Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R)
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 212
CHÖÔNG VI
TOÅNG HÔÏP CAÙC BOÄ LOÏC SOÁ COÙ ÑAÙP ÖÙNG XUNG CHIEÀU
DAØI VOÂ HAÏN ( I I R)
6.1 Môû Ñaàu
Boä loïc soá coù ñoä daøi ñaùp öùng xung voâ haïn (IIR = Infinitive Impulse Response) coù
phöông trình sai phaân ñöôïc vieát döôùi daïng :
∑
=
N
0k
k
ay(n – k) = ∑
=
M
0r
r
bx(n – r) (6.1)
Ñaây laø moät phöông trình ñeä quy bôûi vì ta coù theå ruùt ra ñöôïc :
y(n) =
o
a
1
−−−
∑∑
==
M
0r
N
1k
kr )kn(ya)rn(xb
Tín hieäu ñaàu ra khoâng nhöõng phuï thuoäc caùc tín hieäu ñaàu vaøo x(n) maø coøn phuï
thuoäc caùc maãu tín hieäu ra tröôùc ñoù : y(n – 1), y(n -2). . . Vì vaäy loïc IIR coøn goïi laø loïc ñeä
quy vaø loïc FIR coøn goïi laø loïc khoâng ñeä quy. Thöïc hieän bieán ñoåi Z phöông trình (6.1), ta
coù haøm tryeàn ñaït H(z) :
H(z) = )z(X
)z(Y = ∑
∑
=
−
=
−
+N
1k
k
k
M
0r
r
r
za1
zb (ta chuaån hoaù ao = 1)
Trong chöông naøy ta seõ nghieân cöùu caùc phöông phaùp toång hôïp boä loïc soá, töùc laø tìm
ra caùc heä soá cuûa boä loïc soá IIR sao cho thoûa maõn caùc chæ tieâu kyõ thuaät cuûa boä loïc.
6.2 Caùc Tính Chaát Toång Quaùt Cuûa Boä Loïc
Ñeå thöïc hieän ñöôïc veà maët vaät lyù, boä loïc soá phaûi coù tính chaát oån ñònh vaø nhaân quaû,
nghóa laø ta coù ñieàu kieän sau ñaây :
h(n) = 0 vôùi n < 0
vaø ∑
∞
=0n
)n(h < ∞
Haøm truyeàn ñaït H(z) coù daïng toång quaùt H(z) = ∑
∑
=
−
=
−
N
0k
k
k
M
0r
r
r
za
zb
Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R)
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 213
Ñaùp öùng taàn soá H(ejω) chính laø H(z) khi z = ejω . Neáu ak vaø br laø caùc soá thöïc thì
ta coù theå vieát :
2
j)e(H
ω
= H(ejω).
[
]
*
j)e(H
ω
= H(ejω).H(e-jω)
maø H(ejω) = ∑
∑
=
−
=
−
N
0k
jk
k
M
0r
jr
r
ea
eb
ω
ω
= ∑
∑
=
−
=
−
N
0k
jk
k
M
0k
jk
k
ea
eb
ω
ω
ta thaáy ngay :
• 2
j)e(H
ω
=
∑∑
∑∑
==
−
==
−
N
0k
jk
k
N
0k
jk
k
M
0k
jk
k
M
0k
jk
k
eaea
ebeb
ωω
ωω
= ∑
∑
=
=
N
0i
i
M
0i
i
icosA
icosB
ω
ω
Trong ñoù caùc heä soá Bi , Ai ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :
B0 = ∑
=
M
0k
2
k
b ,B
i = 2 ∑
−
=
+
iM
0k
kik bb (i ≠ 0)
A0 = ∑
=
N
0k
2
k
a,A
i = 2 ∑
−
=
+
iN
0k
kikaa (i ≠ 0)
Caàn löu yù laø ñeå thoûa maõn ñieàu kieän oån ñònh, caùc ñieåm cöïc cuûa H(z) phaûi naèm beân
trong voøng troøn ñôn vò. Ñoái vôùi boä loïc IIR caàn thieát keá vaø thöïc hieän rieâng reõ ñaëc tuyeán
bieân ñoä vaø ñaëc tuyeán pha.
