Tính ổn định cột có độ cứng tiết diện thay đổi bằng phương pháp sai phân hữu hạn

Tính ổn định cột có độ cứng tiết diện thay đổi<br /> bằng phương pháp sai phân hữu hạn<br /> Column stability analysis with variation cross section using finite difference method<br /> Trần Thị Thúy Vân, Hoàng Việt Bách<br /> <br /> <br /> Tóm tắt 1. Đặt vấn đề<br /> Bài báo trình bày cách áp dụng phương Trong các công trình xây dựng dân dụng và công nghiệp, cột là cấu kiện chịu lực<br /> pháp sai phân hữu hạn để tính ổn định cơ bản. Việc tính toán khả năng chịu lực của cột phải đảm bảo ba yêu cầu về độ bền,<br /> cho cột có độ cứng tiết diện thay đổi độ cứng và độ ổn định. Có nhiều trường hợp kết cấu thỏa mãn điều kiện về bền và<br /> cứng nhưng vẫn không thể sử dụng được do không đảm bảo về điều kiện ổn định.<br /> theo quy luật bất kỳ với các điều kiện<br /> Hình dáng và kích thước mặt cắt ngang của cột được lựa chọn phụ thuộc vào sơ đồ<br /> biên khác nhau. Việc giải các phương<br /> làm việc và hình thức tác dụng của tải trọng. Trong phần lớn các kết cấu xây dựng<br /> trình vi phân được thay thế bằng hệ<br /> kích thước mặt cắt ngang được lựa chọn là không đổi tại mỗi đoạn cột. Tuy nhiên,<br /> phương trình đại số xác định các thông trong một số trường hợp do yêu cầu về kiến trúc hoặc đặc trưng tác dụng của tải<br /> số tính ổn định cho cột. Từ đó, thiết lập trọng cũng như do yêu cầu về tính kinh tế, người ta sử dụng cột có kích thước mặt cắt<br /> trình tự tính toán bằng phần mềm lập ngang thay đổi theo quy luật nhất định nào đó. Bài toán ổn định của cột có tiết diện<br /> trình Mathcad cho bài toán ổn định cột thay đổi đã được đề cập trong các tài liệu của cơ học công trình cho một số trường<br /> có độ cứng tiết diện thay đổi theo quy hợp đơn giản như: cột có chiều cao hoặc bề rộng thay đổi theo quy luật bậc nhất; cột<br /> luật bất kỳ. có độ cứng tiết diện thay đổi theo từng đoạn nhất định. Các đường lối giải bài toán<br /> Từ khóa: Cột có độ cứng tiết diện thay đổi, ổn này được xây dựng trên cơ sở phương pháp giải tích có thể cho lời giải chính xác<br /> định cột, phương pháp sai phân hữu hạn, tải trong trường hợp đơn giản. Đối với các bài toán phức tạp như cột độ cứng tiết diện<br /> trọng tới hạn thay đổi theo quy luật bất kỳ và có điều kiện biên bất kỳ thì việc sử dụng phương pháp<br /> giải tích gặp phải các khó khăn về mặt toán học. Hiện nay, các phần mềm ứng dụng<br /> phương pháp phần tử hữu hạn đã cho phép tính ổn định cột có độ cứng tiết diện thay<br /> Abstract đổi, nhưng chỉ phù hợp khi độ cứng tiết diện thay đổi theo một quy luật đơn giản và sẽ<br /> This paper presents the application of khó áp dụng nếu độ cứng tiết diện thay đổi theo một hàm bất kỳ. Với sự phát triển của<br /> finite difference method to calculate công nghệ thông tin và các công cụ lập trình các bài toán phức tạp có thể giải quyết<br /> maximum buckling load of columns được bằng cách áp dụng các phương pháp số. Một trong những phương pháp số có<br /> with random variation cross section and thể áp dụng và giải quyết được tương đối triệt để vấn đề nghiên cứu đặt ra là phương<br /> different boundary conditions. Solving pháp sai phân hữu hạn. Bài báo trình bày cách áp dụng phương pháp sai phân hữu<br /> of differential equation was replaced by hạn trong việc thiết lập đường lối tính ổn định cột có tiết diện thay đổi theo quy luật bất<br /> solving of algebraic equations system that kỳ. Từ đó đưa ra thuật toán giải sử dụng phần mềm lập trình MathCad.