Tuyển tập 300 bất đẳng thức hay từ các diễn đàn Toán học trên thế giới

Chia sẻ: Trần Văn Đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

390
lượt xem 63
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo "Tuyển tập 300 bất đẳng thức hay từ các diễn đàn Toán học trên thế giới" giúp các bạn ôn tập và hệ thống kiến thức về bất đẳng thức đạt hiệu quả, cũng như ứng dụng trong việc giải các bài toán bất đẳng thức thật tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập 300 bất đẳng thức hay từ các diễn đàn Toán học trên thế giới

Tuyển tập 300 Bất Đẳng Thức Hay T Các Di n Đàn Toán H c Trên Th Gi i Nguyễn Việt Anh Ngày 16 tháng 7 năm 2005 1
1. Posted by StRyKeR Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng : nn xn y + y n z + z n x ≤ (n + 1)n+1 2. Posted by manlio Cho x1 , x2 , . . . , xn là các sổ thực dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng : (x1 + x2 + . . . + xn + 1)2 ≥ 4(x21 + x22 + .... + x2n ) 3. Posted by manlio Cho x1 , x2 , . . . , xn là các số thực dương. Chứng minh rằng : 1 2 n 1 1 1 + + ... + ≤ + + ... + x1 x1 + x2 x1 + x2 + . . . + xn x1 x2 xn 4. Posted by hxtung Tìm hằng số k, k 0 tốt nhất sao cho v w x y z k≤ + + + + ≤ k0 v+w w+x x+y y+z z+v với mọi số thực v, w, x, y, z 5. Posted by pcalin Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng: r s r 1 1 1 1 1 1 (x + y + z) + + ≥ 1 + 1 + (x2 + y 2 + z 2 ) 2 + 2 + 2 x y z x y z 6. Posted by Mitzah Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi tam giác ABC bc cos A + ca cos B + ab cos C ≥ 2r a sin A + b sin B + c sin C 7. Posted by georg Chứng minh rằng 1 n−1 ≤ x2n + (1 − x2 )n ≤ 1 2 trong đó n > 1 2
8. Posted by Maverick Tam giác ABC thỏa mãn sin A sin B sin C = 13 . Chứng minh khi đó ta có : p3 + Sr + abc > 4R2 p 9. Posted by Lagrangia Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a + c = 2b và đặt ax + by + cz A= az + by + cx ay + bz + cx B= ax + bz + cy az + by + cx C= ay + bz + cx Chứng minh rằng max A, B, C ≥ 1 10. Posted by vineet Chứng minh bất đẳng thức sau cho a, b, c > 0 : (2a + b + c)2 (a + 2b + c)2 (a + b + 2c)2 + + ≤8 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 11. Posted by treegoner Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng: A B C √ √ √ tan + tan + tan ( coth A coth B + coth B coth C + coth C coth A) ≤ 3 2 2 2 12. Posted by DusT Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 2R E1 ≤ r E2 trong đó 1 1 1 E1 = + + sin A sin B sin C E2 = sin A + sin B + sin C 3
13. Posted by Reyes Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng s s s a3 b3 c3 + + ≤1 a3 + (b + c)3 b3 + (c + a)3 c3 + (a + b)3 14. Posted by Maverick √ 4 Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = abcd. Chứng minh rằng a + d2 c + a2 b + c2 d + b2 + + + ≥ 4(1 + E) b d a c 15. Posted by Alexander Khrabrov Cho 0 ≤ bk ≤ 1 với mọi k và a1 ≥ a2 ≥ . . . an ≥ an+1 = 0 Chứng minh rằng h P n i=1 bi i +1 n X X ak b k ≤ ak k=1 k=1 16. Posted by Lagrangia Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C 17. Posted by galois Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có bất đẳng thức A − B B − C C − A 3A 3B 3C cos + cos + cos ≥ sin + sin + sin 2 2 2 2 2 2 18. Posted by Valentin Vornicu Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 9. Chứng minh rằng 2(a + b + c) − abc ≤ 10 19. Posted by Michael Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 + + ≥ b 2 + 1 c 2 + 1 a2 + 1 2 4
20. Posted by hxtung Cho x1 , x2 , . . . , xn là các số thực nằm trong [0, 12 ]. Chứng minh rằng 1 1 1 n n −1 − 1 ... −1 ≥ −1 x1 x1 x1 x1 + x2 + . . . + xn 21. Posted by hxtung Cho a, b, c là các số thực và n là số tự nhiên. Chứng minh rằng 1 1 1 n + + ··· + 2 24. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực nằm trong [−1, 1]. Chứng minh rằng 1 1 + ≥2 (1 − x)(1 − y)(1 − z) (1 + x)(1 + y)(1 + z) 25. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng √ √ √ x + y + z ≥ xy + yz + zx 26. Posted by keira-khtn Chứng minh rằng 2x2 2y 2 2z 2 + + ≤1 2x2 + (y + z)2 2y 2 + (z + x)2 2z 2 + (x + y)2 5
