Tối ưu hệ giằng của khung thép phi tuyến sử dụng phương pháp thiết kế nâng cao và thuật toán tiến hóa

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Tối ưu hệ giằng của khung thép phi tuyến sử dụng phương pháp thiết kế nâng cao và thuật toán tiến hóa" nhằm tối ưu hệ giằng của khung thép phi tuyến có xét đến sự chảy dẻo của vật liệu. Trong đó, phương pháp thiết kế nâng cao được sử dụng để phân tích các ứng xử của kết cấu. Phương pháp này sử dụng hàm ổn định thay vì hàm nội suy bậc ba Hermit để xấp xỉ trường chuyển vị của phần tử dầm và cột. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tối ưu hệ giằng của khung thép phi tuyến sử dụng phương pháp thiết kế nâng cao và thuật toán tiến hóa

522 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Tối ưu hệ giằng của khung thép phi tuyến sử dụng phương pháp thiết kế nâng cao và thuật toán tiến hóa Bùi Trung Phú1,2, Đặng Duy Khanh1,2,3, Trương Hiệp Hòa1,2, Lương Văn Hải1,2, Nguyễn Công Huân4, Liêu Xuân Quí1,2* 1 Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM 2 Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 3 Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Nguyễn Tất Thành 4 Khoa Kỹ thuật Công trình, Trường Đại học Công nghệ Sài Gòn *Email: lieuxuanqui@hcmut.edu.vn Tóm tắt. Bài báo này nhằm tối ưu hệ giằng của khung thép phi tuyến có xét đến sự chảy dẻo của vật liệu. Trong đó, phương pháp thiết kế nâng cao được sử dụng để phân tích các ứng xử của kết cấu. Phương pháp này sử dụng hàm ổn định thay vì hàm nội suy bậc ba Hermit để xấp xỉ trường chuyển vị của phần tử dầm và cột. Bởi vì các hàm này đạt được từ nghiệm chính xác, vì vậy một cấu kiện dầm cột có thể mô hình chỉ bởi một phần tử. Các cấu kiện thanh giằng được mô hình hóa bởi phần tử dàn. Bài toán nhằm tối ưu cách bố trí hệ giằng và tiết diện của nó sao cho tổng trọng lượng của nó là nhỏ nhất, nhưng vẫn thỏa mãn các ràng buộc về cường độ, chuyển vị lệch tầng và chuyển vị tổng thề. Thuật toán tối ưu HDS (hybrid differential evolution and symbiotic organisms search) sẽ được sử dụng để giải bài toán tối ưu trên. Ngôn ngữ Python sẽ được sử dụng để lập trình trong nghiên cứu này. Một khung thép không gian 2 tầng được giằng sẽ được trình bày để minh họa khả năng mạnh mẽ của phương pháp đề xuất. Từ khóa: Tối ưu hóa, khung thép phi tuyến, hệ giằng X, thiết kế nâng cao, thuật toán tối ưu HDS. 1. Giới thiệu Đối với hầu hết các công trình được làm bằng vật liệu thép, hệ giằng đóng một vai trò cực kì quan trọng trong việc chống lại các tải trọng ngang và giữ ổn định tổng thể cho hệ kết cấu. Các đặc điểm của một giằng bao gồm vị trí, tiết diện và hình dáng của hệ giằng (X-, K và V-, v.v…). Vì vậy, việc thiết kế và bố trí hệ giằng sao cho tối ưu nhất luôn được quan tâm hàng đầu. Tuy vậy, hầu hết các kỹ sư thiết kế kết cấu chỉ bố trí và thiết kế hệ giằng theo chỉ dẫn của các tiêu chuẩn liên quan và theo kinh nghiệm. Do đó, chúng chưa đóng góp vào việc tạo ra các ứng xử tốt nhất cho hệ kết cấu. Để giải quyết vấn đề này, tối ưu hóa là một công cụ lựa chọn cực kì hiệu quả. Tuy vậy, việc lựa chọn một thuật toán hiệu quả để tìm ra các nghiệm chất lượng tốt với chi phí tính toán phù hợp cũng là một khía cạnh cần xem xét. Về khía cạnh này, Gholizadeh và Poorhoseini [1] đã sử dụng thuật toán IDE (improved dolphin echolocation) để tối ưu vị trí và tiết diện hệ giằng X của khung thép phẳng chịu động đất. Gholizadeh và Ebadijalal [2] cũng đã tối ưu hệ giằng X với thuật