Tuyển tập bất đẳng thức

Chia sẻ: Chu Ba Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

119
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tuyển tập bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập bất đẳng thức

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN 2 2 2 2 2 Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) 1. BĐT Bunhiacopxki I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: Chứng minh: sinx + cos x £ 2 3 a3 + b3 æ a + b ö 2. ³ç 1. Cho a, b > 0 chứng minh: ÷ 2 2 Chứng minh: 3a + 4b ³ 7. 2 è2ø 3. Cho 3a – 4b = 7. 725 a2 + b2 2 2 a+b Chứng minh: 3a + 5b ³ 4. Cho 2a – 3b = 7. . 47 £ 2. Chứng minh: 2 2 2464 2 2 Chứng minh: 7a + 11b ³ 5. Cho 3a – 5b = 8. . a + b 3 a3 + b3 137 Cho a + b ³ 0 chứng minh: ³ 3. 2 2 4 4 Chứng minh: a + b ³ 2. 6. Cho a + b = 2. a b 1 Chứng minh: a2 + b2 ³ ³ a+ b + Cho a + b ³ 1 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: 7. 2 b a 1 1 2 Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³ 5. Lời giải: 2 2 1+ ab 1+ a 1+ b Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c Î R 6. I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 3 a3 + b3 æ a + b ö Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e) 7. ³ç 1. Cho a, b > 0 chứng minh: ÷ (*) 2 è2ø Chứng minh: x2 + y 2 + z2 ³ xy + yz + zx 8. 3 3 3 a +b æ a + bö 3 2 a+ b+ c ab + bc + ca ÷ ³ 0 Û ( a + b)( a - b) ³ 0 . ĐPCM. (*) Û -ç ; a,b,c ³ 0 ³ 9. a. Chứng minh: 2 è2ø 8 3 3 a2 + b2 a+b 2 a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö £ 2. Chứng minh: ( «) ³ç b. Chứng minh: ÷ 2 2 3 3 è ø ÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng. a2 + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc ( a - b)2 a2 + b2 + 2ab a2 + b2 10. Chứng minh: 4 £0 Û ³ 0 , đúng. ÷ a + b > 0 , («) Û - 4 2 4 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b 2 2 a+b a +b 12. Chứng minh: x2 + y2 + z2 ³ 2xy - 2xz + 2yz £ Vậy: . 2 2 13. Chứng minh: x 4 + y4 + z2 + 1 ³ 2xy(xy 2 - x + z + 1) ( a + b)3 a3 + b3 3 3 a+b 3 a +b Cho a + b ³ 0 chứng minh: Û £ ³ 1 3. 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: a3 + b3 ³ 2 2 8 2 4 Û 3 ( b - a ) ( a2 - b2 ) £ 0 Û -3 ( b - a ) ( a + b) £ 0 , ĐPCM. 2 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a b 2 2 2 a. ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca). ³ a + b ( «) + 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) b a 22 22 22 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 ( «) Û a a + b b ³ a b + b a Û ( a - b ) a - ( a - b ) b ³ 0 2 Û ( a - b) ( a - b ) ³ 0 Û ( a - b ) ( a + b ) ³ 0 , ĐPCM. 1 1 2 Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³ 5. ( «) 2 2 1+ ab 1+ a 1+ b 4 1
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1 +3 +3 £ Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a,b,c ³ 0 1. 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 0 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: 2. a. a + b + c + d ³ 44 abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) 3 Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ 3 abc ) với a , b , c ³ 0 3. a + b + c ³ 33 abc với a , b , c ³ 0 , b. (Côsi 3 số ) m m æ aö bö æ Cho a, b > 0. Chứng minh: ç 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ³ 2m + 1 , với m Î Z 3 3 3 2 2 2 22. Chứng minh: a + b + c ³ a bc + b ac + c ab ; a , b , c > 0 + 4. bø è aø è 3 9 4 23. Chứng minh: 2 a + 3 b + 4 c ³ 9 abc bc ca ab ³ a + b + c ; a,b,c ³ 0 + + x 18 5. Chứng minh: a b c 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2x x6 + y9 ³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ 0 x 2 6. Chứng minh: 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 4 2 x -1 1 Chứng minh: 2a4 + ³ 3a2 - 1. 3x 1 7. 26. Cho y = , x > -1 . Định x để y đạt GTNN. 1+ a 2 + 2 x +1 Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) 8. ,a>0 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc . 3 2x - 1 2 9. a b c 1æ 1 1 1ö x 5 28. Cho y = +2 +2 £ç++÷ + 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 2 2 2è a b c ø 1- x x a +b b +c a +c x3 + 1 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ab ³ a b - 1 + b a - 1 . 29. Cho y = , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) x2 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c . x 2 + 4x + 4 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: x a) b + c ³ 16abc. 2 Tìm GTNN của f(x) = x2 + 3 , x > 0. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc 31. x 1 öæ 1 öæ 1ö æ c) ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) è a øè b øè c ø Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. 33. 1 5 x+ ³3 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( x - y) y Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ 34. . Định x để y đạt GTLN 2 16. Chứng minh: 5 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ 5 . Định x để y đạt GTLN 35. x2 + 2 a2 + 5 x+8 2 ³ 2 ,"x Î R ³ 6 , "x > 1 ³4 a) b) c) x -1 1 5 x2 + 1 a2 + 1 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £ 36. . Định x để y đạt GTLN 2 2 ab bc ca a+b+ c ; a, b, c > 0 + + £ 17. Chứng minh: x a+ b b+ c c+ a 2 Cho y = 2 37. . Định x để y đạt GTLN x +2 x2 y2 1 + £ , "x , y Î R 18. Chứng minh: x2 4 4 4 1+ 16x 1+ 16y 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN ( x 2 + 2 )3 a b c 3 + + ³ ;a,b,c>0 19. Chứng minh: b+c a+c a+b 2 2 3
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 1 2 ab - b2 1 1 1 1 ab - a Chứng minh: 2a4 + ³ 3a2 - 1 («) ³ 0Û ³0 7. Û + - - + 2 (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) 1+ a 1+ a 2 1+ b2 1+ ab 1+ ab 1 a (b - a) b ( a - b) b-a æ a bö ( «) Û a 4 + a 4 + a 2 + 1 + ³ 4a2 . ³0 ³0 Û Û - + 2 1+ ab ç 1+ a2 1+ b2 ÷ 1+ a (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) è ø 1 Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a4 , a4 , a2 + 1, ( b - a ) 2 ( ab - 1) b - a æ a + ab2 - b - ba2 ö 1+ a 2 ÷³0 Û ³ 0 , ĐPCM. Û ç 1+ ab ç (1+ a2 )(1+ b2 ) ÷ (1+ ab) (1+ a2 )(1+ b2 ) è ø 1 1 ³ 44 a4 a4 ( a2 + 1) a 4 + a 4 + a 2 + 1+ = 4a2 Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0. ÷ 2 2 1+ a 1+ a Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c Î R 6. Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) («) 8. ,a>0 2 2 2 Û ( a - 1) + ( b - 1) + ( c - 1) ³ 0 . ĐPCM. («) Û a1995 > 1995a - 1995 Û a1995 + 1995 > 1995a Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e) 7. 