Tối ưu hóa các khung phẳng có tiết diện thay đổi

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Tối ưu hóa các khung phẳng có tiết diện thay đổi trình bày cách xây dựng bài toán tối ưu theo phương pháp lực và cách giải bài toán tối ưu theo phương pháp đồ thị và phương pháp Gradient.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tối ưu hóa các khung phẳng có tiết diện thay đổi

Tạp chí Vật liệu & Xây dựng Tập 13 Số 04 năm 2023 Tối ưu hóa các khung phẳng có tiết diện thay đổi Nguyễn Vũ Thiêm hoa Xây dựng, ĐH Kiến trúc Hà Nội Ừ Ắ Tối ưu hóa kết cấu Tối ưu hóa kết cấu là một lĩnh vực nghiên cứu cơ học mới. Nó là sự kết hợp giữa tính toán cơ học và tối ưu Khung phẳng hóa toán học. Vì vậy quá trình tối ưu là một quá trình tính toán số. Với sự phát triển của công nghệ tính Phương pháp lực toán trên máy tính, việc tính toán các hệ lớn để giải các bài toán tối ưu trở nên thuận lợi hơn bao giờ hết. Phần mềm Matlab Tác giả ự ả ế ối ưu củ ẳng theo phương pháp lự ế ện không đổ ế ệ ột thay đổ ự ậ ế ế sơ đồ ố ậ ự ối ưu củ ẳ theo phương pháp lự ữ ậ ế ả ằ ủ ậ ệ ả ố Bài toán tối ưu kết cấu Trong các phương án có khả năng, tất nhiên phương án tối ưu theo bất kỳ một quan điểm nào đều là phương án có lợi nhất cho người Trong tính toán kết cấu, hàm mục tiêu thường biểu thị các đại thiết kế nhưng trong mọi quan điểm, hiệu quả kinh tế được đánh giá lượng cần được cực tiểu hoá như trọng lượng, thể tích kết cấu, giá cả bằng giá thành xây dựng vẫn phải là tiêu chuẩn quan trọng nhất. Chính vật liệu. Các điều kiện ràng buộc dưới dạng đẳng thức thường là các vì vậy, khi thiết kế tối ưu cho các kết cấu, việc cực tiểu hoá các hàm điều kiện cân bằng, các điều kiện biến dạng liên tục. Các điều kiện ràng thể tích và trọng lượng cũng chính là làm giảm giá thành xây dựng. buộc dưới dạng bất đẳng thức thường là các điều kiện về độ bền, độ Có nhiều phương pháp xây dựng bài toán tối ưu và cũng có nhiều cứng, các điều kiện chảy dẻo [1]. Dạng hàm mục tiêu và dạng điều kiện phương pháp giải bài toán tối ưu. Trong ràng buộc thay đổi tùy theo kết cấu và phương pháp tính. Do đó bài dựng bài toán tối ưu theo phương pháp lực và các giải bài toán tối ưu toán tối ưu và phương án giải có những đặc điểm khác theo phương pháp đồ thị và phương pháp Gradient. dụng các phương pháp tính khác nhau. Dạng ma trận của phương pháp lực xuất phát từ những giả thiết và nguyên tắc sau đây: Tải trọng là các Tính toán tối ưu khung phẳng theo phương pháp lực. lực tập trung; Chia kết cấu thành các phần tử riêng biệt giới hạn