mô men phục hồi G2 / G1 = L2 / L1 (13)
99 Sửa chữa dầm tựa đơn có nhiều vết nứt sử dụng các miếng vá áp điện chỉ phụ thuộc vào vị trí vết nứt. Ngoài ra, trong tài liệu [3] các tác giả cũng đã tính được các mô men phục hồi và điện áp xuất hiện ở các miếng vá bằng  L − LF   L − LF  M1 = 2 = −F   L1 , M − F   L2 , (14)  L   L  2 F ( L − LF ) 2 F ( L − LF ) Va1 =a 2 = − L1 ,V − L2 , (15) e31 L ( H + δ1 ) e31 L ( H + δ 2 ) chúng cũng chỉ ra rằng M 2 / M 1 = L2 / L1 và Va 2 / Va1 = L2 / L1 . Bằng phép quy nạp toán học ta có thể chứng minh được L L L4 L = G1 2 ; G3 G1 3 , G4 G1 = G1 n G2 = = ,, Gn (16) L1 L1 L1 L1 và  L − LF   L − LF   L − LF  M1 = 2 = , M n = −F   L1 , M − F   L2 , −F   Ln ; (17)  L   L   L  2 F ( L − LF ) 2 F ( L − LF ) 2 F ( L − LF ) Va1 =a 2 = ,Van = − L1 ,V − L2 , − Ln . e31 L ( H + δ1 ) e31 L ( H + δ 2 ) e31 L ( H + δ n ) Như vậy, có thể khẳng định rằng sử dụng các miếng vá áp điện thỏa mãn các điều kiện (16), (17) chúng ta có thể sửa chữa được dầm bị nứt (tức khắc phục được sự mất liên tục của góc xoay tại vết nứt). Để kiểm chứng điều này chúng ta sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán chuyển vị và góc xoay của dầm bị nứt dưới tác dụng của các mô men (17). 2.4. Kiểm chứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn Đối với dầm có vết nứt chịu lực tĩnh F không có lớp áp điện, theo mục trên muốn sửa vết nứt của dầm thì tại vị trí đặt áp điện ta thay bằng mômen tương ứng trong phương pháp phần tử hữu hạn. Vì vậy, chia dầm thành N e phần tử có cùng chiều dài L e . Ma trận độ cứng của phần tử dầm có vết nứt mở hoàn toàn với độ sâu vết nứt là a theo [16] được xác định bằng công thức:  −1 K e = TCe TT , (18) c trong đó, ma trận  −1 − Le T 1 0 T=  0 −1 0 1  và ma trận độ mềm nghịch đảo bằng [17]  12 EI 6 EI   L3 + 24mR EI −  L + 24mR2 EI 3  −1   e 2 e Ce =  2 ( 2 Le + 3nLe R1 EI + 12mR3 EI ) EI  3 2 (19) 6 EI − 3 −   Le + 24mR2 EI  ( L3e + 24mR2 EI ) ( Le + 2nR1EI )  36π π a a = = = ∫ aF (= ∫ aF ( s ) da. s ) da, R 2 2 với n 4 ,m , R1 I 2 II EbH EbH 2 0 0
100 Lưu Quỳnh Hường, Trần Thanh Hải, Nguyễn Tiến Khiêm 2  π s  0.923 + 0.199 1 − sin (π s / 2 )  4  a    FI= = s  tg   ;  H πs  2  cos (π s / 2 )  a 1.122 − 0.561s + 0.085s 2 + 0.18s 3 = = ( 3s − 2s 2 ) FII  s  .  H 1− s Khi đó ma trận độ cứng tổng thể bằng Ne Ne K = ∑ K ci ; P = ∑ Pie e i =1 i=1 Sử dụng chương trình CAFEM [18] giải phương trình Kq = P , (20) khi biết K và P ta thu được véc tơ chuyển vị nút q là các chuyển vị thẳng và góc xoay tại các nút. 3. Kết quả tính toán số Xét dầm gối tựa hai đầu với thông số dầm: E = 210GPa , L=1.0m, mặt cắt ngang hình chữ nhật chiều cao h = 0.05m, chiều rộng D = 0.1m. Chịu lực tĩnh tác động F = 100N tại vị trí các vị trí L F khác nhau. Lớp áp điện PZT-4 có hằng số áp điện e 31 = -9.29, độ dày δ = 0.15h, p 1 = 0.0249mm và p 2 = 0.025mm [3] và đặt tại các vị trí vết nứt trong dầm. Kết quả tính toán chuyển vị và góc xoay trước và sau sửa chữa so sánh