Tính hút mũ trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân dạng đa diện có trễ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Tính hút mũ trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân dạng đa diện có trễ trình bày một số kiến thức chuẩn bị, sau đó nêu định nghĩa về tính hút mũ của nghiệm và một điều kiện đủ cho tính hút mũ. Cuối cùng là điều kiện đủ cho tính hút mũ của nghiệm tầm thường cho hệ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính hút mũ trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân dạng đa diện có trễ

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN:978-604-82-2548-3 TÍNH HÚT MŨ TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG ĐA DIỆN CÓ TRỄ Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG nghiệm và một điều kiện đủ cho tính hút mũ. Cuối cùng là điều kiện đủ cho tính hút mũ của Bao hàm thức vi phân có trễ là mô hình cho nghiệm tầm thường cho hệ (1.1)-(1.2). nhiều bài toán khác nhau, điển hình là các bài toán điều khiển có phản hồi đa trị. Nghiên cứu 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU sự tồn tại nghiệm và dáng điệu nghiệm là hai trong số những trụ cột khi nghiên cứu định Sử dụng phương pháp nửa nhóm, phương tính về các hệ vi phân. Dáng điệu nghiệm pháp ước lượng tiên nghiệm. trong khoảng thời gian hữu hạn có ứng dụng vào một số bài toán liên quan đến quá trình 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU sinh hóa (biochemical networks), quá trình 3.1. Kiến thức chuẩn bị chuyển đổi tín hiệu, điều khiển trong khoảng thời gian hữu hạn… ở đó các quá trình cần Cho E là không gian Banach. Các không 1 quan sát chỉ xảy ra trong khoảng thời gian gian: C([0; T];E ), L (0, T; E) lần lượt là không ngắn. Từ đó nảy sinh hướng nghiên cứu về hệ gian các hàm liên tục và khả tích Bochner. động lực thời gian hữu hạn, trong những năm Ngoài ra, ta cần các khái niệm sau về nửa gần đây hướng nghiên cứu này đã thu hút nhóm (xem [3]). được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Định nghĩa 1. Cho {S(t)}t 0 là một C0 - Sử dụng khái niệm được nêu ra trong [2], tôi nửa nhóm trên E , {S(t)}t 0 được gọi là: đi tìm điều kiện đủ để nghiệm tầm thường của i) ổn định mũ nếu tồn tại các số hệ sau đây hút mũ trong trên [0; T]: M  1,  0 sao cho: S(t)  Me t ,  t  0;  u (t)  Au(t)  F(t,u t ), t  [0,T] (1.1)  ii) compact nếu S(t) là toán tử compact  u(t)  (t), t  [  h, 0] (1.2) với mỗi t  0 ; với u lấy giá trị trong không gian Banach X, iii) liên tục theo chuẩn nếu t a S(t) là liên A là toán tử sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh tục với t 0. {S(t): t  0}, ut là hàm trễ của hàm u và Khái niệm về tính hút mũ của nghiệm cho F(t, u t )  co{f1 (t, u t ); f 2 (t,u t ); ....; f n (t,u t )} hệ (1.1)-(1.2) được tương tự hóa từ khái niệm với các hàm đơn trị fi (t,u t ), i  1,...,n xác cho trường hợp vi phân thường được P. Giesl định trên [0,T]  C([-h, 0]; X) . Hàm  cho và M. Rasmussen đưa ra trong [2]. Ở định trước và là dữ kiện đầu. nghĩa dưới đây, ||  || C được hiểu là chuẩn h Sự tồn tại nghiệm của hệ (1.1)-(1.2) đã trong C([0; T];E ) và S( ) là tập nghiệm của được chỉ ra trong [1], trong bài báo này tôi nghiên cứu về tính ổn định của nghiệm. Phần (1.1)-(1.2) với điều kiện đầu .  còn lại của bài báo được sắp xếp như sau: Định nghĩa 2. Giả sử  : [0,T]  X là một Trước hết, tôi nhắc lại một số kiến thức chuẩn nghiệm của hệ (1.1) - (1.2). Nghiệm  được bị, sau đó nêu định nghĩa về tính hút mũ của gọi là hút mũ trên [0,T] nếu: 145
