Trung bình phương trình vận chuyển chất ba chiều bằng tiếp cận đối ngẫu

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Trung bình phương trình vận chuyển chất ba chiều bằng tiếp cận đối ngẫu" giới thiệu cách tiếp cận đối ngẫu để trung bình đại lượng này; cách xây dựng mô hình theo tiếp cận đối ngẫu sẽ phức tạp hơn cách xây dựng cổ điển; tích phân có thể được thực hiện nhiều lần. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Trung bình phương trình vận chuyển chất ba chiều bằng tiếp cận đối ngẫu

291 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Trung bình phương trình vận chuyển chất ba chiều bằng tiếp cận đối ngẫu Nguyễn Thế Hùng1,* 1 Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà nẵng *Email: ngthung@dut.udn.vn; profhungthenguyen@gmail.com Tóm tắt. Mô hình toán học về vận chuyển chất ba chiều hiện nay nhận được bằng phương pháp trung bình cổ điển đại lượng nồng độ chất trong trường hợp dòng chảy rối. Nồng độ chất trung bình nhận được theo cách tiếp cận cổ điển này không tổng quát so với cách tiếp cận đối ngẫu. Bài báo này giới thiệu cách tiếp cận đối ngẫu để trung bình đại lượng này; cách xây dựng mô hình theo tiếp cận đối ngẫu sẽ phức tạp hơn cách xây dựng cổ điển; tích phân có thể được thực hiện nhiều lần. Trong bài báo này tác giả chỉ thực hiện tích phân hai lần: (i) lần đầu, tích phân đại lượng nồng độ chất từ thời điểm t đến thời điểm Tm, với thời điểm Tm
292 Nguyễn Thế Hùng 2. Tiếp cận đối ngẫu trong xây dựng phương trình dòng chảy 3D Hệ phương trình vận chuyển chất 3D [2,10,11] trong chất lỏng, được viết như sau: ∂c ∂ (uc) ∂ (vc) ∂ (wc) ∂ 2c ∂ 2c ∂ 2c + + + = D 2 +D 2 +D 2 (1)    ∂z    ∂t ∂x ∂y  ∂x ∂y ∂z (I ) (J ) (K ) ( L) (M ) (N ) (O ) Trong đó: C nồng độ chất hòa tan; u, v, w là vận tốc dòng chảy theo các hướng x, y, z tương ứng; D hệ số khuyếch tán phân tử (molecular diffusion coefficient). Ở trạng thái chảy rối, phương trình vận chuyển chất được viết như sau: ∂ c ∂ (uc) ∂ (vc) ∂ (w c) ∂2 c ∂2 c ∂ 2 c ∂ (−u 'c ' ) ∂ (−v 'c ' ) ∂ (− w 'c ' ) + + + = D 2 +D 2 +D 2 + + +    ∂z ∂ ∂ ∂       ∂t ∂x ∂y  x  y z ∂x   y  ∂z  ∂ (I ) (J ) (K ) ( L) (M ) (O ) (P) (R) (N ) (Q ) Trong đó: u u + u ' , v v + v' , w w + w ' , c c + c' = = = = u , v , w , c là vận tốc (tương ứng theo các phương x, y, z) và chất vận chuyển trong dòng chảy tức thời; u , v , w , c là các đại lượng trung bình của vận tốc (tương ứng theo các phương x, y, z) và chất vận chuyển tương ứng; u ' , v ' , w ' , c ' là các đại lượng mạch động của vận tốc và chất tương ứng; yi ' .c ' tích các đại lượng mạch động rối của các đại lượng yi , c ; đó là các thành phần gây khuyếch tán chất do dòng chảy rối sinh ra (ở đây yi tượng trưng cho vận tốc u , v , w ) chúng có thể được xấp xỉ bằng nhiều cách khác nhau [2,10,11]; Nếu ta đặt: ∂c ∂c ∂c −ε x ; v ' −ε y ; w u ' .c ' =.c ' = ' .c ' = −ε z ∂x ∂y ∂z Ta nhận được phương trình vận chuyển chất theo trung bình cổ điển như sau [1,2,10,11]: ∂ c ∂ (uc) ∂ (vc) ∂ (w c) ∂  ∂c  ∂  ∂c  ∂  ∂c  (2) + + + = ( D + ε x )  + ( D + ε y )  + ( D + ε z )     ∂z    ∂t ∂x ∂y  ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z  (I ) (J ) (K ) ( L) (M ) (N ) (O ) Trong đó: ε x , ε y , ε z hệ số nhớt rối (turbulent diffusion coefficients) theo phương x, y, z tương ứng.
