Suy luận Toán học 'nghe có lý': Tổng hợp những suy luận hay

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” Hoàng Xuân Thanh

- 0

-



&

Nh

NhNh

Nhữ

ữữ

ững suy lu

ng suy lung suy lu

ng suy luậ

ậậ

ận nghe có lý

n nghe có lýn nghe có lý

n nghe có lý

2006

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” Hoàng Xuân Thanh

- 1

-

LI NÓI U

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” là tài liu ưc úc rút t nhng

bài hc, kinh nghim, tư duy hc Toán ca chính tác gi. Cách th hin ni dung

trong tài liu này có th vn tt, ch yu là các suy lun m, nhưng chc chn s

em li cho bn c yêu Toán nhiu iu b ích. Cách suy ngh v mt bài toán

như th nào? Có th m rng ưc bài toán ó không? Có mi liên kt nào khác

không? Bt u t âu?... Nhng câu hi loi như vy ưc nhc n hu như

thông sut t u n cui trong nhng bài vit  ây. iu ó khin cho bn

c như ưc cun hút vào tng chi tit, mi vn , mi công thc hay nh lý.

Bn c s có cm giác nhng nh lý hay công thc dù rt cơ bn  ây u

như chính bn là ngưi tìm ra chúng vy. Hc  bit cách làm mt bài toán

không khó, nhưng hc cách xây dng mt bài toán thm chí là c mt công trình

Toán Hc m i là mt vn  áng quan tâm. Khi c xong tài liu này các bn

có th nhn ra r!ng: nghiên cu Toán hc không phi là mt iu gì ó quá xa

vi ngoài tm tay ca bn. Hãy luyn tp tư duy sáng to ngay t hôm nay!

Chúc các bn thành công!

Hà ni ngày 25 tháng 3 nm 2006

Hoàng Xuân Thanh

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” Hoàng Xuân Thanh

- 2

-

MT: BT U T KHAI TRIN A THC

a thc là mt hàm s c bn và quan trng. Bn thân a thc vn cha

ng rt nhiu tính cht c thù mà ng dng ca nó rt a dng trong nhiu lnh

vc khác nhau ca Toán hc cng như trong t nhiên. Vic kho sát các hàm s

dng a thc là rt n gin, vì th ngưi ta thưng nghiên cu các khai trin ra

a thc có th ưc i v i mt hàm s bt k!  tin li cho quá trình tính toán.

in hình là khai trin nh" thc Newton mà chúng ta s# tìm hiu sau ây:

BÀI 1: KHAI TRIN NH$ THC NEWTON

Công thc khai trin nh" thc Newton h%n không xa l gì i v i bn

khi ưc hc v T& hp. ó là công thc biu di'n khai trin ly th(a n ca mt

t&ng:

n

n k n-k k

n

k 0

(x a) C x a

=

+ =



(1)

Trong ó các h s

k

n

C

(

k 0, n

=

) là s t& hp n ch)p k,

( )

k

n

n!

C

k! n - k !

=

(n!=1.2…n; 0!=1)

Câu h*i t cho bn là : “ Newton ã tìm ra công thc này như th

nào?” Bn có th chng minh (CM) ưc công thc trên mc dù chưa ưc bit

n các khái nim và công thc v t& hp? Sao li không nh+?

I. ĐI TÌM LỜI GIẢI

- t

n

P (x)

0 n 1 n-1 n n

n n n

C x C x a ... C a

= + + +

(2)

trong ó

k

n

C

(k

=

0,n

) là các h s c,n tìm.

- Cho x

=

0, khi ó (1) tr- thành

n n n

n

a C a

=

. V)y

n

C

=

1

- Mt khác n

P (x)

=

n 0 n 1 n-1 n n

n n n

(a x) C a C a x ... C x

+ = + + +

(3)

.ng nht (2) và (3) ta ưc:

k n-k

n n

C C

=

(

k

=

0,n

) (I)

(I)

0 n

n n

C C 1

= =

.

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” Hoàng Xuân Thanh

- 3

-

- Các h s

k

n

C

có ưc b/ng cách nhân Decactes thông thưng là gì?  ý r/ng

m0i s hng

n-k k

x a

ưc to nên b-i tích ca (n-k) ph,n t1 x ưc chn trong

(n-k) nhân t1 (x+a) v i k ph,n t1 a trong k nhân t1 (x+a) còn li. Do ó

k

n

C

chính là s tt c các cách chn k ph,n t1 a trong n nhân t1 (x+a).

-  n gin hóa iu này ngưi ta "nh ngha:

II. ĐỊNH NGHĨA TỔ HỢP

Cho tp hp E = {a

1

,a

2,

...,a

n

}. Mi tp con gm k phn t phân bit ca

E ưc gi là mt t hp n chp k các phn t ca E.