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 1 3.2. Tính hút mũ trên [0,T] của nghiệm lim sup sup sup u T  T Ch  1. ] 0  B (  ) u S( ) tầm thường Bổ đề dưới đây nêu một điều kiện đủ cho Nhằm thu được tính hút mũ của nghiệm tính hút mũ. tầm thường trên [0,T] , ta cần các giả thiết sau Bổ đề 1. Giả sử  là một nghiệm của hệ (A*) Nửa nhóm S(t),t  0 là liên tục theo (1.1) - (1.2). Khi đó  là hút mũ trên [0,T] chuẩn và ổn định mũ, tức là uT  T Ch | S(t)  N et ,  t  0, nếu lim sup sup  1.  C 0 uS(  ) C trong đó N  1,   0 . h h Để thu được sự tồn tại nghiệm tích phân, đặt (F*) Giả sử hàm F thỏa mãn (F) và J  [0, T], Ch  C([ h, 0]; X), (1) fi (t, 0)  0 , với i  1, n ; C  {v  C(J; X) : v(0)  (0)},  Ch . (2) fi (t, )  C1 ( Ch ) với mỗi t  J , i  1, n ; Với v  C , hàm v[]  C([  h,T];X) xác t (3) Nếu 0  v(t)  C 0 m(s) (v(s))ds,  v(t) khi t  [0,T], định như sau v[](t )   trong đó v là một hàm liên tục và C là hằng  (t ) khi t  [ h, 0]. số dương, thì v(t)  0 với mọi t  [0,T] . Ta giả thiết: Chú ý: Từ (F*) (1)-(2), ta thấy 0  S(0) (A) Nửa nhóm S() sinh bởi A liên tục theo chuẩn và S(t)x  M x ,x  X . và f (t, )  C1 (Ch ) với mỗi f (t, x)  F(t, x) . Định lí 2. Giả sử (A*) và (F*) thỏa mãn. (F) Các ánh xạ fi : J  Ch  X, i  1, n, thỏa Nghiệm tầm thường của hệ (1.1)-(1.2) là hút mãn: (1) fi (, x) đo được mạnh với mỗi mũ trên [0,T] nếu x  Ch và fi (t, ) liên tục với hầu khắp t  J ; h ln N   h  e N M T  T, () 1  (2) tồn tại hàm m  L (J; ¡ ) và hàm thực liên tục và không giảm  sao cho f i (t, x)  m(t) ( x ), x  Ch ; ở đây M  sup  max  t[0,T]  1i n  Dfi (t,0)  . Ch Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh (3) Nếu nửa nhóm S() không có tính rằng lim sup sup u t  0,  t  [0;T ]. Ch compact thì tồn tại hàm k  L1 (J; ¡  ) sao cho 0 uS( ) (fi (t, B))  k(t) sup  (B()) , với mọi tập bị Thật vậy, ta có [ h,0] ut Ch  sup u (t   chặn B  Ch . [ h, 0] Sau đây là định nghĩa về nghiệm của hệ.  C  sup u( t  ) . h [ h,0],t  0 Định nghĩa 3. Hàm liên tục u : [ h,T]  X được gọi là nghiệm tích phân Với t    0 và  [ h, 0] , thì của (1.1)-(1.2) nếu u(t)  (t) với t  [ h,0] u(t  )  N e (t  )  Ch và tồn tại f  PF (u |[0,T] ) sao cho t   ( t s) t N e f (s, u s ) ds 0 u(t)  S(t) (0)   S(t  s)f (s)ds , t  [0,T] . 0 t  N  C  eh N 0 m(s)  ( us Ch )ds. Định lí 1. (xem [1]) Giả sử (A) và (F) thỏa h mãn, hệ (1.1)-(1.2) có nghiệm tích phân nếu Vì vậy có R  0 sao cho ut   C (1  N ) Ch h R  M. t (0) + m  (  Ch  R)  eh N  m(s)  ( u s Ch )ds. 0 146
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN:978-604-82-2548-3 Do đó Hệ quả là, lim sup sup u t Ch e T u T Ch  0 uS( ) lim sup sup  eh N  t 0 uS( )  Ch  eh N 0 m( s)  (lim sup sup u s Ch )ds,  0 u S( ) T es u s Ch h Vì  () là một hàm không giảm. Đặt e N 0 M limsup sup ds  0 uS ( )  v(t)  lim sup su p u t C , thì Ch  0 uS(  ) h T es u s Ch t h h v(t)  eh N m(s) (v(s))ds. e N  e NM 0 limsup sup ds. 0 0 uS( )  Ch Theo (F*)(3) , ta được v(t)  0 với mọi t  [0,T] . Sử dụng Định lí giá trị trung bình, Tiếp tục sử dụng Định lí Gronwall, ta được ta có eT u T Ch f i (t, x)  f i (t, y) lim sup sup  eh N exp(eh NM T). 0 uS( )  Ch  sup Df i (t, y  (x  y))(x  y) , t  [0, T]. [0,1] Từ đó Cho y  0 , ta được uT Ch f i (t, x)  sup Df i (t, x) x , t  [0,T ]. lim sup sup  N e (T h) exp(eh NM T). [ 0,1] Ch 0 uS( ) C h Với f (t, x)  F(t, x) , thì Sử dụng điều kiện () trong giả thiết của n Định lí, ta được điều phải chứng minh. f (t, x)   i f i (t, x) trong đó  i  0 và i 1 4. KẾT LUẬN n  i  1 . Vì vậy Sử dụng phương pháp ước lượng tiên i 1 nghiệm và Bổ đề về điều kiện đủ cho tính hút n f (t, x)    i fi (t, x) mũ của nghiệm, tôi đã chỉ ra được tính hút mũ i 1 của nghiệm tầm thường cho hệ (1.1)-(1.2).    max 1i n  sup Df i (t, x)  x . 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO  [ 0,1]  Ch [1] N.V. Dac (2017), Sự tồn tại nghiệm của bao Lấy u  S( ) , thì u(T  )  hàm thức vi phân với phần phi tuyến tăng T   S(T   ) (0)   S(T    s)f (s,u s )ds. trưởng trên tuyến tính, Tuyển tập hội nghị 0 khoa học thường niên Đại học Thủy lợi. Từ đó suy ra 105-107. uT Ch  e   ( T h) N (0) [2] P. Giesl, M. Rasmussen (2012), Areas of T   (T s) attraction for nonautonomous diferential  eh N 0 e f (s, u s ) ds equations on finite time intervals. J. Math. Anal. Appl. 27-46.  N e (Th)  Ch  [3] M. Kamenskii, V. Obukhovskii and P. Zecca (2001), Condensing Multivalued Maps and T   N e (Th)  es max  sup Dfi (s, u s )  0 us ds. Semilinear Differential Inclusions in Banach 1in [0,1]  Ch spaces , Walter de Gruyter, Berlin. Vì thế T e uT Ch  e h N  Ch  T s   eh N  e max1in  sup Dfi (s, us )  us Ch ds. 0  [0,1]  147