<br /> determines the parameters to calculate the 2. Thiết lập đường lối tính ổn định của cột có độ cứng tiết diện thay đổi bằng<br /> maximum buckling load of columns. Thereof, phương pháp sai phân hữu hạn<br /> establishing the calculation procedure by 2.1. Phương pháp sai phân hữu hạn trong tính toán ổn định của cột có tiết diện thay<br /> Mathcad programming software for stability đổi<br /> problem of column with random variation<br /> Theo [4] việc áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn giải bài toán ổn định cột<br /> cross section.<br /> được triển khai theo trình tự sau:<br /> Keywords: column with variation cross<br /> - Lập phương trình vi phân đường biến dạng của hệ ở trạng thái lệch khỏi trạng<br /> section, stability of column, finite difference thái ban đầu;<br /> method, maximum buckling load<br /> - Giả thiết chuyển vị tại một số điểm chia của hệ ở trạng thái cân bằng lệch. Thay<br /> phương trình vi phân bằng các phương trình sai phân tương ứng tại mỗi điểm chia<br /> nhận được hệ phương trình đại số thuần nhất với ẩn là các chuyển vị yi của thanh (là<br /> chuyển vị tại điểm chia thứ i);<br /> - Thiết lập phương trình ổn định: Cho định thức của hệ phương trình đại số bằng<br /> TS. Trần Thị Thúy Vân không;<br /> Khoa Xây dựng,<br /> Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội - Giải phương trình ổn định để tìm các lực tới hạn.<br /> Email: Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, chia thanh thành n khoảng thì số ẩn số<br /> ThS. Hoàng Việt Bách yi bằng (n+1) bao gồm y0, y1, ..., yn, còn số phương trình sai phân chỉ có (n-1). Do đó,<br /> Cty TNHH TVTK&XD Đô thị Hà Nội để giải bài toán ta cần bổ sung thêm 2 phương trình điều kiện biên.<br /> UCDC Để tăng độ chính xác của phương pháp ta có thể vận dụng sai phân bậc cao hoặc<br /> Email: tăng số lượng đoạn chia.<br /> Xét một thanh chịu lực nén dọc trục, có độ cứng thay đổi dọc theo chiều dài thanh<br /> theo quy luật Jz(x)=J0.f(x). Thanh một đầu liên kết ngàm cứng và một đầu liên kết<br /> ngàm trượt như thể hiện trên hình 1.<br /> Sử dụng phương pháp lực để giải bài toán, loại bỏ liên kết trên đầu thanh và thay<br /> <br /> <br /> S¬ 27 - 2017 23<br />  KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> thế bằng các phản lực tương ứng là R0 và M0<br /> Phương trình vi phân đường đàn hồi của thanh tại thời<br /> điểm thanh bị mất ổn định được viết dưới dạng sau:<br /> EJz y ′′ = -M0 - R0 x - Pth y<br /> (1)<br /> Chia lưới sai phân với bước sai phân là . Thay đạo hàm<br /> trong biểu thức trên bằng biểu thức sai phân hữu hạn tại<br /> điểm chia thứ i, công thức (1) được viết lại dưới dạng sau:<br /> ∆ 2 yi<br /> EJ0 fi = -M0 - R0 xi - Pth yi<br /> h2 (2)<br /> Biến đổi biểu thức (2), ta có<br /> ˜ 0.i + M<br /> fiΔ2yi - βyi + R ˜ 0 = 0, i = 0, 1, 2, ..., n (3)<br /> Trong đó:<br /> Hình 1. Sơ đồ tính ổn định của thanh đầu ngàm, đầu<br /> R0 3  M0 2 Pth 2 ngàm trượt<br /> R = h M= β<br /> h = h<br /> 0<br /> EJ0<br /> 0<br /> EJ0 EJ<br /> ; 0 ; . <br /> Để tính giá trị của lực tới hạn Pth khi thanh bị mất ổn định • Thanh có liên kết là đầu ngàm đầu khớp<br /> ta cần xác định giá trị của tham số β thỏa mãn phương trình Trong trường hợp này M0=0 và trong định thức (6) bỏ đi<br /> (3). Từ đó, giá trị lực tới hạn Pth được xác định từ công thức: hàng đầu tiên và cột cuối cùng (cột có các giá trị là đơn vị),<br /> EJ0 EJ lúc này định thức d(β) có dạng sau:<br /> Pth β =<br /> = β 2 0 n2<br /> h2 l (4)<br /> -2f1 + β f1 0 . . 0 1<br /> Khai triển với sai phân bậc hai Δ2, phương trình (3) có thể<br /> f2 -2f2 + β f2 0 . 0 2<br /> được viết như sau:<br /> 0 f3 . . . 0 3<br />  ×i +M<br />  =0 d(b) =<br /> fi yi-1 + ( -2fi + b ) yi + fi yi+1 +R 0 0 . . . . . . .<br /> ,<br /> 0 . 0 fn-2 -2fn-2 + β fn-2 n-2<br /> i = 0,1, 2,...,n 0 0 . . 