bởi các Công thức tính nội lực và biến dạng điểm chia gọi là nút. Đối với hệ siêu tĩnh, thành lập hệ cơ bản bằng cách loại bỏ các liên kết thừa và thay vào đó bằng các lực chưa biết R Giả sử hệ siêu tĩnh bậc n (có n liên kết thừa) và chịu tác dụng của . Đối với hệ siêu động, thành lập hệ cơ bản bằng cách thêm các m tải trọng tập trung. Ta có: 𝑃𝑃 = [𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 𝑃𝑃3 ... 𝑃𝑃𝑛𝑛 ] liên kết thiếu và thay vào đó bằng các chuyển vị chưa biết Z Vectơ tải trọng Thiết kế tối ưu bao gồm và kết hợp giữa các bài toán cơ học kết 𝑅𝑅 = [𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 ... 𝑅𝑅 𝑛𝑛 ] cấu và thực tế công trình trong phạm vi quy định của các tiêu chuẩn và Vectơ lực liên kết thừa: quy trình thiết kế. Bài toán thiết kế tối ưu các kết cấu chủ yếu là những 𝑆𝑆0 = 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃; 𝑆𝑆 𝑅𝑅 = 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅; 𝐵𝐵1 = ∑ 𝐵𝐵𝑖𝑖 . bài toán quy hoạch phi tuyến. Nội lực trong hệ kết cấu do tải trọng và do liên kết thừa gây ra: Hàm mục tiêu trong đó thường là: Cực tiểu hóa các hàm về thể tích; Cực tiểu hóa các hàm về trọng lượng; Cực tiểu hóa giá thành • Vectơ nội lực do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản; toàn bộ kết cấu. • Vectơ nội lực do các liên kết thừa gây ra trong hệ cơ bản; ệ ả ậ ử ấ ận đăng JOMC 71
Tạp chí Vật liệu & Xây dựng Tập 13 Số 04 năm 2023 • Ma trận ảnh hưởng nội lực trong hệ cơ bản ứng với tải ế ệ ầ ộ ự ự ọ trọng tập ự ắ ệ ữ ủ ộ ầ ử 𝑀𝑀𝑖𝑖 = 4 ( ) 𝜃𝜃 𝑖𝑖 + 2 ( ) 𝜃𝜃𝑗𝑗 ; 𝑀𝑀𝑗𝑗 = 2 ( ) 𝜃𝜃 𝑖𝑖 + 4 ( ) 𝜃𝜃𝑗𝑗 . Ma trận ảnh hưởng nội lực trong hệ cơ bản ứng với lực đầ ế ấ ỳ ể ế 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐸𝐸𝐸𝐸 • 𝐿𝐿 ij 𝐿𝐿 ij 𝐿𝐿 ij 𝐿𝐿 ij do các liên kết R 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆0 + 𝑆𝑆 𝑅𝑅 = 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅. Véc tơ Nội lực trong hệ siêu tĩnh: Trong đó: – ỉ ốứ ớ ầ ử – ại đầ ủ ới quy ước là dương 𝑈𝑈 = 𝑓𝑓 × 𝑆𝑆 = 𝑓𝑓(𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅). Vectơ biế ạ ệ siêu tĩnh: khi quay ngượ ều kim đồ ồ   – ại đầ ủ ới quy ước là dương ậ độ ề ủ ệ ế ấ khi quay ngượ ều kim đồ ồ ối ưu, đại lượ ững đại lượ ầ ừa thõa mãn các điề ệ ề độ ền, độ ứ ừ x1 j j các điề ệ ế ạ ụ ủ ệ ế ấ Mi  i 35° Mj ij 32° Công thức tính chuyển vị tại các nút, điều kiện biến dạng liên tục i L x2 ọ ể ị trên phương củ ạ ự ể ị Sơ đồ ể ị ầ ử trên phương củ ế ừ Để ể ị ạ ộ ̅ 𝑃𝑃 ạ ể ị ệ cơ bả ằ ạ ỏ ế ự 𝜃𝜃 𝑖𝑖 = ( ) 𝑀𝑀𝑖𝑖 − ( ) 𝑀𝑀𝑗𝑗 ; 𝜃𝜃𝑗𝑗 = ( ) 𝑀𝑀𝑖𝑖 − ( ) 𝑀𝑀𝑗𝑗 . ải phương trình (14) vớ ẩ ố 1 𝐿𝐿 1 𝐿𝐿 1 𝐿𝐿 1 𝐿𝐿   ủ ệ siêu tĩnh đã cho. ̅ 𝑆𝑆 R và đặt vào điểm đặ ự ả ọ ả ạ ị ấ ỳ ọ 3 𝐸𝐸𝐸𝐸 ij 6 𝐸𝐸𝐸𝐸 ij 6 𝐸𝐸𝐸𝐸 ij 3 𝐸𝐸𝐸𝐸 ij ả ạ ̅ 𝑃𝑃 ạ ự ạ ộ ự 𝑈𝑈𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑖𝑖 × 𝑆𝑆𝑖𝑖 𝑖𝑖 . ết dướ ạ ậ ̄ 𝑃𝑃 = 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 . 