NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
ĐH Duy Tân
1
Khoa KHTN
Chương II KHÔNG GIAN VECTOR
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Chương II KHÔNG GIAN VECTOR
ĐH Duy Tân
1
Khoa KHTN
Nội dung cơ bản
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Chương II KHÔNG GIAN VECTOR
Nội dung cơ bản
ĐH Duy Tân
1
Khoa KHTN
(1) Khái niệm không gian vector, các tính chất cơ bản của các tiên đề, các không gian vector thường gặp.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Chương II KHÔNG GIAN VECTOR
Nội dung cơ bản
(1) Khái niệm không gian vector, các tính chất cơ bản của các tiên đề, các không gian vector thường gặp.
ĐH Duy Tân
1
Khoa KHTN
(2) Tổ hợp tuyến tính cả một hệ vector, biểu thị tuyến tính của một vector theo một hệ.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Chương II KHÔNG GIAN VECTOR
Nội dung cơ bản
(1) Khái niệm không gian vector, các tính chất cơ bản của các tiên đề, các không gian vector thường gặp.
(2) Tổ hợp tuyến tính cả một hệ vector, biểu thị tuyến tính của một vector theo một hệ.
ĐH Duy Tân
1
Khoa KHTN
(3) Khái niệm cơ sở, số chiều của một không gian vector. Chứng minh một hệ là một cơ sở của một không gian vector.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Chương II KHÔNG GIAN VECTOR
Nội dung cơ bản
(1) Khái niệm không gian vector, các tính chất cơ bản của các tiên đề, các không gian vector thường gặp.
(2) Tổ hợp tuyến tính cả một hệ vector, biểu thị tuyến tính của một vector theo một hệ.
(3) Khái niệm cơ sở, số chiều của một không gian vector. Chứng minh một hệ là một cơ sở của một không gian vector.
ĐH Duy Tân
1
Khoa KHTN
(4) Tọa độ của một vector trong cơ sở, công thức đổi tọa độ.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1 Khái niệm và ví dụ
ĐH Duy Tân
2
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1 Khái niệm và ví dụ
1.1 Định nghĩa không gian vectơ.
ĐH Duy Tân
2
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1 Khái niệm và ví dụ
1.1 Định nghĩa không gian vectơ.
ĐH Duy Tân
2
Khoa KHTN
Cho V là một tập hợp khác rỗng , K là trường số (thực hay phức). Cho hai phép toán:
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1 Khái niệm và ví dụ
1.1 Định nghĩa không gian vectơ.
Cho V là một tập hợp khác rỗng , K là trường số (thực hay phức). Cho hai phép toán:
- Phép cộng hai vectơ
V × V → V
ĐH Duy Tân
2
Khoa KHTN
(x, y) (cid:55)→ x + y
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1 Khái niệm và ví dụ
1.1 Định nghĩa không gian vectơ.
Cho V là một tập hợp khác rỗng , K là trường số (thực hay phức). Cho hai phép toán:
- Phép cộng hai vectơ
V × V → V
(x, y) (cid:55)→ x + y
- Phép nhân một vô hướng với một vectơ
K × V → V
ĐH Duy Tân
2
Khoa KHTN
(λ, x) (cid:55)→ λx .
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
ĐH Duy Tân
3
Khoa KHTN
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn:
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn:
ĐH Duy Tân
3
Khoa KHTN
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
ĐH Duy Tân
3
Khoa KHTN
(3) ∃0V ∈ V sao cho x + 0V = 0V + x = x; ∀x ∈ V ;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0V ∈ V sao cho x + 0V = 0V + x = x; ∀x ∈ V ;
ĐH Duy Tân
3
Khoa KHTN
(4) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0V ;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0V ∈ V sao cho x + 0V = 0V + x = x; ∀x ∈ V ;
(4) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0V ;
ĐH Duy Tân
3
Khoa KHTN
(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0V ∈ V sao cho x + 0V = 0V + x = x; ∀x ∈ V ;
(4) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0V ;
(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K;
ĐH Duy Tân
3
Khoa KHTN
(6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0V ∈ V sao cho x + 0V = 0V + x = x; ∀x ∈ V ;
(4) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0V ;
(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K;
(6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
ĐH Duy Tân
3
Khoa KHTN
(7) (λµ)x = λ(µx); ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0V ∈ V sao cho x + 0V = 0V + x = x; ∀x ∈ V ;
(4) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0V ;
(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K;
(6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
(7) (λµ)x = λ(µx); ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
ĐH Duy Tân
3
Khoa KHTN
(8) 1.x = x ∀x ∈ V .
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
ĐH Duy Tân
4
Khoa KHTN
∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn. Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn. Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
n (cid:80) i=1
ĐH Duy Tân
4
Khoa KHTN
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x1 + x2 + ... + xn và kí hiệu là xi.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn. Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
n (cid:80) i=1
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x1 + x2 + ... + xn và kí hiệu là xi.