0 -2fn-1 + β n -1<br /> (5)<br /> 0 0 . . 0 2fn n<br /> Trên cơ sở của phương trình (5) thu được một hệ phương (7)<br /> trình đại số thuần nhất đối với ẩn số là các chuyển vị yi và các • Thanh có liên kết hai đầu là khớp<br /> phản lực chưa biết R0 và M0.<br /> Lúc này các phản lực M0 và R0 đều bằng 0. Trong định<br /> Để hệ phương trình đại số thuần nhất (5) có nghiệm khác thức bỏ đi hàng đầu tiên và hàng cuối cùng và 2 cột cuối<br /> không (nghiệm khác nghiệm tầm thường), định thức của các cùng. Định thức d(β) có dạng sau:<br /> hệ số của phương trình phải bằng 0. Lần lượt cho i nhận các<br /> giá trị từ 0, 1, 2, …n, thu được định thức hệ số của phương<br /> -2f1 + β f1 0 . . 0<br /> trình cho trường hợp thanh đầu ngàm cứng, đầu ngàm trượt<br /> f2 -2f2 + β f2 0 . 0<br /> như sau:<br /> 0 f3 . . . 0<br /> 2f0 0 . . . 0 0 1 d(b) =<br /> . . . . . .<br /> -2f1 + β f1 0 . . 0 1 1 0 . 0 fn-2 -2fn-2 + β fn-2<br /> f2 -2f2 + β f2 0 . 0 2 1 0 0 . . 0 -2fn-1 + β<br /> 0 f3 . . . 0 3 1<br /> d( β ) = (8)<br /> . . . . . . . .<br /> • Thanh có liên kết đầu ngàm, đầu tự do<br /> 0 . 0 fn-2 -fn-2 + β fn-2 n-2 1<br /> 0 0 . . 0 -fn-1 + β n -1 1 Trường hợp này định thức d(β) bỏ đi hàng đầu tiên và 2<br /> cột ngoài cùng, còn hai hàng cuối cùng được thay thế bằng<br /> 0 0 . . 0 2fn n 1<br /> (6) 2 hàng sau:<br /> Khi xây dựng các hệ phương trình (5) sử dụng các điểm 0 . . . 0 fn-1 -2fn-1 + β fn-1<br /> biên y-1 và yn+1 và kể tới điều kiện biên y0=yn=0, y’0=y’n=0. Hai 0 . . . 0 0 2fn -2fn + β<br /> điều kiện cuối là các phương trình y-1=y1, yn+1 = yn-1. Các dấu<br /> chấm trong định thức trên thể hiện các thành phần trùng lặp Như vậy, với thanh đầu ngàm đầu tự do định thức d(β)<br /> theo đường chéo fi -2fi+β fi hoặc các số không ở bên trái và có dạng sau:<br /> bên phải đường chéo.<br /> Khai triển định thức ta thu được một đa thức bậc (n-1) f1 0 . . 0 1<br /> đối với tham số β. Từ việc tìm giá trị nhỏ nhất của nghiệm -2f2 + β f2 0 . 0 2<br /> phương trình dạng đa thức sẽ xác định được giá trị của lực f3 . . . 0 3<br /> tới hạn (theo công thức (4), là giá trị của lực khi hệ bắt đầu d(b) =<br /> . . . . . .<br /> mất ổn định.<br /> . 0 fn-2 -2fn-2 + β fn-2 n-2<br /> Thực hiện tương tự như trên với các điều kiện liên kết 0 . . fn-1 -2fn-1 + β fn-1<br /> khác nhau thì định thức (6) sẽ có một số thay đổi, cụ thể là:<br /> 0 . . 0 2fn -2fn + β<br /> (9)<br /> <br /> <br /> 24 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG<br />  Hình 3. Sơ đồ tính toán ổn định và<br /> kích thước cột<br /> <br /> <br /> Bước 5: Giải phương trình ổn định chứa<br /> tham số β: |d(β)| =0<br /> Bước 6: Xác định giá trị lực tới hạn khi hệ<br /> bị mất ổn định:<br /> EJ0 EJ<br /> Pth β =<br /> = β 2 0 n2<br /> D2 l<br /> b) Sơ đồ khối bài toán<br /> Trên cơ sở trình tự giải bài toán, thiết lập<br /> sơ đồ khối như hình 2.<br /> <br /> 3. Ví dụ tính toán<br /> Sử dụng chương trình tính ổn định cột có<br /> tiết diện thay đổi bằng phương pháp sai phân<br /> hữu hạn thiết lập ở trên, tác giả đã thực hiện<br /> việc tính lực tới hạn cho cột có tiết diện thay<br /> Hình 2. Sơ đồ khối của phương pháp sai phân hữu hạn đổi theo quy luật bất kỳ với các điều kiện biên<br /> khác nhau (đầu ngàm đầu khớp, 2 đầu khớp,<br /> đầu ngàm đầu tự do), triển khai cụ thể trong<br /> 2.2. Thiết lập trình tự giải bài toán và sơ đồ khối của bài<br /> [1]. Trong giới hạn bài báo này tác giả trình bày kết quả tính<br /> toán<br /> cho một ví dụ cụ thể:<br /> Trên cơ sở phương pháp giải bài toán ổn định cột có<br /> Tính ổn định cho cột đầu ngàm đầu khớp, có chiều dài<br /> tiết diện thay đổi được trình bày tại mục 2.1, tác giả đã viết<br /> l=6m, môđun