1995 1995 a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 1+ 1+ ... + 1 ³ 1995 a2 a2 a2 a2 a = 1995a 14243 - ab + b2 + - ac + c2 + - ad + d2 + - ae + e2 ³ 0 Û 4 4 4 4 1994 soá Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc . 2 2 2 2 æa æa æa æa ö ö ö ö 9. Û ç - b ÷ + ç - c ÷ + ç - d ÷ + ç - e ÷ ³ 0 . ĐPCM a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c 2 + c2a2 è2 è2 è2 è2 ø ø ø ø ° Chứng minh: x2 + y 2 + z2 ³ xy + yz + zx Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: 8. ÷ 6 a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 ³ 6 a6b6 c6 = 6abc Û 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ³ 0 ° a b c 1æ 1 1 1ö ( x - y )2 + ( x - z )2 + ( y - z )2 ³ 0 +2 +2 £ç++÷ Û 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 2 2 2è a b c ø a +b b +c a +c a+ b+ c ab + bc + ca a a 1 b b 1 c c 1 ; a,b,c ³ 0 ³ 9. a. Chứng minh: ° £ = £ = £ = ,2 ,2 3 3 2 2 2 2 2ab 2b 2bc 2c a + c 2ac 2a a +b b +c a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca ÷ a b c 1æ 1 1 1ö ° Vậy: 2 + + £ç++÷ 2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ab + bc + ca æa+ b+ cö a + b2 b2 + c2 a2 + c2 2 è a b c ø ÷= ³ ÷ç 3 9 3 è ø 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ab ³ a b - 1 + b a - 1 . a+ b+ c ab + bc + ca a = ( a - 1) + 1 ³ 2 a - 1 , b = ( b - 1) + 1 ³ 2 b - 1 ° Û ³ 3 3 ab ³ 2b a - 1 , ab ³ 2a b - 1 ° 2 a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö ° ab ³ a b - 1 + b a - 1 ³ç b. Chứng minh: ÷ 3 3 è ø 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 3 ( a2 + b2 + c 2 ) = a2 + b2 + c2 + 2 ( a2 + b2 + c2 ) ° x = ( x - 1) + 1 = ( x - 1) + x + y + z - 3 ÷ 2 ³ a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) 2 = ( x - 1) + ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) ³ 44 ( x - 1) ( y - 1) ( z - 1) 2 a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö 2 2 x - 1) ( y - 1) ( z - 1) ; x - 1) ( y - 1) ( z - 1) 4( 4( Þ ³ç Tương tự: y ³ 4 z³4 ÷ 3 3 è ø Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). a2 + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c . 10. Chứng minh: 4 ° a = ( a - b) + ( b - c ) + c ³ 33 ( a - b)( b - c ) c 8 5
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 2 a æa ö - a ( b - c ) + b2 + c2 - 2bc ³ 0 Û ç - ( b - c ) ÷ ³ 0 . Û 4 è2 ø Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a, b, c ³ 0 1. 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: Û 2a2 + 2b2 + 2 - 2ab - 2a - 2b ³ 0 Þ a + b ³ 2 ab , b + c ³ 2 bc , a + c ³ 2 ac Û a2 - 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + 1 ³ 0 Þ ( a + b)( b + c ) ( a + c ) ³ 8 a 2b2c2 = 8abc . 2 2 2 Û ( a - b) + ( a - 1) + ( b - 1) ³ 0 . Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 0 2. 2 2 2 12. Chứng minh: x + y + z ³ 2xy - 2xz + 2yz ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 3 Û x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz ³ 0 Û (x – y + z) ³ 0. Þ a + b + c ³ 33 abc , a2 + b2 + c2 ³ 3 a2b2c2 2 Þ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c 2 ) ³ 9 a3b3 c3 = 9abc . 3 13. Chứng minh: x4 + y4 + z2 + 1 ³ 2x(xy2 - x + z + 1) 3 Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ 3 abc ) , với a , b , c ³ 0. Û x4 + y4 + z2 + 1- 2x2 y2 + 2x2 - 2xz - 2x ³ 0 3. ÷ (1+ a ) (1+ b) (1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc. 2 Û ( x2 - y2 ) + ( x - z ) + ( x - 1) ³ 0 . 2 2 3 ÷ a + b + c ³ 33 abc , ab + ac + bc ³ 3 a2b2c 2 1 3 3 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: a + b ³ 3 ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ 1+ 33 abc + 3 a2b2c2 + abc = (1+ 3 abc ) 3 4 3 3 2 3 ° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b = (1 – a) = 1 – a + a – a m m æ aö bö æ ³ 2m + 1 , với m Î Z Cho a, b > 0. Chứng minh: ç 1+ ÷ + ç 1+ ÷ 2 + 4. 1ö 11 æ bø è aø è Þ a + b = 3ç a - ÷ + ³ . 3 3 2ø 44 è m m m m m æ aö bö æ aö æ bö b aö æ æ 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ³ 2 ç 1+ ÷ . ç 1 + ÷ = 2 ç2+ + ÷ ÷ç bø è aø bø è aø a bø 2 2 2 è è è a. ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca). 2 2 2 2 2 2 ab + bc + ca £ a + b + c Û (a – b) + (a – c) + (b – c) ÷ ³ 2 4m = 2m + 1 a > b-c , b > a-c , c > a-b ÷ bc ca ab ³ a + b + c ; a, b, c > 0 + + 5. Chứng minh: Þ a2 > b2 - 2bc + c2 , b2 > a2 - 2ac + c2 , c2 > a2 - 2ab + b2 a b c 2 2 2 Þ a + b + c < 2(ab + bc + ca). ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) b. abc2 b2ac bc ca bc ba 2 ³2 = 2c , ³2 = 2b , a2 > a2 - ( b - c ) Þ a2 > ( a + c - b)( a + b - c ) + + ÷ a b ab a c ac 2 b2 > b2 - ( a - c ) Þ b2 > ( b + c - a ) ( a + b - c ) ÷ a2bc ca ab ³2 = 2a + 2 2 2 2 c > c - ( a - b) Þ c > ( b + c - a ) ( a + c - b) ÷ b c bc 2 2 2 Þ a2b2c2 > ( a + b - c ) ( a + c - b) ( b + c - a ) bc ca ab ³ a+b+c . Þ + + Û abc > ( a + b - c ) ( a + c - b) ( b + c - a ) a b c 22 22 22 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 x6 + y9 ³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ 0 («) 22 22 2 4 4 22 4 6. Chứng minh: Û 4a b + 2c (b + a ) – a – b – 2a b – c > 0 4 22 22 2 2 22 4 Û 4a b + 2c (b + a ) – (a + b ) – c > 0 3 3 («) Û x6 + y9 + 64 ³ 12x2 y3 Û ( x2 ) + ( y3 ) + 43 ³ 12x2 y3 2 2 2 22 2 2 2 2 Û (2ab) – [(a + b ) – c ] > 0 Û [c – (a – b) ][(a + b) – c ] > 0 Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác ( x2 )3 + ( y3 )3 + 43 ³ 3x2y3 4 = 12x2y3 . Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. 6 7
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức éx = 3 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: x -1 2 2 Û ( x - 1) = 4 Û ° Dấu “ = ” xảy ra Û = ê x = -1(loaïi) a) b + c ³ 16abc. 2 x -1 ë 2 2 2 æb+ cö æb+ cö æ 1- a ö 2 5 ÷ = 4a (1- a ) ÷ ³ bc Û 16abc £ 16a ç ÷ = 16a ç ° ç Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng è2ø è2ø è2ø 2 ° 4a (1- a ) = (1- a ) ( 4a - 4a2 ) = (1- a ) é1- (1- 2a ) ù £ 1- a = b + c 2 2 3x 1 ë û 26. Cho y = , x > -1 . Định x để y đạt GTNN. + 2 x +1 (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc b) 3(x + 1) 1 3 (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ³ 2 bc.2 ac.2 ab = 8abc ° ÷ y= + - 2 x+1 2 1 öæ 1 öæ 1ö æ ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 c) 3 ( x + 1) 1 è a øè b øè c ø , ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : 2 x+1 4 1 ö æ a + a + b + c ö 4 a2bc æ ç 1+ ÷ = ç ° ÷³ 3 ( x + 1) 3 ( x + 1) 1 1 3 3 3 è aø è a a ø y= - ³2 . - = 6- + 2 x +1 2 2 x+1 2 2 4 4 1 4 ab2c 1 4 abc2 ° 1+ 1+ ° ³ ³ ° Dấu “ = ” xảy ra Û b b c c é 6 1 öæ 1 öæ 1ö êx = -1 æ ÷ ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 3 ( x + 1) 1 2 3 2 Û ( x + 1) = Û ê è a