toán CMO (center of mass optimization). Trong cả hai nghiên cứu trên, các ứng xử phi tuyến hình học và vật liệu được mô phỏng bằng phần mềm OpenSees [3]. Trong đó, trường chuyển vị của phần tử được xấp xỉ bởi hàm nội suy Hermit bậc 3. Do đó, mỗi cấu kiện cần phải được mô phỏng bởi nhiều phần tử để đạt được chính xác tốt. Và điều này làm cho chi phí tính toán của quá trình phân tích trở nên tốn kém hơn, đặc biệt cho các kết cấu lớn. Để giải quyết vấn đề trên, phương pháp phân tích nâng cao [4, 5] đã được đề xuất và đã được chấp thuận áp dụng trong tiêu chuẩn Mỹ. Trong phương pháp này, hàm ổn định thu được từ nghiệm chính xác của bài toán dầm-cột chịu lực dọc và moment uốn hai đầu được dùng để mô tả chính xác trường chuyển vị của phần tử thay vì dùng hàm nội suy Hermit như phương pháp phần tử truyền thống. Kết quả là, mỗi cấu kiện chỉ cần dùng một phần tử trong phân tích phần tử hữu hạn. Các ứng xử về phi tuyến hình học bao gồm P-δ và P-∆ đều được xét đến. Sự hình khớp dẻo ở hai đầu phần tử cũng được kể đến dễ dàng thông qua mặt dẻo Orbison [6]. Ngoài ra, phương pháp này không cần kiểm tra khả năng
523 2 Bùi Trung Phú, Đặng Duy Khanh, Trương Hiệp Hòa, Lương Văn Hải, Nguyễn Công Huân, Liêu Xuân Quí chịu lực của từng cấu kiện riêng lẽ được cho bởi các phương trình theo các tiêu chuẩn sau quá trình phân tích nội lực. Mà bước này đã được tích hợp sẵn vào trong quá trình phân tích. Vì vậy, phương pháp có thể đánh giá được chính xác hơn ứng xử tổng thể của hệ kết cấu. Mặc dù phương pháp có những đặc tính nổi bật như vậy, nhưng việc tích hợp phương pháp nâng cao vào trong quá trình phân tích cho tối hệ giằng vẫn chưa được nghiên cứu rộng rãi. Ngoại trừ, một công bố gần đây của Lieu và cộng sự [7]. Trong công bố đó, vị trí hệ giằng X và diện tích mặt cắt ngang của chúng được tối ưu bởi thuật toán AHEFA [8, 9]. Vì vậy, nghiên cứu này nhằm so sánh với một thuật toán tối ưu HDS [10] được công bố gần đây của nhóm tác giả để so sánh tính hiệu quả. Từ đó, có sự lựa công cụ tối ưu hiệu cho các kỹ sư thiết kế, quả đặc biệt cho các kết cấu lớn trong thực tiễn. Một chương trình tính được lập trình bằng ngôn ngữ Python 3.7 trên máy tính cá nhân với cấu hình Intel CoreTM i7-2670QM CPU 2.20GHz, 12.0GB RAM với hệ điều hành Windows 7 64-bit. 2. Phương pháp phân tích nâng cao 2.1. Phần tử dầm-cột 2.1.1. Phi tuyến hình học P-δ Hiệu ứng P-δ được kể đến trong phương pháp này bằng hàm ổn định như sau [4, 5] ( )  π ρ n sin π ρ n - π 2 ρ n cos π  ( ρn ) , P < 0, ( )  2 − 2cos π ρ n − π ρ n sin π  S1n =  ( ρn ) (1) ( )  π 2 ρ n cosh π ρ n - π ρ n sinh  ( π ρn ) , P > 0, (  2 − 2cosh π ρ n + π ρ n sinh  ) (π ρn )   π 2 ρ n - π ρ n sin π ρ n ( ) , P < 0, S2 n ( )  2 − 2cos π ρ n − π ρ n sin π ρ n  = ( ) (2)   ( π ρ n sinh π ρ n - π 2 ρ n ) , P > 0, ( )  2 − 2cosh π ρ n + π ρ n sinh π ρ n  ( ) = y, z. Để tránh sự suy biến khi −2 ≤ ρ n ≤ 2 ( n = , z ) , hai hàm trên P trong đó, ρ n = ;n y (π EI n / L2 2 ) được tính lại như sau 2π 2 ρ n ( 0.01ρ n + 0.543) ρ n ( 0.004 ρ n + 0.285 ) ρ n 2 2 S1n = 4+ − − , (3) 15 4 + ρn 8.183 + ρ n π 2 ρn ( 0.01ρ n + 0.543) ρ n2 ( 0.004 ρ n + 0.285) ρn2 S2n = 2− + − . (4) 30 4 + ρn 8.183 + ρ n 2.1.2. Phi tuyến vật liệu Khái niệm mô đun tiếp tuyến E t được đề xuất để kể đến sự chảy dẻo dần dần dọc theo chiều dài phần tử do ứng suất dư gây ra. Theo CRC (Column Research Council), đại lượng này được tính bởi [4]