27. Posted by georg Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng m a m b m c ≥ ra rb rc 28. Posted by alekk Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y ta có bất đẳng thức sau xy + y x > 1 29. Posted by billzhao Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C 30. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng √ √ √ 5(x + y + z) + 18 ≥ 8( xy + yz + zx) 31. Posted by Mitzah Chứng minh bất dẳng thức sau cho mọi số dương a, b, c a b c + + ≤1 a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 32. Posted by Lagrangia Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 > 0. Chứng minh rằng (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 )2 ≥ 4(x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x5 + x5 x1 ) 33. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 3(a + b + c) ≥ ab + bc + ca + 2 Chứng minh rằng q √ √ √ 3 3 a + bc b + ca c + ab 3 abc( a + b + c) + + ≥ 2 3 5 3 6
34. Posted by hxtung Với các số thực không âm a, b, c, d ta đặt S =a+b+c+d T = ab + ac + ad + bc + bd + cd R = abc + abd + acd + bcd H = abcd Chứng minh rằng R √ r r S T 3 4 ≥ ≥ ≥ H 4 6 4 35. Posted by Maverick Chứng minh trong mọi tam giác ta có bất đẳng thức a(hb + hc ) + b(hc + ha ) + c(ha + hb ) ≥ 12S 36. Posted by Lagrangia Cho a, b, c, d là các cạnh của một tứ giác lồi. Chứng minh rằng √ √ 4 3 S ≤ p + abcd 37. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a3 2 √ √ √ + + ≥ ( ab + bc + ca)2 c a b 3 38. Posted by hxtung Cho các số thực x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn và thỏa mãn (x1 )k + (x2 )k + · · · + (xn )k ≥ 0 với mọi số nguyên dương k. Đặt d = max |x1 |, . . . , |xn | Chứng minh rằng x1 = d và (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ) ≤ xn − dn với mọi số thực x ≥ d 7
39. Posted by hxtung Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 1 + 176abcd abc + bcd + cda + dab ≤ 27 40. Posted by keira-khtn Với x1 , x2 , . . . , xn và y1 , y2 , . . . , yn là các số thực dương. Chứng minh rằng X X min (xi xj , yi yj ) ≤ min (xi yj , xj yi ) 41. Posted by hxtung Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥ 6. Chứng minh rằng r r r √ 1 1 1 3 17 a2 + + b2 + + c2 + ≥ b+c c+a a+b 2 42. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức p p (a2 b + b2 c + c2 a)(ab2 + bc2 + ca2 ) ≥ abc + 3 (a3 + abc)(b3 + abc)(c3 + abc) 43. Posted by Myth Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng r √ √ q 3 x + y + 4 z ≥ 32 xyz 44. Posted by Maverick Cho a, b > 0.Đặt √ √ A = ( a + b)2 √3 √3 a + a2 b + ab2 + b B= 4 √ a + ab + b C= 3 Chứng minh rằng A≤B≤C 8
45. Posted by hxtung Cho x, y, z là cá số thực dương. Chứng minh rằng 3(x2 − x + 1)(y 2 − y + 1)(z 2 − z + 1) ≥ (xyz)2 + xyz + 1 46. Posted by hxtung Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi số thực a, b, c (a + b − c)2 (b + c − a)2 (c + a − b)2 ≥ (a2 + b2 − c2 )(b2 + c2 − a2 )(c2 + a2 − b2 ) 47. Posted by Lagrangia b≤B b≤C b≤ π b ≥ π . Chứng minh rằng Cho tam giác ABC thỏa mãn A 2 và B 3 mb ≥ ha 48. Posted by alekk Cho a, b, c là các số thực nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng a2 + b 2 + c 2 ≤ a2 b + b 2 c + c 2 a + 1 49. Posted by alekk Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng √ √ √ b+c √ √ b + c( a + b + a + c) ≥ + ab + ac 2 50. Posted by Arne Chứng minh bất đẳng thức π π π π cosec + cosec + · · · + cosec n−1 ≤ cosec n 2 4 2 2 1 luôn đúng với mọi số nguyên dương n. Trong đó cosec(x) = sin x với x 6= kπ 51. Posted by Lagrangia Cho a, b, c > 0 và n là số tự nhiên lớn hơn 2. Chứng minh rằng n−3 n−1 n n n a+b (a + b ) + c ≥ nabc 2 2 9