øè b øè c ø Û = 2 x +1 3 ê 6 1 êx = - - 1(loaïi ) x+ ³3 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: 3 ë ( x - y) y 6 3 ( x - y) y 1 Vậy: Khi x = - 1 thì y đạt GTNN bằng 6 - VT = ( x - y ) + y + ³ 33 =3 2 3 ÷ ( x - y) y ( x - y) y x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 16. Chứng minh: 3 2x - 1 2 x2 + 2 ³ 2 Û x 2 + 2 ³ 2 x 2 + 1 Û x 2 + 1+ 1 ³ 2 x 2 + 1 2x - 1 5 1 a) ÷ y= + + 2 x +1 6 2x - 1 3 2x - 1 5 x+8 x - 1+ 9 9 9 , = x - 1+ ³2 x -1 =6 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : b) = 6 2x - 1 x -1 x -1 x -1 x -1 2x - 1 5 1 2x - 1 5 1 30 + 1 a2 + 5 ( a2 + 1) + 4 ³ 2 4 ( a2 + 1) = 4 y= + ³2 . a2 + 1 Û + += ³4 c. 6 2x - 1 3 6 2x - 1 3 3 a2 + 1 Dấu “ = ” xảy ra ab bc ca a+b+ c ; a, b, c > 0 + + £ é 30 + 1 17. Chứng minh: a+ b b+ c c+ a 2 êx = 2x - 1 5 2 2 Û ( 2x - 1) = 30 Û ê Û = Vì : a + b ³ 2 ab ° 6 2x - 1 ê - 30 + 1 êx = (loaïi ) ab ab ab bc bc bc ac ac ac 2 Þ £ = £ = £ = ë , , a + b 2 ab 2 b + c 2 bc 2 a + c 2 ac 2 30 + 1 30 + 1 Vậy: Khi x = a + b + c ³ ab + bc + ca , dựa vào: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca . thì y đạt GTNN bằng ° 2 3 ab bc ca ab + bc + ac a + b + c x 5 ° + + £ £ 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. a+ b b+ c c+ a 2 2 1- x x 12 9
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 2 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: x y 1 + £ , "x , y Î R 18. Chứng minh: a. a + b + c + d ³ 44 abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) 4 4 4 1+ 16x 1+ 16y ÷ a + b ³ 2 ab , c + d ³ 2 cd 2 2 x2 x x 1 ( ) ° = £ = ÷ a + b + cd ³ 2 ( ab + cd ) ³ 2 2 ab. cd ³ 44 abcd 1+ 16x4 2 2.4x2 8 1+ ( 4x ) a + b + c ³ 33 abc y2 y2 y2 1 với a , b , c ³ 0 , b. (Côsi 3 số ) ° = £ = 4 2 2 8 a+b+ c a+b+ c 1+ ( 4y ) 1+ 16y 2.4y ÷ a+b+ c+ ³ 4.4 abc 3 3 x2 y2 1 + £ 4 ÷ a+ b+ c 4 a+b+ c æa+ b+ cö a+b+ c 4 4 4 1+ 16x 1+ 16y ³ abc ÷ ³ abc Û Û ç 3 3 3 3 è ø a b c 3 + + ³ ;a,b,c>0 3 19. Chứng minh: æa+ b+ cö b+c a+c a+b 2 3 ÷ ³ abc Û a + b + c ³ 3 abc . Ûç 3 è ø Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. 22. Chứng minh: a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > 0 1 ° a + b + c = (X + Y + Z) 2 a3 + abc ³ 2a2 bc , b3 + abc ³ 2b2 ac , c3 + abc ³ 2c2 ab ° Y+Z-X Z+X-Y X+Y-Z a3 + b3 + c3 + 3abc ³ 2 ( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) ° a= ,b= ,c= ° 2 2 2 Þ 2 ( a3 + b3 + c3 ) ³ 2 ( a2 bc + b2 ac + c 2 ab ) , a b c 1 éæ Y X ö æ Z X ö æ Z Y ö ù ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ - 3ú ° + + = b + c a + c a + b 2 êè X Y ø è X Z ø è Y Z ø vì : a3 + b3 + c3 ³ 3abc ë û a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab 1 3 Vậy: ³ [ 2 + 2 + 2 - 3] = . 2 2 23. Chứng minh: 2 a + 33 b + 44 c ³ 99 abc Cách khác: ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm: a b c æa öæb öæc ö VT = a + a + 3 b + 3 b + 3 b + 4 c + 4 c + 4 c + 4 c ³ 99 abc + 1÷ + ç + 1÷ + ç + 1÷ - 3 ° + + =ç ° b+ c a+ c a+ b èb+ c ø èa+ c ø èa+b ø x 18 24. Cho y = + 1 æ1 1 1ö , x > 0. Định x để y đạt GTNN. = [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] ç 2x ÷-3 + + 2 è b+ c a + c a + bø x 18 x 18 y= ³2 . =6 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: + ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: 2x 2x 1 [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] æ 1 + 1 + 1 ö ³ 9 - 3 = 3 ° ç ÷ x 18 2 è b+ c a + c a + bø 2 2 Û x2 = 36 Û x = ± 6 , chọn x = 6. ° Dấu “ = ” xảy ra Û = 2 x 20. Cho a , b , c > 0. C/m: Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 1 1 1 1 +3 +3 £ x 2 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x -1 a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + a2 ) ³ ( a + b) ab ° x -1 2 1 ÷ y= + + Þ a3 + b3 + abc ³ ( a + b) ab + abc = ab ( a + b + c ) , tương tự 2 x -1 2 b3 + c3 + abc ³ ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c ) ° x -1 2 , ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : c3 + a3 + abc ³ ( c + a ) ca + abc = ca ( a + b + c ) 2 x-1 ° 1 1 1 1 æa+b+cö x -1 2 1 x -1 2 15 ÷ VT £ + + = y= + ³2 . ç ÷ + += ab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c è abc ø 2 x -1 2 2 x -1 2 2 10 11
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức ° 2 3 æ 4 9ö 735 5 b £ ç + ÷ ( 3a2 + 5b2 ) Û 3a + 5b ³ 3a- 2 2 ° . 5 (1- x ) + 5x x x x -1 x 1- x è3 5ø 47 3 5 f(x) = +5 +5³ 2 5 +5= 2 5+5 + = 1- x x 1- x x 1- x x 2464 2 2 Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a + 11b ³ 5. . 2 x 1- x æxö 5- 5 137 =5 ÷ =5Ûx= Dấu “ = ‘ xảy ra Û Ûç (0 < x < 1) 1- x x è 1- x ø 4 3 5 ÷ 3a - 5b = 7a- 11b 5- 5 7 11 Vậy: GTNN của y là 2 5 + 5 khi x = ° 4 3 5 , 7a , - , 11b : ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số x3 + 1 7 11 29. Cho y = , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. x2 3 5 æ 9 25 ö ( 2 2464 ÷ 7a + 11 ) Û 7a + 11b ³ b2 7a- 11b £ ç + 2 2 ° . x3 + 1 1 xx1 xx 1 3 è 7 11 ø 137 7 11 = x+ + + 2 ³ 33 ° = =3 2 2 2 22x 22x 4 x x 4 4 Chứng minh: a + b ³ 2. 6. Cho a + b = 2. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: xx 1 Dấu “ = ‘ xảy ra Û = = 2 Û x = 3 2 . ° 2 = a + b £ (1+ 1) ( a2 + b2 ) 22x 2 2 ° Û a +b ³2 3 2 £ ( a2 + b2 ) £ (1+ 1) ( a4 + b4 ) Vậy: GTNN của y là 3 khi x = 3 2 4 4 ° ° Û a +b ³2 4 1 Chứng minh: a2 + b2 ³ Cho a + b ³ 1 x 2 + 4x + 4 7. 2 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. x 1 (12 + 12 ) ( a2 + b2 ) Û a2 + b2 ³ 1£ a + b £ ° x2 + 4x + 4 4 4 2 = x + + 4 ³ 2 x. + 4 = 8 ° x x x 4 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û x = Û x = 2 (x > 0). x ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 2 31. Tìm GTNN của f(x) = x2 + 3 , x > 0. x 3 æ x2 ö æ 1 ö 2 x2 x2 x2 2 1 1 5 x2 + + 3 + 3 ³ 55 ç ÷ ç 3 ÷ = ° = + + 3 5 3 3 3x è 3 ø èx ø 27 x x 2 x 1 = 3 Û x = 5 3 Û x = 2 (x > 0). ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û 3 x 5 khi x = 5 3 . ° Vậy: GTNN của y là 5 27 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 2 11x ö 11 ö 1 1 æ æ f(x) = –10x + 11x – 3 = -10 ç x2 - ÷ - 3 = -10 ç x - 2 ° ÷+ £ 10 ø 20 ø 40 40 è è 11 Dấu “ = “ xảy ra Û x = ° 20 16 13