293 Trung bình phương trình vận chuyển chất ba chiều bằng tiếp cận đối ngẫu Trong bài báo này, tác giả sẽ trung bình phương trình (1) theo tiếp cận đối ngẫu như sau: Để nhận được theo trung bình đối ngẫu các đại lượng như vận tốc hoặc chất vận chuyển (1), ta đi tính tích phân hai lần các đại lượng này như sau [3,4,5]: T r 1 1 T ∫r∫ y (t ) = y (t ).dt.dr (3) 0 0 Lần thứ nhất: các đại lượng này được trung bình bằng cách tích phân từ thời điểm t (ở đây chọn t=0 để cho đơn giản) đến thời điểm (t+r), với r < T, với T là chu kỳ mạch động của các đại lượng được tích phân: r 1 r∫ yr = y (t ).dt (4) 0 Lần thứ hai: các đại lượng này được tích phân lần nữa, từ thời điểm t đến t+T: T 1 y (t ) = ∫ y r .dr (5) T 0 Các đại lượng mạch động vận tốc hay chất vận chuyển được được xấp xỉ là một chuổi Fourier lượng giác [5,13,14]; do đó vận tốc hay chất vận chuyển tức thời y(t) được xấp xỉ như sau: ∞ A0 / 2 + ∑ y (t ) = [A p .cos(pω t) + B p .sin(pω t)]; (6) p =1 Trong đó: T 2 T∫ A0 = y (t )dt ; 0 T 2 T ∫ =Ap y (t ).cos(pω t); p = 1, 2,.... 0 T 2 T ∫ =Bp . y (t ). sin(pω t)dt ; p = 1, 2,.... 0 Thế các đại lượng y (t ) vào (4), ta nhận được đại lượng trung bình y r như sau: ∞ Ap Bp A0 / 2 + ∑ [ yr (t ) = .sin(pω Tm ) − .cos(pω Tm )] p =1 pωTm pωTm và sau đó, thế y r (t ) vào (5), ta nhận được giá trị chất vận chuyển trung bình y j = y (t j ) theo tiếp cận đối ngẫu như sau: 1  N /2 B p  y j ≡ y (t j ) = A0 / 2 − ∑  2ΠT 2  p =1 p 
294 Nguyễn Thế Hùng Trong bài báo này các đại lượng vận tốc hay nồng độ chất tức thời tại thời điểm t=tn, ký hiệu là y(tn) là những số liệu đo đạc rời rạc, hữu hạn; nên ta có các biến số tương ứng: t tn n ≡  (7) T T N Do đó chúng được xấp xỉ bằng một chuổi Fourier lượng giác hữu hạn, rời rạc như sau [13,14,15]: N /2 A0 / 2 + ∑ [A y (tn ) =p .cos(2π pn/N) + B p .sin(2π pn/N)]; n = 1, 2,..., N (8) p =1 Trong đó: A0, Ap, Bp là các hệ số; 2 N = = 0; A0 ∑ yn ; B0 N n =1 (9a) 2 N =Ap ∑ yn .cos(2π pn/N); p = 1, 2,....N / 2 N n =1 (9b) 2 N =Bp ∑ yn .sin(2π pn/N); p = 1, 2,....N / 2 N n =1 (9c) N tổng số các giá trị số liệu vận tốc hay chất vận chuyển tức thời (u, v, w, c) đo đạc trong khoảng thời gian T; p chỉ sóng hài thứ p (với p > N/2 các sóng hài lượng giác này sẽ lặp lại); tn thời điểm tính toán, tn = n.∆t, n bước gia tăng về thời gian Giá trị vận tốc hay chất vận chuyển trung bình nhận được theo tiếp cận đối ngẫu y j = y (t j ) sẽ như sau: y j ≡ y= A0 / 2 + ∆DA (t j ) (10) Với: A0 / 2 chính là đại lượng trung bình của Σy j , được tính toán theo ý tưởng của Reynolds (1895), nên còn được gọi là trung bình cổ điển. −1  N /2 B p  ∆DA = 2  ∑  (11) 2ΠN  p =1 p  ∆DA chính là giá trị khác biệt của các đại lượng vận tốc, hay chất vận chuyển khi trung bình các đại lượng này theo tiếp cận đối ngẫu so với cách tiếp cận trung bình cổ điển. 3. Thuật toán giải hệ phương trình vận chuyển chất 3D được trung bình theo tiếp cận đối ngẫu Có hai cách để giải phương trình truyền chất 3D trung bình theo tiếp cận đối ngẫu.