𝑆𝑆 ̄ ệ cơ bả ả ứ là véc tơ biế ạ Véc tơ ộ ự ma trân độ ề ̄ ̄ 𝑃𝑃 ′ × 𝑋𝑋 𝑃𝑃 = 𝑆𝑆 𝑃𝑃 × 𝑈𝑈. ụ ả dĩ, ta có: 𝜃𝜃 𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑖𝑖 2 −1 ủ ầ ử 𝑈𝑈𝑖𝑖 𝑖𝑖 = [ 𝜃𝜃 ] ; 𝑆𝑆𝑖𝑖 𝑖𝑖 = [ 𝑀𝑀 ] ; 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑖𝑖 = ( ) [ ]. 1 𝐿𝐿 Trong đó, vế ể ị ả dĩ củ ạ ự ở ạ 𝑗𝑗 𝑗𝑗 6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐼𝐼 𝐼𝐼 −1 2 ả ạ ữ ể ị ả dĩ ở ạ ự ế ả ể ị Đố ớ ệ ế ấ ề ầ ử ế ợ ể ả dĩ ủ ộ ự ở ạ ả ạ ữ ể ị ả ứ ệ ề ầ ử ̄ ̄ ̄ ̄ 𝑆𝑆 𝑃𝑃 = 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 → 𝑃𝑃 ′ × 𝑋𝑋 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃 ′ × 𝐵𝐵0 × 𝑈𝑈. dĩ ở ạ ự Nhưng: ′ tối ưu kết cấu khung phẳng có tiết diện thay đổi 𝑋𝑋 𝑃𝑃 = 𝐵𝐵0 × 𝑈𝑈. ị ấ ỳ Đặc điểm của kết cấu khung phẳng có tiết diện thay đổi ′ ằ ệ ứ 𝑋𝑋 𝑃𝑃 = 𝐵𝐵0 ′(𝑓𝑓 × 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅) = 𝐵𝐵0 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝐵𝐵0 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅. Trong thực tế nhằm tận dụng hết khả năng làm việc của hệ kết cấu giảm chi phí vật liệu người ta có thể đưa ra nhiều giải pháp khác Tương tự Để ể ị ạ ộ ạ ể ị giải pháp đó giải pháp thay đổi tiết diện để phù hợp ả ạ ̅ 𝑅𝑅 ệ cơ bả ằ ạ ỏ ế ực P và R và đặt vào điểm đặ với biểu đồ nội lực là hay được áp dụng. Trong bài toán tối ưu, hệ khung ệ siêu tĩnh đã cho. ̅ 𝑆𝑆 ự ả ọ ị ấ ỳ ọ ạ ự ạ có tiết diện thay đổi được tính toán gần giống như khung có tiết diện ̅ ạ 𝑅𝑅 ủ ộ ự ệ cơ bả ả ả không đổi nhưng phải chú ý đến những phép tính có liên quan đến độ ứ 𝑋𝑋 𝑅𝑅 = 𝐵𝐵1 ′(𝑓𝑓 × 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅) = 𝐵𝐵1 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝐵𝐵1 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅. cứng như: Ma trận độ mềm của hệ kết cấu f; Biểu thức xác định phản lực thừa [R]; Các điều kiện ràng buộc; Hàm mục tiêu… 𝐵𝐵1 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝐵𝐵1 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅 = 0. ệ ể ị ằ ận độ ề ủ ầ ử ế ện thay đổ Phương trình (11) gọi là phương trình cơ bả ủa phương pháp ố ệ ế ệ ự ọi là phương trình điề ệ ế ạ ục. Đố ớ ệ 𝑆𝑆 = 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃; 𝑈𝑈 = 𝑓𝑓 × 𝑆𝑆 = 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃; 𝑋𝑋 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹 × 𝑃𝑃. tĩnh đị ộ ấ ỳ ặ ắ ế diện ữ ậ đổ ề ại đầ ế ệ ại đầ ế 𝐹𝐹 = 𝐵𝐵1 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵0 . Trong đó F gọ ận độ ề ủ ệ ế ấ ệ ệ ữ ộ ự ế ạ JOMC 72