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 11 1 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. Vậy: Khi x = ° thì y đạt GTLN bằng . x 20 40 37. Cho y = 2 . Định x để y đạt GTLN x +2 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6): 1 x 1 ° 2 + x 2 ³ 2 2x2 = 2x 2 Û Þ y£ ³ 6 = x + ( 6 - x ) ³ 2 x ( 6 - x ) Þ x(6 – x) £ 9 2 ° 2 2 2+ x 22 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3 Dấu “ = “ xảy ra Û x 2 = 2 và x > 0 Þ x= 2 ° ° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 1 5 Vậy: Khi x = 2 thì y đạt GTLN bằng ° . 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ . Định x để y đạt GTLN. 22 2 x2 1 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) ( x 2 + 2 )3 2 5ö æ x2 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , ç -3 £ x £ ÷ : 1 3 x 2 + 2 = x2 + 1+ 1 ³ 3 x2 .1.1 Û ( x2 + 2) ³ 27x2 Þ 3 ° £ 2ø è 3 27 ( x 2 + 2) 1 121 ° 11 = ( 2x + 6) + ( 5 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 6)( 5 - 2x ) Þ (2x + 6)(5 – 2x) £ Dấu “ = “ xảy ra Û x 2 = 1 Û x = ± 1 2 8 ° 1 1 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û x = - Vậy: Khi x = ± 1 thì y đạt GTLN bằng ° . 4 27 1 121 ° Vậy: Khi x = - thì y đạt GTLN bằng . III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 4 8 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ 5 . Định x để y đạt GTLN. 2 2 2 2 2 Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) («) BĐT Bunhiacopxki 1. 2 («) Û a2b2 + 2abcd + c 2d2 £ a2b2 + a2d2 + c 2b2 + c2d2 1 ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) 2 Û a2d2 + c2b2 - 2abcd ³ 0 Û ( ad - cb) ³ 0 . 2 æ5 Chứng minh: sinx + cos x £ 2 ö 2. ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , ç - £ x £ 5 ÷ : è2 ø ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : 1 625 (12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x ) = ° ( 2x + 5) + (10 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 5)(10 - 2x ) Þ (2x + 5)(10 – 2x) £ sinx + cos x = 1. sinx + 1. cos x £ 2 ° 2 8 2 2 Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b ³ 7. 3. 5 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û x = ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b : 4 3. 3a + 4. 4b £ ( 3 + 4) ( 3a2 + 4b2 ) Û 3a + 4b ³ 7. 5 625 3a + 4b = 2 2 ° ° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng 4 8 725 2 2 Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a + 5b ³ 4. . 1 5 47 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £ . Định x để y đạt GTLN 2 2 2 3 ÷ 2a - 3b = 3a- 5b ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 3 5 æ1 5ö ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , ç - £ x £ ÷ : 2 3 , 3a , - , 5b: è2 2ø ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 5 ( 2x + 1) + ( 5 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 1)( 5 - 2x ) Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9 ° ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1 14 15
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2 2 2 a +b +c x+ y+ z£ (a, b, c là các cạnh của DABC, R là 2R 1. (CĐGT II 2003 dự bị) bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2 36. (Đại học 2002 dự bị 3) 5 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm 3 3 3 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x + y + z ³ x + y + z. 4 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) 41 S= + giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x 4y 111 37. (Đại học 2002 dự bị 5) A=x+y+z+ + + thức: xyz Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. a c b2 + b + 50 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) +³ Chứng minh bất đẳng thức: và tìm giá trị nhỏ nhất 5 bd 50b Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 ac +. của biểu thức: S = 41 bd biểu thức: A = + . x 4y 38. (Đại học 2002 dự bị 6) 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) 3 Cho tam giác ABC có diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: 2 a b c d cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ + + + 0 thì (x + 1) ç x2 + x + 1÷ ³ 16. 2 è øè a cø b è ø 39. (Đại học khối A 2003) 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng: a+ b+ c a+b+ c a+b+ c ³9 1 1 1 + + Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: x2 + + y2 + + z2 + ³ 82 a b c x2 y2 z2 8. (CĐKTYTế1 2006) 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) 2 Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x + x = y + 12. 3 cosx 5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin x + 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: 10. (Học viện BCVT 2001) ì 4p(p - a) £ bc (1 ) ï Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 A B C 2 3-3 í 1 1 1 æa b cö ïsin sin sin = (2) + b + c ³ 3ç a + b + c ÷ 2 2 2 8 thì: î a 3 3 3 è3 3 3ø a+b+ c trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = . 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 2 2 2 2 Cho ba số dương a, b, c thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 42. (Đại học khối A 2005) a b c 33 111 +2 +2 ³ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : + + = 4 . 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b xyz 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) 20 17
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 2 2 2 a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c) 2 2 2 ìa + b + c = 2 ï Cho các số a, b, c thoả: í 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) ïab + bc + ca = 1 î Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bc ca ab 4 44 44 4 Chứng minh: - £ a £ ; - £ b £ ; - £ c £ +2 +2 biểu thức: P = 2 a b + a c b c + b a c a + c 2b 2 2 3 33 33 3 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: ( ) 3 1 1 1 æ 1 1 1ö (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ 3 abc ³ 2ç + + ÷ + + p-a p-b p-c èa b cø 26. (ĐH Y HN 2000) 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) 23 Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: + = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện xy 2y 2x 2z 1 1 1 +3 +3 £ 2+ 2+ 2 của tổng x + y. 3 2 2 2 x +y y +z z +x x y z 27. (ĐH An Giang khối D 2000) 15. (ĐH PCCC khối A 2001) c+1 c+1 c–1 c–1 Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a +b ≥ ab(a +b ) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb+ c a + logc + a b + loga+ b c > 1 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 18xyz 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax. 2 + xyz Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) a3 b3 c3 n+1 n abc Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n > (n + 1) + + ³ ++ 30. (CĐSP Nha Trang 2000) 3 3 3 bca b c a Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) nhất của biểu thức: A = a + 1 + b + 1 Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b - 1 + b a - 1 £ ab (*) 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi 1 1 1 9 2 2 2 bằng 3 thì: 3a + 3b + 3c + 4abc ≥ 13 khác không: 2 + 2 + 2 ³ 2 x + y 2 + z2 x y z 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 2 2 BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng. Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: a 3 + b3 > c 3 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) a2 b2 c2 20. (ĐHQG HN khối A 2000) abc + + ³ ++ Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh 2 2 2 bca b c a a b c a b c rằng: 8 +8 +8 ≥2 +2 +2 33. (ĐH Hàng hải 1999) 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng x y z 3 1 1 1 b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + ££ + + ³3 2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z + + 1+ x 1+ y 1+ z minh rằng: ab bc ca 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 3 a3 + b3 æ a + b ö 3 3 3 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 (*) ³ç Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: ÷ 2 è2ø 35. (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: 18 19
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức b d b d 1 1 1 =1 £1 + < + + + Chứng minh rằng: b+ c+ d d+ a+b b+ d b+ d 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm. 43. (Đại học khối B 2005) 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có: 2 æ1 ö æ1 2 ö x x x + + 1÷ ³ 16 (1) Û (x + 1)2 ç + 1÷ ³ 16 æ 12 ö æ 15 ö æ 20 ö 2ç x x x Ta có: (x + 1) è x2 x ø ÷ ³3 +4 +5 èx ø ç ÷ +ç ÷ +ç 5ø 4ø è3ø è è æ1 ö Khi nào đẳng thức xảy ra? Û (x + 1) ç + 1÷ ³ 4 (do x > 0) Û (x + 1) ³ 4x Û (x – 1) ³ 0 (2) 2 2 44. (Đại học khối D 2005) èx ø Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh. 1+ x 3 + y 3 1 + y 3 + z3 1 + z3 + x 3 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) ³3 3 + + bca cab xy yz zx Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = 1+ + + + 1+ + + + 1 aab bcc Khi nào đẳng thức xảy ra? æ b a ö æ c a ö æ c bö 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) = 3 + ç + ÷+ç + ÷+ç + ÷ èa bø èa cø èb cø 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ³ 6 Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có: 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) ba ba bc bc ca ca 2 y öæ 9ö + ³ 2 . = 2; + ³ 2 . = 2; + ³2 . =2 æ Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: (1+ x ) ç 1+ ÷ ç 1+ ÷ ³ 256 ab ab cb cb ac ac x øç y÷ è è ø Khi đó: VT ³ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi nào? 8. (CĐKTYTế1 2006) 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) 2 2 y £ 0, x + x = y + 12 Þ x + x – 12 £ 0 Þ – 4 £ x £ 3 3 2 3 2 y = x + x – 12 Þ A = x + 3x – 9x – 7 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng: 4 3 2 Đặt f(x) = A = x + 3x – 9x – 7 với – 4 £ x £ 3 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a £ 3 2 f¢(x) = 3x + 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Khi nào đẳng thức xảy ra? Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) 1 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì x y - y x £ . Ta có: x + y + z ³ 3 3 xyz Û x yz ³ 3 3 xyz Û (xyz) ³ 27 Û xyz ³ 3 3 2 4 Đẳng thức xảy ra khi nào? 3. Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Vậy minA = 3 3 . x2 y2 z2 3 10. (Học viện BCVT 2001) + + ³ Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR: 1 + y 1+ z 1 + x 2 1 Ta có hàm số f(x) = x là hàm nghịch biến nên: 50. (Đại học khối A 2006) 3 Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: æ1 1ö 2 2 (x + y)xy = x + y – x y. (a – b) ç a - b ÷ ≤ 0, "a, b. 1 1 è3 3ø Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 + 3 . a b b a x y Þ + b £ a + b , "a, b. (1) a 3 3 3 3 51. (Đại học khối B 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b c b c Tương tự: b + c £ c + b (2) ( x - 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y - 2 3 3 3 3 A= 24 21
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 LỜI GIẢI 3 3(t - 1) æ 1ù < 0, "t Î ç 0; ú f¢(t) = 3 – = 2 2 è 3û t t Bảng biến thiên: 1. (CĐGT II 2003 dự bị) 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm: 3 æ y 3ö æ 3ö 3 æy z ö Açx + ; z ÷ , B ç 0; y+ z ÷ , C ç - ;0 ÷ ç ÷ ç2 ÷ 22ø 2ø è2 2 ø è è 2 1 2 æ3ö yö æ Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = y = x2 + xy + y2 x+ ÷ +ç Ta có: AB = ç2 ÷ 3 ç ÷ 2ø è è ø 1 Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = . 2 2 3 æ3ö zö æ z = x 2 + xz + z2 çx + ÷ + ç AC = ç2 ÷ ÷ · Cách 2: 2ø è è ø 1 Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 Û ³3 2 2 æ3 ö æy zö 3 xyz (y + z) ÷ = y2 + yz+z2 BC = ç - ÷ + ç ç2 ÷ è 2 2ø 12 12 12 è ø ³, ³, ³ x+ y+ z+ 9x 3 9y 3 9z 3 Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC 1ö æ 1ö æ 1 ö 8 æ 1 1 1ö 83 Þ x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2 æ Từ đó: A= ç x + + çy + ÷+ z+ + ç + + ÷³ 2 + ³ 10 9x ÷ è 9y ø ç 9z ÷ 9 è x y z ø 9 3 xyz è ø è ø 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) 1 1 x + y + z ³ 3 3 x3 y3z3 Þ 2(x + y + z ) ³ 6 3 3 3 3 3 3 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = .Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 3 3 3 x + 1 + 1 ³ 3 x3 Þ x + 2 ³ 3x (1) 3 3 4. (CĐSPHCM khối ABT 2006) 3 3 5 Tương tự: y + 1 + 1 ³ 3 y 3 3 Þ y + 2 ³ 3y(2) Û 4x + 4y – 5 = 0 Ta có: x + y = 4 33 z + 1 + 1 ³ 3 z Þ z + 2 ³ 3z 3 3 (3) 41 4 1 4 1 Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. = + 4x+ + 4y - 5 Þ A ³ 2 .4x + 2 .4y – 5 A= + 4y x 4y x 4y x 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) · Cách 1: ÞA³5 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 ì4 Theo BĐT Côsi: ï x = 4x 111 3 ï ++³ ï 1 = 4y ìx = 1 xyz 3 xyz ï ï Dấu "=" xảy ra Û í 4y Ûí 1. Vậy Amin = 5. 3 ïy = 4 A ³ 3 3 xyz + ï Từ đó: 5 î 3 xyz ïx + y = 4 ï 1 ï x,y > 0 3 xyz , điều kiện: 0 < t £ Đặt: t = î 3 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) 3 1 Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có: với 0 < t £ Xét hàm số f(t) = 3t + t 3 a c a c =1 + < + a+ b+ c c+ d+ a a+ c a+ c 22 23