295 Trung bình phương trình vận chuyển chất ba chiều bằng tiếp cận đối ngẫu (i) Cách 1 (đây là cách giải đơn giản và gần đúng): Bằng cách dựa vào kết quả giải số từ phương trình vận chuyển chất 3D được trung bình hóa theo cổ điển, từ phần mềm mã nguồn mở, ta chèn các đoạn dòng lệnh để cọng thêm số gia khác biệt, đó là công thức tính ∆DA (11) vào nghiệm nồng độ chất đã tính tại từng bước thời gian, để từ đó nhận được lời giải số của phương trình vận chuyển chất 3D trung bình theo tiếp cận đối ngẫu, nó chính là công thức (10) (xem Bước 3, Hình 1). Hình 1. Lưu đồ giải phương trình vận chuyển chất 3D theo trung bình đối ngẫu (ii) Cách 2: Xây dựng mới hoàn toàn thuật toán để giải phương trình truyền chất 3D được trung bình theo tiếp cận đối ngẫu như sau: Do hệ phương trình dòng chảy 3D (hệ phương trình 3D Navier-Stokes được trung bình theo tiếp cận đối ngẫu)[5] và phương trình 3D vận chuyển chất trung bình theo tiếp cận đối ngẫu có thể được giải riêng lẻ với nhau [2,16], có nghĩa là tại từng bước thời gian giải hệ phương trình dòng chảy 3D theo tiếp cận đối ngẫu [5,16] xong, ta xây dựng tiếp thuật toán giải phương trình truyền chất 3D trung bình theo cổ điển, sau đó ta viết thêm đoạn dòng lệnh cọng thêm số gia khác biệt theo công thức tính ∆DA (11) vào nghiệm nồng độ chất đã tính tại từng bước thời gian theo phương trình truyền chất 3D trung bình theo cổ điển này để nhận được lời giải số của phương trình vận chuyển chất 3D được trung bình theo tiếp cận đối ngẫu, tức công thức (10) (xem Bước 3, Hình 1); xong quá trình này được lặp lại cho bước thời gian tiếp theo. 4. Áp dụng bằng số
296 Nguyễn Thế Hùng 4.1 Tính giá trị khác biệt của nồng độ chất theo tiếp cận đối ngẫu so với cách tiếp cận cổ điển: Trong ví dụ tính toán ở đây, tác giả xấp xỉ đại lượng nồng độ chất tức thời c ≡ y(tn) bằng chuổi Fourier lượng giác hữu hạn (8), theo cách giải thứ 2 {(ii) Cách 2}: N /2 A0 / 2 + ∑ [A y (tn ) =p .cos(2π pn/N) + B p .sin(2π pn/N)]; n = 1, 2,..., N (8) p =1 Nồng độ chất tức thời tại một điểm cố định đo đạc theo thời gian được cho ở Bảng 1. Bảng 1. Số liệu đo đạc nồng độ chất theo thời gian tại một điểm cố định (MC7) trong N=20 bước đo đầu tiên [12], cho rằng nó mạch động như vận tốc dòng chảy (c’ ≡ u’). Thời gian đo (giây) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Nồng độ chất (%0) -0.1562 -0.1564 -0.1666 -0.1672 -0.1639 Thời gian đo (giây) 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 Nồng độ chất (%0) -0.1618 -0.1585 -0.1606 -0.1687 -0.1733 Thời gian đo (giây) 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 Nồng độ chất (%0) -0.1659 -0.1664 -0.1626 -0.1593 -0.1736 Thời gian đo (giây) 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 Nồng độ chất (%0) -0.2001 -0.1859 -0.1735 -0.1646 -0.1733 Với khoảng thời gian đo vận tốc ∆t=1/20 sec, giá trị nồng độ chất trung bình số học (trung bình cổ điển) là: N 1 C CA = A0 / 2 = N ∑u pi =1 i = −0.13652 %0 Giá trị trung bình của vận tốc theo tiếp cận đối ngẫu: 1  N /2 B p  1  N /2 B p  2 ∑ ∑  y j ≡ y (t j ) C CA + ∆DA C CA − = = = A0 / 2 −  (10) 2Π N  p p  = 1= 1 p  2Π N 2  p y j = − 0.0314 = %0 −0.1365 −0.1679 Hình 2. Mạch động nồng độ chất tại điểm đo MC7 theo thời gian, bước đo ∆t=1/20 sec [12]
