Tóm tắt lí thuyết Toán 12: Tốt nghiệp THPT và ôn thi Đại học - Nguyễn Thanh Nhàn (THPT Ngô Gia Tự)

Chia sẻ: Tre Ngà | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:85

Thêm vào BST

Báo xấu

589
lượt xem 100
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

(NB) Tóm tắt lí thuyết Toán 12: Tốt nghiệp THPT và ôn thi Đại học - Nguyễn Thanh Nhàn (THPT Ngô Gia Tự) ôn tập các kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập về ứng dụng đạo hàm; hàm số lũy thừa, HS mũ và HS logarit; nguyên hàm, tích phân và ứng dụng; số phức; thể tích khối đa diện và khối tròn xoay; phương pháp tọa độ trong không gian; một số kiến thức cần ôn lại.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt lí thuyết Toán 12: Tốt nghiệp THPT và ôn thi Đại học - Nguyễn Thanh Nhàn (THPT Ngô Gia Tự)

Lưu hành nội bộ Điều chỉnh, bổ sung năm 2011
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 MỤC LỤC Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM............................................................ 3 Bài 1: Sự đồng biến – nghịch biến của hàm số ................................... 3 Bài 2: Cực trị của hàm số................................................................... 4 Bài 3: Giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số ........................... 9 Bài 4: Tiệm cận ............................................................................... 10 Bài 5: Khảo sát hàm số .................................................................... 11 Bài 6: Một số bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị ...................... 13 Chương II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HS MŨ VÀ HS LOGARIT .............. 24 Bài 1: Mũ, lũy thừa và logarit .......................................................... 24 Bài 2: Phương trình mũ ................................................................... 27 Bài 3: Phương trình logarit .............................................................. 28 Bài 4: Bất phương trình mũ, lôgarit ................................................. 29 Chương III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG................. 29 Bài 1: Nguyên hàm.......................................................................... 29 Bài 2: Tích phân .............................................................................. 33 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân .......................................... 35 Chương IV. SỐ PHỨC .............................................................................. 38 Chương I-II: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY..... 40 Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.......... 42 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian ................................................... 42 Bài 2: Phương trình mặt cầu ............................................................ 45 Bài 3: Phương trình mặt phẳng ........................................................ 49 Bài 4: Phương trình đường thẳng ..................................................... 54 Bài 5: Vị trí tương đối ..................................................................... 61 Bài 6: Tìm một số điểm đặc biệt ...................................................... 64 MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN LẠI ...................................................... 67 Bài 1: Tam thức bậc hai, phương trình, bất phương trình bậc 2 ........ 67 Bài 2: Công thức lượng giác và phương trình lượng giác.................. 71 Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác ................................................ 79 Bài 4: Đạo hàm ............................................................................... 81 Phụ lục ........................................................................................................ 83 4eyes1999@gmail.com 2 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ * Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) - y  f  x  đồng biến trên K  x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  - y  f  x  nghịch biến trên K  x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x 2  * Dạng toán: Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 1. Tìm miền xác định. 2. Tìm đạo hàm, tìm các điểm tới hạn. 3. Xét dấu đạo hàm 4. Kết luận: a) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; b  thì hàm số f  x  đồng biến trên khoảng  a; b  b) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; b  thì hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  a; b  Chú ý: f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng  a; b  thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó. Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh f  x   g  x  , x   a; b  ta qua các bước sau: 1. Biến đổi: f  x   g  x  , x   a, b   f  x   g  x   0, x   a, b  2. Đặt h  x   f  x   g  x  3. Tính h '  x  và lập bảng biến thiên của h  x  . Từ đó suy ra kết quả. GV: NGUYỄN THANH NHÀN 3 : 0987.503.911