với dầm không nứt và kết quả sửa chữa bằng cơ học được trình bày trong các Hình 3-5. Khảo sát các đồ thị trong các hình vẽ trên ta nhận thấy: (1) Chuyển vị của dầm sau khi sửa chữa đã giảm so với dầm chưa sửa chữa (thạm chí bé hơn chuyển vị của dầm không nứt). Điều này chứng tỏ dầm đã được gia cường thêm về độ cứng; (2) Bước nhảy của góc xoay do vết nứt sau khi sửa chữa đã được khắc phục và đưa về trạng thái góc xoay của dầm không nứt. Như vậy mục đích của việc sửa chữa đã được thực thi; (3) Cả chuyển vị và góc xoay của dầm sau khi sửa chữa bằng miếng vá áp điện và bằng cơ học hoàn toàn trùng nhau. Điều này khẳng định những tính toán nêu trên là đúng đắn, đặc biệt là việc quy nạp toán học từ dầm có hai vết nứt cho dầm có nhiều vết nứt đã được chứng minh bằng kết quả số. -6 -5 10 10 0 2.5 2 -1 1.5 -2 1 -3 0.5 Displacement [m] Slope [rad] -4 0 -0.5 -5 -1 -6 -1.5 -7 -2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Length of the beam [m] Length of the beam [m] Hình 3. Chuyển vị (a) và góc xoay (b) của dầm có hai vết nứt tại L 1 = 0.275m, L 2 = 0.475m, Θ 1 =Θ 2 =0.05, L F = 0.8m không nứt , trước sửa chữa , sau sửa chữa bằng miếng vá áp điện, sửa chữa bằng tác dụng các mô men cơ học (FEM với 20 phần tử).
101 Sửa chữa dầm tựa đơn có nhiều vết nứt sử dụng các miếng vá áp điện -6 -5 10 10 0 2.5 2 -1 1.5 -2 1 -3 0.5 Displacement [m] Slope [rad] -4 0 -0.5 -5 -1 -6 -1.5 -7 -2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Length of the beam [m] Length of the beam [m] Hình 4. Chuyển vị (a) và góc xoay (b) của dầm có ba vết nứt tại L 1 = 0.175m, L 2 = 0.375m, L 3 = 0.575m Θ 1 =Θ 2 =Θ 3 =0.05, L F = 0.8m không nứt , trước sửa chữa , sau sửa chữa bằng miếng vá áp điện, sửa chữa bằng tác dụng các mô men cơ học (FEM với 20 phần tử). -6 -5 10 10 0 3 -1 2 -2 1 -3 Slope [rad] 0 Displacement [m] -4 -5 -1 -6 -2 -7 -3 -8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Length of the beam [m] Length of the beam [m] Hình 5. Chuyển vị (a) và góc xoay (b) của dầm có bốn vết nứt tại L 1 = 0.075m, L 2 = 0.275m, L 3 = 0.475m, L 4 = 0.675m, Θ 1 =Θ 2 =Θ 3 =Θ 4 =0.075, L F = 0.8m. không nứt , trước sửa chữa , sau sửa chữa bằng miếng vá áp điện, sửa chữa bằng tác dụng các mô men cơ học (FEM với 20 phần tử). 4. Kết luận Kết quả chính của báo cáo này gồm: + Đã giải trọn vẹn bài toán tĩnh của dầm đàn hồi tựa đơn hai đầu có nhiều vết nứt được gắn các miếng áp điện tại vị trí vết nứt chịu tải trọng tập trung hằng số. Đưa ra được công thức nghiệm giải tích tổng quát hệ số mômen phục hồi chính là mô men cục bộ sinh ra bởi lớp áp điện do tải trọng tác dụng. + Đã giả bài toán sửa chữa dầm bị nứt bằng cách tác dụng các mô men phục hồi tương ứng đã tìm được vào vết nứt sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn. Đây gọi là bài toán sửa chữa cơ học để kiểm chứng các kết quả lý thuyết ở trên, đồng thời đưa ra một cách sửa chữa dầm bị nứt bằng cách cung cấp một điện áp cho các miếng vá áp điện.