ĐH Duy Tân
4
Khoa KHTN
∗ Tổng x + (−y) còn được viết là x − y và gọi là hiệu của x và y.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn. Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
n (cid:80) i=1
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x1 + x2 + ... + xn và kí hiệu là xi.
∗ Tổng x + (−y) còn được viết là x − y và gọi là hiệu của x và y.
ĐH Duy Tân
4
Khoa KHTN
∗ Khi K = R (hay C) thì V được gọi là không gian vectơ thực (hay phức).
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn. Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
n (cid:80) i=1
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x1 + x2 + ... + xn và kí hiệu là xi.
∗ Tổng x + (−y) còn được viết là x − y và gọi là hiệu của x và y.
∗ Khi K = R (hay C) thì V được gọi là không gian vectơ thực (hay phức).
1.2 Một số ví dụ
ĐH Duy Tân
4
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1.3 Các tính chất đơn giản.
ĐH Duy Tân
5
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1.3 Các tính chất đơn giản.
ĐH Duy Tân
5
Khoa KHTN
Tính chất 1.1. Vectơ 0 của V (theo tiên đề (2)) là duy nhất.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1.3 Các tính chất đơn giản.
Tính chất 1.1. Vectơ 0 của V (theo tiên đề (2)) là duy nhất.
ĐH Duy Tân
5
Khoa KHTN
Tính chất 1.2. ∀x ∈ V, ∃! − x ∈ V (xác định theo tiên đề (3)).
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1.3 Các tính chất đơn giản.
Tính chất 1.1. Vectơ 0 của V (theo tiên đề (2)) là duy nhất.
Tính chất 1.2. ∀x ∈ V, ∃! − x ∈ V (xác định theo tiên đề (3)).
Tính chất 1.3. Luật giản ước có hiệu lực trong V , tức là
ĐH Duy Tân
5
Khoa KHTN
(a + c = b + c) ⇒ (a = b), ∀a, b ∈ V.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1.3 Các tính chất đơn giản.
Tính chất 1.1. Vectơ 0 của V (theo tiên đề (2)) là duy nhất.
Tính chất 1.2. ∀x ∈ V, ∃! − x ∈ V (xác định theo tiên đề (3)).
Tính chất 1.3. Luật giản ước có hiệu lực trong V , tức là
(a + c = b + c) ⇒ (a = b), ∀a, b ∈ V.
ĐH Duy Tân
5
Khoa KHTN
Tính chất 1.4. ∀a, b, x ∈ V, (x + a = b) ⇔ (x = b − a). Hay ta nói phương trình x + a = b có nghiệm duy nhất x = b − a.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
1.3 Các tính chất đơn giản.
Tính chất 1.1. Vectơ 0 của V (theo tiên đề (2)) là duy nhất.
Tính chất 1.2. ∀x ∈ V, ∃! − x ∈ V (xác định theo tiên đề (3)).
Tính chất 1.3. Luật giản ước có hiệu lực trong V , tức là
(a + c = b + c) ⇒ (a = b), ∀a, b ∈ V.
Tính chất 1.4. ∀a, b, x ∈ V, (x + a = b) ⇔ (x = b − a). Hay ta nói phương trình x + a = b có nghiệm duy nhất x = b − a.
ĐH Duy Tân
5
Khoa KHTN
Tính chất 1.5. ∀λ ∈ K, ∀x ∈ V, −(λx) = (−λx) = (−λ)x = λ(−x).
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
ĐH Duy Tân
6
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
2.1 Tổ hợp tuyến tính và biểu thị tuyến tính
ĐH Duy Tân
6
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
2.1 Tổ hợp tuyến tính và biểu thị tuyến tính
n (cid:88)
Định nghĩa 2.1. Cho x1, x2, ..., xn là n vectơ (n ≥ 1) của K - không gian vectơ V và λ1, λ2, ..., λn là n vô hướng trong K. Vectơ
i=1
x = λ1x1 + λ2x2 + ... + λnxn = λixi
được gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ
α = {x1, x2, ..., xn} = {xi}i=1,n
ĐH Duy Tân
6
Khoa KHTN
với các hệ số {λ1, λ2, ..., λn} = {λi}i=1,n.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
ĐH Duy Tân
7
Khoa KHTN
Khi x là một tổ hợp tuyến tính của hệ {xi}i=1,n thì ta bảo x biểu thị tuyến tính (biểu diễn tuyến tính) được qua hệ {xi}i=1,n.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Khi x là một tổ hợp tuyến tính của hệ {xi}i=1,n thì ta bảo x biểu thị tuyến tính (biểu diễn tuyến tính) được qua hệ {xi}i=1,n.
ĐH Duy Tân
7
Khoa KHTN
Chú ý:
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Khi x là một tổ hợp tuyến tính của hệ {xi}i=1,n thì ta bảo x biểu thị tuyến tính (biểu diễn tuyến tính) được qua hệ {xi}i=1,n.
