Tuyển chọn các bài Max – Min (câu 10 điểm) trong 21 đề thi thử Tây Ninh 2015

Chia sẻ: Trần Minh Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

267
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển chọn các bài Max – Min (câu 10 điểm) trong 21 đề thi thử Tây Ninh 2015 tập hợp những bài tập về Max – Min được lọc ra trong các đề thi thử THPT Quốc gia tại Tây Ninh năm 2015. Tài liệu giúp cho các bạn có cơ sở để ôn tập và luyện thi một cách tốt hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển chọn các bài Max – Min (câu 10 điểm) trong 21 đề thi thử Tây Ninh 2015

hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán hoctoancapba.com xin giới thiệu Tuyển chọn các bài MAX – MIN (CÂU 10 ĐIỂM) trong 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015 Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn chuyên đề MAX – MIN trong kỳ thi THPT QG sắp tới. ĐỀ 1. THPT Quang Trung – Tây Ninh Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyz = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = log32 x + 1 + log32 y + 1 + log32 z + 1 r r r Trong mp(Oxy), gọi a = (log3 x;1),b = (log3 y;1),c = (log3 z;1) r r r r r và n = a + b + c � n = (1;3) r r r r r 0,5 Ta có: ar + b + c �a + b + c � log32 x + 1 + log32 y + 1 + log32 z + 1 � 12 + 32 rrr P 10 , dấu = xảy ra khi ba vecto a , b ,c cùng hướng và kết hợp điều kiện đề bài ta được x=y=z= 3 3 0,5 Vậy MinP= 10 khi x=y=z= 3 3 ĐỀ 2. THPT Trần Phú – Tây Ninh Cho ba số thực a, b, c thỏa: a �[ 0;1] , b �[ 0;2] ,c �[ 0;3] . Tìm giá trị lớn nhất của 2( 2ab + ac + bc ) 8− b b P= + + 1+ 2a + b + 3c b + c + b ( a + c ) + 8 12a + 3b 2 + 27c 2 + 8 2 Ta có: a �[ 0;1] , b �[ 0;2] ,c �[ 0;3] 0.25 ( 1− a ) ( b + c ) 0 b + c ab + ac �� 2a + b + 3c �2ab + bc + ac ( 2− b ) ( a + c ) 0 2a + 2c ab + bc Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2( 2ab + ac + bc ) 2( 2ab + ac + bc ) 1+ 2a + b + 3c 1+ 2ab + ac + bc Mặt khác b + c a ( b + c ) ( vì a [ 0;1] ) 0.25 8− b 8− b 8− b = b + c + b ( a + c ) + 8 a ( b + c ) + b ( a + c ) + 8 2ab + bc + ac + 8 Với mọi số thực x, y, z, ta có ( x − y) 0 2( x 2 + y 2 + z 2 ) �2xy + 2yz + 2xz + ( y − z ) + ( y − x ) �� 2 2 2 � 3( x 2 + y 2 + z 2 ) �( x + y + z ) 2 (�2a ) + b2 + ( 3c ) � � ( 2a + b + 3c ) = 2a + b + 3c �2ab + bc + ac 2 2 2 � 12a 2 + 3b 2 + 27c 2 = 3� � b b => 12a + 3b + 27c + 8 2ab + bc + ac + 8 2 2 2 Suy ra 0.25 2( 2ab + bc + ac ) 8− b b P + + 1+ 2ab + bc + ac 2ab + bc + ac + 8 2ab + bc + ac + 8 2( 2ab + bc + ac ) 8 P+ 1+ 2ab + bc + ac 2ab + bc + ac + 8 t [ 0;13] Đặt t = 2ab + bc + ac �� 2t 8 Xét hàm số f ( t ) = + ,t [ 0;13] t +1 t + 8 2 8 f '( t ) = − , f '( t ) = 0 � t = 6 ( t + 1) ( t + 8) 2 2 16 47 16 0.25 f ( 0) �1∀ ; f (=6= ) = ; f ( 13) f ( t) t [ 0;13] 7 21 7 16 2 16 16 Do đó: P . Khi a = 1; b = 2; c = thì P = . Vậy giá trị lớn nhất của P là 7 3 7 7 ĐỀ 3. THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh 5 Cho x là số thực thuộc đoạn [ − 1, ] . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 4 Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 5 − 4x − 1 + x P= 5 − 4x + 2 1 + x + 6 Đặt a = 5 − 4 x , b = 1 + x thì a 2 + 4b2 = 9, với a, b 0 π Do đó đặt α [0, ] với a=3sinα ,2b=3cosα . Khi đó: 2 0,25 3 a −b 3sin α − cosα 2sin α − cosα P= = 2 = a + 2b + 6 3sin α + 3cos α + 6 2sin α + 2 cos α + 4 2sin x − cos x π Xét hàm số f ( x ) = với x [0, ] 2sin x + 2 cos x + 4 2 0,25 6 + 4sin x + 8cos x π Ta có f ( x ) = > 0, ∀x [0, ] / (2sin x + 2 cos x + 4) 2 2 π Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [0, ] 2 0,25 1 π 1 Do đó: min fπ( x ) = f (0) = − 6 ; max fπ( x ) = f ( 2 ) = 3 x�[0, ] x�[0, ] 2 2 −1 5 Vậy min P = khi x = 6 4 0,25 1 Max P = khi x = −1 3 ĐỀ 4. THPT Lê Hồng Phong – Tây Ninh Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1 . a b c Chứng minh rằng: + + 1. 2+b a 2+c b 2+a c Giải a a a Ta có = , do 1 + a 2 a . 2 + b a 2 a + ba 1 + a + ba b b c c Tương tự: ; . 2+c b 1 + b + bc 2 + a c 1 + c + ac Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Cộng các vế của các BĐT trên ta có: a b c a b c + + + + 2+b a 2+c b 2+a c 1 + a + ba 1 + b + cb 1 + c + ac abc b cb = + + bc + bca + babc 1 + b + cb b + bc + bac 1 b cb = + + = 1 (điều phải chứng minh). bc + 1 + b 1 + b + cb b + bc + 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 ĐỀ 5. THPT Nguyễn Trung Trực – Tây Ninh Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 2 abc thức P = +3 3 + ab + bc + ca ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) Áp dụng Bất đẳng thức ( x + y + z ) 3 ( xy + yz + zx ) , ∀x, y , z 2 ﾡ ta có: ( ab + bc + ca ) 3abc ( a + b + c ) = 9abc > 0 2 � ab + bc + ca �3 abc 0,25 (1+ ) 3 Ta có: ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) 3 abc , ∀a, b, c > 0. Thật vậy: ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) = 1 + ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) + abc ( ) 3 1 + 3 3 abc + 3 3 ( abc ) + abc = 1 + 3 abc 2 3 2 abc Khi đó P + = Q ( 1) ( 3 1 + abc ) 1 + 3 abc 0,25 3 �a + b + c � Đặt 6 abc = t . Vì a, b, c > 0 nên 0 < abc � �= 1 � 3 � 2 t2 0,25 Xét hàm số Q = + , t ( 0;1] 3( 1 + t 3 ) 1 + t 2 Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2t ( t − 1) ( t 5 − 1) � Q '( t ) = �0, ∀t �( 0;1] (1+ t ) (1+ t ) 3 2 2 2 5 Do hàm số đồng biến trên ( 0;1] nên Q = Q ( t ) Q ( 1) = ( 2 ) 6 5 Từ (1) và (2) suy ra P 6 5 Vậy max P = , đạt được khi và chỉ khi: a = b = c = 1 . 