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức c a a c 3 3 3ù é + £ + (3) 1 êæ a ö 2 æ b ö2 æ c ö2 ú 3 3c 3a 3c 3a ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ú ³ 2 êè b ø cø aø 2 è è a b c a b c ê ú ë û + + = + + Mặt khác: (4) a b c a b 3c 3 3 3 3 3 Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có: Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 3 3 3ù é 3 êæ a ö 2 æ b ö 2 æ c ö 2 ú 3 3 é a b c ù 3 æa b cö æ1 1 1ö ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ú+ ³ ê + + ú+ 3 ç a + b + c ÷ £ (a + b + c) ç a + b + c ÷ 2 êè b ø ècø èaø 2 2 ëb c aû 2 è3 3 3ø è3 3 3ø ê ú ë û æa b cö 1 1 1 3 3 3 3ç a + b + c ÷ £ a + b + c Hay (vì a + b + c = 1) æ a ö2 æ b ö2 æ c ö2 a b c è3 3 3ø 3 3 3 Suy ra: ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ + + èbø ècø èaø bca 1 Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = . 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) 3 a b-1 b a -1 1æ 1ö 1æ 1ö 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) £1Û 1- 1- £1 BĐT (*) Û + + (1) bç b÷ aç a÷ ab ab a2 a a è ø è ø 2 2 2 = = Do a + b + c = 1 nên (1) b2 + c2 1- a 2 a(1- a2 ) 1æ 1ö + ç 1- ÷ 1æ 1ö b è b ø 1 3 3 1- æ 2a2 + (1- a2 ) + (1- a2 ) ö £ = Theo BĐT Côsi ta có: æ 2ö bç b÷ 2 2 2 22 ÷ =ç ÷ è ø Mà 2a .(1 – a ) ≤ ç ç ÷ 3 è3ø è ø 1æ 1ö + ç 1- ÷ 4 2 1æ 1ö a è a ø 1 2 22 2 Þ a .(1 – a ) ≤ Þ a(1 – a ) ≤ (2) 1- £ = aç a÷ 27 33 2 2 è ø a 332 Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh. a ³ Từ (1), (2) suy ra: ì1 11 2 2 2 b +c ï b = 1- b = 2 ï a b c 33 2 33 Dấu “=” xảy ra Û í Û a = b = 2. (a + b2 + c2 ) = + + ³ Do đó: ï 1 = 1- 1 = 1 b2 + c 2 c2 + a2 a2 + b2 2 2 ïa a2 î 2 2 ì 2a = 1- a 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) ï 1 ï Dấu “=” xảy ra Û í 2b2 = 1- b2 Û a = b = c = Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. . 3 Do đó theo BĐT Côsi ta có: ï2 2 ï 2c = 1- c 3 î æ 3 - 2a + 3 - 2b + 3 - 2c ö (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ ç ÷ =1 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) 3 è ø ìa2 + b2 + c2 = 2 ì(a + b)2 - 2ab = 2 - c 2 ï ï Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 Ûí Ta có: í ïab + bc + ca = 1 ïc(a + b) + ab = 1 Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 î î Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 ìa + b = S 2 2 2 2 2 2 2 Û 3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14 Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt í (S – 4P ≥ 0) îab = P 2 = 3(a + b +c) – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1. ìS2 - 2P = 2 - c2 (1) ï Ta được hệ: í 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) ïcS+P =1 (2) î 2 2 ab ab æ a ö3 æ b ö3 a b Từ (2) Þ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được: + = 1 Þ 0 < , < 1 Þ ç ÷ +ç ÷ > + = 1 Từ giả thiết ta có: cc cc ècø ècø cc 28 25
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức éS = -c - 2 1 1æ 1 1ö 1æ 1 1ö 2x 2 2 2 2 S – 2(1 – cS) = 2 – c Û S + 2cS + c – 4 = 0 Û ê £ ç 2 + 2÷ Þ 3 £ ç 2 + 2÷ ëS = -c + 2 çx ÷ çx y÷ 2 xy 2 è 2è yø x +y ø 2 · Với S = – c – 2 Þ P = 1 + c(c + 2) = c + 2c + 1 Tương tự ta cũng có: 2 2 2 BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c – 2) – 4(c + 2c + 1) ≥ 0 2y 1æ 1 1ö 2z 1æ 1 1ö 4 £ ç 2 + 2 ÷; 3 £ + ÷ z + x 2 2 ç z2 x 2 ÷ Û - £ c £ 0 (3) 2ç y 2 Û –3c – 4c ≥ 0 3 2 y +z zø è ø è 3 2y 2 2x 2z 1 1 1 · Với S = –c + 2 Þ P = 1 – c(–c + 2) = c – 2c + 1 + + £ + + Suy ra: 2 2 2 BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c + 2) – 4(c – 2c + 1) ≥ 0 3 2 3 2 3 2 2 2 z2 x +y y +z z +x x y 4 Û 0£c£ 2 Û –3c + 4c ≥ 0 ì x3 = y 2 ì y 3 = z2 ì z3 = x 2 (4) ï ï ï 3 vaø í vaø í Dấu “=” xảy ra Û í Û x=y=z=1 ïx = y ïy = z ïz = x 4 4 î î î - £c£ Từ (3), (4) ta được: 3 3 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = loga x là đồng biến 4 4 Tương tự ta chứng minh được: - £ a,b,c £ và dương. 3 3 1 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Do đó hàm số y = logxa = là nghịch biến. loga x Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì: 11 4 Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta +³ (1) x y x+y được: VT= logb+ c a + logc+ a b + loga +b c ³ loga +b a + loga +b b + loga+ b c = loga +b abc Dấu “=” xảy ra Û x = y. 1 1 4 4 Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b + ³ = Áp dụng (1) ta được: Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1. p-a p-b p-a+p-b c 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) 1 1 4 4 · Xét f(x) = xa – ax + a – 1 (x ≥ 0) + ³ = p-b p- c p-b+p-c a f¢(x) = a(xa – 1); –1 f¢(x) = 0 Û x = 1 1 1 4 4 + ³ = p-c p-a p-c+p- a b Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được: æ1 1 1ö æ 1 1 1ö 2ç ÷ ³ 4 ç + + ÷ Û đpcm + + èp- a p-b p-cø èa b cø Vậy với "x ≥ 0 và a > 1 thì f(x) ≥ 0 hay xa + a – 1 ≥ ax. Dấu “=” xảy ra Û a = b = c. · BĐT cần chứng minh: 3 3 3 æ a ö2 æ b ö2 æ c ö2 a b c 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ³ + + 3 2 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x , y ta có: èbø ècø èaø bca 2x 2x 1 3 x + y ≥ 2 x3 y2 = 2xy x Þ 3 3 2 £ = Áp dụng BĐT đã chứng minh với a = , ta có: 2 2xy x xy x +y 2 3 3 3 1 1 , æ a ö2 1 3 a æ b ö2 1 3 b æ c ö2 1 3 c Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có: ç÷+ ³.; ç÷+ ³.; ç÷+ ³. 2 y2 x bø 2 2b ècø 2 2c èaø 2 2a è Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có: 26 27
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 2 2 2 a3 + b3 c3 > y 2 z2 ö æ x 2 z2 ö æ x 2 y 2 Từ đó suy ra: æ ö BĐT cần chứng minh Û ç 1+ 2 + 2 ÷ + ç 2 + 1+ 2 ÷ + ç 2 + 2 + 1÷ ≥ 9 20. (ĐHQG HN khối A 2000) ç ÷ çy ÷ çz ÷ x xøè yø è z è ø a b c Đặt x = 2 , y = 2 , z = 2 thì x, y, z > 0. a+b+c æ y 2 z2 ö æ x 2 z2 ö æ x 2 y 2 ö Đ.kiện a + b + c = 0 Û x yz = 2 = 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3 Û 3 + ç 2 + 2 ÷+ç 2 + 2 ÷+ç 2 + 2 ÷ ≥ 9 3 3 Mặt khác: x + 1 + 1 ≥ 3x Þ x ≥ 3x – 2 çx x ÷ çy y ÷ çz z÷ è øè øè ø 3 3 Tương tự: y ≥ 3y – 2; z ≥ 3z – 2 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) 3 3 3 Þ x + y + z ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z Áp dụng BĐT Côsi ta có: a b c a b c Þ8 +8 +8 ≥2 +2 +2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 21. (ĐHQG HN khối D 2000) ³ 33 .. =3 + + * (1) b2 + 2a2 b2 + 2a2 2 2 2 b2 c2 a2 1 1 b c a + 2. 2 = = Ta có: a2b2 a2 ab 2 2 2 b a a b b c c + 1³ 2 ; + 1³ 2 ; + 1³ 2 * 1 1 1 2 2 2 b c a b c a Đặt x = ; y = ; z = thì a b c a2 b2 c2 æa b cö Þ 2 + 2 + 2 ³ 2ç + + ÷ - 3 (2) ìa,b,c > 0 ì x,y,z > 0 èb c aø b c a Ûí giả thiết í îab + bc + ca = abc îx + y + z = 1 Kết hợp (1) và (2) ta được: æ a2 b2 c2 ö æa b cö và đpcm Û x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ 3 2ç 2 + 2 + 2 ÷ ³ 2ç + + ÷ çb ÷ èb c aø c aø Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: è 2 2 2 2 2 2 3(x + 2y ) = 3(x + y + y ) ≥ (x + y + y) a2 b2 c2 abc 1 Þ + + ³ ++ x2 + 2y2 ³ (x + 2y) 2 2 2 bca Þ b c a 3 33. (ĐH Hàng hải 1999) Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có: 2x 2 2 1 · Do (x – 1) ≥ 0 nên x + 1 ≥ 2x Û ≤1 x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ (3x + 3y + 3z) = 3 1+ x 2 3 2y 2z 1 Tương tự ta cũng có: ≤ 1; ≤1 1 + z2 2 Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = Ûa=b=c=3 1+ y 3 2x 2y 2z 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Do đó: + + ≤3 2 1 + z2 2 3 1+ x 1+ y a3 + b3 æ a + b ö 3 3 3 ³ç ÷ Û 4(a + b ) ≥ (a + b) Ta có: x y z 3 2 è2ø + + £ Hay: (1) 2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 2 2 2 2 Û (a + b) [4(a + b – ab) – (a + b + 2ab)] ≥ 0 2 2 2 Û (a + b)(3a + 3b – 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b) ≥ 0 · Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng. 1 1 1 + + Đẳng thức xảy ra Û a = ± b. 1 1 1+ x 1+ y 1+ z ³3 = 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) 2 2 2 2 2 2 a) a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ca 2 2 2 3 (1+ x) + (1+ y) + (1+ z) Þ a + b + c ≥ ab + bc + ca. £ 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) ≤ Þ ≤2 1 1 1 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c 3 + + 2 2 2 2 b) (ab + bc + ca) = (ab) + (bc) + (ca) + 2(abbc + bcca + caab) ≥ 1+ x 1+ y 1+ z ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 32 29
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 1 27. (ĐH An Giang khối D 2000) c c c+1 c+1 c–1 c–1 Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ a (a – b) ≥ b (a – b) Þ a +b ≥ ab(a +b ) bc bc 1 a2 = = = Ta có: 2 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) a b + a2c a2 (b + c) a2 æ 1 + 1 ö 1 + 1 Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có: çb c÷ b c è ø 2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz (1) 1 1 1 Đặt x = ;y= ; z= thì và xy + yz + zx ≥ 3 3 x2y2z2 a b c (2) x2 y2 z2 Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: ìa, b, c > 0 ì x,y,z > 0 Ûí + + giả thiết í và P = 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) îabc = 1 î xyz=1 y+z z+x x+y Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được: 2 18xyz æ zö x y (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx > (vì 2 +xyz > 0) (y + z + z + x + x + y).P ≥ ç y + z. + z + x. + x + y. ÷ 2 + xyz ç x+y÷ y+z z+x è ø 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) 1 1 1 4 3 4 3 Ta có: 3 = 81, 4 = 64 Þ 3 > 4 Þ BĐT cần chứng minh đúng với n = 3. Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z) Þ P ≥ (x + y + z) ≥ .33 xyz = .3 2 2 2 2 n n æ n + 1ö 1ö æ ÷ Û ç 1+ ÷ < n 3 Với n > 3, đpcm Û n > ç (1) nø nø ÞP≥ è è 2 n n 1ö 1 æ 3 å Ck nk ç 1+ ÷ = Ta có: = thì x = y = z = 1 Þ a = b = c = 1 Nếu P = n nø 2 è k=0 3 3 n n(n - 1 1) n(n - 1)...(n - n + 1) 1 . + ... + .n Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = . Vậy minP = + =1+ 2 2 2! n2 n n! n 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) 1æ 1ö 1æ 1 öæ 2 ö æ n - 1ö ç 1- ÷ + ... + ç 1- ÷ç 1- ÷ ...ç 1- (a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ =1+1+ ÷< 2! è n ø n! è n øè n ø è nø ( ) 3 3 1 + 3 3 abc + 3 a2b2c2 + abc = 1+ 3 abc ≥ 1 1 1 1 + ... + < 1 + 1 + + ... + n-1 < 0. 2 26. (ĐH Y HN 2000) 1 1 1 < 1 + 1 + + ... + n-1 + … = 1 + =3 2 1 2 æ2 ö 3 æ 2 3ö 2 ( ) 2 1- 2+ 3 . x+ . y ÷ £ ç + ÷ (x + y) = 6(x + y) =ç 2 çx ÷ y èx yø è ø n 1ö æ ( ) 2 Þ ç 1+ ÷ < 3 < n Þ (1) 2+ 3 è nø Þx+y≥ 6 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a + 1, b + 1 ), ta có: ì2 3 ì 2( 2 + 3) : x= :y ï ( ) 2 ïx = A = 1. a + 1 + 1. b + 1 ≤ (1+ 1)(a + 1+ b + 1) ïx y 2+ 3 6 ï đạt được Û í Ûí Giá trị ( ) 2 6 6 mà a + b = 1 nên A ≤ 3( 2 + 3) 2+ 3 ï ï ïy = 1 ïx + y = 6 î a+1= b+1 Û a = b Û a = b = Dấu “=” xảy ra Û ( do a + b = 1) 6 î 2 5+ 2 6 1 6 khi a = b = Vậy min(x + y) = Vậy maxA = 6 2 30 31
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 9 9 æ 1ù æ 1ù 3 1 1 1 ÞQ¢(t) = 9 – 2 < 0, "tÎ ç 0; ú ÞQ(t) giảm trên ç 0; ú Û £ + + Đặt Q(t) = 9t + (2) t è 9û è 9û 2 1 + x 1+ y 1+ z t æ 1ö Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. Þ Q(t) ³ Q ç ÷ = 82. Vậy P ³ Q(t) ³ 82 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) è 9ø 2 3 2 3 2 3 Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x ≥ x ; y ≥ y ; z ≥ z . 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 3 Do đó nếu ta chứng minh được: 2 2 2 2 2 2 · Cách 2: Ta có: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 (1) thì (*) đúng. 2 2 æ 1 1 1ö æ 1 1 1ö 2 2 2 2 2 2 2 (1 – y)(1 + y – x ) ≥ 0 Û x + y – x y – 1 ≤ 0 (2) (x + y + z) + ç + + ÷ = 81(x + y + z) + ç + + ÷ – 80(x + y + z) Ta có: èx y zø èx y zø éy = 1 ê æ 1 1 1ö Dấu “=” ở (2) xảy ra Û ê ì x = 1 2 ³ 18(x + y + z). ç + + ÷ – 80(x + y + z) ³ 162 – 80 = 82 èx y zø êíy = 0 ëî 82 Vậy P ³ 2 2 2 Tương tự ta cũng có: x +z –zx–1≤0 (3) 1 2 2 2 y +z –yz–1≤0 (4) Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 3 Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2 2 2 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Vậy (1) đúng Þ (*) đúng 3 cosx ≤ sin x + 3 cosx 5 4 · Tìm max: y = sin x + (1) Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra Û (x; y; z) Î {(1 ;1 ;1 ;0;1),(0;1 )} ;1 ),(1 ;0),(1 ;1 3 cosx ≤ 3 , "x Î R 4 Ta chứng minh: sin x + (2) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) 3 (1 – cosx) – sin x ≥ 0 Û 3 (1 – cosx) – (1 – cos x) ≥ 0 4 2 2 Û 1 1 1 æ 1 1 1ö Û (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx) ] ≥ 0 2 (3) x+ y+ z= . ax + . by + . cz ≤ ç a + b + c ÷ (ax+by+cz) a b c è ø Theo BĐT Côsi ta có: 1 æ 1 1 1ö æ 1 1 1 ö abc ab + bc + ca (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ ç a + b + c ÷ .2S = ç a + b + c ÷ 2R = ≤ 2 2R è ø è ø 3 1æ 4 ö 32 a2 + b2 + c2
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 4 1 5 Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng · Cách 2: S = + = f(x), 0 Ta có f(7) = ; f(8) = 4 4 350 175 400 200 175 ï f¢(x) = - 2 + ; f¢(x) = 0 Û í Ûx=1 5 2 ìa = 1 x (5 - 4x) ï0 < x < 4 î ïb = 7 53 ï Vậy minS = khi í Lập bảng xét dấu f¢(x), suy ra minS = 5. ïc = 8 175 1 2 1 41 ïd = 50 ≤ x + y. · Cách 3: 2 + = x. + y. + (3) î x 4y 2 x 2y 38. (Đại học 2002 dự bị 6) ì2 1 1 1 1 = ì x = 4y ìx = 1 Ta có diện tích tam giác: S = aha = bhb = chc ï ï x. x 2 y. y ï ï 2 2 2 Dấu “=” ở (3) xảy ra Û í Ûí 5Ûí 1 ïx + y = 4 ïy = 4 2S 2S 2S 5 ï ïx + y = 4 Þ ha = î î ; hb = ; hc = a b c î 1 1 1 1 2 æ5ö 5 æ4 1 ö 41 (a + b + c) Þ + + = (3) Û ç ÷ £ .