52. Posted by Maverick Cho các số thự dương x1 , x2 , . . . , xn . Chứng minh rằng x + x + · · · + x x1+x2+···+xn x1 x2 xn 1 2 n x1 x2 · · · xn ≥ n 53. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng a b c + + ≥a+b+c c a b 54. Posted by hxtung Cho dãy số x1 , x2 , . . . , xn thỏa mãn √ x1 + x2 + · · · + xk ≤ k với mọi số k nguyên dương nhỏ bằng n. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 x1 + x2 + · · · + xn ≥ 1 + + ··· + 4 2 n 55. Posted by Maverick Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng a b c 3 √ +√ +√ ≤ 1+a 2 1+b 2 1+c 2 2 56. Posted by Maverick Cho các số dương a1 , a2 , . . . , an và b1 , b2 , . . . , bn . Chứng minh rằng b1 +b2 +···+bn b1 b2 bn a1 + a2 + · · · + an a1 a2 an ≥ ··· b1 + b2 + · · · + bn b1 b2 bn 57. Posted by alekk Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x3 y3 z3 x+y+z 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ x +y y +z z +x 2 10
58. Posted by Cho các số a1 , a2 , . . . , an−1 > 0 thỏa mãn a1 + a2 + · · · + an = 1 và b1 , b2 , . . . , bn là các số thực. Chứng minh bất đẳng thức b22 b2 b21 + + · · · + n ≥ 2b1 (b2 + · · · + bn ) a1 an−1 59. Posted by manlio Chứng minh rằng với các số thực dương a1 , a2 , . . . , an ta có bất đẳng thức a21 a22 an1 1+ 1+ ··· 1 + ≥ (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) a2 a3 a1 60. Posted by Moubinool Chứng minh rằng a3 b 3 c 3 (a + b + c)3 + + ≥ x y z 3(x + y + z) với mọi số thực dương a, b, c, x, y, z 61. Posted by cezar lupu Cho hàm số f : R → R thỏa mãn f (x) + f (y) ≤ 2 − |x − y| với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng f (x) ≤ 1 với mọi số thực x. 62. Posted by hxtung Cho x1 , x2 , . . . , xn là các số thực nằm trong khoảng 0, π2 sao cho tan x1 + tan x2 + · · · + tan xn ≤ n Chứng minh rằng 1 sin x1 sin x2 · · · sin xn ≤ √ 2n 63. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2 18 3 + 3 + 3 ≥ 3 c a b a + b3 + c 3 11
64. Posted by Maverick Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0. Chứng minh rằng a2 − b 2 b 2 − c 2 c 2 − a2 + + ≥ 3a − 4b + c c a b 65. Posted by Maverick Cho x, y, z ≥ 1. Chứng minh rằng 2 +2yz 2 +2zx 2 +2xy xx yy zz ≥ (xyz)xy+yz+zx 66. Posted by Maverick Cho các số thực a1 , a2 , · · · , an nằm trong khoảng 0, 21 và thỏa a1 + a2 + · · · + an = 1 Chứng minh rằng 1 1 1 −1 − 1 ··· − 1 ≥ (n2 − 1)n a1 a2 an 67. Posted by hxtung Chứng minh rằng với mọi số thực dương a1 , a2 , · · · , an ta có bất đẳng thức a1 a2 an n + + ··· + > a2 + a3 a3 + a4 a1 + a2 4 68. Posted by Maverick Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng a3 b3 c3 d3 1 + + + ≥ b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c 3 69. Posted by hxtung Cho tam giác ABC. Đặt r a+b+c x= ,y = R 2R Chứng minh rằng √ √ √ y≥ x( 6 + 2 − x) 12
70. Posted by Maverick Cho x, y, z > 0 thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng x3 y3 z3 3 + + ≥ (1 + y)(1 + z) (1 + z)(1 + x) (1 + x)(1 + y) 4 71. Posted by Arne Cho a1 , a2 , a3 , a4 , a5 là các số thực có tổng bình phương bằng 1. Chứng minh rằng 1 min (ai − aj ) ≤ 10 72. Posted by Lagrangia Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng ! 1 1 1 1 1 1 A + B + ≥2 + + sin 2 sin 2 sin C2 cos A−B 4 cos B−C 4 cos C−A 4 73. Posted by Maverick Cho các số thực dương x1 , x2 , . . . , xn . Chứng minh rằng ( xi )4 X P 2 2 xi xj (xi + xj ) ≤ 8 74. Posted by hxtung Chứng minh rằng 2 2 2 a1 + a2 a1 + a2 + · · · + an a1 + + ··· + ≤ 4(a21 + a22 + · · · + a2n ) 2 n 75. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a b c 2 2 2 + + ≥ + − bc ca ab a b c 76. Posted byorl Cho k, n là các số nguyên dương thỏa 1 < k ≤ n và x1 , x2 , . . . , xk là k số nguyên dương có tổng bằng tích 13