0,25 6 ĐỀ 6. THPT Lý Thường Kiệt – Tây Ninh Cho 3 số thực x, y, z khác 0 thỏa mãn: x + y + z = 5 và x. y.z = 1 .Tìm giá trị lớn nhất 1 1 1 của biểu thức: P = + + . x y z 1 1 1 1 y+z 1 P= + + = + = + x( 5 − x) x y z x yz x 4 Ta có: ( y +z�� ) −4� ( 5 −�� x) + 2 2 yz >�� x 0 3 2 2 x 4 x 3 2 2 x 0,25 1 1 Xét hàm số: f ( x ) = + x ( 5 − x ) � f ' ( x ) = − + 5 − 2x x x2 Với: x +0�� 3 −� 2 2> x 4 x 3 2 2 1 f ' ( x) = 0 � x = �x = 1 − 2 �x = 1 + 2 2 0,25 Lập bảng biến thiên đúng Tính được: ( ) ( ) f 1− 2 = f 3 + 2 2 =1− 4 2 f (1+ 2 ) = f ( 3 − 2 2 ) = 1+ 4 2 0,25 Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 + 4 2 đạt tại: x = y = 1 + 2, z = 3 − 2 2 hay x = z = 1 + 2, y = 3 − 2 2 hoặc x = y = 3 − 2 2, z = 1 + 2 hay x = z = 3 − 2 2, y = 1 + 2 0,25 ĐỀ 7. THPT Tân Châu – Tây Ninh ĐỀ 8. THPT Lê Duẫn – Tây Ninh Cho x, ,y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 2 3 P= − x + xy + 3 xyz x+ y+z 1 1 Ta có x + xy + 3 xyz = x + 2 x.8 y + 3 2 x.8 y.32 z 4 8 0.25 2 x + 8 y 2 x + 8 y + 32 z 32 4 x+ + = ( x + y + z) = ( x + y + z) 8 24 24 3 3 2 Đặt t − = x� +y + z=; t 0 P f ( t) 0.25 2t 2 3t 3 1 f ( t) = − + ; f ( t) = 0 � t =1 0.25 t3 t2 3 Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được Pmin = − tại t=1 2 16 x= x + y + z =1 21 0.25 � � 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi �2 x = 8 y � �y = �2 x = 32 z � 21 1 z= 21 Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐỀ 9. THPT Hoàng Văn Thụ Tây Ninh Cho a, b, c không âm và a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + ca + 5a + 5b + 5c + 4 Cho a, b, c không âm và a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 điểm P = ab + bc + ca + 5a + 5b + 5c + 4 Ta có 3 ( a + b + c ) 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) 2 + +3� ( a b c ) 0,25đ 2 9 + + � 3 a b c 3 Đặt t = a + b + c với t � � � 3; 3� 0,25đ ( a + b + c) − ( a 2 + b2 + c2 ) 2 Mà ab + bc + ca = t2 − 3 = 2 2 1 5 Nên P ( t ) = t 2 + 5t + 2 2 0,25đ P ' ( t ) = t + 5 > 0, ∀t � 3; 3� � � BBT t 3 3 P’(t) + 22 0,25đ P(t) 4+5 3 Vậy Pmax = 22 với t = 3 � a = b = c = 1 ĐỀ 10. THPT Trảng Bàng – Tây Ninh ́ ́ ực a, b, c thoa man Cho cac sô th ̉ ̃ a b c va ̀ a 2 b 2 c 2 5 . Chưng minh răng: ́ ̀ (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 4 Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Ta co: ́ (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 4 0,25 P (a b)(b c )(a c)(ab bc ca) 4 Do a b c nên Nêu ab+bc+ca
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán x 2 ab bc ca 2 a 2 a b b c b a 1 ́ ̉ Dâu "=" xay ra a c 2 c a 2 b 1 c 0 a2 b2 c2 5 a2 b2 c2 5 ĐỀ 11. THPT chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức yz zx xy P = + + x + 2 yz y + 2 zx z + 2 xy Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2 yz x x 0.25 = 1− 1− (1) x + 2 yz x + 2 yz x+ y+ z Tương tự ta có 2 zx y y = 1− 1− (2) y + 2 zx y + 2 zx x+ y+ z 2 xy z z = 1− 1− (3) z + 2 xy z + 2 xy x+ y+z 