Như v)y

k

n

C

chính là s các t& hp n ch)p k.

Tr- li v i a thc

n

k n-k k

n n

k 0

P (x) C x a

=

=

.

- Ta có:

n 1

n 1 n

P (x) (x a) (n 1)P (x)

+

+= + = +



n n 1

k n-k k k n 1 k

n n+1

k 0 k 0

C x a (x a) C x a

++

= =

+ =

 

n n n 1

k n 1 k k k n k k 1 k n 1 k k

n n n 1

k 0 k 0 k 0

C x a C x a C x a

+

+ − − + + −

+

= = =

⇔ + =

  

n n

0 n 1 k n 1 k k k 1 n 1 k k n n 1

n n n n

k 1 k 1

n

0 n 1 k n 1 k k n 1 n 1

n 1 n n 1

k 1

(C x C x a ) ( C x a C a )

(C x C x a C a )

+ + − − + − +

= =

+ + − + +

+ +

=

⇔ + + +

= + +

 



23

0 0 n n

n n 1 n n 1

C C C C 1

+ +

= = + =

(theo 456789:48(I))

Do ;89(8%6789:489<=689>8?@A8<>B

k 1 k k 1

n n n+1

C C C (k 1,n)

− +

+ = =

(II)

T(8456789:48(II) 9>8C)D8ư48E678?>@ ây:

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” Hoàng Xuân Thanh

- 4

-

n=0

0

C

1

n=1

0

1

C

1

C

→

↓

1

→

↓

n=2

0

2

C

1

2

C

→

↓

2

C

→

↓

hay 1

2

→

↓

1

→

↓

n=3

0

3

C

1

3

C

→

↓

2

3

C

→

↓

3

C

→

↓

1

3

→

↓

3

→

↓

1

→

↓

… … … … … … … … … … …

F>G87HI48?89<=68ư487H8CJ89>G87HI48K>?4>CL86;84:M8D:ND89>8OI48"6:8

ư48P,684I48:8?

k

n

C

89:QM8456789:48(II). 48HG84>89>G87HI48K>?4>C86JA8CJB

Hai cnh ca tam giác g.m toàn s 1, k t( hàng n=2 tr- i thì m0i s

hng - hàng dư i b/ng t&ng ca hai s hng hàng k trên (theo chiu

→

).

Như v)y hàng n ca R Pascal cho ta các h s khai trin nh" thc

Newton

n

P (x) (x a)

= +

.

Ví d:

5 5 4 3 2 2 3 4 5

( ) 5 10 10 5

a b a a b a b a b ab b

+ = + + + + +

Bài toán chưa th khép li - ây, vì nu ch+ dùng R Pascal mà tính

k

n

C

v i n và k l n (

1003

2006

C

ch%ng hn) thì không kh thi. Thc t ta c,n tìm mt

công thc tính

k

n

C

trc tip theo n và k.

Xét a thc

n

n k n k k

n n

k 0

P (x) (x a) C x a

−

=

= + = 

Ly o hàm b)c nht c hai v biu thc trên theo bin x ta ưc:

n

n 1 k (n 1) k k

n

k 0

n(x a) (n k)C x a

− − −

=

+ = −



k

n

n 1 n 1

k

n 1

(n k)C

nP (x) P (x)

C

− −

−

⇔ =

k

n

k

n 1

C

n

C n k

−

⇔ =

−



k

n 1

k

n 2

C

n 1

C n k 1

−

=

− −

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” Hoàng Xuân Thanh

- 5

-

... ...



k

k 1

k

C

k 1

C 1

+

=

.

Nhân các %ng thc trên theo t(ng v ta ưc:

k

n

n(n 1)...(k 1)

C

(n k)(n k 1)...1

− +

=− − −

k

n

n(n 1)...(k 1).k(k 1)...1

C

1.2...k.(n k)(n k 1)...1

− + −

⇔ = − − −

t n!

=

1.2…n (quy ư c 0!

=

1) ta ưc:

( )

k

n

n!

C

k! n - k !

=

(III)

(III) chính là công thc ta c,n tìm như ban ,u. S- d quy ư c 0!

=

1 là b-i

vì

( )

0

n

n! 1

C ( 1)

0! n -0 ! 0!

= = =

.  cho tin trong tính toán ta cng quy ư c

k

n

C

=

0 nu

k n

>

.

T( công thc (III) ta d' dàng tìm li ưc các công thc (I) và (II).