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y  f  x  luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên miền xác định ax 2  bx  c - Các hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  và y  Ax  B  a  0 luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên miền xác định của nó khi và chỉ khi y '  0 (hoặc y '  0 ) x  D . Nếu a có chứa tham số thì xét thêm  a  0  a  0 trường hợp a=0 (đối với hàm bậc 3)   (hoặc   )   y '  0   y '  0 ax  b - Hàm số y  luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên từng cx  d khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y '  0 (hoặc y '  0 ) x  D  Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài toán 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số 1. Tìm miền xác định 2. Tìm f '  x  3. Tìm các điểm tại đó f '  x   0 hoặc f '  x  không xác định (gọi chung là điểm tới hạn). 4. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu đạo hàm. 5. Nêu kết luận về cực trị. Bảng tóm tắt: x a xo b f'(x) + - CĐ f(x) 4eyes1999@gmail.com 4 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 x a xo b f'(x) - + f(x) CT Bài toán 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số 1. Tính f '  x  . Giải phương trình f '  x   0 . Gọi xi  i  1,2,... là các nghiệm của phương trình. 2. Tính f "  x  và f "  xi  3. Dựa vào dấu của f "  xi  suy ra kết luận về cực trị của điểm xi theo định lí sau: Định lí: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng  a; b  chứa điểm xo và f '  xo   0 . Khi đó: a) Nếu f "  xo   0 thì xo là điểm cực tiểu. b) Nếu f "  xo   0 thì xo là điểm cực đại. Bài toán 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước Cách 1: Áp dụng định lí Fec-ma: Giả sử y  f  x  có đạo hàm tại điểm x  xo . Khi đó nếu y  f  x  đạt cực trị tại điểm x  xo thì f '  xo   0 . Chú ý: Nếu f '  xo   0 thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại điểm x  xo . Do đó khi tìm được m thì phải thử lại. Cách 2: Dùng đạo hàm cấp 2. Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu ax 2  bx  c Các hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d và y  có một cực đại và Ax  B một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt GV: NGUYỄN THANH NHÀN 5 : 0987.503.911
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 (khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần khi qua các nghiệm). Nếu hàm hữu tỉ thì phải khác nghiệm mẫu. Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ax 2  bx  c 1. Cho hàm số y  Ax  B C  - Nếu (C) có hai điểm cực trị - Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là y  ax 2   bx  c ' hay y  2a x b  Ax  B  ' A A 2. Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d C  - Nếu (C) có hai điểm cực trị và chia y cho y’ ta được y  y '. A  x    x   - Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là y   x   Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0 :  y '  x 0   0  y '  x0   0  (hoặc  )  y "  x0   0  y 'ñoå i daá u khi qua x 0 Bài toán 7: Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x0 :  y '  x 0   0  y '  x0   0  (hoặc  )  y "  x0   0  y 'ñoåi daáu töø + sang  khi qua x0 Bài toán 8: Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x0 :  y '  x 0   0  y '  x0   0  (hoặc  )  y "  x0   0  y 'ñoåi daáu töø  sang  khi qua x0 Bài toán 9: Điều kiện để hàm số đạt CĐ, CT tại x1 , x2 thỏa Ax1  Bx 2  C : 4eyes1999@gmail.com 6 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12  y '  0   Ax1  Bx2  C   x  x   b với x1 , x2 là nghiệm của y '  0  1 2 a  c  x1 x 2   a Bài toán 10: Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT và hai giá trị cực trị cùng dấu:  0  * Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT là  y '  a  0 * Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  là hai điểm cực trị. Ta có y  x1  .y  x2   0 (trường hợp trái dấu thì ngược lại) Chú ý: Hàm số viết thành: y  P  x  .y ' mx  n (lấy hàm số chia cho đạo  y  x1   mx1  n hàm)    y  x2   mx2  n Bài toán 11: Điều kiện để hàm số bậc 3 có CĐ,CT nằm về hai phía đối với trục tung: Điều kiện để ycbt được thỏa mãn là y '  0 có hai nghiệm trái dấu. Khi đó c P 0 a Bài toán 12: Cách tính nhanh giá trị cực trị của hàm hữu tỉ ax 2  bx  c y mx  n * Tìm các điểm cực trị của hàm số (nghiệm của phương trình y’=0) ñaïo haøm cuûa TS 2ax  b * ycöïc trò   rồi thay x cực trị vào phân số này ta ñaïo haøm cuûa MS m có ycöïc trò tương ứng, và cách tính trên chỉ áp dụng cho hàm hữu tỉ. Bài toán 13: Tìm m để hàm trùng phương y  ax 4  bx 2  c có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác cân: GV: NGUYỄN THANH NHÀN 7 : 0987.503.911