102 Lưu Quỳnh Hường, Trần Thanh Hải, Nguyễn Tiến Khiêm + Kết quả số nhận được đã minh chứng cho hiệu quả của việc sửa chữa dầm bị nứt bằng các miếng vá áp điện: giảm chuyển vị của dầm bị nứt và khắc phục sự mất liên tục của góc xoay tại vết nứt. Tài liệu tham khảo [1] Tran Van Lien and Nguyen Tien Khiem. Static Diagnosis of multiple Cracked Beams. Vietnam Journal of Mechanics 23(4) (2001) 224-233. [2] S. Caddemi, A. Morassi. Crack detection in elastic beams by static measurements. Intern. J. Solids and Structures 44(16) (2007) 5301-5315. [3] Q. Wang, S.T. Quek, K.M. Liew. “On the repair of a cracked beam with a piezoelectric patch”. Smart Mater. Struct. 11 (2002) 404-410. [4] Q. Wang, W.H. Duan, S.T. Quek. “Repair of notched beam under dynamic load using piezoelectric patch”. Int. J. Mech. Sci. 46 (2004) 1517-1533. [5] Q. Wang, S.T. Quek. “Repair of delaminated beams via piezoelectric patches”. Smart Mater. Struct. 13 (2004) 1222-1229. [6] Q. Wang, S.T. Quek. Repair of cracked column under axially compressive load via piezoelectric patch. Comput. Struct. 83 (2005) 1355-1363. [7] Q. Wang, G.Y. Zhou, S.T. Quek. Repair of delaminated beams subjected to compressive force via piezoelectric layers”. Adv. Struct. Eng. 8 (2005) 411-425. [8] W.H. Duan, S.T. Quek, Q. Wang. Finite element analysis of the piezoelectric-based repair of a delaminated beam. Smart Mater. Struct. 17 (2008) 015017. [9] N. Wu, Q. Wang. Repair of vibrating delaminated beam structures using piezoelectric patches”. Smart Mater. Struct. 19 (2010) 105025. [10] A. Ariaei, S. Ziaei-Rad, M. Ghayour. Repair of a cracked Timoshenko beam subjected to a moving mass using piezoelectric patches”. Int. J. Mech. Sci. 52 (2010) 1074-1091. [12] T.J.C. Liu. “Crack repair performance of piezoelectric actuator estimated by slope continuity and fracture mechanics”. Eng. Fract. Mech. 75 (2008) 2566-2574. [13] Tran Thanh Hai. Static repair of multiple cracked beam using piezoelectric patches. Vietnam Journal of Mechanics 43(2), 2021, 197-207. [14] T.G. Chondros and A. D Dimaragonas. Identification of cracks in welded joints of complex structures. Journal of Sound and Vibration 69(4) (1980) 530-538. [15] S. Christdes and ADS Barr. One dimesional theory of cracked Bernoulli-Euler beam. International Joural of Mechanical Science 26(11/12) (1984) 639-648. [16] Chu Quốc Thắng. Phương pháp phần tử hữu hạn. Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật. Hà Nội 1997. [17] D.Y. Zheng, N.J. Kessissoglou. Free vibration analysis of a cracked beam by finite element method. Journal of Sound and Vibration 273 (2004) 457–475. [18] CALFEM A finite element toolbox to MATLAB Version 3.3. Copyright © 1999 by Structural Mechanics, LTH, Sweden. Printed by JABE Offset, Lund, Sweden.