Ngoài ra ta d' dàng chng minh ưc

k n k

n n

C C

−

=

Nhn xét: D nhiên  tính ưc

k

n

C

ta không thiu gì cách ngn gn hơn nhng

suy lun rưm rà  trên. Nhưng iu quan trng là cách gii quyt vn , qua

ó m ưng cho nhng sáng to. M rng t bài toán này là bài toán sau ây:

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” Hoàng Xuân Thanh

- 6

-

BÀI 2: TÍCH TS NHIÊN

I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Bài toán: Cho a thc bc n:

( ) ( 1)( 2)...( )

n

P x x x x n

= + + +

.

Hãy tìm dng khai trin ca

( ), ( 0)

n

P x x

≠

.

1. ĐI TÌM LỜI GIẢI

t

n

n k

k

n

k 0

P (x) x

−

=

=∏



,

Trong ó

k

n

∏

(

k 0,n

=

) là các h s c,n tìm.

V)y h s

k

n

∏

ưc to nên như th nào ?

 to nên mt s hng

n k

x

−

, ta phi chn (

n k

−

) s hng x trong n

nhân t (

x i

+

) ; (

1,

i n

=

) ri nhân vi các s hng t do trong k nhân t

(

x i

+

) còn li. Như vy mi s hng cha

n k

x

−

là tích các phn t ca mt t

hp n chp k các phn t ca tp hp

{1,2,.., }

n

.

Có ngha là :

1 2 k

k

n

1 2 k

1 p p ... p n

p p ...p

≤ < < < ≤

=

∏

(

k 1,n

=

) (I)

Rõ ràng vi k = 0 thì :

0

n

1

=

∏

(h s

n

x

ca khi khai trin a thc

( )

n

P x

b!ng 1)

Và

n

n!

=

∏

(theo (I))

Ví d:

1 2

2

31 2

1 p p 3

p p 1.2 1.3 2.3 11.

≤ < ≤

= = + + =

∏



T( công thc (I) ta i n "nh ngha sau:

2. ĐỊNH NGHĨA

k

n

∏

"#$%&'$()$%%$($(*($%+(,$(*($-,&$%$()$./$%$,-$&$(,-$0$()$%-$(*($

1$% $&,/2&$0,3&'$45*$&6$7)8$'/$%%$

k

n

∏

"#$%+(,$% $&,/2&$&$(,-$0$,)8$%+(,$&$

(,-$06

Vn  ca t ra - bài toán này là: Tìm công thc  tính

k

n

∏

trc tip theo k

và n.

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” Hoàng Xuân Thanh

- 7

-

- Xét a thc

n

n k

k

n

k 0

P (x) x

−

=

=∏



Ta có:

n 1

n 1 k

k

n 1

k 0

P (x) x

+

+ −

+

=

=∏



(1)

Mt khác theo  bài:

[ ] [ ]

nn k

n

k

n 1 n

k 0

n n

n 1 k n k

k k

n n

k 0 k 0

P (x) x (n 1) P (x) x x (n 1)

x (n 1)x (

2)

−

+

=

+ − −

= =

= + + = + +

∏

= + +

∏ ∏



 

T( (1) và (2) suy ra:

n 1 n n

n 1 k n 1 k n k

k k k

n 1 n n

k 0 k 0 k 0

x x (n 1)x

+

+ − + − −

+

= = =

= + +

∏ ∏ ∏

  

n

n 1 n 1 k n 1 k

0 n 1 k

n 1 n 1 n 1

k 1

n n

n 1 n 1 k n+1 k

0 k k 1 n

n n n n

k 1 k 1

x x x

x x (n 1)x (n 1)

+ + − + −

+

+ + +

=

+ + − −

−

= =

⇔ + + =

∏ ∏ ∏

+ + + + +

∏ ∏ ∏ ∏



 

n n n

n 1 k n 1 k n+1 k

k k k 1

n 1 n n

k 1 k 1 k 1

x x (n 1)x

+ − + − −

−

+

= = =

⇔ = + +

∏ ∏ ∏

  

k k-1 k

n 1 n n

(n 1)

+



= + +

∏ ∏ ∏

(II)

Công thc (II) cho phép ta tính d,n ưc các

k

n 1

+

∏

thông qua các giá tr" trung

gian

k

n

∏

và

k 1

n

−

∏

.

Ta có th quy ư c

k

n

0

=

∏

nu

k n

>

,  tin cho vic tính toán mà không

nh hư-ng n tính úng Tn ca các công thc - trên.