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 * TXĐ: D=R   * Tính y '  4ax 3  2bx  2 x 2ax 2  b , x  0 x  0 y'  0   2  2 2ax  b  0  x   b  a  0 (1)   2a * Ycbt tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0. b Khi đó  0 2a Bài toán 14: Điều kiện để hàm số y  f  x  C  đạt cực trị bằng  tại  ;     C   x   là  y '    0   y ''    0 Bài toán 15: Hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác. Tính diện tích tam giác đó: * Tính y ' , tìm 3 điểm tới hạn, suy ra 3 điểm cực trị A, B, C. 1 * Tính diện tích tam giac ABC theo công thức: S  | xy ' x ' y | với 2   AB   x; y     AC   x '; y '  Bài toán 16: Tìm m để hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều: * TXĐ: D=R x  0 x  0 3 * Tính y '  4ax  2bx; y '  0    2 2 ax 2  b  0  x   b  a  0  (1)   2a * Điều kiện để ycbt được thỏa là phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b khác 0. Khi đó:   0  * 2a 4eyes1999@gmail.com 8 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12   x  0  y  c  A   b * Với điều kiện (*), giải phương trình y '  0   x    y  ? B .  2 a  b x     y  ? C   2a  AB 2  AC 2 Tìm được 3 điểm cực trị A, B, C. Do tam giác ABC đều nên  2 2 ,  AB  BC từ đó tìm được m và chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).  Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ * Định nghĩa:  f  x   m, x  K - min y  m   x0  K : m  f  x 0  K  f  x   M , x  K - max y  M   x0  K : M  f  x0  K * Dạng toán: Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng Để tìm GTNN và GTLN của hàm số y  f  x  trên khảng  a; b  ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng  a; b  rồi dựa vào đó mà kết luận. Bài toán 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên đoạn  a; b  Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó mà kết luận. Cách 2: Qua 3 bước: 1. Tìm các điểm x1 , x 2 ,..., x n trên  a; b  mà tại đó f '  x   0 hoặc f '  x  không xác định. 2. Tính f  a  , f  b  , f  x1  , f  x 2  ,..., f  x n  . GV: NGUYỄN THANH NHÀN 9 : 0987.503.911
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó: M  max f  x  , m  min f  x   a; b  a; b Bài toán 3: Tìm m để phương trình f  x   m có nghiệm trên D: Xét hàm số y  f  x  trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá trị của y từ đó kết luận được m.  Bài 4: TIỆM CẬN 1. Cách tìm tiệm cận: * Nếu lim y  ( ) thì đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng. x  x0 * Nếu lim y  y0 thì đường thẳng y  y0 là tiệm cận ngang. x  Soá dö * Nếu hàm số viết thành y  thöông ax  b  (chia đa thức) Maãu soá Soá dö mà lim  0 thì đường thẳng y  ax  b là tiệm cận xiên. x  Maãu soá * Đường thẳng y  ax  b gọi là TCX của hàm số  f x a  lim y  f  x   x  x b  lim  f ( x )  ax   x   d ax  b  TCÑ : x   c 2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là :  cx  d  TCN : y  a  c 3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến 2 tiệm cận:   * Gọi M x0 ; f  x0   C  . Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN) * d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) là một hằng số. 4eyes1999@gmail.com 10 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Sơ đồ khảo sát: 1. Tập xác định: D   2. Sự biến thiên: a) Xét chiều biến thiên của hàm số: - Tìm đạo hàm - Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Suy ra chiều biến thiên của hàm số. b) Tìm cực trị. c) Tìm các giới hạn và tìm tiệm cận (nếu có) d) Lập bảng biến thiên. * Chú ý: Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến phải ở trước BBT 3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. * Chú ý: - Để vẽ đồ thị chính xác nên tính thêm tọa độ của một số điểm, đặc biệt cần tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. - Cần lưu ý các tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm. 2. Các dạng đồ thị: a) Hàm số bậc ba: y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  a0 a0 x x Phương trình y '  0 có hai y y nghiệm O O phân biệt GV: NGUYỄN THANH NHÀN 11 : 0987.503.911
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 x x Phương trình y '  0 có nghiệm O O kép y y x x Phương trình y '  0 vô nghiệm O O y y Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. b) Hàm số trùng phương: y  ax 4  bx 2  c  a  0  a0 a0 x x Phương trình y '  0 có 3 nghiệm y y O phân biệt O x x Phương trình y '  0 y y có 1 nghiệm O O 4eyes1999@gmail.com 12 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng. ax  b c) Đồ thị hàm số y  cx  d  c  0 ; ad  bc  0 D  ad  bc  0  y '  0  D  ad  bc  0  y '  0  x x I I y y O O Đồ thị nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. * Chú ý: M  x0 ; y0    C  : y  f  x   y0  f  x 0   Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Bài toán 1: Sự tương giao của các đồ thị (bằng phương trình hoành độ giao điểm) Cho hai đường cong  C1  : y  f  x  ,  C2  : y  g  x  . Để xét sự tương giao giữa  C1  ,  C2  ta lập phương trình hoành độ giao điểm f  x   g  x  (1) 1.  C1  không có điểm chung với  C2   pt (1) vô nghiệm. 2.  C1  cắt  C2  tại n điểm phân biệt  pt (1) có n nghiệm phân biệt. Đồng thời nghiệm của pt (1) là hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  . Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng Ax 2  Bx  C  0 .Ta biện luận theo A và  . Tức là: GV: NGUYỄN THANH NHÀN 13 : 0987.503.911
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 - Nếu A=0. Ta có kết luận cụ thể về giao điểm của (C1) và (C2). - Nếu A  0. Tính  +   0 : không có giao điểm. +   0 : Có 1 giao điểm. +   0 : có hai giao điểm. * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng ax 3  bx 2  cx  d  0 . Đưa phương trình này về dạng:  x     Ax 2   Bx  C  0 (Chia Horner, a  0 ) x    2  Ax  Bx  C  0 1 Biện luận theo phương trình (1) ta suy ra được số giao điểm. Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình F  x , m   0 (1) 1. Biến đổi F  x , m   0 về dạng f  x   g  m  . 2. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y  g  m  3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp. Chú ý: y  g  m  là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bẳng g  m  y O x 1 y=g(m) g(m) y=f(x) Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị: Phương trình tiếp tuyến của (C): y  f  x  tại điểm M  xo ; yo    C  là: 4eyes1999@gmail.com 14 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 y  y0  f '  x 0  x  x 0  Trong đó: + M  x0 ; y0  gọi là tiếp điểm. + k  f '  x 0  là hệ số góc của tiếp tuyến. Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k: - Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b thì k  a 1 - Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y  ax  b thì k   a - Tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục hoành một góc  thì k  tan  1. Giải phương trình f '  x   k tìm x0 là hoành độ tiếp điểm. 2. Tính y0  f  x 0  . 3. Phương trình tiếp tuyến là y  k  x  x0   y0 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (  ): y=ax+b một góc bằng  ( 0    90 ): 1. Gọi  ,  lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng (  ) với chiều dương trục hoành. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó ta có:      suy ra: tan   tan  k a tan   tan     tan       (1) 1  tan  tan  1  ak 2. Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến. 3. Làm tương tự như dạng 2 ta có được phương trình tiếp tuyến. Bài toán 4: Điều kiện để hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt: * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:   ax 3  bx 2  cx  d  0   x    Ax 2  Bx  C  0 (chia Horner) x    2 (đặt g  x   Ax 2  Bx  C )  Ax  Bx  C  0 1 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 15 : 0987.503.911
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 * Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1  0   . Khi đó   g    0 Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương y  ax 4  bx 2  c cắt Ox tại 4 điểm phân biệt: * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: 2  t  x  0 ax 4  bx 2  c  0   2  at  bt  c  0(1) * Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân   0  biệt. Khi đó P  0 S  0  Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành CSC: * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: 2  t  x  0 ax 4  bx 2  c  0   2  at  bt  c  0(1) * Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân   0  biệt. Khi đó P  0 (*) S  0  * Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hoành độ lập thành CSC nên (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt thỏa t2  9t1 (2).  b t1  t2   a (3) Theo định lí Viét  t .t  c (4)  1 2 a * Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điều kiện (*). 4eyes1999@gmail.com 16 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 Bài toán 7: Tìm m để d: y  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=l: * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1)  A  0 * Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là   *  (1)  0 * Gọi A  x1 ; m  , B  x2 ; m  là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm của (1). Ta có: 2  2 ' AB  x 2  x1  | x1  x 2 || x2  x1 | |a|  |a|  l . Từ đó tìm được m, chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*). Bài toán 8: Tìm m để d: y  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất: * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1)  A  0 * Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là  (*)  (1)  0 * Gọi A  x1 ; m  , B  x2 ; m  là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm 2  2 ' của (1). Ta có AB  x 2  x1   x1  x2  x2  x1  a  a . Từ đó tìm điều kiện của m để AB nhỏ nhất, chỉ nhận m thỏa (*). Bài toán 9: Tìm m để d: y  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA  OB với O là gốc tọa độ: * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1)  A  0 * Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là  (*)  (1)  0 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 17 : 0987.503.911