Tạp chí Vật liệu & Xây dựng Tập 13 Số 04 năm 2023 𝑋𝑋1 = [−𝐶𝐶𝜃𝜃 𝑖𝑖 + (𝐵𝐵 − 𝐶𝐶)𝜃𝜃 𝑘𝑘 ] 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 { 𝐿𝐿(𝐶𝐶 2 −𝐴𝐴𝐴𝐴) 𝑋𝑋2 = [−𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑖𝑖 + (𝐴𝐴 − 𝐶𝐶)𝜃𝜃 𝑘𝑘 ] i j 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝐿𝐿(𝐶𝐶 2 −𝐴𝐴𝐴𝐴) 𝑀𝑀𝑖𝑖 = [𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑖𝑖 − (𝐴𝐴 − 𝐶𝐶)𝜃𝜃 𝑘𝑘 ] Mô men đầ 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 h0 h1 hz { 𝐿𝐿(𝐶𝐶 2 −𝐴𝐴𝐴𝐴) 𝑀𝑀 𝑘𝑘 = [(𝐴𝐴 − 𝐶𝐶)𝜃𝜃 𝑖𝑖 − (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 − 2𝐶𝐶)𝜃𝜃 𝑘𝑘 ] b0 b1 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝐿𝐿(𝐶𝐶 2 −𝐴𝐴𝐴𝐴) 𝑀𝑀𝑖𝑖 𝐴𝐴 −(𝐴𝐴 − 𝐶𝐶) 𝜃𝜃 L bz ết dướ ạ ậ [ ]= [ ] [ 𝑖𝑖 ] 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 Sơ đồ ế ện thay đổ 𝑀𝑀 𝑘𝑘 𝐿𝐿(𝐶𝐶 2 −𝐴𝐴𝐴𝐴) (𝐴𝐴 − 𝐶𝐶) −(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 − 2𝐶𝐶) 𝜃𝜃 𝑘𝑘 − ể ứ 𝐿𝐿(𝐴𝐴+𝐵𝐵−2𝐶𝐶) 𝐿𝐿(𝐴𝐴−𝐶𝐶) 𝜃𝜃 𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑖𝑖 [ ]=[ ][ ] 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝐴𝐴 𝑖𝑖 = 𝑏𝑏𝑖𝑖 × ℎ 𝑖𝑖 ; 𝐴𝐴 𝑘𝑘 = 𝑏𝑏 𝑘𝑘 × ℎ 𝑘𝑘 ; 𝐼𝐼𝑖𝑖 = ; 𝐼𝐼 𝑘𝑘 = . 𝜃𝜃 𝑘𝑘 𝑀𝑀 𝑘𝑘 Diện tích tiết diện và mô men quán tính tiết diện đầu thanh. 𝑏𝑏 𝑖𝑖 ×ℎ 𝑖𝑖 𝑏𝑏 𝑘𝑘 ×ℎ3 3 − 𝑘𝑘 𝐿𝐿(𝐴𝐴−𝐶𝐶) 𝐿𝐿𝐿𝐿 12 12 𝜉𝜉 = → 𝑧𝑧 = 𝜉𝜉𝜉𝜉 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 (0 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 1) 𝑧𝑧 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝐿𝐿 𝑏𝑏 = ; ℎ= ; 𝑏𝑏 𝑧𝑧 = 𝑏𝑏𝑖𝑖 (1 + 𝑏𝑏𝑏𝑏); ℎ 𝑧𝑧 = ℎ 𝑖𝑖 (1 + ℎ𝜉𝜉). Ta đặ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 −𝑏𝑏 𝑖𝑖 ℎ 𝑘𝑘 −ℎ 𝑖𝑖 𝑏𝑏 𝑖𝑖 ℎ 𝑖𝑖 ận độ ề ủ ế ện thay đổ −(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 − 2𝐶𝐶) (𝐴𝐴 − 𝐶𝐶) Diện tích và mô men quán tính tiết diện tại tọa độ z được biểu [ 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑖𝑖 = ]. 𝐿𝐿 −(𝐴𝐴 − 𝐶𝐶) 𝐴𝐴 diễn thông qua  như sau: 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝐴𝐴 𝑧𝑧 = 𝑏𝑏 𝑧𝑧 ℎ 𝑧𝑧 = 𝐴𝐴 𝑖𝑖 [1 + (𝑏𝑏 + ℎ)𝜉𝜉 + 𝑏𝑏ℎ𝜉𝜉 2 ] = 𝐴𝐴 𝑖𝑖 [1 + 𝑐𝑐1 𝜉𝜉 + 𝑐𝑐2 𝜉𝜉 2 ]. ▪ Diện tích là hàm có bậc cao nhất là 2 của  Các thanh có liên kết hai đầu khác nhau cũng được thực hiện 𝑐𝑐1 = (𝑏𝑏 + ℎ); 𝑐𝑐2 = 𝑏𝑏ℎ. tượng tự. Phần nội lực, điều kiện ràng buộc về độ bền; điều kiện ràng Trong đó: buộc độ cứng; điều kiện liên tục và hàm mục tiêu tương tự như