0.25 Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được 2 P �2 P 1 0.25 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z. Vậy Max P = 1 khi x = y = z. 0.25 ĐỀ 12. THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tây Ninh Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 a b c d Chứng minh rằng: + + + 2 1+ b2c 1+ c 2d 1+ d 2a 1+ a 2b Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: a ab2c ab 2c ab c ab(1+ c) ab abc = hoctoancapba.com a − a − Kho đ = a − ốc gia, đ thi THPT qu a −ề kiểm tra có đáp án, tài li =a− − (1) 1+b 2 c 1+ b 2c 2b c ề 2 4 4 ệ4u ôn thi đại học môn toán Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1 0,25 b bc d2 bc d2 bc d bc ( 1+ d ) bc bcd =b− b− =b− b− =b− − (2) 2 2 2 4 4 4 1+c d 1+ c d 2c d c cd 2a cd 2a cd a cd ( 1+ a ) cd cda =c− c− =c− c− =c− − (3) 1+d 2 a 1+ d 2a 2d a 2 4 4 4 d da2b da2b da b da ( 1+ b ) da dab =d− d− =d− d− =d− − (4) 2 2 2 4 4 4 1+a b 1+ a b 2a b Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: a b c d ab + bc + cd + da abc + bcd + cda + dab + + + 4− − 2 2 2 2 4 4 1+ b c 1+ c d 1+ d a 1+ a b 0,25 Mặt khác: 2 �a + c + b + d � ab + bc + cd + da = ( a + c ) ( b + d ) � � = 4 . � 2 � Dấu "=" xảy ra a+c = b+d 0,25 2 2 �a + b � �c + d � abc + bcd + cda + dab = ab ( c + d ) + cd ( b + a ) � �( c + d ) + � �( b + a ) �2 � �2 � ( a + b ) ( c + d ) �a +4 b + c +4d �= ( a + b ) ( c + d ) � � abc + bcd + cda + dab � � 2 �a + b + c + d � � abc + bcd + cda + dab �� = 4 . Dấu "=" xảy ra a = b = c = d = 1. � 2 � a b c d 4 4 Biên so Vậ ạy ta có: n lại: Thầy Vinh An Giang 2 + 2 + 2 + 2 4− − 1+ b c 1+ c d 1+ d a 1+ a b 4 4
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐỀ 13. THPT Nguyễn Trãi – Tây Ninh 5 Cho a,b là hai số thực dương thỏa 2a + b = . 4 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = + a 4b 2 1 2 1 2 1 Ta có : F = + = + 8a + + 4b − (8a + 4b) = + 8a + + 4b − 5 0.5 a 4b a 4b a 4b Bất đẳng thức Côsi cho : 2 + 8a 8 a 0.25 1 + 4b 2 4b Suy ra F 5 2 = 8a a 1 1 a= � = 4b � 2 MinF = 5 đạt khi �4b � 0.25 � � 1 5 b= 2a + b = 4 4 a, b > 0 ĐỀ 14. THPT Nguyễn Huệ Tây Ninh Cho x,y R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (x 3 + y3 ) − ( x2 + y 2 ) ( x − 1)( y − 1) t2 Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy (x + y)2 ta có xy 0,25 4 t 3 − t 2 − xy (3t − 2) t2 P= . Do 3t 2 > 0 và − xy − nên ta có xy − t + 1 4 t3 − t2 − t 2 (3t − 2) 0,25 4 t2 P = t2 t−2 − t +1 4 Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán t2 t 2 − 4t Xét hàm số f (t ) = ; f '(t ) = ; f’(t) = 0 t = 0 v t = 4. t−2 (t − 2) 2 t 2 4 + f’(t) 0 + 0,25 + + f(t) 8 x+ y=4 �x = 2 min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi � Do đó min P = (2; � � 0,25 �xy = 4 �y = 2 + ) ĐỀ 15. THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a