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 * Gọi A  x1 ; m  , B  x2 ; m  là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm   của (1). Ta có OA  OB nên ta có OA.OB  0 . Từ đây tìm được m, chỉ nhận những m thỏa (*). Bài toán 10: Tìm m để d: y  ax  b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng một nhánh của (C): * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1).  A  0  * Điều kiện ycbt được thỏa là 1  0 với  là nghiệm   x1     x2     0 của mẫu số và x1 , x2 là 2 nghiệm của (1). Bài toán 11: Tìm m để d: y  ax  b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng hai nhánh khác nhau của (C) * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1).  A  0  * Điều kiện ycbt được thỏa là 1  0 với  là nghiệm   x1    x2     0 của mẫu số và x1 , x2 là 2 nghiệm của (1). Bài toán 12: Tìm những điểm trên (C): y  f  x  mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  b . * Gọi M 0  x0 ; y0    C  . Hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 là f '  x 0  . Giải phương trình f '  x 0  .a  1 . Từ đây tìm được x0 và có được M 0 . Bài toán 13: CMR mọi tiếp tuyến của (C): y  f  x  đều không qua giao điểm hai tiệm cận: * Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình: 4eyes1999@gmail.com 18 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 Tieäm caän ñöùng  Tieäm caän xieân (hay TCN) * Lập phương trình tiếp tuyến qua I, kết quả là không có tiếp tuyến. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài toán 14: Cho M   C  , tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B, gọi I là giao điểm hai tiệm cận. CMR M là trung điểm của AB. Tính diện tích tam giác IAB:   * Gọi M x0 ; f  x0   C  . Phương trình tiếp tuyến tại M là y  y0  f '  x 0  x  x0   y  f '  x0  x  x 0   y0 . * Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A * Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B. * Tìm giao điểm I của hai tiệm cận. * Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng minh.   * Tính vectơ IA, IB . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một hằng số. Bài toán 15: CMR tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất (hoặc lớn nhất): * Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I  x0 ; y0  là f '  x 0  . * Gọi hệ số góc của tiếp tuyến bất kì là f '  x  . Ta chứng minh f '  x   f '  x 0  (trong trường hợp lớn nhất ta làm ngược lại). Bài toán 16:Tìm những điểm trên đường thẳng  : y  y0 mà từ đó có thể kẻ được 2, 3 tiếp tuyến đến (C): * Gọi M  a; y0      . Viết phương trình d qua M và có hệ số góc k là: y  y0  k  x  a   y  k  x  a   y 0 .  f  x   k  x  a   y0 * Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C)  (1) . Muốn  f '  x   k từ M vẽ được 2,3 tiếp tuyến thì (1) có 2,3 nghiệm. GV: NGUYỄN THANH NHÀN 19 : 0987.503.911
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 Bài toán 17: CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 1 tam giác có diện tích không đổi:   * Gọi M x0 ; f  x0   C  . Phương trình tiếp tuyến tại M là y  y0  f '  x 0  x  x0   y  f '  x0  x  x 0   y0 . * Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A * Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B. * Tìm giao điểm I của hai tiệm cận. * Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng minh.   * Tính vectơ IA, IB . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một hằng số. Bài toán 18:Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên: Soá dö * Hàm số viết thành y  Thöông+ (chia đa thức) Maãu soá * Do x, y nguyên nên Mẫu số =  ước của Số dư. Bài toán 19: Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ: * Những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ là nghiệm của hệ  y  f  x   y  f  x  phương trình  hoặc   y   x  y  x Bài toán 20: Tìm những điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ: * Gọi A  x 0 ; y0  , B   x 0 ;  y0  là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. * Thay tọa độ A, B vào phương trình của hàm số ta được hệ phương trình. Giải hệ này ta được tọa độ điểm cần tìm. Bài toán 21: Tìm những điểm trên đồ thị hàm nhất biến sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt GTNN:   * Gọi M x0 ; f  x0   C  . Tìm TCĐ, TCN. * Tính d  d M,TCÑ  d M,TCN   2 dM,TCÑ .d M,TCN   A . Vậy mind=A.         Khi đó d M ,TCÑ  d M ,TCN  . Từ đó tìm được M     Bài toán 22: Tìm những điểm trên (C) đối xứng qua d: y  ax  b 4eyes1999@gmail.com 20 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