Chú ý:
n (cid:80) i=1
ĐH Duy Tân
7
Khoa KHTN
λixi. +) Vector x biểu thị tuyến tính được qua hệ {xi}i=1,n nếu có một họ vô hướng {λi}i=1,n trong K sao cho x =
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Khi x là một tổ hợp tuyến tính của hệ {xi}i=1,n thì ta bảo x biểu thị tuyến tính (biểu diễn tuyến tính) được qua hệ {xi}i=1,n.
Chú ý:
n (cid:80) i=1
λixi. +) Vector x biểu thị tuyến tính được qua hệ {xi}i=1,n nếu có một họ vô hướng {λi}i=1,n trong K sao cho x =
n (cid:80) i=1
ĐH Duy Tân
7
Khoa KHTN
+) Cách biểu diễn x = λixi nói chung không duy nhất.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Khi x là một tổ hợp tuyến tính của hệ {xi}i=1,n thì ta bảo x biểu thị tuyến tính (biểu diễn tuyến tính) được qua hệ {xi}i=1,n.
Chú ý:
n (cid:80) i=1
λixi. +) Vector x biểu thị tuyến tính được qua hệ {xi}i=1,n nếu có một họ vô hướng {λi}i=1,n trong K sao cho x =
n (cid:80) i=1
+) Cách biểu diễn x = λixi nói chung không duy nhất.
ĐH Duy Tân
7
Khoa KHTN
+) Để tìm một biểu thị tuyến tính chúng ta cần giải một hệ phương trình.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Khi x là một tổ hợp tuyến tính của hệ {xi}i=1,n thì ta bảo x biểu thị tuyến tính (biểu diễn tuyến tính) được qua hệ {xi}i=1,n.
Chú ý:
n (cid:80) i=1
λixi. +) Vector x biểu thị tuyến tính được qua hệ {xi}i=1,n nếu có một họ vô hướng {λi}i=1,n trong K sao cho x =
n (cid:80) i=1
+) Cách biểu diễn x = λixi nói chung không duy nhất.
+) Để tìm một biểu thị tuyến tính chúng ta cần giải một hệ phương trình.
+) Với mọi hệ vector, vector 0 luôn có ít nhất một cách biểu thị tuyến tính qua hệ.
ĐH Duy Tân
7
Khoa KHTN
Ví dụ:
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
2.2 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.
ĐH Duy Tân
8
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
2.2 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.
ĐH Duy Tân
8
Khoa KHTN
Định nghĩa 2.2. Hệ n vectơ (n ≥ 1) {xi}i=1,n trong K - không gian vectơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu vectơ không chỉ có một cách biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó bằng tổ hợp tuyến tính tầm thường.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
2.2 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa 2.2. Hệ n vectơ (n ≥ 1) {xi}i=1,n trong K - không gian vectơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu vectơ không chỉ có một cách biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó bằng tổ hợp tuyến tính tầm thường.
ĐH Duy Tân
8
Khoa KHTN
Hệ không độc lập tuyến tính gọi là phụ thuộc tuyến tính.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
2.2 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa 2.2. Hệ n vectơ (n ≥ 1) {xi}i=1,n trong K - không gian vectơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu vectơ không chỉ có một cách biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó bằng tổ hợp tuyến tính tầm thường.
Hệ không độc lập tuyến tính gọi là phụ thuộc tuyến tính.
ĐH Duy Tân
8
Khoa KHTN
Nhận xét:
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
2.2 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa 2.2. Hệ n vectơ (n ≥ 1) {xi}i=1,n trong K - không gian vectơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu vectơ không chỉ có một cách biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó bằng tổ hợp tuyến tính tầm thường.
Hệ không độc lập tuyến tính gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét:
∗ Hệ {xi}i=1,n độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
(cid:32) n (cid:33)
i=1
ĐH Duy Tân
8
Khoa KHTN
(cid:88) ⇒ (λ1 = λ2 = ... = λn = 0 ∈ K). λixi = 0 ∈ V
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
λixi = 0 ∈ V.
ĐH Duy Tân
9
Khoa KHTN
∗ Hệ {xi}i=1,n phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một họ vô hướng {λi}i=1,n không đồng thời bằng không sao cho: n (cid:80) i=1
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
λixi = 0 ∈ V.
∗ Hệ {xi}i=1,n phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một họ vô hướng {λi}i=1,n không đồng thời bằng không sao cho: n (cid:80) i=1
2.3 Một số tính chất cơ bản.
ĐH Duy Tân
9
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
λixi = 0 ∈ V.
∗ Hệ {xi}i=1,n phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một họ vô hướng {λi}i=1,n không đồng thời bằng không sao cho: n (cid:80) i=1
2.3 Một số tính chất cơ bản.
ĐH Duy Tân
9
Khoa KHTN
Tính chất 2.1. Hệ gồm một vectơ {x} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi x (cid:54)= 0.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
λixi = 0 ∈ V.
