Về M cơ sở mạnh trong không gian Banach

Chia sẻ: Nguyễn Văn Mon | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

46
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Về M cơ sở mạnh trong không gian Banach trình bày kết quả thu được trong bài báo dựa trên tính ổn định của M -cơ sở mạnh trong không gian Hilbert. Trước tiên, với hai dãy M -cơ sở mạnh cho trước, luôn tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T sao cho E I T  là một đơn cấu tuyến tính liên tục,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về M cơ sở mạnh trong không gian Banach

Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 53, Phần A (2017): 118-124 DOI:10.22144/ctu.jvn.2017.148 VỀ M-CƠ SỞ MẠNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trần Văn Sự Khoa Toán, Trường Đại học Quảng Nam Thông tin chung: Ngày nhận bài: 22/05/2017 Ngày nhận bài sửa: 01/08/2017 Ngày duyệt đăng: 29/11/2017 Title: On strong M-bases in Banach spaces ABSTRACT The aim of this paper is to study necessary and sufficient conditions such that a given system will become a strong M -base in Banach Spaces. The results obtained in this article were based on the stability of strong M bases in Hilbert Spaces. Firstly, for two strong M -bases given, there would exists a continuous linear operator, which is denoted by T , such that I E  T is a continuous linear injective. Under the suitable assumptions, I E  T will become a continuous linear isomorphism. Từ khóa: Độc lập tuyến tính, Không gian Banach, - cơ sở mạnh, Tính ổn định, Tính liên tục Secondly, a sufficient condition on the existences of a strong M -base in given Banach space is also provided as well. Finally, a conclusion to the obtained results is also proposed. Keywords: Linear independent, Banach spaces, On strong - bases, Stability, Continuity Bài báo này nhằm mục đích nghiên cứu một số điều kiện cần và đủ sao cho một hệ thống cho trước trở thành một M -cơ sở mạnh trong không gian Banach. Các kết quả thu được trong bài báo dựa trên tính ổn định của M -cơ sở mạnh trong không gian Hilbert. Trước tiên, với hai dãy M -cơ sở mạnh cho trước, luôn tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T sao cho I E  T là một đơn cấu tuyến tính liên tục. Dưới các giả thiết phù TÓM TẮT hợp, I E  T sẽ trở thành một đẳng cấu tuyến tính. Tiếp theo, một điều kiện đủ về sự tồn tại của một M -cơ sở mạnh trong không gian Banach cho trước cũng được dẫn tốt. Cuối cùng, một sự kết luận cho các kết quả thu được cũng được đề xuất. Trích dẫn: Trần Văn Sự, 2017. Về M-cơ sở mạnh trong không gian Banach. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ. 53a: 118-124. Ta có thể mô tả lại bài toán trên như sau: với GIỚI THIỆU điều kiện nào của dãy Trong không gian Banach có nhiều loại cơ sở khác nhau, chẳng hạn như cơ sở Cesaro, cơ sở Markusĕvic (hay M -cơ sở), cơ sở Schäuder, … Để nghiên cứu tính ổn định của các loại cơ sở này trong không gian Banach, Paley, Wiener và Bary (Paley et al., 1934) đã đề xuất bài toán sau: en n1,2,...,  yn n1,2,..., đủ gần dãy thì nó cũng là một cơ sở Schäuder của không gian Banach E? Bài toán này được quan tâm nghiên cứu nhiều bởi nhiều nhà toán học (Singer, 1970; Retherford et al., 1971; Singer, 1981; Sinha, 2000; Kasimov, 2002 ). Nhiều điều kiện ổn định trong trường hợp cơ sở Schäuder đưa ra hầu hết đều độc lập, tức là từ điều kiện này không thể sinh ra điều kiện khác Bài toán 1: Với điều kiện nào của một dãy cho trước đủ "gần" với một cơ sở Schäuder cho trước cũng là một cơ sở Schäuder trong không gian Banach? 118 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 53, Phần A (2017): 118-124 (Singer, 1970), và được chỉ ra bằng nhiều ví dụ cụ thể trong giải tích hàm. Được biết rằng, mỗi cơ sở Schäuder là một M -cơ sở mạnh (Singer, 1970; Singer, 1981). Điều này cho biết M -cơ sở mạnh là mạnh hơn cơ sở Schäuder. Do đó, các kết quả có trong cơ sở Schäuder không thể áp dụng trực tiếp cho M -cơ sở mạnh được. Vì vậy, việc nghiên cứu các tính chất liên quan đến sự ổn định của M -cơ sở mạnh là một việc làm có ý nghĩa và cần thiết đối với bài báo này. (ii) ei : i  I  (iii) vẹn vẹn), nếu gọi là M -cơ sở (hay cơ sở (ii) Nếu họ { f i }iI  E tồn tại và duy nhất * thì nó được gọi là họ hàm liên kết qua M - cơ sở {ei }iI . (iii) Một M -cơ sở {ei }iI với họ hàm liên kết { f i }iI được gọi là M -cơ sở mạnh khi mỗi x  E thì x   fi ( x) ei . iI 2.3 Ví dụ Xét nếu f i (e j )   i j với mọi i, j  I trong đó là Krockener delta. Hệ song trực giao không gian Hilbert    2 E  l2   x   xn n :  xn    với tích n 1   vô hướng sau:   x, y   xn yn n 1 được gọi là song trực giao i j Xét họ ei , fi iI x   xn n , y   yn n  E. ei i  E được xác định bởi 1, khi i  j ei ( j )   . 0, khi i  j được gọi là cực đại nếu nó không có mở rộng thực không cực đại Với mọi i   , xét hàm f i : E   được thì tồn tại e0  X , e0  ei , i  I , f 0  X , *  e0 , f 0  là song trực giao. toàn vẹn. Các định nghĩa dưới đây là cơ sở để nghiên cứu tính chất ổn định của M -cơ sở mạnh trong không gian Banach và hơn nữa, có thể tìm thấy trong các tài liệu (Singer, 1970; Retherford et al., 1971; Singer, 1981; Sinha, 2000; Kasimov, 2002 ). 2.1 Định nghĩa hệ là tắt cho hệ {ei , f i }iI là song trực giao đầy đủ và toàn với I là một tập chỉ số tùy ý. cho gọi (hay * * Cho E là một không gian Banach tùy ý, E là một không gian đối ngẫu tôpô của E và cho một f 0  fi  i  I  sao được gọi là E  toàn Markusĕvic) của E nếu tồn tại { f i }i  I  E sao * ei , fi iI ei , fi iI (i) Họ {ei }iI CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ sự nào, theo nghĩa, nếu nghĩa là Định nghĩa 2.1 là cơ sở cho các định nghĩa dưới đây và sẽ được phát biểu như sau: 2.2 Định nghĩa toán tử đồng nhất và A là toán tử tuyến tính có chuẩn bé hơn 1. ei , fi iI Hệ e  E , fi (e)  0, i  I  e  0. Phương pháp nghiên cứu chính trong bài báo này là sử dụng công cụ của giải tích hàm như công thức tính chuẩn, ánh xạ ngược, tính chất đẳng cấu của toán tử I E  A : E  E với I E : E  E là (i) Hệ là trù mật trong E , span{ei : i  I }  E. Mục đích chính của bài báo là nghiên cứu tính ổn định cho Bài toán 1 trên dựa vào một cơ sở tổng quát hơn đó là M -cơ sở hay cơ sở Markusĕvic. ei iI  E, được gọi là E -đầy đủ (hay gọi tắt là đầy đủ) nếu không gian con sinh bởi Trong bài báo, không gian Banach xác định trong trường số phức  luôn được ký hiệu bằng một ký tự E , tập chỉ số tùy ý được ký hiệu bằng ký tự I . họ ei , fi iI Hệ định nghĩa bởi: ei , fi iI fi ( x)  x, ei  x  E. Dễ thấy  fi i  E * có biểu diễn sau: 119 và với mỗi x  E , ta Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 53, Phần A (2017): 118-124 nhất một toán tử T : E  E tuyến tính, liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức sau:  x    x, ei  ei . i 1 Vậy hệ ei , fi i là  || f || T || Do đó, span ei : i    E . iI E  đầy đủ. Xét Nếu thêm f i ( x)  0 i  . Theo định nghĩa ta có i |||| ei  yi || .  yi iI (*) là một hệ độc lập tuyến tính mở rộng thì toán tử I E  T là một đơn cấu tuyến    tính liên tục. i 1 i 1 i 1 Ở đây x    x, ei  ei   fi ( x)ei   0.ei  0.  yi iI là một hệ độc lập tuyến tính mở rộng, nghĩa là: Do vậy, hệ ei , fi i là E *  toàn vẹn. Theo định nghĩa M  cơ sở mạnh, hệ ei , fi i a y i iI là i  ai  0 i  I . M  cơ sở mạnh của l2 . Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại chỉ số 2.4 Định nghĩa i0  I sao cho ánh xạ ngược gi0 1 liên tục. Xét Dãy {ei }i  E (ei  0,  i   ) được toán tử T từ E vào E được xác định bởi gọi là một cơ sở Schäuder của E nếu với mỗi x  E , tồn tại duy nhất các vô hướng {ai }i sao cho x  fi0 với I E : E  E là toán tử đồng nhất. Với mọi x  E , theo định nghĩa M -  ei i  fi i của E x   fi ( x) e i. iI với cơ sở trong Suy ra đó T x  x  gi0 1 ( f i0 ( x)) fi ( x)  xi x  E. Khi đó, hệ ei , fi i là M  cơ sở mạnh. fi0 ( x)   f i ( x) ii0   f i ( x) g i0 ( yi ) Dựa vào tính chất đủ "gần" được đưa ra theo nhiều hướng khác nhau trong phát biểu của Bài toán 1, các kết quả về điều kiện cần và đủ cho M -cơ sở mạnh trong không gian Banach phức E sẽ được cung cấp. Đầu tiên là một điều kiện cần có thể được phát biểu như sau: 3.1 Định lí iI Do đó, gi0 1o f i0 ( x)   f i ( x) yi . iI Hệ quả là trong không gian Banach E và ngoài ra, tồn tại ít tục.  || f iI i Giả sử thêm rằng chuỗi iI    gi0   fi ( x) yi  .  iI  Cho I là tập chỉ số tùy ý và giả sử rằng {ei , f i }iI và { yi , gi }iI là hai M -cơ sở mạnh nhất một chỉ số i0  I sao cho ánh xạ ngược . Mà CÁC KẾT QUẢ MỚI CỦA BÀI BÁO liên o cơ sở mạnh ta có i i Xét một họ liên kết Schäuder T  I E  gi0 1 a e . i 1  0, ai  K ( K  , ) Tx   fi ( x)(ei  yi ), x  E. gi0 1 iI số Vậy, toán tử T xác định như trên là duy nhất. Ta chứng minh T tuyến tính. Thật vậy, với mọi x, y  E ,  ,   K , do f i  E * i  I nên |||| ei  yi || hội tụ. Khi đó, tồn tại duy 120 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 53, Phần A (2017): 118-124  I E  T  ( x)   I E  T  ( y )  0   I E  T  ( x  y)  0 1  x  y   I E  T  (0) f i  x   y    f i ( x)   f i ( y ) i  I . Do đó, T  x   y     fi ( x)   fi ( y )(ei  yi )  x  y {0}  x=y. iI   f ( x)(e  y )    f ( y)(e  y ) i iI i i i iI i i Thêm một điều kiện cần về tính ổn định của M -cơ sở có thể được suy ra trực tiếp từ Định lí 3.1 bên trên được phát biểu như sau: 3.2 Định lí    fi ( x)(ei  yi )    fi ( y )(ei  yi ) iI iI   Tx   Ty. Ngoài ra, T 1 i0 g , fi0 IE  g Cho I là tập chỉ số tùy ý và giả sử rằng {ei , fi }iI và { yi , gi }iI là hai M -cơ sở mạnh trong không gian Banach E . Khi đó, nếu liên tục bởi vì các ánh xạ liên tục nên ánh xạ 1 i0 o fi0 : E  E cũng liên tục, và điều này kéo theo T cũng vậy. Mặt khác, ta có bất đẳng  || f iI thức Từ đây dễ dàng có được kết quả (*) trong phát biểu của Định lí 3.1. Cuối cùng, hiển nhiên rằng I E  T là một toán Chứng minh: Áp dụng Định lý 2.1, toán tử tuyến tính T : E  E tồn tại và duy nhất. Theo giả thiết ta có tử tuyến tính và liên tục. Ta còn phải chứng minh rằng nó là một đơn ánh là đủ. x  E thoả mãn (IE  T )x  0 , Thật vậy, với mỗi phần tử  || f iI hay tương đương