Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 1
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
42
2y x x
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
.
b) Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
ym
cắt đồ thị
C
tại 4 điểm phân biệt
, , ,E F M N
. Tính tổng
các hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị
C
tại các điểm
, , ,E F M N
.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
1 cos2
2 cos . 1 cot
4 sin
x
xx
x




.
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tích phân
2
0
2 sin 3 2 cos
sin cos
x x x x
I dx
x x x

.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm số phức
z
thỏa mãn đẳng thức
. Hãy tìm tập hợp điểm
M
biểu diễn cho số phức
w
, biết
w 1 3zi
.
b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau. Tính số phần tử của S. từ tập hợp S chọn
ngẫu nhiên một số, tính xác suất để trong 5 chữ số của nó có đúng 2 chữ số lẻ.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
4
33
:3 1 1
y
xz
d


và mặt
phẳng
( ) : 2 2 9 0x y z
. Viết phương trình đường thẳng
nằm trong
;
qua giao điểm
A
của
d
và
và góc giữa
và
Ox
bằng
0
45
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
. Tam giác
SAC
cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng
SBC
và đáy bằng
0
60
. Biết
2;SA a BC a
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
và
BC
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
B
. Đường
chéo
AC
nằm trên đường thẳng
: 4 7 28 0d x y
. Đỉnh
B
thuộc đường thẳng
: 5 0xy
, đỉnh
A
có tọa độ nguyên. Tìm tọa độ
,,A B C
biết
2;5D
và
2BC AD
.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
2
2 3 2
2
5 2 7 1
3 3 1
x y y
x y x xy x
xy
,xy
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực
,,a b c
thỏa mãn
0; 1 0; 1 0;2 1 0a b c a b c
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
1 1 2 1
a b c
Pa b c
.
..................HẾT..................
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 1
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.a.
- Tập xác đinh:
DR
.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
3
' 4 4y x x
;
0
'0 1
x
yx



.
' 0, 1;0 1;yx
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
1;0
và
1; 
.
' 0, ; 1 0;1yx
, suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
;1
và
0;1
.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0, 0
CD
xy
. Hàm số đạt cực tiểu tại
1, 1
CT
xy
.
+ Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
 
.
+ Bảng biến thiên
x

1
0
1

'y
0
0
0
y

1
0
1

- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
2;0 , 0;0 , 2;0
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
0;0
.
+ Đồ thị hàm số nhận trục
Oy
làm trục đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm
2;8 , 2;8
.
- Vẽ đồ thị:
Câu 1.b. Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng
ym
cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi
10m
.
Hoành độ 4 giao điểm là nghiệm của phương trình
4 2 4 2
2 2 0x x m x x m
(*).
Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình
220t t m
có 2 nghiệm dương phân biệt
12
0tt
.
Khi đó 4 nghiệm của pt (*) là
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;x t x t x t x t
.
Như vậy ta có
1 4 2 3
;x x x x
. Ta có
3
' 4 4y x x
.
Suy ra tổng hệ số góc của 4 tiếp tuyến tại 4 giao điểm với đồ thị
C
là:
3 3 3 3
1 2 3 4 1 1 1 2 1 3 1 4
4 4 4 4 4 4 4 4k k k k x x x x x x x x
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 3
3 3 3 3
1 4 2 3 1 4 2 3
4 4 4 4 0x x x x x x x x
.
Nhận xét: Đây là dạng toán biện luận số giao điểm của một đường thẳng
d
với một hàm số
C
cho
trước. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu của đồ thị xét các trường hợp:
+
d
cắt
C
tại
1nn
điểm phân biệt.
+
d
và
C
không có điểm chung.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+Kiến thức cần nhớ: Điểm
,
QQ
Q x y
là tọa độ tiếp điểm của hàm số
y f x
. Phương trình tiếp tuyến
tại
Q
là
'Q Q Q
y f x x x y
, hệ số góc tiếp tuyến là
'Q
k f x
.
+ Tìm
m
để đường thẳng
ym
cắt
C
tại 4 điểm
, , ,E F M N
: Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng
ym
song song với trục
Ox
nên sẽ cắt
C
tại 4 điểm phân biệt khi
10m
.
+ Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến
2
tx
ta có
d
cắt
C
tại 4 điểm phân biệt nên phương trình
có hai nghiệm dương phân biệt. Tham số các nghiệm theo
t
tính được 4 hệ số góc tiếp tuyến tại 4 hoành
độ giao điểm ( đối xứng qua trục
Oy
) , từ đó tính được tổng hệ số góc.
Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta có thế làm như sau: Viết phương trình giao điểm
4 2 4 2
2 2 0x x m x x m
. Bài toán tương đương tìm
m
để phương trình
42
20x x m
có 4
nghiệm phân biệt.
Đổi biến
20tx
, ta tìm
m
để phương trình
220t t m
có 2 nghiệm
21
'0
00
0
t t S
P