phần 𝐼𝐼𝑧𝑧 = = 𝐼𝐼𝑖𝑖 [1 + 𝑎𝑎1 𝜉𝜉 + 𝑎𝑎2 𝜉𝜉 2 + 𝑎𝑎3 𝜉𝜉 3 + 𝑎𝑎4 𝜉𝜉 4 ] = 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑓𝑓(𝜉𝜉). ▪ Mô men quán tính là hàm có bậc cao nhất là 4 của  𝑏𝑏 𝑧𝑧 ℎ2 𝑧𝑧 khung có tiết diện không đổi. 12 ối ưu ệ ế ấ ẳ Quan hệ giữa nội lực và chuyển vị đầu thanh ộ ự trong khung siêu tĩnh Xét một phần tử ik bất kỳ hai đầu ngàm chịu tác dụng của chuyển Ta xét khung siêu tĩnh. Khung tĩnh định được coi là trườ ợ vị cưỡng bức đầu i xoay một góc  , đầu k xoay một góc  , ta xác định đặ ệ ủa khung siêu tĩnh. Giả ử ậc siêu tĩnh là n (n liên nội lực trong thanh bằng phương pháp lực. Hệ cơ bản và các biểu đồ ế ừ ị ả ọ ậ Vectơ tả ọ Vectơ lự mô men đơn vị như 𝑆𝑆 = 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅. ế ừ tơ Nộ ự ệ siêu tĩnh ( Điề ệ ộ ề độ ề Đố ớ ế ệ ầ ể ỏ ảnh hưở ủ ự ọ 𝜎𝜎𝑖𝑖 = ≤ 𝜎𝜎𝑖𝑖∗ . Sơ đồ thanh có tiết diện thay đổi. 𝑀𝑀 𝑖𝑖 𝑊𝑊 𝑖𝑖 Trong đó: Mi – ạ ế ệ – ố ố 𝑀𝑀1 (𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 = 𝜉𝜉𝜉𝜉; 𝑀𝑀2 (𝑧𝑧) = 1. Các hàm mô men đơn vị tính theo cơ học kết cấu: ạ ế ệ – Ứ ấ Dướ ạ ậ ất đẳ ứ 𝑊𝑊 × 𝑆𝑆 = 𝑊𝑊(𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅) ≤ 𝜎𝜎𝑖𝑖∗ . ể ế 𝐿𝐿 [𝑀𝑀 (𝑧𝑧)]2 𝜉𝜉𝜉𝜉𝜉𝜉𝜉𝜉 𝐿𝐿3 1 𝜉𝜉 2 𝐿𝐿3 Tính các hệ số của phương trình chính tắc: 1 𝛿𝛿11 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 . 1 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑧𝑧 0 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑓𝑓(𝜉𝜉) 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖 0 𝑓𝑓(𝜉𝜉) 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖 𝐿𝐿 [𝑀𝑀 (𝑧𝑧)]2 1.1 𝐿𝐿 1 𝐿𝐿 0 𝑊𝑊 × 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝑊𝑊 × 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅 ≤ 𝜎𝜎𝑖𝑖∗ . 1 1 𝛿𝛿22 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐵𝐵 . 2 0 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑧𝑧 0 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑓𝑓(𝜉𝜉) 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖 0 𝑓𝑓(𝜉𝜉) 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖 𝛿𝛿12 = 𝛿𝛿12 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶 . 𝐿𝐿 𝑀𝑀1 (𝑧𝑧)𝑀𝑀2 (𝑧𝑧) 𝐿𝐿2 1 𝜉𝜉 𝐿𝐿2 Trong đó:  Véc tơ Ứ ấ ộ ậ 0 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑧𝑧 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 0 𝑓𝑓(𝜉𝜉) 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑊𝑊1−1 0 … 0 ạ ớ ố ế ả ệ 𝐴𝐴 = ∫ 𝑓𝑓(𝜉𝜉) 𝑑𝑑𝑑𝑑; 𝐵𝐵 = ∫ 𝑓𝑓(𝜉𝜉) 𝑑𝑑𝑑𝑑; 𝐶𝐶 = ∫ 𝑓𝑓(𝜉𝜉) 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑊𝑊 = 0 𝑊𝑊2 … 0 . −1 Trong đó ta đã đặt. 1 𝜉𝜉 2 1 1 1 𝜉𝜉 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ [ 0 0 ⋰ 𝑊𝑊𝑘𝑘 ] −1 𝛥𝛥1𝜃𝜃 = −𝐿𝐿𝜃𝜃 𝑘𝑘 ; 𝛥𝛥2𝜃𝜃 = 𝜃𝜃 𝑖𝑖 − 𝜃𝜃 𝑘𝑘 . Tính các số tự do của phương trình chính tắc: ệ ức trên, các đại lượ ỉ ố Wi đượ ặ Thay vào hệ phương trình chính tắc; ả ệ phương trình ta ừng đôi trên đườ ủ ận vì đố ớ ầ ử đượ ệ ế ệ thay đổ JOMC 73