c và ab + bc = 2c 2 . a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = + + . a−b b−c c−a a 1 a b b a 2c Theo giả thiết: 2a c nên ; ab + bc = 2c 2 � . + = 2 � = − 1 c 2 c c c c b a 1 b 4 Vì nên c 2 c 3 c 3 Đặt t = thì 0 < t b 4 b a c 1 2t 2 − t 1 1 2 7 P= + c + = 2 + + = 1− + a b b a 2t − t − 1 1 − t 2(1 − t ) 2t + 1 6(1 − t ) − −1 1− c c c c 2 7 � 3� Xét hàm số f (t ) = 1 − + , t 0; ￺ . Ta có: 2t + 1 6(1 − t ) � 4� � 3� � 3� f '(t ) > 0, ∀t 0; ￺ , do đó f (t ) đồng biến trên 0; ￺ � 4� � 4� Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 3 27 Do đó GTLN của hàm số đạt tại t = , suy ra max P = 4 5 ab + bc = 2c 2 Đẳng thức xảy ra khi � 8a = 3b = 4c , chẳng hạn chọn được 2a = c (a,b,c)=(3,8,6). ĐỀ 16. THPT Trần Quốc Đại – Tây Ninh Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: bc ca ab P= + + 3a + bc 3b + ca 3c + ab bc bc bc bc � 1 1 � Vì a + b + c = 3 ta có = = � + � 3a + bc a(a + b + c) + bc (a + b)(a + c) 2 �a + b a + c � 0,25 1 1 2 Vì theo BĐT CôSi: a + b + a + c , dấu đẳng thức xảy ra b = c ( a + b)(a + c) ca ca � 1 1 � ab ab � 1 1 � Tương tự � + � và � + � 3b + ca 2 �b + a b + c � 3c + ab 2 �c + a c + b � 0,25 bc + ca ab + bc ab + ca a + b + c 3 Suy ra P + + = = , 2( a + b) 2(c + a) 2(b + c) 2 2 0,25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = khi a = b = c = 1. 3 0,25 2 ĐỀ 17. THPT Nguyễn Chí Thanh – Tây Ninh Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 � 1� � 1� S =� 1 + x + �+ � 1+ y + � � x� � y� Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: 3 3 3 � 1 � �7 � �7 � 7 7� 1� 1 + x + �+ � �+ � � 3. . � � 1 + x + � (1) � x � �2 � �2 � 2 2� x� 3 3 3 � 1 � �7 � �7 � 7 7� 1� 1 + y + �+ � �+ � � 3. . � � 1 + y + � (2) 0,25 � y � �2 � �2 � 2 2� y� Cộng từng vế của (1), (2) ta có 3 3 3 2 � 1� � 1� 7 �7 �� 1 1� 1 � + x + + � �1 + y + �+ 3. � ��2 + x + y + + � � x� � y� 2 �2 �� x y� �1 1� 1 1 1 4 Mặt khác ta lại có ( x + y ) � + ��4 xy . =4� + � nên x y � � xy x y x+ y 3 3 3 2 � 1� � 1� 7 �7 �� 4 � 0,25 1 � + x + + � �1 + y + �+ 3. � ��2 + x + y + � � x� � y� 2 �2 �� x+ y� 3 2 7 �7 � 343 Theo giả thiết x = y = 4 nên S + �۳ 3. � �.7 S 2 �2 � 4 0,25 1 7 1+ x + = x 2 1 7 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 + y + y = 2 � x = y = 2 x=y x+ y =4 0,25 343 Vậy min S = 4 ĐỀ 18. THPT Bình Thạnh – Tây Ninh Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. x 2 (y + z) y 2 (z + x) z 2 (x + y) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = yz + zx + xy . x 2 x 2 y2 y2 z 2 z 2 0,25 Ta có : P = y + z + z + x + + x y (*) Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Nhận thấy : x2 + y2 – xy xy x, y R x 2 y2 Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0 hay + x + y x, y > 0 y x y2 z2 Tương tự, ta có : + y + z y, z > 0 z y 0,25 2 2 z x + z + x x, z > 0 x z Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được: 0,25 P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy, minP = 2. 