đàn hồi vật liệu E=2.108KPa; độ cứng tiết diện<br /> chương trình tính ổn định cột có tiết diện thay đổi bằng phần<br /> ban đầu I0=0.85m4, hàm số thể hiện sự thay đổi độ cứng tiết<br /> mềm lập trình MathCad [1]. Sơ đồ khối và thuật toán giải<br /> diện 4 ⋅ z ⋅ (l - z)<br /> được trình bày chi tiết như sau: f(x) =<br /> l2 <br /> a) Trình tự giải bài toán<br /> Thực hiện giải bài toán bằng phương pháp sai phân hữu<br /> Bước 1: Khai báo các thông số ban đầu và chia lưới sai<br /> hạn với bước sai phân khác nhau [1] và kiểm nghiệm bằng<br /> phân: Chiều dài cột: l (m); số đoạn chia: n; lưới sai phân:<br /> phương pháp Bubnov-Galerkin [2] ta thu được giá trị tải<br /> Δ=l/n; Thông số vật liệu: Môđun đàn hồi vật liệu E; độ cứng<br /> trọng tới hạn như trong bảng 1.<br /> tiết diện ban đầu I0 ; Hàm số thể hiện sự thay đổi của độ cứng<br /> tiết diện f(x): EI(x)=EI0.f(x) Các kết quả tính toán thể hiện trong bảng 1 cho thấy giá<br /> trị tải trọng tới hạn tính theo 2 phương pháp có sự sai khác<br /> Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số thể hiện sự thay đổi độ cứng<br /> không đáng kể. Tuy nhiên, sử dụng phương pháp do tác giả<br /> tiết diện<br /> đề xuất đơn giản và hiệu quả hơn trong trường hợp tiết diện<br /> Bước 3: Thiết lập ma trận hệ số của phương trình đường cột thay đổi theo một hàm số bất kỳ. Bước sai phân càng nhỏ<br /> đàn hồi [Qii] kết quả càng chính xác so với phương pháp giải tích hoặc<br /> Bước 4: Thiết lập ma trận chứa tham số β: [d(β)] các phương pháp phổ biến khác.<br /> <br /> <br /> <br /> Bảng 1. Giá trị tải trọng tới hạn theo các phương pháp<br /> <br /> Phương pháp Phương pháp sai phân hữu hạn<br /> Giá trị<br /> Bubnov-Galerkin N=4 N=8 N=16 N=20 N=30<br /> 4 4 4 4 4<br /> Pth, kN 3.778x10 3.862x10 3.822x10 3.788x10 3.784x10 3.778x104<br /> ∆, % 2.176% 1.15% 0.264% 0.16% 0%<br /> <br /> <br /> <br /> S¬ 27 - 2017 25<br />  KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> 4. Kết luận<br /> Phương pháp sai phân hữu hạn áp dụng để tính ổn định Tài liệu tham khảo<br /> cột có tiết diện thay đổi cho phép thực hiện được với các hàm 1. Hoàng Việt Bách, Nghiên cứu tính toán ổn định của cột có tiết<br /> diện thay đổi bằng phương pháp sai phân hữu hạn, Luận văn<br /> số thay đổi tiết diện theo quy luật bất kỳ mà không gặp trở<br /> thạc sĩ kỹ thuật, Trường đại học kiến trúc Hà nội, 2016.<br /> ngại về mặt toán học do có thể áp dụng phần mềm lập trình<br /> 2. Lều Thọ Trình, Ổn định công trình, NXB khoa học và kỹ thuật,<br /> Mathcad để giải bài toán. Trên cơ sở lý thuyết trình bày, tác<br /> Hà Nội, 2008.<br /> giả đã thiết lập trình tự giải bài toán ổn định cột có tiết diện<br /> 3. Nguyễn Mạnh Yên, Phương pháp số trong cơ học kết cấu,<br /> thay đổi bằng phần mềm lập trình Mathcad, trong nội dung<br /> NXB khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2000<br /> bài báo trình bày kết quả một ví dụ cụ thể để kiểm nghiệm<br /> 4. В.Н. Иванов, Основы численных методов расчета<br /> phương pháp tính. /.<br /> конструкций, Москва, 2007<br /> 5. А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин,<br /> Сопротивление материалов, Москва «высшая школа»,<br /> 2003.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Postbuckling behavior of functionally graded sandwich...