524 Tối ưu hệ giằng của khung thép phi tuyến sử dụng phương pháp thiết kế nâng cao và thuật 3 toán tiến hóa = 1.0 E  Et , P ≤ 0.5 Py ,    P P  (5)  Et = 1 − P 4  Py  E  , P > 0.5 Py .    y  Tuy nhiên, để kể đến sự chảy dẻo do ảnh hưởng của lực dọc và moment, mặt dẻo Orbison α [6] được sử dụng α = 1.15 p 2 + mz + m y + 3.67 p 2 mz + 3.0 p 6 m 2 + 4.65mz m 2 , 2 4 2 y 4 y (6) trong đó p = P / Py ; m y = M y / M py (trục yếu); mz = M z / M pz (trục khỏe). Py , M py và M pz lần lượt là khả năng chịu lực dọc và moment tới trạng thái chảy dẻo của trục y và z. 2.1.3. Ảnh hưởng biến dạng cắt Ảnh hưởng của biến dạng cắt lên ứng xử phi tuyến của phần tử dầm-cột được kể đến thông qua sự hiệu chỉnh mối liên hệ giữa lực và chuyển vị [7]. 2.1.4. Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột được tính bởi K e K es + K e . = n s (7) trong đó K ns = R K 0 R , là ma trận độ cứng phần tử không xét đến dịch chuyển ngang ở 2 đầu phần tử, e T e với  −1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0  1 1  0 0 − 0 1 0 0 0 0 0 0  L L   1 1  0 0 − 0 0 0 0 0 0 1 0 R= , L L (8)  1 1  0 0 0 0 1 0 − 0 0 0 0  L L   1 1  0 0 0 0 0 0 − 0 0 0 1 L L   0  0 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 0    Et A   L 0 0 0 0 0     0 Ciiy Cijy 0 0 0   0 Cijy C jjy 0 0 0  và Ke =  0 , (9)  0 0 0 Ciiz Cijz 0   0 0 0 Cijz C jjz 0     GJ   0  0 0 0 0 L   Các hệ số Ciiy , Ciiy , C jjy , Ciiz , Cijz , C jjz được trình bày trong công bố [7].
525 4 Bùi Trung Phú, Đặng Duy Khanh, Trương Hiệp Hòa, Lương Văn Hải, Nguyễn Công Huân, Liêu Xuân Quí Ngoài ra, K e là ma trận kể đến dịch chuyển ngang và được cho bởi công thức s  Gs −G s  Ks =  , (10)  −G s T Gs    0 ( M zA + M zB ) / L2 ( − M yA + M yB / L2 ) 0 0 0   ( M zA + M zB ) / L2 P/L 0 0 0 0   với ( G s =  − M yA + M yB / L ) 2 0 P/L 0 0 0 . (11)    0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0     0 0 0 0 0 0  Chú ý rằng, một ma trận chuyển T [11] được sử dụng để chuyển các thành phần ma trận độ cứng và vectơ từ hệ trục địa phương sang hệ trục tổng thể và ngược lại. 2.2. Phần tử dàn 2.2.1. Phi tuyến hình học Công thức Lagrange cập nhật được sử dụng để xây dựng phần tử dàn xét ảnh hưởng phi tuyến hình học. Phương trình cân bằng phi tuyến của một phần tử dàn có dạng sau [11] (k e E e e 2 e ) + k G + s1 + s e + s3 u e + 1 f e = e , 2 f (12) trong f e là lực nút của phần tử e tại cấu hình đã biết trước đó C 1 , trong khi đó 2 f e là lực nút của 1 phần tử e tại cấu hình hiện tại C 2 . k E and k G lần lượt là ma trận được cứng đàn hồi và hình học của e e phần tử e. 2.2.2. Phi tuyến vật liệu Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của phần tử dàn chịu nén được cho bởi Hill và cộng sự [12] như sau = Eε , σ ε ≤ ε cr , = σ cr , ε cr ≤ ε ≤ ε 0 , σ (13) σ ( ε ) = l + (σ cr − σ l ) e σ ( − X1 + X 2 ε ε ' ) ' , ε > ε0 , trong đó σ l = 0.4σ cr ; X 1 và X 2 là các hằng số phụ thuộc và độ mảnh và được lấy bằng 50 và 100; ε ' là biến dạn dọc trục được tính từ điểm bắt đầu sau mất ổn định không đàn hồi, và = ε L + ε NL là gia ε tăng biến dạng Green cập nhật. 2.3. Sai lệch hình học Sự sai lệch hình thường được gây ra bởi chế tạo và lắp dựng, và thường được mô hình bởi: (i) sai lệch hình học chính xác; (ii) tải trọng tương đương, và (iii) giảm mô đun tiếp tuyến. Với các khung không gian, sự giảm mô đun tiếp tuyến ET = 0.85 ET là một chọn đơn giản nhất, nhưng vẫn đảm bảm ' được độ tin cậy. Chú ý rằng, sự sai lệch hình học này chỉ xét đến cho các phần tử dầm-cột, nhưng không xét cho các phần tử dàn của hệ giằng [13].