ç + ÷Û + ≥5 ha hb hc 2S è 2ø 4 è x 4y ø x 4y æ 1 1 1öæ 1 1 1ö 1 æ 1 1 1ö Vậy minS = 5. (a + b + c) ç + + ÷ Þ ç + + ÷ç + + ÷= 37. (Đại học 2002 dự bị 5) è a b c ø è ha hb hc ø 2S èa b cø Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b Î N) nên c ≥ b + 1 thành thử: æ 1 1 1ö 1 b + 1 b2 + b + 50 Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c) ç + + ÷ ≥ 9 ac èa b cø +≥+ S= = bd b 50 50b 3 æ 1 1 1öæ 1 1 1ö 9 Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh. ÷³ =3 , nên ta có: ç + + ÷ ç + + và vì S = 2 è a b c ø è ha hb hc ø 3 ìa = 1 ï 39. (Đại học khối A 2003) Dấu “=” xảy ra Û íd = 50 rr rr rr ï Với mọi u,v ta có: u + v £ u + v (*) îc = b + 1 r æ 1 ö r æ 1ö r æ 1ö b2 + b + 50 b11 a = ç x; ÷ ; b = ç y; ÷ ; c = ç z; ÷ ++ Đặt Để tìm minS, ta đặt = và xét hàm số có biến số è xø è yø è zø 50b 50 b 50 rrr rr r rrr liên tục x: Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a + b + c ³ a + b + c ³ a + b + c x11 ++ f(x) = (2 ≤ x ≤ 48) 2 50 x 50 1 1 1 æ 1 1 1ö 2 2 2 2 Vậy P = x + +y+ +z+ (x + y + z) + ç + + ÷ ³ 1 x2 - 50 ì x2 = 50 x2 y2 z2 èx y zø 1 ï Û x=5 2 f¢(x) = - 2= f¢(x) = 0 í ; 50x 2 50 x ï 2 £ x £ 48 · Cách 1: î Bảng biến thiên: 2 2 æ 1ö æ 1 1 1ö 9 ( ) 2 2 33 Ta có: P³ (x + y + z) + ç + + ÷ ³ xyz + ç 33 = 9t + 52 ç xyz ÷ ÷ èx y zø t è ø 2 æx+ y+zö 1 với t = (3 xyz)2 Þ 0 < t £ ç ÷£ b2 + b + 50 3 9 è ø (2 ≤ b ≤ 48, b Î N) Chuyển về biểu thức f(b) = 50b 34 35
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) 2 2 1 éæ 1ù 1æ 2 A Aö A 1ö 1 1æ A 1ö sin - sin ÷ = – êç sin - ÷ - ú = - ç sin - ÷ =– 2 2 ç x 1+ y x 1+ y 2 êè 2 2ø 4ú 2è 2 2ø 8 2è 2 2ø ³2 . =x + Ta có: ë û 1+ y 4 1+ y 4 2 C 1 1æ 3 1ö A B 11 2 2 Do (3) suy ra: sin sin sin £ - ç = - (4 - 2 3) y 1+ z y 1+ z - ç 2 2÷ ÷ ³2 . =y + 2 2 2 8 2è 88 ø 1+ z 4 1+ z 4 2 3-3 z2 z2 1 + x 1+ x = ³2 . =z + 8 1+ x 4 1+ x 4 B-C ì Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có: ïcos 2 = 1 ìA = 1200 ï ï æ x2 1+ y ö æ y 2 1+ z ö æ z 2 1+ x ö Dấu “=” xảy ra Û í Ûí ÷ ³ x+y+z + ÷+ç + ÷+ç + ç 0 ïsin A = 3 ïB = C = 30 ç 1+ y ÷ ç 1+ z ÷ ç 1+ x 4÷ 4øè 4øè î è ø ï 2 2 î x2 y2 z2 3 x+y+z 3(x + y + z) 3 42. (Đại học khối A 2005) +x+y+z ³ Û + + ³- - - 4 4 1 + y 1+ z 1 + x 4 4 Với a, b > 0 ta có: 1 a+b 1 1æ 1 1ö 3 3933 2 4ab £ (a + b) Û Û £ £ç+÷ ³ .3 - = - = (vì x + y + z ³ 3 3 xyz = 3) a + b 4ab a + b 4è a bø 4 4442 x2 y2 z2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. 3 + + ³. Vậy: Áp dụng kết quả trên ta có: 1 + y 1+ z 1 + x 2 1 1æ 1 1ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 1ö 50. (Đại học khối A 2006) ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + £ç + + (1) ÷ 2x+y+z 4 è 2x y + z ø 8 è x 2y 2z ø 4 ë 2x 4 è y z ø û · Cách 1: 11 1 1 1 Tương tự: Từ giả thiết suy ra: + = 2 + 2 - . 1 1æ 1 1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 1ö xyx xy y ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + £ç + + ÷ (2) x + 2y + z 4 è 2y x + z ø 4 ë 2y 4 è x z ø û 8 è y 2z 2x ø 1 1 2 2 Đặt = a, = b, ta có: a + b = a + b – ab (1) 1 1æ 1 1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 1ö x y ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + £ç + + ÷ (3) 3 3 2 2 2 x + y + 2z 4 è 2z x + y ø 4 ë 2z 4 è x y ø û 8 è z 2x 2y ø A = a + b = (a + b)(a – ab + b ) = (a + b) 2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) – 3ab. 1 1 1 1æ 1 1 ö 2 + 1÷ = 1 + + £ç+ Vậy: æ a + bö 3 2 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 4 è x yz ø ÷ nên a + b ≥ (a + b) – 4 (a + b) 2 Vì ab ≤ ç è2ø Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ 2 Þ (a + b) – 4(a + b) ≤ 0 Þ 0 ≤ a + b ≤ 4 khi 2 Suy ra: A = (a + b) ≤ 16 3 x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . 1 4 Với x = y = thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 2 43. (Đại học khối B 2005) · Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: 2 Đặt S = x + y, P = xy với S – 4P ³ 0. Từ giả thiết Þ S, P ¹ 0. x x x x x x æ 12 ö æ 15 ö æ 12 ö æ 15 ö æ 12 ö æ 15 ö S2 ç 5 ÷ +ç 4 ÷ ³ 2 ç 5 ÷ .ç ÷ x Þ ç ÷ + ç ÷ ³ 2.3 (1) è4ø è5ø è4ø 2 Ta có: SP = S – 3P Û P = èø èø èø S+ 3 Tương tự ta có: x3 + y3 (x + y)(x2 + y2 - xy) (x + y)2 xy (x + y)2 1 1 x x x x æ 12 ö æ 20 ö æ 15 ö æ 20 ö + A= = = = = x x 3 3 33 33 33 22 ç ÷ +ç ÷ ³ 2.4 ç ÷ +ç ÷ ³ 2.5 (2) (3) x y xy xy xy xy è5ø è3ø è4ø è3ø 40 37
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức a + 3b + 1+ 1 1 Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận 3 (a + 3b).1.1 £ = (a + 3b + 2) Ta có: được cho 2 ta có đpcm. 3 3 Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3) là các đẳng thức Û x = 0. 3 (b + 3c).1.1 £ b + 3c + 1+ 1 = 1 (b + 3c + 2) 44. (Đại học khối D 2005) 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có: 3 (c + 3a).1.1 £ c + 3a + 1+ 1 = 1 (c + 3a + 2) 1+ x 3 + y 3 3 1 + x + y ³ 3 3 1.x3 .y3 = 3xy Û 3 3 3 3 ³ (1) xy xy 1 1é 3 ù Suy ra: 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a £ [ 4(a + b + c) + 6] £ ê 4. + 6ú = 3 1 + y 3 + z3 1+ z3 + x3 3 3ë 4 3 3 û ³ ³ Tương tự: (2); (3) 3 yz zx ì yz zx ïa + b + c = 1 4 Dấu "=" xảy ra Û í Ûa=b=c= 4 3 3 3 3 3 3 ïa + 3b = b + 3c = c + 3a=1 ³ 33 + + î Mặt khác xy yz zx xy yz zx · Cách 2: 3 3 3 3 3 a + 3b Þ x = a + 3b; b + 3c Þ y = b + 3c; 3 3 Đặt x = y= ³3 3 Þ + + (4) xy yz zx 3 c + 3a Þ z = c + 3a 3 z= Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm. 3 3 3 3 Þ x + y + z = 4(a + b + c) = 4. = 3. BĐT cần ch. minh Û x + y + z £ 3 Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức Û x = y = z = 1. 4 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) 3 Ta có: x + 1 + 1 ³ 3 x3 .1.1 = 3x; y + 1 + 1 ³ 3 3 y3 .1.1 = 3y; 3 3 4 x 3+4 =1+1+1+4 ³4 4 x x Ta có: 3 z + 1 + 1 ³ 3 z3 .1.1 = 3z 3 8 4 x x x 3+ 4 ³ 2 4 =2 4 Þ 3 3 3 Þ 9 ³ 3(x + y + z) (vì x + y + z = 3) 8 8 y y 3 + 4z ³ 2 4z 3+ 4 ³ 2 4 ; Vậy x + y + z £ 3 Tương tự: ì x 3 = y 3 = z3 = 1 ìa + 3b = b + 3c = c + 3a=1 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ³ 2 é 4x + 4y + 4z ù ³ 6 4x.4y.4z 38 8 8 8 Vậy ï ï ê ú ë û Dấu "=" xảy ra Û í Ûí 3 3 ïa+b+c= 4 ïa + b + c = 24 4x + y + z = 6 î 4 î ³6 1 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ûa=b=c= x3 4 xxx + + ³ 44 3 Ta có: 1+x=1+ 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) 333 3 Ta có: 0 £ x £ 1 Þ x ³ x 2 y3 y y y y 1 1 ³ 44 3 3 + + 1+ =1+ x y -y x £ Û x y £ +y x (1) 3x 3x 3x x 3x 4 4 2 1 1 1 1 36 33 æ 9ö 9 3 3 3 Theo BĐT Côsi ta có: y x + ³ yx2 + ³ 2 yx2 . = x y Þ x y - y x £ ³ 44 Þ ç 1+ ÷ ³ 164 3 + + 1+ =1+ 4 4 4 4 ç y÷ y y y y y y3 è ø ì ï0 £ y £ x £ 1 2 ìx = 1 x3 y3 36 y öæ 9ö æ Vậy: (1+ x ) ç 1+ ÷ ç 1+ ï ÷ ³ 256 4 3 . 3 3 . 3 = 256 ï Dấu "=" xảy ra Û í x = x2 Û x øç y÷ 1 í 3 3x y è è ø ïy = 4 ï 1 î ï yx2 = 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) 4 î · Cách 1: 38 39