• Goùc pha cuûa H(ejω) laø
ϕ
(ω), ta coù :
H(ejω) = )e(H j
ω
)(j
e
ωϕ
H*(ejω) = H(e-jω) = )e(H j
ω
)(j
e
ωϕ
−
Suy ra )(2
j
eωϕ = )e(H
)e(H
j
j
ω
ω
−
2jϕ(ω) = ln
−)e(H
)e(H
j
j
ω
ω
ϕ(ω)= j2
1 ln
−)e(H
)e(H
j
j
ω
ω
• Thôøi gian truyeàn nhoùm T(ω) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau :
T(ω) =
ω
ω
ϕ
d
)(d
− = - j2
1
ω
d
d ln
−)e(H
)e(H
j
j
ω
ω
= - j2
1jejω )e(d
d
j
ω
ln
−)e(H
)e(H
j
j
ω
ω
Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R)
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 214
= - 2
1ejω
[
]
[
]
−
−
)e(d
)e(Hlnd
)e(d
)e(Hlnd
j
j
j
j
ω
ω
ω
ω
= - 2
1ejω
()
+−
−
)e(H
)e('H
e
1
)e(H
)e('H
j
j
2
j
j
j
ω
ω
ω
ω
ω
vôùi H’(ejω) = )e(d
)e(dH
j
j
ω
ω
H’(e-jω) = )e(d
)e(dH
j
j
ω
ω
−
−
Vaäy T(ω) = – 2
1
+−
−
−
)e(H
)e('H
ee
)e(H
)e('H
j
j
jj
j
j
ω
ω
ωω
ω
ω
= – 2
1
+
*
j
j
j
j
j
j
e
)e(H
)e('H
e
)e(H
)e('H
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T(ω) = – Re
ω
ω
ω
j
j
j
e
)e(H
)e('H = - Re
[
]
ω
j
eZ
dz
)z(Hlnd
Z
=
Vì ñaëc tuyeán pha cuûa boä loïc IIR khoâng tuyeán tính, neân thôøi gian truyeàn nhoùm ñöôïc
duøng ñeå ñaëc tröng cho söï phuï thuoäc vaøo taàn soá cuûa haøm truyeàn toát hôn laø duøng pha.
6.3 Thieát Keá Boä Loïc IIR Baèng Phöông Phaùp Bieán Ñoåi Töø Boä Loïc Töông
Töï
Thieát keá boä loïc ñôn giaûn nhaát laø xuaát phaùt töø boä loïc töông töï roài töø ñoù duøng caùc
pheùp bieán ñoåi xaùc ñònh caùc heä soá loïc cuûa boä loïc IIR. Moät maïch loïc töông töï coù theå bieåu
dieãn bôûi haøm truyeàn ñaït :
• Ha(s) = )s(A
)s(B = ∑
∑
=
=
N
0k
k
k
M
0k
k
k
s
s
α
β
vôùi {αk} vaø {
β
k} laø caùc heä soá cuûa maïch loïc.
• Hoaëc coù theå bieåu dieãn bôûi ñaùp öùng xung ñöôïc tính töø haøm truyeàn ñaït baèng bieán
ñoåi Laplace :
Ha(s) = ∫∞
∞− )t(h e-stdt (6.2)
• Cuõng coù theå bieåu dieãn baèng phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá haèng :
∑
=
N
0k
k
α
k
k
dt
)t(yd = ∑
=
M
0k
k
β
k
k
dt
)t(xd (6.3)
Vôùi x(t) laø tín hieäu taùc ñoäng ngoõ vaøo, vaø y(t) laø ngoõ ra cuûa maïch loïc. Ba phöông
trình treân cho ta 3 caùch chuyeån ñoåi 1 maïch loïc töông töï thaønh 1 maïch loïc soá.
Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R)
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 215
• Coâng cuï toaùn hoïc duøng ñeå khaûo saùt tính chaát maïch loïc töông töï laø pheùp bieán
ñoåi Laplace :
ha(t) → H
a(s) = ∫∞
∞− )t(hae-stdt (6.4)
vôùi s = σ+ jωa
• Coâng cuï toaùn hoïc
duøng ñeå khaûo saùt tính chaát
maïch loïc soá laø pheùp bieán ñoåi Z :
h(n) → H(z) = ∑
∞
−∞=n
)n(h z-n
• Maïch loïc töông töï vôùi haøm truyeàn
ñaït H(s) laø oån ñònh neáu taát caû caùc ñieåm
cöïc cuûa noù naèm beân traùi maët phaúng S. Vì
vaäy ta caàn löu yù nhöõng ñaëc ñieåm sau :
→ Truïc jωa trong maët phaúng S coù aùnh xaï
laø voøng troøn ñôn vò trong maët phaúng Z. Vì
vaäy coù theå thieát laäp quan heä tröïc tieáp giöõa 2 bieán taàn soá treân 2 mieàn.
→ Maët phaúng traùi cuûa maët phaúng S coù aùnh xaï laø mieàn naèm trong voøng troøn ñôn vò treân
maët phaúng Z. Vì vaäy maïch loïc töông töï oån ñònh seõ ñöôïc chuyeån ñoåi thaønh maïch loïc soá
oån ñònh.
6.3.1 Thieát Keá Baèng Phöông Phaùp Baát Bieán Xung
Phöông phaùp naøy döïa treân quan heä cuûa ñaùp öùng xung hA(t) cuûa loïc töông töï vaø daõy
h(n) rôøi raïc ñöôïc xaùc ñònh bôûi laáy maãu hA(t) :
h(n) = hA(nT)
Coù nghóa laø daõy ñaùp öùng xung cuûa boä loïc rôøi raïc ñöôïc nhaän töø vieäc laáy maãu ñaùp
öùng xung cuûa boä loïc töông töï, T laø chu kyø laáy maãu.
Theo treân ta coù : h(n) = hA(nT) = ∑
∞
−∞=n
hA(t)
δ
(t – nT)
0
j
ωa
σ
σ > 0
σ < 0
Maët phaúng S trong bieán
ñoåi Laplace
Hình 6.1
0
1
1
–
1
–1
Voøng troøn
ñôn vò
Re(Z)
Maët phaúng Z trong
bieán ñoåi Z
Hình 6.2
Im(Z)
Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R)
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 216
Vôùi haøm hA(t) ta coù aûnh Laplace laø HA(s) ,
δ
(t – nT) laø haøm xung Dirac.
Vôùi haøm h(n) ta coù aûnh Z laø H(z) vaø bieán ñoåi Fourrier laø H(ejω)
h(n) = ∑
∞
−∞=n
hA(t)δ(t – nT) = hA(t) ∑
∞
−∞=n
δ
(t – nT)
Trong mieàn thôøi gian lieân tuïc, goïi :
– Bieán ñoåi Fourier cuûa hA(t) laø Ha(ωa)
– Bieán ñoåi Fourier cuûa ∑
∞
−∞=n
δ
(t – nT) laø
T
1∑
∞
−∞=n
δ(ωa - T
2n
π
)
Nhö vaäy goïi bieán ñoåi Fourier cuûa h(n) laø
H(ejω), ta coù :
H(ejω) = Ha(ωa)*
−
∑
∞
−∞=n
a)
T
2n
(
T
1
π
ωδ
= T
1∑
∞
−∞=n
Ha(ωa) * δ(ωa - T
2n
π
)
Maø Ha(ωa) * δ(ωa - T
2n
π
)
= T
n2
(
π
δ
−Ω
∫∞
∞− ).Ha(ωa - Ω)dΩ
= Ha(ωa -T
2n
π
)
Vaäy H(ejω) = T
1∑
∞
−∞=n
Ha(ωa -T
2n
π
)(6.5)
Veà moái quan heä giöõa 2 taàn soá ω vaø ωa ta nhaän xeùt :
→Ñoái vôùi tín hieäu soá : x(n) = Acosnω thì n ñöôïc hieåu laø soá nguyeân khoâng ñôn vò
neân ω phaûi coù ñôn vò goùc laø radian, ω goïi laø taàn soá soá
→ Ñoái vôùi tín hieäu töông töï : x(t) = Acosωat, trong ñoù ωa laø taàn soá goùc
(
)
s
rad , khi
laáy maãu ñeàu ôû caùc thôøi ñieåm t = nT (vôùi T laø chu kyø laáy maãu) thì ta ñöôïc tín hieäu
soá:
x(n) = AcosnωaT. Vaäy ñoái chieáu vôùi tín hieäu soá :
x(n) = Acosnω
Ta coù quan heä: ω = ωaT
Trôû laïi keát quaû treân ta coù caùc ñoà thò sau :
hA(t)
0t
0T2T
3T-T
()
∑
−
δnTt
t
h(n)
01 23-1
-2 n
Hình
6.3