297 Trung bình phương trình vận chuyển chất ba chiều bằng tiếp cận đối ngẫu Nhận xét: (i) Từ lời giải nhận được theo tiếp cận đối ngẫu (10), khi ta trung bình các đại lượng mạch động vận tốc, nồng độ chất một cách đơn giản như cách trung bình của Reynolds (tức là cho ∆DA = ta sẽ 0 ), nhận được trung bình cổ điển [1,2,3,4,5]. (ii) Để tính được số gia ∆DA thì ta lại cần phải biết giá trị của các đại lượng mạch động vận tốc, nồng độ chất biến thiên trong chu kỳ tính toán T. (iii) Kết quả tính toán ở đây là cho trường hợp một điểm đo bình thường trong dòng chảy; thực tế có những trường hợp dòng chảy có giá trị mạch động rất lớn; và do đó số gia ∆DA cũng sẽ lớn đáng kể. 4.2 So sánh lời giải số nồng độ mặn tính toán theo tiếp cận đối ngẫu với tiếp cận cổ điển và giá trị thực đo: Hình 4. Sơ đồ đơn giản của hệ thống sông Hương Để làm sáng tỏ thêm tính tổng quát, chính xác hơn của phương trình thiết lập theo tiếp cận đối ngẫu so với cách thiết lập cổ điển, trong bài báo này, tính toán sự truyền triều và xâm nhập mặn cho bài toán một chiều trên hệ thống sông Hương vào mùa kiệt cho ở tài liệu [16] được minh họa. Hệ thống sông Hương đơn giản hóa gồm 3 nhánh: nhánh Tả Trạch (gắn với biên Dương Hòa) và nhánh Hữu Trạch (gắn với biên Bình Điều) hợp nhau tại Ngã ba Tuần rồi theo dòng chính sông Hương chảy xuống Đập Thảo-Long để ra biển [16], Hình 4 Điều kiện biên: • Điều kiện biên thượng lưu: lưu lượng QBinhDieu + QDuongHoa + QKL = (0.98 + QKL) m3/s; và nồng độ mặn C%0=0.00 • Điều kiện biên hạ lưu: mực nước triều Z(t), C%0 = 2.3 (tần suất P = 25%) tại thượng lưu đập Thảo-Long, Hình. 5
298 Nguyễn Thế Hùng Hình 5. Điều kiện biên mực nước tại hạ lưu sông Hương (thượng lưu Đập Thảo-Long) Để xác định dung tích hợp lý của hồ Khe-Lũ xây dựng nhằm để đẩy mặn xâm nhập hạ lưu sông Hương vào mùa kiệt, các kịch bản chuổi lưu lượng xã từ hồ Khe-Lũ vào thượng lưu sông Hương được lấy ở tài liệu [16]. Hình 6. Nồng độ mặn tính tại La-Ỷ trong một chu kỳ triều tương ứng với lưu lượng xả từ hồ chứa nước Khe-Lũ là QKL=10.00 m3/s. Thuật toán sử dụng: Áp dụng phương pháp sai phân với sử dụng sơ đồ bốn điểm của Preissmann, trọng số θ = 0.66, phương trình truyền mặn được giải theo phương pháp phân rả thành phương trình vận tải chất và phương trình khuyếch tán [16]. Phương pháp đặc trưng được áp dụng để giải phương trình vận tải chất và phương phương pháp sai phân trọng số được dùng để giải phương trình khuyếch tán [16]. Kết quả tính toán độ mặn tại La-Ỷ tương ứng với lưu lượng xả từ hồ chứa nước Khe-Lũ là QKL=10.00m3/s, được cho trên đồ thị Hình 6. Bàn luận: Từ Hình 6 cho thấy rằng kết quả lời giải số cho phương trình xây dựng theo tiếp cận đối ngẫu này cho kết quả chính xác hơn so với kết quả giải phương trình được xây dựng theo phương pháp trung bình cổ điển.