Theo (II) ta có:

k k k-1

n n-1 n-1

n− =

∏ ∏ ∏

k k k-1

n-1 n-2 n-2

(n -1)



− =

∏ ∏ ∏

… … … …. …

k k k-1

1 0 0

1



− =

∏ ∏ ∏

Cng n %ng thc trên li ta ưc

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” Hoàng Xuân Thanh

- 8

-

n

k k 1

n i 1

i 1

i k,n

−

=

= ∀ ∈

∏ ∏



(III)

Cng t( công thc (II) ta l)p ưc bng sau:

n=0

0

∏

1

n=1

0

1

∏

1

→

∏

↓

1

→

↓

n=2

0

2

∏

1

2

→

∏

↓

2

→

∏

↓

hay 1

3

→

↓

2

→

↓

n=3

0

3

∏

1

3

→

∏

↓

2

3

→

∏

↓

3

→

∏

↓

1

6

→

↓

11

→

↓

6

→

↓

… … … … … … … … … … …

Tam giác s này ưc gi là R Fermat (cng tưng t như R Pascal dùng  tính

d,n các h s khai trin nh" thc). Tam giác Fermat này có c im sau:

- Cnh góc vuông g.m toàn s 1.

- Cnh huyn là dãy s 0!, 1!, 2!,…,n!,…

- K t( hàng n=2 tr- i thì m0i s hng - hàng n+1 b/ng t&ng ca

(n+1) l,n s hng k bên trái - hàng n, v i s hng k tip ca hàng n (theo

chiu

→

)

Như v)y, hàng n ca R Fermat cho ta các h s khai trin a thc

P

n

(x) = (x+1)(x+2)…(x+n).

Ví d: (x+1)(x+2)(x+3)= x

3

+6x

2

+11x+6.

Cng như - bài trư c, vn  t ra là ta phi tìm công thc  tính

k

n

∏

trc

tip theo k và n. Nhưng - bài toán này công vic ó không n gin như ta ngh.

U bài trư c ta ã dùng o hàm ca %ng thc P

n+1

(x) = (x+a)P

n

(x)  tìm ưc

mi liên h

k k

n n 1

n

C C

n k

−

=−

, nhưng nu áp dng cách ó trong bài toán này v i

%ng thc:

n n 1

P (x) (x n)P (x)

−

= +

' '

n n 1 n 1

P (x) P (x) (x n)P (x)

− −



= + +

thì cui cùng ta vVn ch+ thu ưc công thc (II) mà thôi! Tuy nhiên công thc

(III) cho phép ta tính d,n ưc các

k

n

∏

theo k.

Ta có:

n n

1 0

n i 1

i 1 i 1

n(n 1)

i i

2

−

= =

+

= = =

∏ ∏

 

Toán hc và “Nhng suy lun nghe có lý” Hoàng Xuân Thanh

- 9

-

2

n n n n

3 2

2 1

n i 1

i 1 i 1 i 1 i 1

2 2

i (i 1) 1 1

i i i

2 2 2

n (n 1) n(n 1)(2n 1)

(*)

8 12

n(n 1)(n 1)(3n 2)

24

−

= = = =

−

= = = −

∏ ∏

+ + +

= −

− + +

=

   

V i phưng pháp tính

k

n

∏

theo công thc (III) ta thy r/ng: mun tìm ưc

công thc tính

k

n

∏

t&ng quát theo k và n thì phi tìm ưc công thc tính các

t&ng c bn (**) trc tip theo k và n.

Tuy nhiên d' nh)n thy và chng minh ưc

k

n

∏

là mt a thc b)c 2k ca n,

mt khác vì

k k k

0 1 k 1

... 0

−

= = = =

∏ ∏ ∏

nên trong a thc

k

n

∏

phi cha

tích sau:

k

nk

n(n 1)...(n k 1).Q (n)

= − − +

∏

hay

k

nn k

A .Q (n)

=

∏

(IV) trong ó

k k

n n

A k!C

=

còn

k

Q (n)

là mt a thc b)c k ca n v i các h s hWu t+ c,n xác "nh.

Ví d: tính

1

n

∏

theo (IV) ta có:

1

nn 1

A .Q (n) n(an b)

= = +

∏

v i:

1

2

1(a.1 b) 1

1 1

a , b

2 2

2(a.2 b) 3

= + =

∏



= =

 

= + = 

∏





V)y

1

n

n(n 1)

2

+

=

∏

.

Nhn xét: Ta có th tính

k

n

∏

vi k cho trưc theo nhiu cách khác nhau nhưng

không tính ưc tr c tip

k

n

∏

theo k và n. Mt trưng hp in hình là:

1 n 1

n

n 1

n1 n 1

1 k ... k n k 1

1

k ...k n!

k

−

≤ < < ≤ =

= =

∏

 

;

Những suy luận Toán học "nghe có lý"

Một số phương pháp nghiên cứu Toán Học

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi