Ứng dụng phần mềm Maple để giải một số bài toán cực trị hình học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần mềm Maple sẽ giúp học sinh có thể kiểm tra lại kết quả của các bài toán cực trị hình học một cách nhanh chóng hơn, chính xác hơn. Vì thế, trong bài viết "Ứng dụng phần mềm Maple để giải một số bài toán cực trị hình học", chúng tôi trình bày về việc ứng dụng phần mềm Maple để giải một số bài toán cực trị hình học. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng phần mềm Maple để giải một số bài toán cực trị hình học

Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học” THE APPLICATION OF MAPLE SOFTWARE TO SOLVE SOME GEOMETRIC EXTREME PROBLEMS Abstract: The application of supporting software in the teaching process is no longer a strange thing today. This is a tool to help learners approach the problem in many different directions. Specifically, for Maple software, it will help students to check the results of geometric extreme problems more quickly and accurately. Therefore, in the following article, we present about the application of Maple software to solve some geometric extreme problems. Keywords: Maple, distance, volume, geometric extreme. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Nguyễn Thị Mơ 1 Tóm tắt: Việc ứng dụng các phần mềm hỗ trợ vào quá trình dạy học không còn là xa lạ trong ngày nay. Đây là công cụ giúp người học tiếp cận với vấn đề theo nhiều hướng khác nhau. Cụ thể, đối với phần mềm Mape, nó sẽ giúp học sinh có thể kiểm tra lại kết quả của các bài toán cực trị hình học một cách nhanh chóng hơn, chính xác hơn. Vì thế, trong bài viết dưới đây, chúng tôi trình bày về việc ứng dụng phần mềm Maple để giải một số bài toán cực trị hình học. Từ khóa: Maple, khoảng cách, thể tích, cực trị hình học. 1. Mở đầu Maple là một phần mềm tính toán mạnh mẽ của công ty Waterloo Maple Inc, ra đời năm 1991 với nhiều tính năng hữu ích cho việc tính toán. Đây là một phần mềm cung cấp nhiều lệnh tính toán trực quan, hiện nay có rất nhiều trường Đại học trên thế giới sử dụng Maple để giảng dạy cũng như thực hiện các tính toán khoa học. Maple có các tính năng cơ bản sau: tính toán các biểu thức đại số; thực hiện được hầu hết các phép toán của Toán phổ thông và Toán đại học; minh học tốt các hình hình học với đồ thị tĩnh và động của các đường, mặt trong các hệ trục tọa độ khác nhau; là ngôn ngữ lập trình đơn giản mà mạnh mẽ; có thể xuất các nội dung thành các ngôn ngữ khác để chia sẻ [1]. Đối với các bài toán cực trị hình học, việc giải chúng thực chất là đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các đối tượng hình học như: khoảng cách, thể tích, diện 1 Sinh viên ngành Sư phạm Toán (lớp DH19TO), Khoa Sư phạm, Trường Đại học An Giang, ĐHQG-HCM; Email: ntmo_19to@student.agu.edu.vn. TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 169
Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học” tích,…Do đó, với một vài bài toán, ta sẽ lập hàm số cho đại lượng cần tìm cực trị, sau đó sẽ vận dụng phương pháp đại số để cho ra kết quả. Ở bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có thể sẽ gây ra khó khăn và dễ dẫn đến kết quả sai lầm cho học sinh. Vì thế, việc sử dụng phần mềm hỗ trợ tính toán là Maple sẽ giúp học sinh tự kiểm tra lại kết quả, rèn luyện cho các em tính tự học nhiều hơn. 2. Sử dụng phần mềm Maple để giải bài toán cực trị hình học Dựa trên các tính năng tính toán của phần mềm Maple, quá trình giải bài toán cực trị hình học được thực hiện như sau: Bước 1: Số hóa bài toán (nhập dữ liệu). Bước 2: Tính toán các giá trị cần thiết để suy ra hàm cần tìm cực trị. Bước 3: Dùng phần mềm đề tìm cực trị. Bước 4: Giải thích ý nghĩa hình học của kết quả. Bài toán 1: Cho E 1; 6 , F 3; 4. Tìm điểm M trên đường thẳng d : 2 x  y 1  0 sao cho:    a) ME  MF nhỏ nhất. b) ME  MF lớn nhất. Lời giải Hình 1. Hình minh họa bài toán 1. a) Ta có M  x; y  thuộc d thì 2 x  y 1  0  y  2 x 1. Suy ra    ME  MF  1 x;7  2 x  3  x; 3  2 x  2  2 x;4  4 x. Nên    ME  MF  2  2 x  4  4 x 2 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 170
Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học”  2 5x2  6 x  5  3  16 8 2  2 5 x     .      5 5 5 3 3 1 Dấu “=” xảy ra khi x  nên M  ; . 5  5 5     b) Đặt f  x; y   2 x  y 1 thì f 1;6  2  6 1  0; f 3; 4  6  4 1  0. Do đó E và F cùng phía đối với d . Ta có ME  MF  EF  16  100  116  2 29. Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng EF với đường thẳng d .   EF có VTCP FE  4;10 nên VTPT của EF là n  5; 2. EF : 5 x 1  2  y  6  0 hay 5 x  2 y  7  0. 2 x  y  1  0   x  9  Tọa độ M  x; y  thỏa hệ     . 5 x  2 y  7  0  y  19     Vậy M 9; 19 [2]. Lời giải với sự hỗ trợ của phần mềm Maple Vì bài toán thuộc dạng tọa độ trong mặt phẳng nên ta mở gói lệnh with (geometry): (Lưu ý: dấu “;” sau mỗi lệnh mang ý nghĩa Maple sẽ hiển thị kết quả ngay, còn dấu “:” sau mỗi lệnh mang ý nghĩa Maple vẫn tính toán bình thường nhưng không hiển thị kêt quả ngay.) Ta khai báo tọa độ các điểm E , F , M : point  E ,1,6 : point  F , 3; 4 : point  M , x, 2  x 1 : Trích hoành độ (HorizontalCoord) và tung độ (VerticalCoord) của các điểm: xE : HorizontalCoord(E): yE : VerticalCoord(E): xF : HorizontalCoord(F): yF : VerticalCoord(F): xM : HorizontalCoord(M): yM : VerticalCoord(M): [3]    Tính toán tọa độ của các vectơ ME và MF . TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 171
Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học” xME : xE – xM : yME : yE – yM : xMF : xF – xM : yMF : yF – yM :    a) ME  MF được tính theo công thức:  xME  xMF    yME  yMF  ; 2 2    Đặt con trỏ sau dấu “;”, nhấn phím Enter ta nhận được kết quả của ME  MF là: 2 5x2  6 x  5 Tới đây ta đặt f : 2 5 x 2  6 x  5 : Theo đề bài, ta sẽ đi tìm giá trị nhỏ nhất của f bằng cách nhập máy: minimize  f , x; Ta được kết quả là 8 5. 5 Giải phương trình để tìm x khi hàm đạt giá trị nhỏ nhất.  8  solve  f   5, x;     5  Kết quả là 3 5 8 3 Do đó giá trị nhỏ nhất của f là 5 khi x  . 5 5 Cuối cùng, ta tìm tung độ yM :  3  subs  x  , yM ;      5  Nhận được kết quả 1 5    8 3 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của ME  MF là 5 tại điểm M  ; . 5  5 5     TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 172
Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học” Sau khi đặt f : 2 5 x 2  6 x  5, ta có thể trực tiếp đi tìm cực trị của f bằng cách nhập máy: min(solve(diff(f,x) = 0)), simplify(eval(f,x = min(solve(diff(f,x) = 0)))); Tới đây ta giải tiếp như trên. b) Tính độ dài ME  MF |distance(M, E) - distance(M, F)|; Gán a cho biểu thức vừa tìm được. Tương tự ta tìm cực trị cho hàm a. max(solve(diff(a,x) = 0)), simplify(eval(a,x = max(solve(diff(a,x) = 0)))); Ta nhận được kết quả là: 9, 2 29 Do đó giá trị lớn nhất của a là 2 29 tại x  9. Cuối cùng ta tìm tung độ yM : subs  x  9, yM ; Kết quả là 19. Vậy giá trị lớn nhất của ME  MF là 2 29 tại điểm M 9; 19. Bài toán 2: (ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM – ĐỢT 1 1998) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA  h và SA   ABCD . M là điểm thay đổi trên cạnh CD. Đặt CM  x. a) Hạ SH  BM . Tính SH theo a, h và x. b) Xác định vị trí của M để thể tích tứ diện S . ABH đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Lời giải TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 173
Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học” Hình 2. Hình minh họa bài toán 2. Ta có tam giác BCM vuông tại C nên BM  BC 2  CM 2  a 2  x 2 . Hơn nữa, ta có: S ABCD  S AMD  S BCM  S ABM a a  x ax 1  a2    AH .BM 2 2 2 a a  x ax 1  a2    AH . x 2  a 2 2 2 2 2 a  AH  . x2  a2 Mặt khác SH  SA2  AH 2 . Suy ra a4 SH   h2 . x a 2 2 1 b) Thể tích hình chóp S . ABH là VS . ABH  SA. AH .BH . Trong đó: 6 SA  h; a2 AH  ; x2  a2 ax BH  AB 2  AH 2  . x  a2 2 1 a 3hx Suy ra V  x  VS . ABH  . 2 . 6 x  a2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 174
Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học” Ta có bảng biến thiên x 0 a V ' x   0 V  x a2h 12 0 Hình 3. Bảng biến thiên thể tích hình chóp. a2h Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy VS . ABH có giá trị lớn nhất là khi và chỉ khi 12 x  a hay M  D. Lời giải với sự hỗ trợ của phần mềm Maple Ta có tam giác BCM vuông tại C nên BM  BC 2  CM 2 . Gán các giá trị: AB : a : BC : a : CM : x : AD : a : MD : a - x : SA : h : BM : BC 2  CM 2 ; Hơn nữa: S ABCD  S AMD  S BCM  S ABM . Ta gán: S ABCD : BC 2 : 1 S AMD :  AD  MD : 2 1 S BCM :  BC  CM : 2 1 S ABM :  AH  BM : 2 a) Do S ABCD  S AMD  S BCM  S ABM nên ta lập lệnh để tìm và gán giá trị cho AH . AH : solve  S ABCD  S AMD  S BCM  S ABM , AH ; a2 Ta được kết quả AH  . a2  x2 Ta tính SH . SH : SA2  AH 2 ; TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 175
Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học” a4 Suy ra SH   h2 . a x 2 2 b) Ta tính thể tích VS . ABH và gán hàm g cho thể tích. BH : AB 2  AH 2 : 1  g : simplify   SA  AH  BH  ;    6   Sau đó ta tìm cực trị cho hàm g . z : simplify(diff(g,x)); (Ta gán z là đạo hàm của g với mục đích khi tiếp tục tính toán ta chỉ cần thao tác với z chứ không phải là biểu thức dài, hàm simplify là hàm rút gọn biểu thức.) solve(z,x) ; Nghiệm của hàm z là x  a, x  a. Nhưng ta đang tính toán trong độ dài nên loại x  a. Hơn nữa 0  x  a nên ta chỉ cần tính g 0 , g a . subs  x  0, g ; subs  x  a, g ; 1 2 Hàm g đạt giá trị lớn nhất là ha khi x  a. 12 Vậy thể tích VS . ABH đạt giá trị lớn nhất khi M  D. 3. Kết luận Khi ứng dụng phần mềm Maple để giải một số bài toán cực trị hình học, người dùng có thể nhận được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác mà không cần sử dụng quá nhiều kĩ thuật tính toán. Ngoài ra, đối với học sinh, việc các em tiếp cận với cách sử dụng phần mềm Maple thay vì phương pháp truyền thống để giải bài toán cực trị một phần giúp các em có thêm hứng thú đối với nội dung bài học, một phần giúp các em nâng cao khả năng tự học của mình bằng cách sử dụng phần mềm Maple để kiểm tra kết quả. Hơn nữa, đây là phương pháp có thể giúp các em tiếp cận bài toán theo nhiều hướng khác nhau, phát huy tính sáng tạo của các em. Chúng ta có thể thấy rằng, Maple sẽ là một công cụ hỗ trợ đắc lực và hiệu quả trong cả việc giảng dạy của giáo viên. Giáo viên có thể sử dụng phần mềm Maple trong quá trình giảng dạy đưa ra nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán cực trị. Từ đây, gợi sự hứng thú và yêu thích đối với toán của học sinh. Thêm vào đó, giáo viên có TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 176
Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học” sự hướng dẫn, bồi dưỡng xuyên suốt nhằm rèn luyện cho các em năng lực giải toán nâng cao. Tuy nhiên, đối với các bài toán cực trị hình học, không phải bài toán nào cũng có thể ứng dụng phần mềm Maple để giải quyết. Để sử dụng phần mềm Maple hỗ trợ giải các bài toán cực trị hình học thì người dùng cần chọn lọc ra các bài toán có thể lập thành hàm số, sau đó sử dụng các tính năng của Maple để tính toán. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Văn Bản. (2015). Tin học cho Toán học. Tài liệu giảng dạy Trường Đại học An Giang. [2] Lê Hoành Phò – Trần Nam Dũng. (2020). Tuyển chọn các chuyên đề toán phổ thông tập 1. Nhà xuất bản thế giới. [3] Nguyễn Trần Ngọc Trúc. (2015). Luận văn thạc sĩ: Phần mềm Toán học Maple và ứng dụng trong dạy và học hình học giải tích. Đại học Đà Nẵng. TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 177