299 Trung bình phương trình vận chuyển chất ba chiều bằng tiếp cận đối ngẫu 5. Kết luận Trong bài báo này các mạch động chất vận chuyển được xấp xỉ bằng chuổi Fourier lượng giác; trung bình đối ngẫu đã được thực hiện cho phương trình vận chuyển chất 3D. Đại lượng vật lý (chất vận chuyển) nhận được theo trung bình đối ngẫu là tổng quát hơn và chính xác hơn so với đại lượng vật lý nhận được theo cách tiếp cận trung bình cổ điển. Tài liệu tham khảo [1] Reynolds, “On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion,” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, vol. 186 (1895), pp. 123–164. [2] Weiming Wu, Computation river dynamics, Taylor and Francis / Balkema, (2007). [3] Nguyen Dong Anh, Dual approach to averaged values of functions, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 34, No. 3 (2012), pp. 211–214. [4] Nguyen Dong Anh, Dual approach to averaged values of functions: Advanced formulas, Vietnam Journal of Mechanics, Vast, Vol. 34, No. 4 (2012), pp. 321–325. [5] The Hung Nguyen et Dong Anh Nguyen, Averaging Navier-Stokes equations by a dual approach, Proceedings of the International Conference on Computational Methods, Vol.9, (2022), pp. 76-81. [6] Hung, NGUYEN The, A dual approach to modeling solute transport, The International Conference on Advances in Computational Mechanics, (2017), pp. 821-834. [7] Tinh Ton That1, The Hung Nguyen1*, Dong Anh Nguyen2, A dual approach for model construction of two- dimensional horizontal flow, Proceedings of the 10th International Conference on Asian and Pacific Coasts, Hanoi-Vietnam, Sept. 25-28, (2019) pp.115-120. [8] H. Nguyen-The, A dual approach for modeling two- and one-dimensional solute transport, The International Conference on modern Mechanics and Applications, December 02–04, HoChiMinh city-Vietnam, Lecture notes in Mechanical Engineering, (2020), pp 978-981. [9] Nguyen The Hung, Building mathematical model of two-dimensional vertical flow by dual approach, Journal of Water Resources Science and Technology, VAWR, No.71 (2022), pp 109-116. [10] James A. Liggett, Fluid Mechanics, McGraw Hill, (1994). [11] Richard H. French, Open-Channel Hydraulics, McGraw Hill, (1987). [12] Lê Văn Nghị và nnk. Báo cáo tổng hợp- Xây dựng, thí nghiệm mô hình mặt cắt và cụm đầu mối Đô Lương (mô hình mặt cắt + mô hình tổng thể) - Giai đoạn thiết kế kỹ thuật, Hà Nội, (2016). [13] Hiroyuki Shima et Tsuneyoshi Nakayama, Higher Mathematics for Physics and Engineering, Springer, (2010). [14] Phan Quốc Khánh, Toán chuyên đề, NXB Đại học Quốc Gia, Tp Hồ Chí Minh, (2000). [15] William J. Emery et Richard E. Thomson, Data Analysis Methods in Physical Oceanography, Elsevier, (2004). [16] NGUYEN, The Hung, Salinity intrusion in Huong river network and the measure of hydraulic construction, The Journal of Science & Technology - Technical Universities, No. 2, (1992), pp. 17-21.