Tạp chí Vật liệu & Xây dựng Tập 13 Số 04 năm 2023 ạ ặ ắ ầ ử ặ ắ ể ớ ặ ắ Lập trình tính toán trong matlab ặ ả ủ ầ ử i), điề ệ ộ ềứ ấ Thuật toán ạ 𝐷𝐷 ≤ 𝜎𝜎𝑖𝑖∗ . ( 𝑊𝑊 +∑ 𝑘𝑘=1 𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑅𝑅 𝑘𝑘 ) 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝑖𝑖 Chương trình 1 – Xây dựng bài toán tối ưu 𝑊𝑊 𝑖𝑖 Đầ ố ệu kích thướ ậ ệ ả ọ ố ạng đầ ặ ế ả ủ ứ Đầ ục tiêu và các điề ệ ộ ủ ậ ớ ậ ố ạ ứ ặ ế ả Bướ ậ ố ệ thước, độ ứ ọ ẩ ố ủ ứ ủ ậ ớ ậ Bướ ậ Bướ ế ậ ận độ ề Đố ớ ữ ế ệ ộ ị ụng đồ ờ ủ ự Bướ ế ập điề ệ ộ ề độ ứ ọc, điề ệ ộ ềứ ấ ạ Bướ ộ ự 𝐷𝐷 + ≤ 𝜎𝜎𝑖𝑖∗ . ( 𝑊𝑊 +∑ 𝑘𝑘=1 𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑅𝑅 𝑘𝑘 ) 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛 Bướ ế ập các điề ệ ộ ề độ ề 𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝑊𝑊 𝑖𝑖 Bướ ự ối ưu Trong đó: N – ự ọ ầ ử ệ ế ệ Chương trình 2 – Giải bài toán tối ưu ầ ử Nhánh 1. Giải theo phương pháp đồ thị Bướ ẽ đườ ộ ề độ ứng, độ ề – xác đị Điề ệ ộ ề độ ứ ề ệ Bướ Xác đị ệ ố ủ ụ ả ử  là véc tơ chuyể ị ại các điểm đặ ự ụ Bướ ẽ đườ ể ễ ụ ế ới đườ 𝑦𝑦2 ⋯ 𝑦𝑦 𝑚𝑚 } = 𝐵𝐵0 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝐵𝐵0 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅 ≤ 𝛥𝛥. 𝑋𝑋 𝑃𝑃 = { 𝑦𝑦1 ứ (10) ta có điề ệ ộ ề độ ứ ộc độ ứ Bướ Xác định điể ế ọa độ ị ụ Để ể ể ị ại điểm đặ ự ự ệ Nhánh 2 Giải theo phương pháp Gradient ứ ủ ận [B’ ới véc tơ P và nhân hàng thứ ủ Bướ – Tính các véc tơ Gradient củ ục tiêu và các điề ậ [B’ ới véc tơ R. Căn cứ vào phép nhân ta có điề ệ ệ ộ Bướ – ọn điể ấ ề ệ ∑ 𝑖𝑖=1 + ∑ 𝑘𝑘=1 𝑅𝑅 𝑘𝑘 ∑ 𝑖𝑖=1 ≤ 𝛥𝛥𝑗𝑗 . ộ 𝑟𝑟 𝑎𝑎 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑟𝑟 𝑏𝑏 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝐼𝐼 𝑖𝑖 đị  Bướ – ọa độ điể ớ } xác đị  để Trong đó:  – ể ị ại điểm đặ ự ọa độ điể ếp theo C, Bướ ầ ế ục đến khi đạt được điể ối ưu Điề ệ ộ ề ế ạ ụ Bướ Xác đị ọa độ điể ối ưu và giá trị ụ 𝐵𝐵0 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵0 × 𝑃𝑃 + 𝐵𝐵0 ′ × 𝑓𝑓 × 𝐵𝐵1 × 𝑅𝑅 = 0. Sơ đồ khối ừ phương trình (25) ta suy ra điề ệ ế ạ ụ ạ ∑ 𝑖𝑖=1 + ∑ 𝑘𝑘=1 𝑅𝑅 𝑘𝑘 ∑ 𝑖𝑖=1 = 0. điểm đặ ự ế ừa Rs (s=1, 2, 3, …, n) 𝑟𝑟 𝑔𝑔 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑟𝑟 𝑓𝑓 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝐼𝐼 𝑖𝑖 ∑ 