∗ Hệ {xi}i=1,n phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một họ vô hướng {λi}i=1,n không đồng thời bằng không sao cho: n (cid:80) i=1
2.3 Một số tính chất cơ bản.
Tính chất 2.1. Hệ gồm một vectơ {x} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi x (cid:54)= 0.
ĐH Duy Tân
9
Khoa KHTN
Tính chất 2.2. Hệ chứa vectơ 0 luôn phụ thuộc tuyến tính.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
λixi = 0 ∈ V.
∗ Hệ {xi}i=1,n phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một họ vô hướng {λi}i=1,n không đồng thời bằng không sao cho: n (cid:80) i=1
2.3 Một số tính chất cơ bản.
Tính chất 2.1. Hệ gồm một vectơ {x} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi x (cid:54)= 0.
ĐH Duy Tân
9
Khoa KHTN
Tính chất 2.2. Hệ chứa vectơ 0 luôn phụ thuộc tuyến tính. Tính chất 2.3. Nếu hệ {xi}i=1,n độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó cũng độc lập tuyến tính.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
ĐH Duy Tân
10
Khoa KHTN
Định lí 2.1. (Đặc trưng của hệ phụ thuộc tuyến tính). Hệ n vectơ (n ≥ 2) {xi}i=1,n phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có (ít nhất) một vectơ của hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Định lí 2.1. (Đặc trưng của hệ phụ thuộc tuyến tính). Hệ n vectơ (n ≥ 2) {xi}i=1,n phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có (ít nhất) một vectơ của hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại.
ĐH Duy Tân
10
Khoa KHTN
Định lí 2.2. Cho {xi}i=1,n là một hệ độc lập tuyến tính trong một K - không gian vectơ V tuỳ ý (n ≥ 1). Khi đó
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Định lí 2.1. (Đặc trưng của hệ phụ thuộc tuyến tính). Hệ n vectơ (n ≥ 2) {xi}i=1,n phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có (ít nhất) một vectơ của hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại.
Định lí 2.2. Cho {xi}i=1,n là một hệ độc lập tuyến tính trong một K - không gian vectơ V tuỳ ý (n ≥ 1). Khi đó
ĐH Duy Tân
10
Khoa KHTN
(1) Mọi vectơ y ∈ V đều có không quá một cách biểu thị tuyến tính qua hệ {xi}i=1,n.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Định lí 2.1. (Đặc trưng của hệ phụ thuộc tuyến tính). Hệ n vectơ (n ≥ 2) {xi}i=1,n phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có (ít nhất) một vectơ của hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại.
Định lí 2.2. Cho {xi}i=1,n là một hệ độc lập tuyến tính trong một K - không gian vectơ V tuỳ ý (n ≥ 1). Khi đó
(1) Mọi vectơ y ∈ V đều có không quá một cách biểu thị tuyến tính qua hệ {xi}i=1,n.
ĐH Duy Tân
10
Khoa KHTN
(2) Với mọi y ∈ V , hệ {x1, x2, ..., xn, y} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi y biểu thị tuyến tính được qua hệ {xi}i=1,n.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
3 Hạng của một hệ hữu hạn các vectơ.
ĐH Duy Tân
11
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
3 Hạng của một hệ hữu hạn các vectơ.
3.1 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại.
ĐH Duy Tân
11
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
3 Hạng của một hệ hữu hạn các vectơ.
3.1 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại.
ĐH Duy Tân
11
Khoa KHTN
Định nghĩa 3.1. Giả sử I là một tập hợp hữu hạn và J ⊂ I. Cho hệ vectơ {xi}i∈I là một họ tuỳ ý trong một K - không gian vectơ V nào đó. Hệ con {xj}j∈J gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho nếu nó là một hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ vectơ xi nào, i ∈ I\J, vào hệ đó ta đều nhận được một hệ phụ thuộc tuyến tính.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
3 Hạng của một hệ hữu hạn các vectơ.
3.1 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại.
Định nghĩa 3.1. Giả sử I là một tập hợp hữu hạn và J ⊂ I. Cho hệ vectơ {xi}i∈I là một họ tuỳ ý trong một K - không gian vectơ V nào đó. Hệ con {xj}j∈J gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho nếu nó là một hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ vectơ xi nào, i ∈ I\J, vào hệ đó ta đều nhận được một hệ phụ thuộc tuyến tính.
ĐH Duy Tân
11
Khoa KHTN
Tính chất 3.1. Nếu {xj}j∈J là một hệ con độc lập tuyển tính của {xi}i∈I thì ta luôn xây dựng được một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ {xi}i∈I chứa hệ {xj}j∈J .
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
3 Hạng của một hệ hữu hạn các vectơ.
3.1 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại.
