zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Ứng dụng biến phân trong kỹ thuật

Chia sẻ: ViTsunade2711 ViTsunade2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Báo xấu

32
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các bài toán kỹ thuật, ví dụ các bài toán của lý thuyết đàn hồi, để tìm các đại lượng trường như chuyển vị, biến dạng, ứng suất chúng ta cần phải giải các phương trình vi phân chủ đạo. Tuy nhiên, hình thức biểu diễn các phương trình chủ đạo này không phải là duy nhất. Thực tế, nhiều bài toán chúng ta có thể đưa về việc tìm cực tiểu tích phân của các phiếm hàm (hàm của các hàm).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng biến phân trong kỹ thuật

Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 ỨNG DỤNG BIẾN PHÂN TRONG KỸ THUẬT TS. Phạm Ngọc Tiến Khoa Xây dựng, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung Tóm tắt Trong các bài toán kỹ thuật, ví dụ các bài toán của lý thuyết đàn hồi, để tìm các đại lượng trường như chuyển vị, biến dạng, ứng suất chúng ta cần phải giải các phương trình vi phân chủ đạo. Tuy nhiên, hình thức biểu diễn các phương trình chủ đạo này không phải là duy nhất. Thực tế, nhiều bài toán chúng ta có thể đưa về việc tìm cực tiểu tích phân của các phiếm hàm (hàm của các hàm). Thủ tục toán học để xây dựng các phương trình chủ đạo theo hướng này gọi là tính toán biến phân. Tài liệu này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về phiếm hàm, tính toán biến phân cấp một của phiếm hàm và một số ứng dụng để xây dựng các phương trình chủ đạo cho các bài toán của lý thuyết đàn hồi. Từ khóa: phiếm hàm, biến phân cấp một, lý thuyết đàn hồi 1. Giới thiệu chung I   F ( x, y , u x , u y )dxdy Bất kỳ một đại lượng khi mà đại lượng S này nhận một giá trị cụ thể tương ứng với - Trường hợp có thêm các điều kiện phụ: b một vài hoặc nhiều hàm thì được gọi là I   F ( x, u, v, u ', v ')dx phiếm hàm (Functional) [1-2]. a , Ví dụ n với ( x, u, v)  constant 1 b I   1  ( u ') 2  2 I   u( xi )i - Trường hợp có sự biến đổi tại các cận tích a ; i 1 là b những phiếm hàm. I   F ( x, u, u ',...)dx Một số phiếm hàm được cho dưới dạng phân: a , ở đây a và b biểu thức của các tích phân: thay đổi. b Trong những biểu thức bên trên “I” I   F ( x, u, u ')dx - Trường hợp đơn giản: a đại diện cho một phiếm hàm và “F” là một - Trường hợp có chứa đạo hàm bậc cao: hàm dưới dấu tích phân của các biến độc lập b I   F ( x, u, u ', u '',..., u ( n ) )dx như x, y,… và các biến phụ thuộc như u, v, a u1, v1, u’1, u’1,… - Trường hợp có chứa nhiều hàm ẩn: Tính toán biến phân (Calculus of b ' ' ' I   F ( x, u1 , u2 ,..., un ; u , u ,..., u )dx 1 2 n Variation) liên quan đến việc tìm cực tiểu a - Trường hợp có chứa nhiều biến độc lập: hoặc cực đại của một phiếm hàm. Nhiều 9
Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 phương pháp tính toán biến phân đã được ở đây: u(x) là hàm liên tục và khả vi phát triển cách đây hơn 200 năm (Euler với các đạo hàm liên tục u’(x) và u’’(x) (liên (1701-1783), Lagrange (1736-1813),…) [3]. tục C2) trên đoạn [a,b] và thỏa mãn các điều Ngày nay, công cụ này vẫn tiếp tục được kiện biên (Hình 1): phát triển và xem là kỹ thuật quan trọng đối u(a )  ua với nhiều nhánh của kỹ thuật và vật lý.  u(b)  ub (2.2) 2. Biến phân cấp một của phiếm hàm Bây giờ chúng ta cần tìm trong số tất 2.1. Định nghĩa biến phân cấp một của cả các hàm u(x) thỏa mãn những điều kiện phiếm hàm đã cho sao cho tồn tại một hàm để phiếm Xét một phiếm hàm trong trường hợp hàm I trong (2.1) đạt cực trị. đơn giản nhất: b I   F ( x, u, u ')dx a (2.1) Hình 2.1: Minh họa các giá trị của hàm u(x) b Gọi ( x) là một hàm tùy ý, liên tục C2 J ( )   F ( x, u   , u '  ')dx a (2.4) và thỏa mãn các điều kiện biên: Nếuu( x) là hàm nghiệm đúng để (a)  (b)  0 (2.3) Khi đó, bất kỳ một hằng số  đủ bé phiếm hàm I đạt cực trị, khi đó J ( ) đạt giá u( x)  ( x) vẫn thỏa mãn trị cực trị của phiếm hàm I tương ứng với để sao cho hàm u( x) khi   0 . Nhưng để đạt được điều điều kiện biên (2.2) và vì vậy được thừa nhận như là một hàm ứng tuyển khả dĩ. này chúng ta phải có: Tiếp đến, tiến hành thay thế lần lượt dJ ( ) dJ ( )  0 u( x) bằng u( x)  ( x) và u '( x) bằng d d   0 (2.5) u '( x)   '( x) trong (2.1), chúng ta nhận Xem x , u   , u '  ' như là được một đại lượng khác J như là một hàm những biến độc lập của hàm dưới dấu tích của . phân F, chúng ta có thể đạo hàm (2.4) theo  dưới dạng: 10
Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 dJ ( ) b F ( x, u   , u '   ') x F ( x, u   , u '  ') (u   )     d a  x  (u   )  F ( x, u   , u '  ') (u '  ')   (u '  ')   dx  x  (u   )  (u '  ') 0  ' (Sử dụng các kết quả:  ;  ;  ) Do đó: dJ ( ) b  F ( x, u   , u '   ') F ( x, u   , u '  ')      '  dx d a  (u   ) (u '  ')  Từ điều kiện (2.5): dJ ( ) b  F ( x, u, u ') F ( x, u, u ')      '  dx  0 d   0 a  (u ) (u ')  Hay: b   F ( x, u, u ')  F a u u' ( x, u, u ') ' dx  0 (2.6) F ( x , u, u ') F ( x , u, u ') Fu  ; Fu '  (Ở đây:  (u )  (u ') ) Biến đổi tích phân thứ hai của (2.6): b b b b  dF ( x, u, u ')   Fu ' ( x, u, u ') ' dx   Fu ' ( x, u, u ')d   Fu ' ( x, u, u ') a     u '  dx a a a  dx b  F ( x, u, u ') a  0 Vì (a)  (b)  0 nên u ' b b  dF ( x, u, u ')  Fu ' ( x, u, u ') ' dx      u '   dx Do đó: a a  dx và (2.6) trở thành:  b dF ( x, u, u ')    Fu ( x, u, u ')  u '  dx  0 a  dx (2.7) Đến đây, chúng ta có thể sử dụng một cho mọi hàm ( x) , hàm mà thỏa mãn các bổ đề quan trọng (Dubois–Reymond lemma) điều kiện: ( x)  0 tại x = a và x = b, liên làm nền tảng cho kỹ thuật [4], đó là: tục (kể cả các đạo hàm có bậc cần thiết), khi Cho  ( x) là một hàm liên tục trong b đó:  ( x)  0 . đoạn [a,b]. Nếu   ( x ) ( x )dx  0 a đúng 11
Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 Bây giờ, dựa trên bổ đề này, biểu thức phần đầu tiên của chuỗi trong khai triển (2.7) dẫn tới phương trình được gọi là Taylor, ký hiệu là  F : ‘‘phương trình Euler-Lagrange’’ hoặc đơn giản gọi là ‘‘phương trình Euler’’. F F F  ( x, u, u ') u  ( x, u, u ') u '  Fu u  Fu ' u ' u u ' (2.9) dFu ' ( x , u , u ') Fu ( x , u , u ')   0, axb (Ở đây có sự tương tự đối với toán vi dx (2.8) F F dF (u, v )  du  dv Lưu ý: phân, đó là: u v ) u( x) cho trước, chúng ta 2.2. Một số tính chất của biến phân - Với hàm (a)  ( F1  F2 )   F1   F2 (2.10) định nghĩa lượng biến đổi của u( x) như là Chứng minh: sự thay đổi của ( x) và được ký hiệu bởi: (F1  F2 )  (F1  F1  F2  F2 )  (F1  F2 )   F1  F2  u  ( x) (b)  ( F1.F2 )  F1 F2  F2 F1 (2.11) Tương tự, chúng ta định nghĩa: Chứng minh:  u '   '( x ) (F1.F2) (F1 F1)(F2 F2) F1.F2  F1F2  F2F1  u ''   ''( x );...  