526 Tối ưu hệ giằng của khung thép phi tuyến sử dụng phương pháp thiết kế nâng cao và thuật 5 toán tiến hóa 3. Bài toán tối ưu Bài toán nhằm xác định vị trí và tiết diện của hệ giằng X sao cho tổng trọng lượng của hệ giằng là nhỏ nhất, nhưng vẫn thỏa mãn các điều kiện về cường độ, độ lệch tầng và chuyển vị tổng thể. Theo đó, bài toán được phát biểu dưới dạng toán học như sau [7] Min : W ( X ) = ∑ nb i =1 ρi Ai Li ,   KU = F,  C1 = LF ≤ 0, 1−  (14)  ds S.t : C2= − 1 ≤ 0, = 1, 2,..., nstory , s  [ds ]  C uj  3 u  − 1 ≤ 0, = 1, 2,..., ndof , = j   j  Amin ≤ A ≤ Amax ,  i i i trong đó W ( X ) là tổng trọng lượng hệ giằng X; ρi , Ai và Li là trọng lượng riêng, diện tích mặt cắt ngang và chiều dài của phần tử giằng i; nb là tổng số phần tử giằng; X là vectơ biến thiết kế bao gồm diện tích mặt cắt ngang A = { A1 ,..., Ai ,..., Anb } và biến topology giả diện tích I = { I1 ,..., I i ,..., I nb } , với I i = 1 mô tả sự có mặt của phần tử giằng, trong khi I i = 0 đại diện cho phần tử giằng được bỏ đi; K, U và F là ma trận độ cứng tổng thể, vectơ chuyển vị và lực tổng thể. Ràng buộc C 1 dùng để kiểm tra khả năng chịu lực của toàn hệ với LF = R / Q là hệ số tải trọng, trong đó R khả năng chịu lực và Q là tải tác dụng. Ràng buộc C 2 dùng để kiểm tra độ lệch tầng với d s và [ d s ] là độ lệch tầng tính toán và cho phép của tầng s. Ràng buộc C 3 dùng để kiểm tra chuyển vị ngang với u j và u j  là chuyển vị   ngang tính toán và cho phép tại bậc tự do i. Aimin và Aimax là biên dưới và trên của biến Ai . 4. Ví dụ số Trong phần này, một khung không gian 2 tầng với hệ giằng X như trên Hình 1 được khảo sát. Hệ giằng X của kết cấu này đã được tối ưu trước đó bởi Lieu và cộng sử bằng cách sử dụng AHEFA [7]. Trong nghiên cứu này, thuật toán HDS [10] sẽ được sử dụng để so sánh sự hiệu quả của phương pháp so với công bố trước đó. Với 16 phần tử thanh giằng, vì vậy vài toán này bao gồm 16 biến thiết kế diện tích và 16 biến thiết kế topology giả diện tích. Trong đó, diện tích tiết diện của thanh giằng được chọn rời rạc theo bảng dữ liệu của AISC (American Institute of Steel Construction). Trọng lượng riêng vật liệu được lấy là 7850 kg/m3. Giới hạn độ lệch tầng cho phép là h/500, với h=4m là chiều cao tầng. Ngoài ra, giới hạn chuyển vị lớn nhất là H/400, với H=8m là tổng chiều cao kết cấu. Giả thiết rằng tất cả các phần tử dầm, cột và dàn đều có tiết diện đặc, vì vậy các hiện tượng mất ổn định cục bộ và xoắn bên không xảy ra. Kích thước dân số cho thuật toán HDS được chọn là 20. 10 lần chạy độc lập khác nhau được thực hiện cho mỗi trường hợp khảo sát. Các kết quả thống kê bao gồm trọng lượng nhỏ nhất tương ứng với số lần đánh giá hàm mục tiêu, trọng lượng lớn nhất và trung bình, độ lệch chuẩn, và số topology khả thi sẽ được báo cáo. Chú ý rằng ứng suất dư, các hiện tượng mất ổn định cục bộ và tổng thể do vênh, xoắn, uốn-xoắn, v.v…được giả thiết là không xảy ra trong nghiên cứu này. Những tham số liên quan khác và chuẩn hội tụ được lấy theo nghiên cứu của Dang và cộng sự [14].