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑟𝑟 𝑔𝑔 𝐼𝐼 𝑖𝑖 Trong đó: ế ả ứ ủ ậ B’ ∑ 𝑖𝑖=1 ớ 𝑟𝑟 𝑓𝑓 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐼𝐼 𝑖𝑖 ầ ử ằ ứ ộ ủ ậ B’ Hàm mục tiêu ả ử ộ ế ấ ồ ấ ệ ỗ ấ ệ ứ ề ệ ế ệ ọng lượ ậ ệ ế ạ  ối lượ ấ ệ ứ ệ ế ấ ấ ệ ậ ố 𝐺𝐺 = ∑ 𝑘𝑘=1 𝛾𝛾𝑖𝑖 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝐿𝐿 𝑖𝑖 . lượ ủ ệ ế ấ 𝑛𝑛 Hàm G trong phương trình (2 ọ ụ ọ lượ JOMC 74
Tạp chí Vật liệu & Xây dựng Tập 13 Số 04 năm 2023 Bài toán tối ưu kết cấu khung phẳng ế ế ối ưu khối lượ ẳ ế ện không đổ Cho khung siêu tĩnh mộ ị ề ầ ề ị ị ụ ủ ả ọ ộ ệ ế ệ ạ ữ ậ ầ ệ ế ệ ạ ữ ậ Ứ ấ ớ ấ ệ ế ấ  ể ị ớ ất không vượ . Xác đị ối lượ ỏ ấ ủa khung đả ảo được điề ệ ền và điề ệ ứ ế ả ả ối ưu bằng phương pháp đồ ị 4 3 P b2h2 2 5 P ả ối ưu theo phương pháp Gradient 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −90ℎ1 − 30ℎ2 ị ớ ấ ủ ố H b1 h1 b1 h1 HCB 1 6 R ới các điề ệ ộ 𝛻𝛻𝑓𝑓(𝑥𝑥) = [−90 − 30] ⇒ {𝑑𝑑0 } = {−90 −30} L L L Trướ ế ủ ụ H H/L H/L H H 1 1 P=1 P H H H ế ộ Để ả toán này ta cũng xuấ ừ điể ộ ề ệ ển theo hướ ủ ụ M0 N0 M1 N1 R {𝑥𝑥1 } = {𝑥𝑥 𝑖𝑖,1 } = {𝑥𝑥0 } + 𝜆𝜆{𝑑𝑑0 } R=1 Điể ới xác đị ừ phương trình Sơ đồ ế ện không đổ trong đó giá trị  đượ ấ ằ ị ỏ ấ ị để khung có khối lượng nhỏ nhất. Cho biết: H =   ị  xác định theo điề ện không âm, để xác đị  theo cấu tạo ải phương trình:    ❖ ấ ừ điể 𝐺𝐺 = 90ℎ1 + 30ℎ2 . ự ể ế ố ọn điể ấ ằ ề ệm. Điể ọ độ ộ ề ệm. Ta có điể ớ 𝑥𝑥1,1 {𝑥𝑥1 } = { 𝑥𝑥 } = {500} − 0.454380 {−90} = {540.894} ới các điề ệ ộ 𝑔𝑔1 = ≤ 8; 𝑔𝑔2 = ≤ 0.1; 𝑔𝑔3 = ≤ 0.1; ọa độ ủa điể 911250000 303750000 ℎ2 +54000 3(ℎ1 +18000) 500 −30 513.631 ℎ3 ℎ3 8ℎ2 8ℎ2 2,1 1 2 1 1 ả ối ưu theo phương pháp đồ ị ❖ ế ụ ấ ừ điểm B đến điể Bướ ẽ đườ ộ ại điể ộc đườ ộc độ độ ứ 𝑟𝑟1 = 0.3162 𝑟𝑟2 = -0.9487 𝜎𝜎 = 0.0001 ▪ ứ ả ồ ẩ  ệ 𝑥𝑥2,1 {𝑥𝑥2 } = { 𝑥𝑥 } = {636.813475629} + 8.502012 {-0.406130744} ▪ độ ề ủ ầ ừ đó ta tính đượ ọa độ điể 516.361544724 0.913815121 633.360547164 2,2 ▪ độ ề ủ ộ ={ } 524.130811846 ▪ xác đị ề ệm như hình vẽ Bướ Xác đị ệ ố ủ ụ Căn cứ vào phân tích trên đây, ta được điể ớ ọa độ ằm trên đườ ứ ới điề ệ ớ ạ ứ ủa bài toán. Đây Bướ ẽ đườ ể ễ ụ ế ới đườ là điể ối ưu. ộc độ ứ 𝑥𝑥2,1 {𝑥𝑥2 } = { 𝑥𝑥 } = {534.079} ọa độ điể ối ưu: 534.079 ▪ Tính đạ ủa điề ệ ộc độ ứ h2’ 2,2 ▪ ải phương trình y = k tìm nghiệ ị ối ưu ▪ ết phương trình tiế ế ại điể ế ế ối ưu khối lượ ẳ ế ệ ộ thay đổ Bướ Xác định điể ế ọa độ ị ụ Cho khung siêu tĩnh mộ ị ề ầ ề ị ị ụ ủ ả ọ ộ ệ ế ệ JOMC 75