(a) Chứng minh rằng xn−1 1 + xn−1 2 + · · · + xnn−1 ≥ kn (b) Điều kiện cần và đủ nào của các sốk, n và x1 , x2 , . . . , xn để xảy ra đẳng thức x1n−1 + x2n−1 + · · · + xnn−1 = kn 77. Posted by hxtung Cho các số a1 , a2 , . . . , an và b1 , b2 , . . . , bn là các số thực dương nằm trong khoảng [1001, 2002]. Giả sử rằng a21 + a22 + · · · + a2n = b21 + b22 + · · · + b2n Chứng minh rằng a31 a32 a3 17 + + · · · + n ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n ) b1 b2 bn 10 78. Posted by Maverick Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x y z p + p + p ≤1 x+ (x + y)(x + z) y+ y + x)(y + z) x+ (z + x)(z + y) 79. Posted by Charlie Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + ac + ad + bc + bd + cd = 6. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + 2abcd ≥ 6 80. Posted by Charlie Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng 9(a2 + bc)(b2 + ca)(c2 + ab) ≤ 8(a3 + b3 + c3 )2 81. Posted by hxtung Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng (a) A B C 4 A B C sin + sin + sin ≥ sin 1 + sin sin sin 2 2 2 3 2 2 2 (b) √ A B C 4 3 A B C cos + cos + cos ≥ cos 1 + sin sin sin 2 2 2 3 2 2 2 14
82. Posted by orl Dãy số an được định nghĩa như sau ? a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1 ? an+2 + an+1 = 2(an+1 + an ) (a) Chứng minh rằng tất cả các phần tử của dãy đều là số chính phương (b) Tìm công thức tường minh cho dãy 83. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 2(a + b) 6(b + c) 3(c + a) + + 3a + 6b + 9c 5a + 2b + 3c 2a + 8b + 6c 84. Posted by Maverick Cho a, b, c ≤ 1 và thỏa mãn 1 1 1 + + =2 a b c Chứng minh rằng √ √ √ √ a+b+c≥ a−1+ b−1+ c−1 85. Posted by Bottema Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 1. Chứng minh rằng 1 √ 3 a+b+c+ ≤3+ 9 abc 86. Posted by manlio √ Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn 3 3(d + 1) ≥ a + b + c. Chứng minh rằng (b + cd)2 (c + ad)2 (a + bd)2 + + ≥ abc a b c 87. Posted by bugzpodder Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng 4 yx2 + zy 2 + xz 2 ≤ 27 15
88. Posted by hxtung Chứng minh rằng 2 ≤ (1 − x2 )2 + (1 − y 2 )2 + (1 − z 2 )2 ≤ (1 + x)(1 + y)(1 + z) với các số không âm x, y, z có tổng bằng 1 89. Posted by Maverick Cho các số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng √ 2 2 2 2 2 4 3 2 x(1 − y )(1 − z ) + y(1 − z )(1 − x ) + z(1 − x )(1 − y ) ≤ 9 90. Posted by hxtung Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c 1 1 1 3 + + ≤ a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) 1 + abc) 91. Posted by Gil Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì y+z z+x x+y x y z + + ≥4 + + x y z y+z z+x x+y 92. Posted by hxtung Chứng minh rằng với các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + xyz = 4. Chứng minh rằng x + y + z ≥ xy + yz + zx 93. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a b c 2ab 2bc 2ca + + ≥ 2 + 2 + 2 b c a b + ca c + ab a + bc 94. Posted by Vialli Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + ≥a+b+c b+c c+a a+b 16
95. Posted by Maverick Xác định giá trị của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương x, y, z 2(x3 + y 3 + z 3 ) + 3(3k + 1)xyz ≥ (1 + k)(x + y + z)(xy + yz + zx) 96. Posted by Mitzah Chứng minh rằng với a, b, c ≤ 0 ta có 2 a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ≥ (ab + bc + ca)2 3 97. Posted by manlio Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + ≥ b(a + b) c(b + c) a(c + a) 2(a + b + c)2 98. Posted by manlio Cho a, b, c ≥ −1. Chứng minh rằng 1 + a2 1 + b2 1 + c2 + + ≥2 1 + b + c2 1 + c + a2 1 + a + b2 99. Posted by manlio Nếu a, b, c là các số thực dương hãy chứng minh a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab + 2 + 2 ≥3 b2 + c 2 c + a2 a + b2 100. Posted by dreammath Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng √ √ √ 3 2 ab a + b a + b + c 3(a + ab + abc) ≤ 8 + a· · a+b 2 3 101. Posted by Maverick Cho các số thực x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn và y1 ≤ y2 ≤ . . . ≤ yn . Giả sử rằng z1 , z2 , . . . , zn là một hoán vị của y1 , y2 , . . . , yn . Chứng minh rằng (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 ≤ (x1 − z1 )2 + (x2 − z2 )2 + · · · + (xn − zn )2 17
