Tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục của mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên

Chia sẻ: Comam1902 Comam1902 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu mô hình mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên, là mở rộng của mô hình trong. Dựa trên việc xây dựng hàm Lyapunov và sử dụng một số kĩ thuật giải tích như: Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn, tính chất của inf và sup,… chúngtôi sẽ xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục mới cho điểm cân bằng của mạng nói trên. Ngoài ra, chúng tôi cũng lấy ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục của mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 195(02): 95 - 102 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC CỦA MẠNG NƠRON TẾ BÀO CÓ XUNG VÀ TRỄ BIẾN THIÊN Đặng Thị Thu Hiền*, Nguyễn Thị Nhàn, Nguyễn Thị Hiền Trường Đại học Hoa Lư, Ninh Bình TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu mô hình mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên, là mở rộng của mô hình trong [1], [2]. Dựa trên việc xây dựng hàm Lyapunov và sử dụng một số kĩ thuật giải tích như: tính chất của hàm liên tục trên một đoạn, tính chất của inf và sup ,… chúng tôi sẽ xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục mới cho điểm cân bằng của mạng nói trên. Ngoài ra, chúng tôi cũng lấy ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. Từ khóa: Ổn định mũ toàn cục, Mạng nơron tế bào , Xung, Trễ, Hàm Lyapunov. Ngày nhận bài: 22/01/2019; Ngày hoàn thiện: 19/02/2019; Ngày duyệt đăng: 28/02/2019 GLOBAL EXPONENTIAL STABILITY CRITERIA FOR IMPULSIVE CELLULAR NEURAL NETWORKS WITH TIME – VARYING DELAYS Dang Thi Thu Hien*, Nguyen Thi Nhan, Nguyen Thi Hien Hoa Lu University, Ninh Binh ABSTRACT In this paper, we study the model of impulsive cellular neural networks with time – varying delays, which is an extension of the model in [1], [2]. Based on the construction of the Lyapunov function and the use of some analytical techniques such as the properties of continuous functions on a segment, the properties of inf, sup, , and... we will build new global exponential stability criteria for the equilibrium point of the networks mentioned above. In addition, we also take example to illustrate the results achieved. Keywords: Global expontial stability, cellular neural networks, impulsive, delay, lyapunov function. Received: 22/01/2019 ; Revised: 19/02/2019 ; Approved: 28/02/2019 * Corresponding author: Tel: 0947133778; Email: dtthien@hluv.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 95 Đặng Thị Thu Hiền và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN GIỚI THIỆU Trong những năm gần đây mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu sâu rộng và mạnh mẽ của khắp các nhà khoa học trên thế giới vì các ứng dụng liên quan đến xử lí tín hiệu và hình ảnh, liên kết bộ nhớ, phân loại mẫu... Đã có nhiều kết quả công bố về sự ổn định mũ toàn cục cho điểm cân bằng của mạng. Kết quả trong [4], [7] cho thấy sự phụ thuộc của độ trễ  vào các thời điểm xung, cụ thể yều cầu   tk  tk 1 , k  1 được đặt ra, do đó kết quả chỉ có giá trị đối với sự chậm trễ nhỏ nên không có ý nghĩa đối với một số ứng dụng thực tế. Kết quả trong [2], [3] đòi hỏi Dv(t )  0 , nghĩa là mạng ban đầu (không 195(02): 95 - 102 Kết quả trong [1] của Bo wu, Yang Liu, Jianquan Lu đạt được mà không cần điều kiện D v(t )  0 , tức là mạng ban đầu không có tác động của xung có thể không ổn định, điều này cho thấy xung đóng vai trò quan trọng trong việc làm cho điểm cân bằng của mạng ổn định mũ toàn cục. Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng mô hình trong [1], [2], cụ thể sẽ nghiên cứu mô hình (1.1) dưới đây. Chúng tôi sẽ xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân bằng của mạng (1.1). Kết quả của chúng tôi có lợi thế so với một số kết quả đã công bố, cụ thể: độ trễ  là bị chặn tùy ý và điều kiện D v(t )  0 không cần đặt ra. xung) cần được ổn định. (1) trong đó i  1, 2,..., n, n  2 là số nơron của mạng,  j (t) là sự truyền trễ dọc theo sợi trục của các nơron thứ j và thỏa mãn 0   j (t)  , 0  t 0  t1  t 2  ..., lim t k   , t 0 là thời điểm ban đầu, t1 , t 2 ,..., là các thời điểm xung, k  PC   :  ,0     n , (t) liên tục trừ ra tại hữu hạn các điểm t mà tại đó tồn tại  (t ), (t ) và (t )  (t) , BC   PC :  bị chặn trên  , 0 , với  BC ta xác định    sup (s) , s  ,0 Điểm x*  (x1*, x *2,..., x *n) T  n được gọi là điểm cân bằng của hệ (1.1) nếu n n  * * 0   c x  a f (x )  bijg j (x *j )  Ii    i i ij j j ,i  1, 2,..., n (2)  j1 j1 *  0  Pi (x i ) Kí hiệu x(t)  x(t, t 0 , ) là nghiệm của hệ (1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x t0   , tức là x t0 (s)  x(t 0  s)  (s),s   ,0 . Giả sử nghiệm của (1) liên tục khắp nơi trừ tại các thời điểm xung t k mà tại đó nghiệm liên tục trái và tồn tại giới hạn phải. 96 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Đặng Thị Thu Hiền và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 Ta sẽ nghiên cứu mô hình (1) với các giả sử sau A1 ) Tồn tại các hằng số Li  0, Ni  0,i  1, 2,..., n thỏa mãn fi (x1 )  fi (x 2 )  Li | x1  x 2 |, gi (x1 )  gi (x 2 )  Ni x1  x 2 , x1, x 2  ,i  1, 2,..., n. , Pi  xi (t k )   ik  x i (t k )  x*i  ,1  d k  ik  1  d k , A 2 ) Các hàm Pi liên tục trên trong đó 0  d k  1 , i  1, 2,..., n, k  1, 2,..., A 3 ) Tồn tại duy nhất điểm cân bằng thỏa mãn (2). MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa 1. Hàm V :   n   ( i) V liên tục trên mỗi tập (t k 1 , t k ]  được gọi là thuộc lớp V0 nếu n , k  1, 2,..., và V(t,0)  0, t  t 0 , (ii) V(t, x) là Lipschitz địa phương theo x, (iii) Với mỗi k  1, 2,... tồn tại giới hạn lim (t,y) (t k ,x) V(t, y)  V(t k , x). Định nghĩa 2. Cho hàm V  V0 . Với (t, x)  [t k 1 , t k )  n , k  1, 2,..., đạo hàm trên bên phải của V  V0 đối với hệ (1) được xác định bởi: D V  t, x(t)   lim h 0 V  t  h, x(t  h)   V  t, x(t)  . h Định nghĩa 3. Điểm cân bằng x  (x , x*2 ,..., x*n )T của hệ (1) được gọi là ổn định mũ toàn * * 1 cục nếu   0, M  1 sao cho: x(t, t 0 , )  x*  M   x* e   (t  t 0 ) , t  t 0 . Đặt yi (t)  xi (t)  x*i ,i  1, 2,..., n thì hệ (1) trở thành: n n  ' * *   y (t)   c y (t)  a f y (t)  x  f (x )  bij g j  y j (t   j (t))  x *j   g j (x *j )   i   i i ij  j  j j j j  .  j1 j1 yi (t k )  Pi  yi (t k )  x *i  , i  1, 2,..., n, k  1, 2,...  Bất đẳng thức Yuong: Cho a, b  0 và p, q  1 thỏa mãn 1 1 a p bq   1 . Khi đó: ab   . p q p q KẾT QUẢ CHÍNH Trong mục này, chúng tôi xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân bằng của mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên (1). Định lí 1. Giả sử p  1, 1 , 2 ,..., n  0 và các điều kiện A1  A3 được thỏa mãn. Đặt: n  n   j k1  min  pci  Li   (p  1)  L j a ij 1i  n j1  i j1   p p 1  N j bij p p 1 n     j , k  max N   2 1in  i   .   