với iI i i i |||| ei  yi ||  1 và kết quả thu được bởi công thức (*) trong Định lí 3.1. Suy ra  0. T  1. Vì họ { yi }iI độc lập tuyến tính mở rộng nên Do đó, toán tử I E  T là một đẳng cấu từ E suy ra f i ( x )  0,  i  I . Lại vì họ {xi , f i }iI toàn vẹn nên suy ra |||| ei  yi ||  1 và có ít nhất một chỉ số i0  I sao cho gi0 1 liên tục, thì có thể xác định duy nhất một toán tử T : E  E có tính chất tuyến tính, liên tục và I E  T là một đẳng cấu từ E vào E. || Tx ||   || fi ||| ei  yi || || x || với mọi x  E. iI  f ( x) y i vào E và điều này kết thúc chứng minh. x  0. Từ đây suy ra Cuối cùng là một điều kiện đủ dựa trên cơ sở là các điều kiện cần và có thể được phát biểu như sau: 3.3 Định lí ( I E  T ) 1 (0)  {0}. Áp dụng một kết quả được biết trong giáo trình Giải tích hàm (Nguyễn Văn Khuê và ctv., 2001), ta suy ra rằng toán tử I E  T Cho I là tập chỉ số tùy ý và giả sử rằng hệ {ei , fi }iI là một M -cơ sở mạnh của E . Cho { yi }iI là một họ trong E . Giả sử thêm rằng: là một đơn cấu tuyến tính và điều này kết thúc chứng minh 1 Chú ý từ điều kiện ( I E  T ) (0)  {0} , suy (i) Tồn tại một chỉ số i0  I sao cho ra I E  T : E  E là đơn ánh. Thật vậy, giả sử tục.  I E  T  ( x)   I E  T  ( y). (ii) Vì I E  T là toán tử tuyến tính nên  || f iI 121 i |||| ei  yi ||  1 . fi01 liên Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 53, Phần A (2017): 118-124 Khi đó tồn tại một họ { g i }iI  E * và một Vậy ánh xạ ngược gi0 1 liên tục từ E vào E. gi0 1 liên tục Cuối cùng, chứng minh hệ { yi , gi }iI là một M - và hệ { yi , gi }iI là một M -cơ sở mạnh trong cơ sở mạnh trong không gian Banach E . Dễ thấy rằng chỉ số i0  I sao cho ánh xạ ngược không gian Banach phức E .  IE  T  ej   y j Chứng minh: Theo chứng minh của Định lí 3.1 trên, xét một toán tử T từ E vào E được xác định bởi công thức sau: 1, khi i  j i, j  I , gi ( y j )  fi (e j )   . 0, khi i  j Tx   f i ( x)(ei  yi ) x  E. Thật vậy, theo định nghĩa ta có iI  I E  T   e j   e j   fi (e j )(ei  yi ) Áp dụng một tính chất quen thuộc trong giáo trình Giải tích hàm: với mọi phiếm hàm tuyến tính iI liên tục L  E , x  E ta luôn có: *  e j  (e j  y j ) L( x)  L x ,  y j j  I Từ đây ta suy ra được rằng và   Tx    f i ei  yi  x , x  E.  iI  gi ( y j )  fi o  I E  T   fi o  I E  T  Do đó,  fi o  I E  T  Tx  x x  E , x  0, 1 y  j 1 1 o  I E  T  ej    IE  T  ej   f i (e j ) i, j  I . bởi vì  || f iI j  I . i Theo giả thiết ban đầu ta có hệ {ei , f i }iI là |||| ei  yi ||  1 (xem giả thiết (ii)). một M -cơ sở mạnh của E . Theo Định nghĩa 2.2 (iii), với mỗi x  E , ta có Hệ quả là T  sup xE x0 Tx x x   f i ( x)ei .  1. iI Do đó, hệ {ei , f i }iI là E  đầy đủ. Thật vậy, Theo chứng minh của Định lí 3.2, toán tử I E  T là một đẳng cấu tuyến tính từ E vào E. Tiếp theo ta xét dãy hàm { g i }iI  E * khẳng định này tương đương với kiểm tra điều kiện sau: span{ei : i  I }  E. với gi   fi  o  I E  T  . Từ giả thiết (i) trên suy 1 span{ei : i  I }  E là hiển nhiên bởi vì ei  E i  I và E là không gian Bao hàm thức ra rằng tồn tại chỉ số i0  I sao cho ánh xạ ngược fi01 liên tục. Hơn nữa, ta có   gi0 1     I f i0 E  o tuyến  IE  T  T    IE  T  o 1  f  i0 1 1 hàm thức ngược x   fi ( x)ei  span{ei : i  I }. i0 o Bao lại span{ei : i  I }  E có được là do với mỗi x  E , fi ( x)   i  I kéo theo 1  f  1 1 tính. iI . 122