102. Posted by manlio Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng ab + bc + ca ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 8abc 103. Posted by manlio Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1 và n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 1 1 1 n n n ≥ (3n − 1)3 a b c 104. Posted by bugzpodder Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương và abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≤ (1 + a)(1 + b) (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) 2 105. Posted by Myth Cho a, b, c, A, B, C > 0 và a + A = b + B = c + C = k. Chứng minh rằng aB + bC + cA ≤ k 2 106. Posted by manlio Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 + 1 1 ≤ 1 1 a + b c + d a+c + b+d trong đó a, b, c, d > 0 107. Posted by manlio Cho ai (i = 1, 2, . . .) là các số thực dương. Gọi p, q, r, s là các số thực dương sao cho pr = qs. Chứng minh rằng 1 1 1 p + + ··· + (a1 + a2 + · · · + as )q ≥ np+q a1 a2 ar 108. Posted by manlio Cho các số thực a, b, c nằm trong khoảng 0, 21 và thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng p p p a(1 − 2a) + b(1 − 2b) > c(1 − 2c) 18
109. Posted by manlio Cho x, y, z là các số thực dương thỏa z = x + y. Chứng minh rằng (x2 + y 2 + z 2 )3 ≥ 54x2 y 2 z 2 110. Posted by manlio Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 1 xy + yz + zx ≤ + 3xyz 4 111. Posted by Maverick Cho các số thực dương a1 , a2 , . . . , an có tổng nhỏ bằng 1. Chứng minh rằng nn+1 a1 a2 · · · an (1 − a1 − a2 − ... − an ) ≤ (1 − a1 )(1 − a2 ) · · · (1 − an )(a1 + a2 + · · · + an ) 112. Posted by manlio Cho 0 < A1 < 1 và ak+1 = a2k với k = 1, 2, . . .. Chứng minh rằng 1 (a1 − a2 )a3 + (a2 − a3 )a4 + · · · + (an − an+1 )an+2 < 3 113. Posted by manlio Cho a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ a2n−1 ≥ 0 .Chứng minh rằng a21 − a22 + ... + a22n−1 ≥ (a1 − a2 + ... + a2n−1 )2 114. Posted by manlio √ Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 và thỏa abc = 2 2. Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8(a − 1)(b − 1)(c − 1) 115. Posted by manlio Cho ai , bi (i = 1, 2, . . .) là các số thực thỏa mãn a1 + a2 a1 + a2 + · · · + an a1 ≥ ≥ ··· ≥ 2 n b1 + b2 b1 + b2 + · · · + bn b1 ≥ ≥ ··· ≥ 2 n Chứng minh rằng n(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) ≥ (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) 19
116. Posted by manlio Chứng minh rằng với mọi số thực a1 , a2 , . . . , an ta có bất đẳng thức a1 + a2 + · · · + an n (1 − a1 )(1 − a2 ) · · · (1 − an ) + 1 + n a1 + a2 + · · · + an n ≥ (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) + 1 − n 117. Posted by darij grinberg Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức a+b b+c c+a a b c + + ≤ + + a+c b+a c+a b c a 118. Posted by pcalin Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng r r r 2a 2b 2c + + ≤3 a+b b+c c+a 119. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≤1 1+a+b 1+b+c 1+c+a 120. Posted by manlio Với ai , bi (i = 1, 2, . . . , n) là các số thực dương. Chứng minh rằng a1 b 1 a2 b 2 an b n (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) + + ··· + ≤ a1 + b 1 a2 + b 2 an + b n a1 + a2 + · · · + an + b1 + b2 + · · · + bn 121. Posted by Maverick Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng (a2 + ab + b2 )(b2 + bc + c2 )(c2 + ca + a2 ) ≥ (ab + bc + ca)3 122. Posted by Arne Cho a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an . Chứng minh rằng a1 a42 + a2 a43 + · · · + an a41 ≥ a2 a41 + a3 a42 + · · · + a1 a4n 20