.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
32
1 3 1y x m x x m
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm có hoành độ bằng 1 tạo 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Đáp số:
1, 3mm
.
b. Cho hàm số
332y x x
. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số để tiếp tuyến của hàm số tại M cắt
đồ thị tại điểm thứ hai là N thỏa mãn
6
MN
xx
(Thi thử lần 3-THPT Thái Hòa-Nghệ An).
Đáp số:
2;4 , 2;0MM
.
Câu 2. Điều kiện
;x k k
.
Phương trình tương đương
2
2cos cos
sin cos 1
sin sin
xx
xxxx
22
sin cos 2cos sin cos sin cos 2cos 1 0x x x x x x x x
sin cos 0
sin cos cos2 0 cos2 0
xx
x x x x

.
+ Với
sin cos 0 tan 1 4
x x x x k
.
+ Với
cos2 0 2 2 4 2
x x k x k
.
Phương trình có nghiệm:
;
42
x k k

.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 4
Nhận xét: Bài toán lượng giác cơ bản , ta chỉ cần sử dụng bến đổi các công thức hạ bậc , cosin của một
hiệu và phân tích nhân tử. Tuy nhiên cần hết sức lưu ý việc xem xet điều kiện xác định của phương trình
để tránh kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức cosin của một tổng , hiệu :
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
-Công thức hạ bậc:
2
1 cos2 2coscc
,
2
1 cos2 2sincc
-Công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác:
.
2
sin sin ;
2
xk
x k Z
xk
.
cos cos 2 ;x x k k Z 
.
;tanx tan x k k Z
.
cot cot ;x x k k Z
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
5
5cos 2 4sin 9
36
xx

. Đáp số:
2
3
xk
.
b. Giải phương trình
sin cos 2tan2 cos2 0
sin cos
xx xx
xx
. Đáp số:
2
xk
.
Câu 3.
22
00
2 sin 3 2 cos 3 cos
2
sin cos sin cos
x x x x xx
I dx dx
x x x x x x

 




2
2
00
sin cos '
23sin cos
x x x
x dx
x x x

2
0
3ln sin cos 3 ln ln1 3ln
22
x x x




.
Nhận xét: Bản chất của bài toán là tách tử của biểu thức dưới dấu tích phân theo mẫu và đạo hàm của
mẫu. Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta khó có thể sử dụng một trong hai phương pháp đổi biến số
hoặc tích phân từng phần.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Ta có
. g' 'f x g x x g x
dx f x dx dx
g x g x

.
Tổng quát :
' . 'f x g x h x g x h x g x
dx f x dx dx
g x g x

.
-Với các nguyên hàm cơ bản của
fx
, công thức nguyên hàm tổng quát
'ln
udu u C
u
. Thay cận ta
tính được
I
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tính tích phân
2
3
0
sin
sin cos
x
I dx
xx
. Đáp số:
1
2
I
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 5
b. Tính tích phân
1
1
ln
ex
x
xe
I dx
x e x
. Đáp số:
1
ln
e
e
Ie
.
Câu 4.a. Ta có
22
3 2 3 3 2 9a bi i a b
(1).
1
w 1 3 1 3 3
ax
z i x yi a bi i by


.
Thay vào (1) ta được
22
2 5 9x y M
thuộc
22
: 2 5 9C x y
.
Vậy tập hợp điểm
M
là đường
22
: 2 5 9C x y
.
Nhận xét: Đây là dạng toán toán tìm biếu diễn của số phức
w
theo số phức
z
thỏa mãn điều kiện nào
đó.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Mọi số phức có dạng
;,z a bi a b R
.
-Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của 2 số đó bằng nhau.
- Từ số phức
z
: Thay
z a bi
vào phương trình
3 2 3zi
. Tìm được mối quan hệ giữa phần thực
và phần ảo.
- Đặt
wx yi
, thay lại biểu thức mối quan hệ phần thực và ảo của
z
ta tìm được tập hợp điểm biểu
diễn.
-Các trường hợp biểu diễn cơ bản :
+Đưởng tròn:
22
2 2 2
; 2 2 0x a y b R x y ax by c
.
+Hình tròn:
22
22
; 2 2 0x a y b R x y ax by c
.
+Parapol:
2
y ax bx c
.
+Elipse:
2
2
22
1
y
x
ab

.
Bài toan kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho số phức
z
thỏa mãn
13
1
i
zi
. Tìm modul của số phức
wz iz
. Đáp số:
w2
.
b. Tìm số phức
z
thỏa mãn
13iz
là số thực và
2 5 1zi
. Đáp số:
7 21
2 6 ; 55
z i z i
.
Câu 4.b. Gọi
A
là biến cố số được chọn là số có 5 chữ số khác nhau và trong 5 chữ số của nó có đúng 2
số lẻ. Ta tìm số phần tử của
A
như sau: Gọi
y mnpqr A
, ta có:
+ Trường hợp 1: Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0:
Lấy thêm 2 số lẻ và 2 số chẵn có
22
54
.CC
cách;
Xếp 5 số được chọn vào các vị trí
, , , ,m n p q r
có 4.4! cách.
Suy ra trường hợp 1 có
22
54
.4.4! 5760CC
.
+ Trường hợp 2: Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt số 0:
Lấy thêm 2 số lẻ và 3 số chẵn có
23
54
.CC
cách;
Xếp 5 số được chọn vào các vị trí
, , , ,m n p q r
có 5! cách.
Suy ra trường hợp 2 có
23
54
.5! 4800CC
.
Vậy
5760 4800 10560A
. Do đó
10560 220
27216 567
PA
.
hoctoancapba.com