527 6 Bùi Trung Phú, Đặng Duy Khanh, Trương Hiệp Hòa, Lương Văn Hải, Nguyễn Công Huân, Liêu Xuân Quí Bảng 1 trình bày kết quả tối ưu cho 2 trường hợp khảo sát với P=10kN và P=50kN. Có thể nhận thấy rằng, HDS tạo ra các trọng lượng tối ưu tốt hơn cho trường hợp 2, nhưng cả hai trường hợp đều có chi phí tính toán tốt hơn AHEFA được biểu thị qua số lần đánh giá hàm mục tiêu. Kết quả tối ưu vị trí giằng X cho 2 trường hợp được trình bày trong Hình 2. Đường nét đứt màu xanh và màu đỏ tượng trưng cho phần giằng được bỏ đi sau khi tối ưu. Rõ ràng là, với sự gia tăng tải trọng P=50kN, yêu cầu sự có mặt của số phần tử thanh giằng cũng nhiều hơn so với trường hợp P=10kN. Bảng 1. Kết quả tối ưu cho 2 trường hợp khảo sát AHEFA HDS A i (cm2) Case 1 Case 2 Case 1 Case 2 A 19 16.9032 28.9677 13.7419 51.4193 A 20 - 180.6448 - 158.0642 A 21 16.9032 89.6772 22.9032 59.9999 A 22 - 89.6772 - 128.3868 A 27 16.9032 87.0966 16.9032 30.9677 A 28 - 121.2901 - 180.6448 A 29 22.9032 69.9999 19.9354 87.0966 A 30 - 121.2901 - 99.9998 A 33 - - - 0.7161 W (kg) 326.5203 3561.5780 326.5220 3558.3548 Số lần đánh giá hàm 6120 8200 2080 7160 mục tiêu W lớn nhất (kg) 406.9106 3727.1635 327.9813 3588.7477 W trung bình (kg) 361.5838 3610.7828 327.2516 3573.551 Độ lệch chuẩn 38.8323 64.6084 1.0319 21.4910 Số topology khả thi 20 20 20 20 Hệ số tải trọng, LF 1.000 1.000 1.000 1.000 Chuyển vị lớn nhất (m) 0.0200 0.0200 0.0200 0.002 Độ lệch tầng lớn nhất 0.0026 0.025 0.0026 0.0025 Hình 1. Mô hình khung không gian 2 tầng với hệ giằng X
528 Tối ưu hệ giằng của khung thép phi tuyến sử dụng phương pháp thiết kế nâng cao và thuật 7 toán tiến hóa a. Trường hợp 1 b. Trường hợp 2 Hình 2. Kết quả tối ưu vị trí hệ giằng dùng HDS 5. Kết luận Trong nghiên cứu này, thuật toán tối ưu HDS đã được kết hợp với phương pháp phân tích nâng cao để tối ưu hệ giằng X của khung thép không gian có xét đến ứng xử phi tuyến hình học và vật liệu. Trong đó, các cấu kiện dầm và cột được mô phỏng bằng phần tử dầm-cột, còn các cấu kiện của hệ giằng X được mô phỏng bằng phần tử dàn. Bởi vì trường chuyển vị của phần tử dầm-cột được mô tả chính xác bằng hàm ổn định. Vì vậy, mỗi cấu kiện dầm và cột có thể được mô tả chỉ bằng một phần tử dầm- cột. Bài toán nhằm cực tiểu trọng lượng của hệ giằng sao cho các điều kiện về cường độ, độ lệch tầng và chuyển vị tổng thể của hệ kết cấu. Một khung không gian 2 tầng được kiểm chứng để so sánh hiệu quả của thuật toán HDS. Kết quả cho thấy rằng, thuật toán HDS có thể tìm được được nghiệm tốt cạnh tranh và có chi phí tính toán thấp hơn AHEFA. Ngoài ra, các kết quả tối ưu có thể áp dụng vào các thiết kế của kết cấu trong thực tiễn. Lời cảm ơn Chúng tôi xin cảm ơn Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG-HCM đã hỗ trợ cho nghiên cứu này. Tài liệu tham khảo [1] S. Gholizadeh and H. Poorhoseini, “Seismic layout optimization of steel braced frames by an improved dolphin echolocation algorithm,” Struct Multidisc Optim, vol. 54, no. 4, pp. 