<br /> (tiếp theo trang 22)<br /> <br /> <br /> Fig. 5 gives the postbuckling behavior of FGM SSSSs with equations are based on the first order shear deformation<br /> various values of non-dimensional foundation stiffness K1, shell theory taking geometrical nonlinearity and Pasternak<br /> K2. It is obvious that elastic foundations have very beneficial type foundation interaction into consideration. Approximate<br /> influences on the load carrying capability of FGM SSSSs analytical solutions are assumed to satisfy immovably<br /> under uniform external pressure. On the one hand, the clamped boundary condition and Galerkin procedure is<br /> extreme-type buckling pressures and load-deflection curves applied to derive explicit expression of nonlinear load-<br /> are considerably enhanced as the stiffness parameters of deflection relation from which the nonlinear stability of FGM<br /> foundations, especially Pasternak type foundations, are SSSSs is analyzed. The results show that pressure-loaded<br /> increased. On the other hand, the severity of snap-through FGM SSSS exhibit an extreme type buckling response and<br /> instability is decreased, that is, the difference between an unstable postbuckling behavior with a relatively intense<br /> upper and lower point pressures is reduced because of the snap-through phenomenon. The study also reveals that<br /> presence of elastic foundations. increase in the volume fraction index, thickness of face<br /> sheets and the rise of spherical shell lead to an increase in<br /> 5. Concluding remarks buckling loads, load-deflection curves and severity of snap-<br /> The postbuckling behavior of sandwich shallow spherical through instability. In addition, the load carrying capacity is<br /> shells (SSSS) constructed from two functionally graded enhanced and the postbuckling behavior of pressure-loaded<br /> material (FGM) face sheets and thicker metal core layer, FGM SSSSs is more stable due to the support of elastic<br /> rested on elastic foundations and subjected to uniform foundations, especially Pasternak type elastic foundations./.<br /> external pressure has been investigated. Governing<br /> <br /> <br /> Tài liệu tham khảo FGM face sheets and temperature-dependent properties,<br /> Compos. Part B-Eng., Vol. 39, 332-344, 2008.<br /> 1. T. Hause, L. Librescu, and C. Carmarda, Postbuckling of<br /> anisotropic flat and doubly-curved sandwich panels under 6. H.V. Tung, Thermal and thermomechanical postbuckling of FGM<br /> complex loading conditions, Int. J. Solids Struct., Vol. 35, 3007- sandwich plates resting on elastic foundations with tangential<br /> 3027, 1998. edge constraints and temperature dependent properties,<br /> Compos. Struct., Vol. 131, 1028-1039, 2015.<br /> 2. L. Librescu and T. Hause, Recent developments in the modeling<br /> and behavior of advanced sandwich constructions: a survey, 7. H.V. Tung, Nonlinear thermomechanical stability of shear<br /> Compos. Struct., Vol. 48, 1-17, 2000. deformable FGM shallow spherical shells resting on elastic<br /> foundations with temperature dependent properties, Compos.<br /> 3. A.M. Zenkour, A comprehensive analysis of functionally graded<br /> Struct., 114, 107-116, 2014.<br /> sandwich plates: part 2-buckling and free vibration, Int. J.<br /> Solids Struct., Vol. 42, 5243-5258, 2005. 8. H.V. Tung, Nonlinear axisymmetric response of FGM shallow<br /> spherical shells with tangential edge constraints and resting on<br /> 4. A.M. Zenkour and M. Sobhy, Thermal buckling of various types<br /> elastic foundations, Compos. Struct., Vol. 149, 231-238, 2016.<br /> of FGM sandwich plates, Compos. Struct., Vol. 93, 93-102,<br /> 2010. 9. M. Sathyamoorthy, Vibrations of moderately thick shallow<br /> spherical shells at large amplitudes, J. Sound Vib., Vol. 13,<br /> 5. H.S. Shen and S.R. Li, Postbuckling of sandwich plates with<br /> 157-170, 1978.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 26 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG<br />