103 Sửa chữa dầm tựa đơn có nhiều vết nứt sử dụng các miếng vá áp điện Phụ lục  G1 ( L1 − p1 ) G1 ( L1 − p1 )  2 2  L1 − p1 + − 0 0 0 p1 − L1 −1 0 0 0 0 0 0 0   2 EI 2 EI   G ( L − p1 ) G ( L − p1 )   1+ 1 1 − 1 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0   EI EI   G1 ( L1 + p2 ) 2 G1 ( L1 + p2 ) 2   − + L1 + p2 1 0 0 0 0 − L1 − p2 −1 0 0 0 0 0   2 EI 2 EI   G1 ( L1 + p2 ) G ( L + p2 )   1− 1 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0   EI EI   G2 ( L2 − p3 ) 2 G2 ( L2 − p3 ) 2   0 L2 − p3 + 1 − 0 0 0 0 0 p3 − L2 −1 0 0 0   2 EI 2 EI   G ( L − p3 ) G ( L − p3 )   0 1+ 2 2 0 − 2 2 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0  Ka =  EI EI   G2 ( L2 + p4 ) 2 G2 ( L2 + p4 ) 2   0 0 − + L2 + p4 1 0 0 0 0 0 0 − L2 − p4 −1 0   2 EI 2 EI   G2 ( L2 + p4 ) G ( L + p4 )   0 0 1− 2 2 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0   EI EI   0 0 0 − L3 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 L3 − L     0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1   0 0 0 0 0 L1 1 − L1 −1 0 0 0 0 0     G1Θ1 G1Θ1 − 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 0 0   EI EI     0 0 0 0 0 0 0 0 0 L2 1 − L2 −1 0   G2Θ 2 G2Θ 2   0 0 − 0 0 0 0 0 −1 0 1 0 0   EI EI   FG1 ( L − L3 )( L1 − p1 ) ( p2 + p1 )( p1 − 2 L1 − p2 )  2  −  4 ( EI ) L 2      FG1 ( L − L3 )( L1 − p1 )( p1 + p2 )( p1 − 2 L1 − p2 )  −  2 ( EI ) L 2     FG1 ( L − L3 )( L1 + p2 ) ( p1 + p2 )( p1 − 2 L1 − p2 ) 2   −   4 ( EI ) L  2    FG1 ( L − L3 )( L1 + p2 )( p1 + p2 )( p1 − 2 L1 − p2 )   −  2 ( EI ) L 2    FG2 ( L − L3 )( L2 − p3 ) ( p3 + p4 ) ( p3 − 2 L2 − p4 ) 2   −   4 ( EI ) L  2    FG2 ( L − L3 )( L2 − p3 )( p4 + p3 )( p3 − 2 L2 − p4 )   −  2 ( EI ) L 2     C= FG2 ( L − L3 )( L2 + p4 ) ( p4 + p3 )( p3 − 2 L2 − p4 )  2  −  4 ( EI ) L 2    FG2 ( L − L3 )( L2 + p4 )( p4 + p3 )( p3 − 2 L2 − p4 )   −   2 ( EI ) L  2    FL3 ( L − L3 )( 2 L3 − L )     6 EI   FL3 ( L − L3 )   2 EI     0   FΘ L − L  1( 3)   2 L ( EI ) 2 ( 2G1 L1 p2 + G1 p22 + 2G1 L1 p1 − G1 p12 + 2 L1 EI )      0   FΘ L − L  2 ( 3)   2 ( EI ) 2 L ( 2G2 L2 p3 + 2G2 L2 p4 − G2 p3 + G2 p4 + 2 EIL2 )  2 2   