Tạp chí Vật liệu & Xây dựng Tập 13 Số 04 năm 2023 thay đổ ạ ữ ậ ạ ố ự ại đỉ ộ ầ ệ ế ệ không thay đổ ạ ữ ậ Ứ ấ ớ ấ ệ ế ấ  ể ị ớ ất không vượ . Xác đị ối lượ ỏ ấ ủa khung đả ảo được điề ệ ền và điề ệ ứ 3 4 b1 h1 P b2h2 2 P 5 b2h2 b1 h1 b1 h1 b1 h1 HCB 1 6 b0 h0 b0 h0 R L L L L ế ả ối ưu giả ằng phương pháp đồ ị H H/L H/L H H 1 1 P=1 P H H H ả ối ưu theo phương pháp Gradient 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −67.5ℎ1 − 30ℎ2 ị ớ ấ ủ ố M0 N0 M1 N1 R=1 R ới các điề ệ ộ 𝛻𝛻𝑓𝑓(𝑥𝑥) = [−67.5 − 30] Sơ đồ ế ệ ột thay đổ Trướ ế ủ ụ {𝑑𝑑0 } = {−67.5 −30} Cho biết: H = 9000 mm; L = 6000 mm; P = 50 kN; E = 400 Do đó: yêu cầu cấu tạo b    để khung ế ộ có khối lượng nhỏ nhất Để ải bài toán này ta cũng xuấ ừ điể ộ ề ụng chương trình tính củ ứ ế ả ệ ển theo hướ ủ ụ {𝑥𝑥1 } = {𝑥𝑥 𝑖𝑖,1 } = {𝑥𝑥0 } + 𝜆𝜆{𝑑𝑑0 } ối ưu Điể ới xác đị ừ phương trình 𝑍𝑍 = 67.5ℎ1 + 30ℎ2 . Xác đị ị ỏ ấ ủ ối lượ trong đó giá trị  đượ ấ ằ ị ỏ ấ ị ới các điề ệ ộc và tương đương các bấ đẳ ứ   ị  xác định theo điề ện không âm, để xác đị  𝑔𝑔1 = + ≤ 8; 𝑔𝑔2 = ≤ 0,1; 𝑔𝑔3 = ≤ 0,1. 513204727500 303750000 ℎ2 +54000 3(ℎ1 +18000) 343ℎ3 ℎ3 8ℎ2 8ℎ2 1 2 2 1 ải phương trình: Dùng phương pháp đồ ị để ả ❖ ấ ừ điể Bướ ẽ đườ ộ ọn điể ấ ằ ề ệm. Điể ọ ▪ độ ứ độ ộ ề ệm. Ta có điể ớ {𝑥𝑥1 } = {600} − 0.545384824 {−67.5} = {636.813475629} ọa độ ủa điể 500 −30 516.361544724 ▪ độ ề ủ ầ ▪ độ ề ủ ộ ❖ ế ụ ấ ừ điểm B đến điể ▪ xác đị ề ệm như hình vẽ ại điể ộc đườ ộc độ 𝑟𝑟1 = −0.406130744 𝑟𝑟2 = 0.913815121 𝜎𝜎 = 0.000628355 Bướ Xác đị ệ ố ủ ụ ứ ả ồ ẩ  ệ 𝑥𝑥2,1 {𝑥𝑥2 } = { 𝑥𝑥 } = {636.813475629} + 8.502012 {-0.406130744} Bướ ẽ đườ ể ễ ụ ế ới đườ ừ đó ta tính đượ ọa độ điể 516.361544724 0.913815121 633.360547164 2,2 ộc độ ứ ={ } 524.130811846 ▪ Tính đạ ủa điề ệ ộc độ ứng y = h2’ ▪ ải phương trình Căn cứ vào phân tích trên đây, ta được điể ớ ọa độ ệ ằm trên đườ ứ ới điề ệ ớ ạ ứ ủa bài toán. Đây ▪ ết phương trình tiế ế ại điể là điể ối ưu. 𝑥𝑥2,1 {𝑥𝑥2 } = { 𝑥𝑥 } = {633.360547164} ọa độ điể ối ưu: 524.130811846 Bướ Xác định điể ế ọa độ ị ụ Điể ế 2,2 ị ối ưu ị ụ JOMC 76
Tạp chí Vật liệu & Xây dựng Tập 13 Số 04 năm 2023 Kết luận đã xây dự ả ế ối ưu củ ẳng theo phương pháp lự ế ện không đổ ế ệ ột thay đổi. Đã xây dự ậ ế ế sơ đồ ố ậ ự ối ưu củ ẳng theo phương pháp lự ữ ậ ế ả ằ ủ ậ ệ ả ố ả đã g ả ế ối ưu khung phẳ theo phương pháp đồ ị và Grandient. Đã xây dự ậ ế ế sơ đồ ố ậ ự ối ưu theo phương pháp ữ ậ ế ả và đạt độ ậ Tài liệu tham khảo Võ Như Cầ ế ấu theo phương pháp tối ưu, Nhà xuấ ả ự ộ ễn Đị ế ối ưu hóa, Nhà xuấ ản Đạ ọ ố ộ ỳ ế ấ ế ối ưu, Nhà xuấ ả ộ ễ ế ế ế ối ưu, Nhà xuấ ả ự ộ ối ưu hóa, Nhà xuấ ả ộ – – JOMC 77
Tạp chí Vật liệu & Xây dựng Tập 13 Số 04 năm 2023 JOMC 78