ĐH Duy Tân
11
Khoa KHTN
Định nghĩa 3.1. Giả sử I là một tập hợp hữu hạn và J ⊂ I. Cho hệ vectơ {xi}i∈I là một họ tuỳ ý trong một K - không gian vectơ V nào đó. Hệ con {xj}j∈J gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho nếu nó là một hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ vectơ xi nào, i ∈ I\J, vào hệ đó ta đều nhận được một hệ phụ thuộc tuyến tính. Tính chất 3.1. Nếu {xj}j∈J là một hệ con độc lập tuyển tính của {xi}i∈I thì ta luôn xây dựng được một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ {xi}i∈I chứa hệ {xj}j∈J . Định lí 3.1. Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ hữu hạn vectơ đều có số vectơ bằng nhau.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
3.2 Hạng của một hệ hữu hạn vectơ
ĐH Duy Tân
12
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
3.2 Hạng của một hệ hữu hạn vectơ
ĐH Duy Tân
12
Khoa KHTN
Định nghĩa 3.2. Cho một hệ hữu hạn vectơ {xi}i∈I trong K - không gian vectơ V . Số phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {xi}i∈I được gọi là hạng của hệ đã cho, kí hiệu là rank{xi}i∈I .
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
3.2 Hạng của một hệ hữu hạn vectơ
ĐH Duy Tân
12
Khoa KHTN
Định nghĩa 3.2. Cho một hệ hữu hạn vectơ {xi}i∈I trong K - không gian vectơ V . Số phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {xi}i∈I được gọi là hạng của hệ đã cho, kí hiệu là rank{xi}i∈I .
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
3.3 Các hệ vectơ trong Rn
Trong không gian Rn các vectơ cột n chiều trên R (n ≥ 1) cho m vectơ (m ≥ 1) như sau:
a1m a12 a11
. , ... , am = , a2 = a1 =
ĐH Duy Tân
13
Khoa KHTN
a2m ... anm a22 ... an2 a21 ... an1
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Gọi A = (aij)n×m là ma trận cấp n × m trên K mà các cột chính là a1, a2, ..., am, tức là
· · · a11 a12 a1m
. A =
· · · . . .
ĐH Duy Tân
14
Khoa KHTN
a2m ... · · · anm a21 a22 ... ... an1 an2
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Gọi A = (aij)n×m là ma trận cấp n × m trên K mà các cột chính là a1, a2, ..., am, tức là
· · · a11 a12 a1m
. A =
· · · . . .
a2m ... · · · anm a21 a22 ... ... an1 an2
ĐH Duy Tân
14
Khoa KHTN
Định lí 3.2.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Gọi A = (aij)n×m là ma trận cấp n × m trên K mà các cột chính là a1, a2, ..., am, tức là
· · · a11 a12 a1m
. A =
· · · . . .
a2m ... · · · anm a21 a22 ... ... an1 an2
Định lí 3.2.
ĐH Duy Tân
14
Khoa KHTN
(1) Hệ {a1, a2, ..., am} độc lập tuyến tính ⇔ rankA = m;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Gọi A = (aij)n×m là ma trận cấp n × m trên K mà các cột chính là a1, a2, ..., am, tức là
· · · a11 a12 a1m
. A =
· · · . . .
a2m ... · · · anm a21 a22 ... ... an1 an2
Định lí 3.2.
(1) Hệ {a1, a2, ..., am} độc lập tuyến tính ⇔ rankA = m;
ĐH Duy Tân
14
Khoa KHTN
(2) Hệ {a1, a2, ..., am} phụ thuộc tuyến tính ⇔ rankA < m.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Gọi A = (aij)n×m là ma trận cấp n × m trên K mà các cột chính là a1, a2, ..., am, tức là
· · · a11 a12 a1m
. A =
· · · . . .
a2m ... · · · anm a21 a22 ... ... an1 an2
Định lí 3.2.
(1) Hệ {a1, a2, ..., am} độc lập tuyến tính ⇔ rankA = m;
ĐH Duy Tân
14
Khoa KHTN
(2) Hệ {a1, a2, ..., am} phụ thuộc tuyến tính ⇔ rankA < m. Hệ quả 3.1.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Gọi A = (aij)n×m là ma trận cấp n × m trên K mà các cột chính là a1, a2, ..., am, tức là
· · · a11 a12 a1m
. A =
· · · . . .
a2m ... · · · anm a21 a22 ... ... an1 an2
Định lí 3.2.
(1) Hệ {a1, a2, ..., am} độc lập tuyến tính ⇔ rankA = m;
(2) Hệ {a1, a2, ..., am} phụ thuộc tuyến tính ⇔ rankA < m. Hệ quả 3.1.
ĐH Duy Tân
14
Khoa KHTN
(1) Hệ {a1, a2, ..., an} độc lập tuyến tính trên Kn ⇔ detA (cid:54)= 0;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Gọi A = (aij)n×m là ma trận cấp n × m trên K mà các cột chính là a1, a2, ..., am, tức là
· · · a11 a12 a1m
. A =
· · · . . .
a2m ... · · · anm a21 a22 ... ... an1 an2
Định lí 3.2.