0,25 3 Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐỀ 19. THPT Lộc Hưng – Tây Ninh Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x 2 y + xy 2 = x + y + 3xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu (1 + 2 xy ) 2 − 3 thức P = x 2 + y 2 + 2 xy x 2 y + xy 2 = x + y + 3xy + Ta có � xy ( x + y ) = x + y + 3xy (1) do x > 0, y > 0 nên x + y > 0 0.25 1 1 4 điểm (1) � x + y = + +3� + 3 � ( x + y ) 2 − 3( x + y ) − 4 �0 x y x+ y � [ ( x + y ) + 1] [ ( x + y ) − 4 ] �0 � x + y �4 1 3 3 1 (1) � 1 = + �1− = xy x + y x + y xy 1 3 Nên P = ( x + y ) 2 + 2 − = ( x + y )2 + 1 + xy x+ y 0.25 3 điểm +Đặt x + y = t (t �� 4) P = t 2 + + 1 = f (t ) t 3 2t 3 − 3 + Ta có f '(t ) = 2t − = > 0, ∀t > 4 Nên f(t) đồng biến trên t2 t2 71 [ 4; +�� ) P = f (t ) �f (4) = 4 71 Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng khi x = y = 2 4 0.5 điểm Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐỀ 20. THPT Châu Thành – Tây Ninh Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2 x + 3 y 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 xy + y + 5( x 2 + y 2 ) − 24 3 8( x + y ) − ( x 2 + y 2 + 3) . 2 �2 x + 2 + 3 y + 3 � Ta có 6( x + 1)( y + 1) = (2 x + 2)(3 y + 3) �� 36 x + y + xy �5 . � 2 � 0,25 Ta có 5( x 2 + y 2 ) �( 2 x + y ) � 5( x 2 + y 2 ) �2 x + y và 2 ( x + y − 3) 2 = x 2 + y 2 + 9 + 2 xy − 6 x − 6 y 0 � 2( x + y + xy + 3) �8( x + y ) − ( x 2 + y 2 + 3) Suy ra P 2( xy + x + y) − 24 3 2( x + y + xy + 3) Đặt t = x + y + xy , t ( 0;5] , P f (t ) = 2t − 24 3 2t + 6 24.2 3 (2t + 6) 2 − 8 Ta có f (t ) = 2 − / =2 < 0, ∀t ( 0;5] 3 3 (2t + 6) 2 3 (2t + 6) 2 0,25 Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng ( 0;5] . Suy ra min f (t ) = f (5) = 10 − 48 3 2 . x=2 V Vậy min P = 10 − 48 3 2, khi y =1 ĐỀ 21. THPT Trần Đại Nghĩa – Tây Ninh Xét các số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá trị 4 lớn nhất của biểu thức P=xy+yz+zx+ x+ y+z 1 0.25 (�x + y + z ) − ( x 2 + y 2 + z 2 ) � 2 : xy +yz +zx = � Ta coù 2 � ( x + y + z) 2 −3 = 2 ( x + y + z) 2 −3 4 Do ñoùP= + 2 x+ y+z Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Vì 0 xy +yz +zx x2 + y 2 + z 2 = 3 0.25 ( x + y + z) 2 −3 Neâ n0 3 2 + +0−�( x z) 2 y 3 6 + +3� ( x z) 2 y 9 Suy ra 3 x+ y+z 3 Ñaë t t =x+y+z, 3 t 3 0.25 t2 − 3 4 P= + 2 t t2 − 3 4 Xeù t f(t)= + vôù i 3 t 3 2 t 4 t3 − 4 f'(t)=t- 2 = 2 t t f ' ( t ) = 0 � t 3 = 4 � t = 3 4 (loaïi) 0.25 f ( ) 3 = 4 3 3 13 f ( 3) = 3 13 Neâ nf( t) khi 3 t 3 3 13 Do ñoùP 3 13 Khi x=y=z=1 thì P= 3 13 Do ñoùgiaùtròlôù n nhaá t cuû a P laø 3 Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang