Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng của đa diện Newton vào việc nghiên cứu các bất đẳng thức Lojasiewicz và một số vấn đề của lý thuyết tối ưu

Luận án tiến sĩ này nghiên cứu về ứng dụng của đa diện Newton trong lý thuyết tối ưu và giải tích, đặc biệt là trong việc nghiên cứu các bất đẳng thức Lojasiewicz. Đa diện Newton đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết kỳ dị và hình học đại số, chứa đựng thông tin hình học, đại số, tổ hợp và giải tích của hệ phương trình đa thức. Luận án này tiếp cận các vấn đề bằng cách sử dụng đa diện Newton, đưa ra những kết quả mới trong lĩnh vực này.

Luận án này hướng đến việc nghiên cứu các vấn đề thời sự trong Tối ưu Đa thức và phát triển lý thuyết về bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục, một lĩnh vực đang được quan tâm và phát triển.

Luận án này tập trung vào việc ứng dụng đa diện Newton để giải quyết một số vấn đề trong tối ưu và giải tích, cụ thể là:

1. **Điều kiện đủ để đa thức là tổng bình phương:** Luận án đưa ra một điều kiện đủ để một đa thức không âm có thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của các đa thức khác, thông qua đa diện Newton của đa thức.
2. **Tính đặt chỉnh của bài toán tối ưu đa thức:** Luận án chứng minh rằng, trong không gian các đa thức có cùng một đa diện Newton cho trước, tồn tại một tập mở trù mật sao cho bài toán tìm infimum toàn cục của mỗi đa thức trong tập này là đặt chỉnh.
3. **Tiêu chuẩn của sự tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục:** Một tiêu chuẩn mới được đưa ra để xác định sự tồn tại của bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục. Tiêu chuẩn này đơn giản hóa việc kiểm tra trong trường hợp hai biến.
4. **Đánh giá số mũ Lojasiewicz:** Luận án cung cấp một đánh giá cho các số mũ Lojasiewicz thông qua bậc của đa thức và các số mũ khác dễ tính toán hơn. Trong trường hợp hai biến, số mũ Lojasiewicz được tính toán một cách tường minh.
5. **Dạng tường minh của bất đẳng thức H¨ormander:** Luận án cũng đưa ra một dạng tường minh của bất đẳng thức kiểu H¨ormander, trong đó các số mũ xuất hiện với những giá trị cụ thể.