(1) Hệ {a1, a2, ..., am} độc lập tuyến tính ⇔ rankA = m;
ĐH Duy Tân
14
Khoa KHTN
(2) Hệ {a1, a2, ..., am} phụ thuộc tuyến tính ⇔ rankA < m. Hệ quả 3.1. (1) Hệ {a1, a2, ..., an} độc lập tuyến tính trên Kn ⇔ detA (cid:54)= 0; (2) Hệ {a1, a2, ..., an} phụ thuộc tuyến tính trên Kn ⇔ detA = 0.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4 Cơ sở - Số chiều - Toạ độ
ĐH Duy Tân
15
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4 Cơ sở - Số chiều - Toạ độ
4.1 Cơ sở, số chiều và không gian hữu hạn chiều
ĐH Duy Tân
15
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4 Cơ sở - Số chiều - Toạ độ
4.1 Cơ sở, số chiều và không gian hữu hạn chiều
ĐH Duy Tân
15
Khoa KHTN
Định nghĩa 4.1. (Tập sinh). Cho V là một không gian vectơ trên trường K và M là một tập hợp các vectơ thuộc V . Tập M được gọi là tập sinh của V hay tập M sinh ra không gian vectơ V nếu mọi vectơ x ∈ V đều có thể biểu thị tuyến tính qua các vectơ thuộc M .
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4 Cơ sở - Số chiều - Toạ độ
4.1 Cơ sở, số chiều và không gian hữu hạn chiều
Định nghĩa 4.1. (Tập sinh). Cho V là một không gian vectơ trên trường K và M là một tập hợp các vectơ thuộc V . Tập M được gọi là tập sinh của V hay tập M sinh ra không gian vectơ V nếu mọi vectơ x ∈ V đều có thể biểu thị tuyến tính qua các vectơ thuộc M .
ĐH Duy Tân
15
Khoa KHTN
Định nghĩa 4.2. (Cơ sở). Hệ vectơ β = {e1, e2, ..., en} trong K - không gian vectơ V gọi là cơ sở của V nếu β là một tập sinh vad độc lập tuyến tính.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
ĐH Duy Tân
16
Khoa KHTN
Định nghĩa 4.3. (Số chiều). Cho V là một K - không gian vectơ và n là số tuỳ ý. (1): Ta nói V là một không gian vectơ n chiều nếu trong V có ít nhất một cơ sở gồm n vector. Ta cũng bảo số chiều của V là n và ký hiệu dimV = n. (2): V được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều, kí hiệu dimV = ∞, nếu nó không hữu hạn chiều.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Định nghĩa 4.3. (Số chiều). Cho V là một K - không gian vectơ và n là số tuỳ ý. (1): Ta nói V là một không gian vectơ n chiều nếu trong V có ít nhất một cơ sở gồm n vector. Ta cũng bảo số chiều của V là n và ký hiệu dimV = n. (2): V được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều, kí hiệu dimV = ∞, nếu nó không hữu hạn chiều.
ĐH Duy Tân
16
Khoa KHTN
Định lí 4.1. Trong mỗi không gian vectơ n chiều V ta có:
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Định nghĩa 4.3. (Số chiều). Cho V là một K - không gian vectơ và n là số tuỳ ý. (1): Ta nói V là một không gian vectơ n chiều nếu trong V có ít nhất một cơ sở gồm n vector. Ta cũng bảo số chiều của V là n và ký hiệu dimV = n. (2): V được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều, kí hiệu dimV = ∞, nếu nó không hữu hạn chiều.
Định lí 4.1. Trong mỗi không gian vectơ n chiều V ta có:
ĐH Duy Tân
16
Khoa KHTN
(1): Mọi hệ gồm nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Định nghĩa 4.3. (Số chiều). Cho V là một K - không gian vectơ và n là số tuỳ ý. (1): Ta nói V là một không gian vectơ n chiều nếu trong V có ít nhất một cơ sở gồm n vector. Ta cũng bảo số chiều của V là n và ký hiệu dimV = n. (2): V được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều, kí hiệu dimV = ∞, nếu nó không hữu hạn chiều.
Định lí 4.1. Trong mỗi không gian vectơ n chiều V ta có:
(1): Mọi hệ gồm nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính;
ĐH Duy Tân
16
Khoa KHTN
(2): Mọi cơ sở gồm đúng n vectơ;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Định nghĩa 4.3. (Số chiều). Cho V là một K - không gian vectơ và n là số tuỳ ý. (1): Ta nói V là một không gian vectơ n chiều nếu trong V có ít nhất một cơ sở gồm n vector. Ta cũng bảo số chiều của V là n và ký hiệu dimV = n. (2): V được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều, kí hiệu dimV = ∞, nếu nó không hữu hạn chiều.