F  F  F  F F - Tương ứng với sự thay đổi của u,  1 2 1 2 1 2 (c)  F2  F2 (2.12) phiếm hàm, ví dụ F ( x, u, u ') thay đổi một Chứng minh: lượng F  F1  F1   F1 F1 ( F1   F1 ) F2  F1 ( F2   F2 )     F  F ( x, u  , u '  ')  F ( x, u, u ')  F2  F2   F2 F2 F2 ( F2   F2 ) F2 F1  F1 F2 F2 F1  F1 F2 Bây giờ, chúng ta tiến hành khai triển   F22  F2 F2 F22 Taylor F ( x, u  , u '  ') trong lân cân F2 F2 ) (Bỏ qua lượng vô cùng bé của F ( x, u, u ') theo bậc của  và  ' : (d) Tính giao hoán của các toán tử vi phân và biến phân d  du  ( u)     dx  dx  hoặc ( u)'   u ' Do đó: (2.13) F  Fu ( x, u, u ')()  Fu' ( x, u, u ')( ') VCB Chứng minh: Từ đó, chúng ta định nghĩa biến d d d  du  ( u )  ( )     '   u '     phân cấp 1 của phiếm hàm F là những thành dx dx dx  dx  12
Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 Cũng vậy: Theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli,   u  phương trình vi phân chủ đạo của dầm chịu  x ( u )    x    ux uốn:     d2y   ( u )    u    u ,... EI  M ( x)  0  y  y  y dx 2 (3.1)   (2.14) ở đây : E là môđun đàn hồi, I là mômen (e) Tính giao hoán của các tích phân quán tính của mặt cắt ngang trong mặt xác định và biến phân phẳng uốn, L là chiều dài của dầm. b Điều kiện biên của bài toán: I   F ( x , u , u ') dx Cho a  y (0)  0 Ta có:   y ( L)  0 (3.2) b b  I    F ( x , u, u ') dx    F ( x , u , u ')dx Với bài toán hiện tại, M0 là giá trị tải a a (2.15) trọng cho trước và là một hằng số. Do đó Vì toán tử  không liên quan đến biến M ( x)  M 0 và (3.1) trở thành: x trong biểu thức tính tích phân nên toán tử EIy ''  M 0 (3.3)  có thể đưa vào trong của dấu tích phân. Nghiệm của phương trình (3.3): 3. Một số ứng dụng của biến phân M0 trong kỹ thuật y( x)  x( x  L) 2 EI (3.4) 3.1. Bài toán dầm đàn hồi chịu uốn - Bài toán cũng có thể được giải theo 3.1.1. Dầm đơn giản, chịu tác dụng của lý thuyết biến phân như sau: mômen tập trung ở hai đầu Năng lượng toàn phần (bỏ qua ảnh Xét một dầm đơn giản, chịu tác dụng hưởng của lực dọc và lực cắt (Lý thuyết dầm của mômen tập trung M0 tại hai đầu dầm Euler-Bernoulli)): như hình 3.1 [4]. 2 L  EIy '  I U W     M 0 y  dx 0  2  (3.5) Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng (bỏ qua ảnh hưởng của phần năng lượng do Hình 3.1: Dầm đàn hồi chịu tác dụng của từ, nhiệt, điện,…): mômen tập trung I 0 - Giải bài toán theo sức bền vật liệu: Hay 13
Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 L  EIy '2   L  M 0 y  dx   EIy '  y ' dx  M 0 y  0 - Giải bài toán theo sức bền vật liệu: 0  2  0 Theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, (3.6) phương trình vi phân chủ đạo của dầm chịu Đối với tích phân đầu tiên: uốn: L L  EIy '  y ' dx   EIy ' d ( y ) d2y 0 0 EI  M ( x)  0 L L dx 2 (3.11)  EIy '  y 0   EIy ''  ydx 0 ở đây: E là môđun đàn hồi, I là mômen Từ đó: L quán tính của mặt cắt ngang trong mặt L EIy '  y 0   0  EIy '' M 0   ydx  0 phẳng uốn, L là chiều dài của dầm. (3.7) Điều kiện biên của bài toán: Phương trình (3.7) tồn tại khi:  y (0)  0  y  0 tại x = 0 và x = L  (3.8)  y ( L)  0 (3.12) và Với bài toán hiện tại, q là giá trị tải EIy '' M 0  0, (0  x  L) (3.9) trọng cho trước và là một hằng số. Do đó (3.9) là phương trình Euler theo lý q M ( x)  ( Lx  x 2 ) thuyết tính toán biến phân và cũng chính là 2 và (3.11) trở thành: phương trình vi phân cân bằng của dầm q EIy ''  ( Lx  x 2 ) (Sức bền vật liệu). 2 (3.13) Giải phương trình (3.9), kết hợp điều Nghiệm của phương trình (3.13): kiện biên tại hai đầu dầm (3.8) (không tồn qx y( x)    x 3  2 Lx 2  L3  tại chuyển vị), ta được: 24 EI (3.14) M0 - Bài toán cũng có thể được giải theo y( x)  x ( x  L) 2 EI (3.10) lý thuyết biến phân như sau: Kết quả (3.4) và (3.10) trùng nhau. Năng lượng toàn phần (bỏ qua ảnh 3.1.2. Dầm đơn giản, chịu tác dụng của hưởng của lực dọc và lực cắt (Lý thuyết dầm tải phân bố đều Euler-Bernoulli): 2 Xét một dầm đơn giản, chịu tác dụng L  EIy ''  I U W     qy  dx của lực phân bố đều q như hình 3.2 [5]. 0  2  (3.15) Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng (bỏ qua ảnh hưởng của phần năng lượng do từ, nhiệt, điện,…): Hình 3.2: Dầm đàn hồi chịu tác dụng của I 0 tải trọng phân bố đều 14
Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 Hay:  EIy ''2 L  L  0  2  qy   dx  0  EIy '' y '' q y  dx  0 (3.16) Đối với tích phân đầu tiên: L L  EIy ''  y '' dx   EIy '' d ( y ') 0 0 L L  EIy ''  y ' 0   EIy '''  y ' dx 0 L L  EIy ''  y ' 0   EIy ''' d ( y ) Hình 3.3: Thanh chịu tải dọc trục 0 L L L - Lời giải bài toán theo phương pháp  EIy ''  y ' 0  EIy '''  y 0   EIy ( IV ) ydx 0 tích phân trực tiếp: Do đó, (3.16) trở thành: L Phương trình vi phân cân bằng cho bài L L EIy ''  y ' 0  EIy '''  y 0   0  EIy ( IV )  q   ydx  0 toán thanh như sau: (3.17) d 2u( x ) q E  Phương trình (3.17) tồn tại khi: dx 2 A (3.21) Tại x = 0 và x = L: Hay: EIy ''  0 hoặc y 0 (3.18) d 2u( x ) q 2  và EIy ( IV )  q  0, (0  x  L) dx EA (3.22) (3.19) Điều kiện biên của bài toán: (3.19) là phương trình Euler theo lý  x  0  u(0)  0  thuyết tính toán biến phân và cũng chính là  du  x  L  EA dx ( L)  P phương trình vi phân cân bằng của dầm (sức (3.23) bền vật liệu). Tích phân hai lần phương trình (3.22) Kết quả giải phương trình (3.19) với và dùng điều kiện biên (3.23), ta được: các điều kiện biên (3.18) về chuyển vị và q 2 q u( x )   x  Lx mômen tại các gối không tồn tại, ta được: 2 EA EA (3.24) qx - Lời giải bài toán theo phương pháp y 24 EI   x 3  2 Lx 2  L3  (3.20) biến phân: Kết quả (3.14) và (3.20) trùng nhau. Năng lượng toàn phần của thanh: 3.2. Bài toán thanh chịu tác dụng lực L  EAu ' 2  I U W     qu  dx dọc trục 0  2  Xét một thanh có mặt cắt ngang không (3.25) đổi A, sơ đồ liên kết và chịu lực dọc trục q như hình 3.3 [5]. 15
Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng hằng số như hình 3.4 [5]. Gọi T là lực kéo (bỏ qua ảnh hưởng của phần năng lượng do trong sợi dây, ta có: từ, nhiệt, điện,…): Năng lượng toàn phần của dây: - I 0 I U W (3.31) Hay Ở đây : U là năng lượng biến dạng 2 L  EAu '  L trong dây, được xác định    qu  dx    EAu '  u ' q u  dx  0 0  2  0  L  dy  2  L T  dy  2 (3.26)   U   T 1     1 dx     dx Đối với tích phân đầu tiên: 0   dx   0 2 dx   L L (3.32)  EAu '  u ' dx   EAu ' d ( u ) 0 0 Và W là công của ngoại lực, được tính L L  EAu '  u 0   EAu ''  udx W    w0 ydx L 0 Từ đó: 0 (3.33) L L Do đó (3.31) được viết lại: EAu '  u 0    EAu '' q   udx  0 0 L  T  dy 2  (3.27) I      w0 y dx  2  dx  0 Phương trình (3.27) tồn tại khi:  (3.34) Tại x = 0: u  0 (3.28) Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng: tại x = L: EAu '  0 (3.29) I 0 Hay và EAu ''  q  0 (3.30) 2  T dy  L dy dy       w0 y dx   T      w0 y dx  0 L (3.30) là phương trình Euler theo lý 0  2  dx   0   dx   dx   thuyết tính toán biến phân và cũng chính là (3.35) phương trình vi phân cân bằng của thanh Đối với tích phân đầu tiên của (3.35): (sức bền vật liệu). L  dy   dy  L  dy   T      dx   T   d ( y )  Lời giải (3.30) hoàn toàn giống (3.22). 0  dx   dx  0  dx  L 3.3. Bài toán dây chịu tác dụng lực  dy  2 L d y  T    y   T  2   ydx phân bố ngang đều  dx  0 0  dx  Do đó, (3.35) trở thành: 2 L  dy  L d y L T    y   T  2   ydx   w0 ydx  0  dx  0 0  dx  0 Hay Hình 3.4: Dây chịu kéo bởi lực ngang phân bố đều L2  dy  L  d y   Cho một sợi dây có chiều dài L, được T    y   T  2   w0   ydx  0  dx  0 0   dx   cố định ở hai đầu, trên dây chịu tác dụng của tải trọng ngang đồng phẳng w0 bằng (3.36) 16
Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 Phương trình (3.36) tồn tại khi: 4. Kết luận Tại x = 0 và x = L: Tính toán biến phân là một trong y 0 (3.37) những ứng dụng rất phổ biến trong việc thiết lập các phương trình chủ đạo cho  d2y  T  2   w0  0 các bài toán giá trị biên. Từ các phương và  dx  (3.38) trình chủ đạo này chúng ta có thể tiến (3.38) là phương trình Euler theo lý hành tìm nghiệm giải tích cho các bài thuyết tính toán biến phân và cũng chính là toán hoặc các lời giải xấp xỉ. Do đó, ứng phương trình vi phân cân bằng của dây. dụng của tính toán biến phân trong việc Lời giải giải tích phương trình (3.38): giải quyết các bài toán kỹ thuật là rất w0 x quan trọng và hữu ích. y L  x 2T (3.39) TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. J. N. Reddy (1993), An introduction to the finite element method, McGraw-Hill, Inc. 2. E. Ventsel and T. Krauthammer (2001), Thin Plates and Shells (Theory, Analysis, and Applications), Marcel Dekker, Inc. 3. Abdusamad A. Salih (2004), Finite element methods in engineering, Lecture notes, Department of Aerospace Engineering Indian Institute of Space Science and Technology, India. 4. E. Miersemann (2012), Calculus of variations, Lecture notes, Department of Mathematics Leipzig University. 5. T. Senjuntichai and T. Pothisi (2013), Finite element method for civil engineers, Lecture notes - Chulalongkorn University. 17

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.