j1 i  Giả sử: k1  0 và   0,   0 : http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 97 Đặng Thị Thu Hiền và Đtg (i) k1  Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 k 2e    , k  1, 2,... , với 0  d 0 1, d k được cho trong A 2 , d pk 1 (ii) p ln d k 1  (  )(t k  t k 1 ), k  1, 2,... Khi đó, điểm cân bằng của hệ (1) là ổn định mũ toàn cục. Chứng minh. Đặt max  max{1 , 2 ,..., n }, min  min{1 ,  2 ,...,  n }. 1  n p p Ta xác định hàm Lyapunov v(t)  V  t, y(t)    i yi (t) và xét y(t)    yi (t)  . i 1  i 1  n Với t  t 0 và t  t k , k  1, 2,... ta có: D v(t)  n D v(t)   i p yi (t) p 1 i 1 p n   p y (t) i 1 i i p 1 sgn(yi (t)) y 'i (t) . Do đó: n  sgn  yi (t)   ci yi (t)   a ij f j  y j (t)  x *j   f j (x *j )  j1    n   bij g j  y j (t   j (t))  x *j   g j (x *j )  j1    n n n   p p 1 p 1   i p  ci yi (t)   L j a ij yi (t) y j (t)   N j bij yi (t) y j  t   j (t)   . i 1 j1 j1   Áp dụng bất đẳng thức Yuong với p  1, q   y j (t)  a ij yi (t)  y  t   (t)  b j j ij p ta có: p 1 p 1 yi (t)  p 1   y j (t)  p p 1 p yi (t) a ij p   y j  t   j (t)  p n  n   j  (p  1)  L j a ij Do đó D v(t)    pci  Li  i 1  j1  i j1  n  p p p 1 p p p 1 , p 1 p  yi (t) bij p  N j bij   p p 1 p p 1 .  p   i yi (t)   n  n   p j    Ni   i yi  t  i (t)   . i 1  j1  i    1  . p   d k 1  Suy ra, D v(t)   k1 v(t)  k 2 sup v(s) . Đặt   sup  t s  t Từ giả thiết A1 ) 98 1 d p k 1  k 1     k1     k1 , k  1     k1  k 2e     .   k 2e k 2e http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Đặng Thị Thu Hiền và Đtg 1 Theo A 2 ) ta có     x* Suy ra: Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN d p  p k 1 195(02): 95 - 102  e(  )(t1  t0 )  1 . Do đó, M  1: e(  )(t1 t0 )  M  e . p (3) p    x* e(t1 t0 )  M   x* e (t1 t 0 ) .   Tiếp theo ta đi chứng minh: v(t)   max M   x * p  e (t  t0 ) , t  (t 0 , t1 ]. p Để làm điều này, ta chỉ cần chứng minh: v(t)   max M   x* e (t1  t 0 ) , t  (t 0 , t1 ]. (4)  Vì v(t) liên tục trái tại t1 nên để chứng minh (4) ta chỉ cần chứng minh: p v(t)   max M   x* e (t1 t0 ) , t  (t 0 , t1 ). (5)  Giả sử (5) không đúng. Khi đó tồn tại t  (t 0 , t1 ) sao cho p p   v(t)  max M   x* e (t1 t0 )   max   x*  p  v(t 0  s), s [  , 0]. (6)  Đặt t =inf t : v(t)   max M   x* e (t1  t0 ) , t  (t 0 , t) .  p   v(t)   max M   x* e  (t1  t0 )  Dễ thấy, t  (t 0 , t) và  . v(t)  v(t), t  [t   , t]  0  Đặt:  (7)  p t  sup t : v(t)   max   x* , t [t 0 , t)  t  [t , t) :  0 (8) Với s [  , 0],  t  [t, t] thì t  s [t  , t]  [t 0  , t] . Do đó từ (3), (7), (8) ta có: p p   v(t  s)  max M   x* e (t1  t0 )  max e   x*  e v(t)  e v(t). Suy ra D v(t)  k1v(t)  k 2 e v(t)  (k 1 k 2e )v(t)  (  )v(t),  t [t, t] . Do đó hàm u(t)  v(t)e (  )t nghịch biến trên [t, t]. Do đó: p p v(t)  v(t)e(  )(t  t )  max   x* e(  )(t  t )   max   x* e(t1  t0 )      max M   x * p  e (t1  t0 )  v(t) (vô lý)  (5) đúng p Tiếp theo ta đi chứng minh: v(t)   max M   x* e (t  t 0 ) , t  (t k 1 , t k ], k  1.  p Giả sử: Ta sẽ chứng minh: v(t)   max M   x* e (t  t0 ) , t  (t k 1 , t k ], k=1,2,...,m.  p v(t)   max M   x* e (t t0 ) , t  (t m , t m1 ] .  (9) (10) Vì v(t) liên tục trái tại t m 1 nên để chứng (10) ta chỉ cần chứng minh : p v(t)   max M   x* e (t t0 ) , t  (t m , t m1 ).  http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn (11) 99