Định lí 4.1. Trong mỗi không gian vectơ n chiều V ta có:
(1): Mọi hệ gồm nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính;
(2): Mọi cơ sở gồm đúng n vectơ;
ĐH Duy Tân
16
Khoa KHTN
Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n vectơ đều là cơ sở;
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Định nghĩa 4.3. (Số chiều). Cho V là một K - không gian vectơ và n là số tuỳ ý. (1): Ta nói V là một không gian vectơ n chiều nếu trong V có ít nhất một cơ sở gồm n vector. Ta cũng bảo số chiều của V là n và ký hiệu dimV = n. (2): V được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều, kí hiệu dimV = ∞, nếu nó không hữu hạn chiều.
Định lí 4.1. Trong mỗi không gian vectơ n chiều V ta có:
(1): Mọi hệ gồm nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính;
(2): Mọi cơ sở gồm đúng n vectơ;
Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n vectơ đều là cơ sở;
ĐH Duy Tân
16
Khoa KHTN
(3): Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm ít hơn n vectơ đều có thể bổ sung thành một cơ sở.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4.2 Toạ độ của vectơ đối với một cơ sở
ĐH Duy Tân
17
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4.2 Toạ độ của vectơ đối với một cơ sở
ĐH Duy Tân
17
Khoa KHTN
Định lí 4.2. Cho hệ n vectơ β = {e1, e2, ..., en}. Khi đó β là một cơ sở của V khi và chỉ khi mọi vectơ x ∈ V đều có một cách duy nhất biểu thị tuyến tính qua β.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4.2 Toạ độ của vectơ đối với một cơ sở
Định lí 4.2. Cho hệ n vectơ β = {e1, e2, ..., en}. Khi đó β là một cơ sở của V khi và chỉ khi mọi vectơ x ∈ V đều có một cách duy nhất biểu thị tuyến tính qua β.
ĐH Duy Tân
17
Khoa KHTN
Định nghĩa 4.4. (Toạ độ của một vectơ đối với một cơ sở).
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4.2 Toạ độ của vectơ đối với một cơ sở
Định lí 4.2. Cho hệ n vectơ β = {e1, e2, ..., en}. Khi đó β là một cơ sở của V khi và chỉ khi mọi vectơ x ∈ V đều có một cách duy nhất biểu thị tuyến tính qua β.
Định nghĩa 4.4. (Toạ độ của một vectơ đối với một cơ sở).
n (cid:88)
(1): Cho β = {e1, e2, ..., en} là một cơ sở của không gian vector V . Khi đó, với mỗi vectơ x ∈ V đều có một cách bểu thị tuyến tính duy nhất qua β
i=1
(4.1) x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen = xiei.
ĐH Duy Tân
17
Khoa KHTN
Phần tử (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn gọi là toạ độ của vectơ x đối với cơ sở β; xi gọi là toạ độ thứ i; i = 1, n.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
(2): Để chỉ toạ độ của x trong β là (x1, x2, ..., xn) ta viết
ĐH Duy Tân
18
Khoa KHTN
x/β = (x1, x2, ..., xn).
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
(2): Để chỉ toạ độ của x trong β là (x1, x2, ..., xn) ta viết
x/β = (x1, x2, ..., xn).
ĐH Duy Tân
18
Khoa KHTN
Ta cũng dùng các kí hiệu:
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
(2): Để chỉ toạ độ của x trong β là (x1, x2, ..., xn) ta viết
x/β = (x1, x2, ..., xn).
Ta cũng dùng các kí hiệu:
ĐH Duy Tân
18
Khoa KHTN
+ (x)β = [x1, x2, ..., xn]: (ma trận) hàng toạ độ của x trong β.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
(2): Để chỉ toạ độ của x trong β là (x1, x2, ..., xn) ta viết
x/β = (x1, x2, ..., xn).
Ta cũng dùng các kí hiệu:
+ (x)β = [x1, x2, ..., xn]: (ma trận) hàng toạ độ của x trong β.
x1
: (ma trận) cột toạ độ của x trong V . + [x]β =
ĐH Duy Tân
18
Khoa KHTN
x2 ... xn
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Tính chất 4.1. Nhờ tính duy nhất trong cách biểu thị tuyến tính của mỗi vectơ x trong V qua cơ sở β, dễ dàng thấy rằng, nếu x/β = (x1, x2, ..., xn), y/β = (y1, y2, ..., yn) và λ ∈ K thì:
(x + y)/β = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn);
ĐH Duy Tân
19
Khoa KHTN
(λx)/β = (λx1, λx2, ..., λxn)
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
Tính chất 4.1. Nhờ tính duy nhất trong cách biểu thị tuyến tính của mỗi vectơ x trong V qua cơ sở β, dễ dàng thấy rằng, nếu x/β = (x1, x2, ..., xn), y/β = (y1, y2, ..., yn) và λ ∈ K thì:
(x + y)/β = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn);
(λx)/β = (λx1, λx2, ..., λxn)
Tính chất 4.2. Với cơ sở β = {e1, e2, ..., en} thì hiển nhiên ta có
ei/β = (0, ..., 0,1, 0, ..., 0); i = 1, n
ĐH Duy Tân
19
Khoa KHTN
↑ vị trí thứ i.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4.3 Ma trận chuyển cơ sở - Công thức đổi toạ độ
ĐH Duy Tân
20
Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4.3 Ma trận chuyển cơ sở - Công thức đổi toạ độ
ĐH Duy Tân
20
Khoa KHTN
Trong không gian vector V cho hai cơ sở α = {a1, a2, ..., an} và β = {b1, b2, ..., bn}.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4.3 Ma trận chuyển cơ sở - Công thức đổi toạ độ
Trong không gian vector V cho hai cơ sở α = {a1, a2, ..., an} và β = {b1, b2, ..., bn}.