1011–1029, Oct. 2016, doi: 10.1007/s00158-016-1461-y. [2] S. Gholizadeh and M. Ebadijalal, “Performance based discrete topology optimization of steel braced frames by a new metaheuristic,” Advances in Engineering Software, vol. 123, pp. 77–92, Sep. 2018, doi: 10.1016/j.advengsoft.2018.06.002. [3] F. McKenna, “OpenSees: A Framework for Earthquake Engineering Simulation,” Computing in Science Engineering, vol. 13, no. 4, pp. 58–66, Jul. 2011, doi: 10.1109/MCSE.2011.66. [4] W.-K. Chen and E. M. Lui, Structural Stability: Theory and Implementation. PTR Prentice Hall, 1987. [5] W. F. Chen and I. Sohal, Plastic Design and Second-Order Analysis of Steel Frames. New York: Springer- Verlag, 1995. doi: 10.1007/978-1-4613-8428-1.
529 8 Bùi Trung Phú, Đặng Duy Khanh, Trương Hiệp Hòa, Lương Văn Hải, Nguyễn Công Huân, Liêu Xuân Quí [6] J. G. Orbison, W. McGuire, and J. F. Abel, “Yield surface applications in nonlinear steel frame analysis,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 33, no. 1, pp. 557–573, Sep. 1982, doi: 10.1016/0045-7825(82)90122-0. [7] Q. X. Lieu, K. D. Dang, V. H. Luong, and S. Thai, “Topology and size optimization for X-bracing system of nonlinear inelastic space steel frames,” Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE) - HUCE, vol. 16, no. 3, Art. no. 3, Jun. 2022, doi: 10.31814/stce.huce(nuce)2022-16(3)-06. [8] Q. X. Lieu, D. T. T. Do, and J. Lee, “An adaptive hybrid evolutionary firefly algorithm for shape and size optimization of truss structures with frequency constraints,” Computers & Structures, vol. 195, pp. 99–112, Jan. 2018, doi: 10.1016/j.compstruc.2017.06.016. [9] Q. X. Lieu, “A novel topology framework for simultaneous topology, size and shape optimization of trusses under static, free vibration and transient behavior,” Engineering with Computers, Jan. 2022, doi: 10.1007/s00366-022-01599-5. [10] S. Nguyen-Van, K. T. Nguyen, V. H. Luong, S. Lee, and Q. X. Lieu, “A novel hybrid differential evolution and symbiotic organisms search algorithm for size and shape optimization of truss structures under multiple frequency constraints,” Expert Systems with Applications, p. 115534, Jul. 2021, doi: 10.1016/j.eswa.2021.115534. [11] Y.-B. Yang and S.-R. Kuo, Theory & Analysis of Nonlinear Framed Structures. Prentice Hall, 1994. [12] C. D. Hill, G. E. Blandford, and S. T. Wang, “Post‐Buckling Analysis of Steel Space Trusses,” Journal of Structural Engineering, vol. 115, no. 4, pp. 900–919, Apr. 1989, doi: 10.1061/(ASCE)0733- 9445(1989)115:4(900). [13] W.-F. Chen and E. M. Lui, Eds., Principles of Structural Design. Boca Raton: CRC Press, 2005. doi: 10.1201/9781420037135. [14] K. D. Dang, S. Nguyen-Van, S. Thai, S. Lee, V. H. Luong, and Q. X. Lieu, “A single step optimization method for topology, size and shape of trusses using hybrid differential evolution and symbiotic organisms search,” Computers & Structures, vol. 270, p. 106846, Oct. 2022, doi: 10.1016/j.compstruc.2022.106846.