ĐH Duy Tân
20
Khoa KHTN
Giả sử bj/α = (c1j, c2j, ..., cnj); j = 1, n
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4.3 Ma trận chuyển cơ sở - Công thức đổi toạ độ
Trong không gian vector V cho hai cơ sở α = {a1, a2, ..., an} và β = {b1, b2, ..., bn}.
Giả sử bj/α = (c1j, c2j, ..., cnj); j = 1, n
Lập ma trận
· · · c11 c12 c1n
∈ Mn(K), C = (cij)n =
· · · . . .
ĐH Duy Tân
20
Khoa KHTN
· · · c2n ... cnn c21 ... cn1 c22 ... cn2
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
4.3 Ma trận chuyển cơ sở - Công thức đổi toạ độ
Trong không gian vector V cho hai cơ sở α = {a1, a2, ..., an} và β = {b1, b2, ..., bn}.
Giả sử bj/α = (c1j, c2j, ..., cnj); j = 1, n
Lập ma trận
· · · c11 c12 c1n
∈ Mn(K), C = (cij)n =
· · · . . .
· · · c2n ... cnn c21 ... cn1 c22 ... cn2
ĐH Duy Tân
20
Khoa KHTN
mà các cột của nó lần lượt là các cột toạ độ [b1]α, [b2]α, ..., [bn]α.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
C được gọi là ma trận đổi cơ cở từ α sang β, kí hiệu
ĐH Duy Tân
21
Khoa KHTN
C : α → β (hay Cα→β).
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
C được gọi là ma trận đổi cơ cở từ α sang β, kí hiệu
C : α → β (hay Cα→β).
n).
1, x(cid:48)
2, ..., x(cid:48)
ĐH Duy Tân
21
Khoa KHTN
Cho x ∈ V là một vectơ bất kì và toạ độ của x trong α, β tương ứng là x/α = (x1, x2, ..., xn); x/β = (x(cid:48)
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
C được gọi là ma trận đổi cơ cở từ α sang β, kí hiệu
C : α → β (hay Cα→β).
n).
1, x(cid:48)
2, ..., x(cid:48)
Cho x ∈ V là một vectơ bất kì và toạ độ của x trong α, β tương ứng là x/α = (x1, x2, ..., xn); x/β = (x(cid:48)
ĐH Duy Tân
21
Khoa KHTN
Khi đó ta có [x]α = C[x]β.
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
C được gọi là ma trận đổi cơ cở từ α sang β, kí hiệu
C : α → β (hay Cα→β).
n).
1, x(cid:48)
2, ..., x(cid:48)
Cho x ∈ V là một vectơ bất kì và toạ độ của x trong α, β tương ứng là x/α = (x1, x2, ..., xn); x/β = (x(cid:48)
Khi đó ta có [x]α = C[x]β.
hay rõ hơn
· · · x1 c11 c12 c1n
= . (4.2)
· · · . . .
ĐH Duy Tân
21
Khoa KHTN
· · · x2 ... xn c2n ... cnn c21 ... cn1 c22 ... cn2 x(cid:48) 1 x(cid:48) 2 ... x(cid:48) n
NCS. Đặng Văn Cường
Toán cao cấp C2
C được gọi là ma trận đổi cơ cở từ α sang β, kí hiệu
C : α → β (hay Cα→β).
n).
1, x(cid:48)
2, ..., x(cid:48)
Cho x ∈ V là một vectơ bất kì và toạ độ của x trong α, β tương ứng là x/α = (x1, x2, ..., xn); x/β = (x(cid:48)
Khi đó ta có [x]α = C[x]β.
hay rõ hơn
· · · x1 c11 c12 c1n
= . (4.2)
· · · . . .
· · · x2 ... xn c2n ... cnn c21 ... cn1 c22 ... cn2 x(cid:48) 1 x(cid:48) 2 ... x(cid:48) n
ĐH Duy Tân
21
Khoa KHTN
Công thức (4.2) được gọi là công thức đổi tọa độ từ α sang β.
