Xây dựng ảnh ngược của biến đổi V-line từ các dữ liệu đo rời rạc

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết nghiên cứu về phép biến đổi V-line, đó là tích phân của một hàm số trên các đường V-line có đỉnh thuộc một đường tròn cố định và trục đối xứng đi qua gốc tọa độ. Chúng tôi giới thiệu một công thức ảnh ngược cho phép biến đổi này, đặc biệt công thức được xây dựng chỉ từ các giá trị đo rời rạc.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xây dựng ảnh ngược của biến đổi V-line từ các dữ liệu đo rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 75 (03/2021) No. 75 (03/2021) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/ XÂY DỰNG ẢNH NGƯỢC CỦA BIẾN ĐỔI V-LINE TỪ CÁC DỮ LIỆU ĐO RỜI RẠC An inversion formula of the V-line transformation from discrete data sets ThS. Nguyễn Ngọc Duy Trường Phổ thông năng khiếu – Đại học Quốc gia TP.HCM TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về phép biến đổi V-line, đó là tích phân của một hàm số trên các đường V-line có đỉnh thuộc một đường tròn cố định và trục đối xứng đi qua gốc tọa độ. Chúng tôi giới thiệu một công thức ảnh ngược cho phép biến đổi này, đặc biệt công thức được xây dựng chỉ từ các giá trị đo rời rạc. Từ khóa: biến đổi Radon, biến đổi V-line, công thức ngược, máy ảnh Compton, phục hồi ảnh, SPECT ABSTRACT In this article, we study the V-line transformation that integrates a function over the V-lines whose vertices are on a fixed circle and symmetric axis passes through the origin of coordinates. We introduce an inversion formula. Especially, it is constructed from the discrete data sets. Keywords: Radon transformation, V-line transformation, inversion formula, Compton cameras, image reconstruction, SPECT 1. Giới thiệu thể. Chụp liên tiếp các ảnh này, ta cũng có 1.1. Biến đổi Radon và máy chụp ảnh thể xây dựng được hình ảnh 3D của cơ Y khoa CT thể. Ảnh cắt lớp CT hữu ích trong chuẩn Máy chụp cắt lớp CT (Computerized đoán chấn thương xương, khối u, tổn Tomography) là một kĩ thuật chụp ảnh y thương, v.v. Khi muốn khảo sát mô mềm, khoa nhằm xác định cấu trúc bên trong cơ tim thì ta kết hợp thêm chất phản quan của bệnh nhân. Nguyên lý hoạt động là (được đưa vào cơ thể bệnh nhân thông qua máy sẽ quanh quanh và phát các chùm tia uống hoặc tiêm trực tiếp vào máu), sẽ cho X hẹp qua bệnh nhân. Sau khi đi qua cơ kết quả hình ảnh bên trong rõ nét hơn của thể bệnh nhân thì những tia này sẽ được bệnh nhân. Tuy nhiên, vì máy chụp CT sử các cảm biến dò thu lại và truyền dữ liệu dụng tia X nên sẽ tạo ra bức xạ ion hóa. cho máy tính (xem Hình 1). Từ việc mỗi Điều này có khả năng gây ra các phản ứng tế bào, mỗi cấu trúc trong cơ thể có mức sinh học với mô sống và nguy cơ bị phơi hấp thụ tia X khác nhau, máy tính sẽ xử lí nhiễm bức xạ nếu lượng tia X đi qua cơ để ra các hình ảnh 2D cắt ngang của cơ thể dày đặc. Email: nnduy@ptnk.edu.vn 65
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 75 (03/2021) Hình 1. Một máy chụp ảnh CT tiêu chuẩn Cơ sở xử lý dữ liệu đo để đưa ra ảnh y vào cơ thể thông qua uống hoặc tiêm vào khoa CT là biến đổi Radon, được chính máu. Các đồng vị này thường được phối Radon đưa ra vào năm 1917. trộn với các dược phẩm để có thể di Định nghĩa 1. Phép biến đổi Radon chuyển và gắn với các mô tại những vị trí hai chiều là ánh xạ biến mỗi hàm hai biến mà chúng ta quan tâm. Sau đó chúng sẽ f ( x, y) thành các tích phân trên đường phát ra những tia Gamma, các máy ảnh thẳng của nó. Gọi      cos  ;sin   Compton được đặt bên ngoài sẽ thu năng lượng những tia này và chuyển thông tin về là một vectơ đơn vị trong 2 và s là một máy tính xử lí để có được hình ảnh tái tạo số thực. Ta định nghĩa phép biến đổi bên trong bệnh nhân. Radon Rf  , s  của hàm f như sau:  Rf  , s   f  x  dl   f  s cos  t sin  , s sin   t cos  dt (1)  x.  s  Radon cũng đưa ra công thức ngược để xác định hàm f ( x, y) từ Rf  , s  như sau, tham khảo [1], [2]. Công thức ảnh ngược của biến đổi Radon. 1    Rf  , s  f  x, y     s  x cos  y sin  dsd s (2) Hình 2. Một máy chụp ảnh SPECT 4 2 0  tiêu chuẩn 1.2. Biến đổi V-Line và máy SPECT Các máy ảnh Compton được quay Máy chụp hình ảnh Y khoa SPECT xung quanh bệnh nhân để thu các tia (Single-photon emission computed Gamma. Một máy ảnh Compton sẽ gồm có tomography) là kỹ thuật chụp ảnh y khoa máy dò (detector) tia Gamma đặt phía dựa vào năng lượng hạt nhân. Các đồng vị sau các ống trục thẳng (collimator), (xem phóng xạ phát sóng Gamma sẽ được đưa Hình 3). 66
NGUYỄN NGỌC DUY TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Từ việc biết được góc  và vecto x1  x2  ta sẽ suy ra được photon này x1  x2 xuất phát từ một mặt nón có đỉnh tại x1 , trục là 1 và nửa góc mở là  . Do đó, dù không xác định được chính xác vị trí của Hình 3. Máy ảnh Compton với ống trục photon thì ta vẫn biết được nó xuất phát từ đặt phía trước một mặt nón xác định, từ điều này, dữ liệu Nhưng có một vấn đề nảy sinh là máy trên máy ảnh Compton sẽ cung cấp cho ta ảnh Compton chỉ thu những tia Gamma tổng năng lượng của các Photon phân bổ thẳng sau khi đi qua ống trục và do đó rất trên mặt nón và theo nghĩa toán học là cho nhiều tia Gamma sẽ khác sẽ bị bỏ phí. Điều ta biết tích phân trên một mặt nón của năng này dẫn đến tín hiệu thu được sẽ yếu và lượng photon. nhiễu. Để khắc phục điều này, một thế hệ Để giải quyết bài toán máy ảnh máy ảnh Compton mới được phát triển. Compton, chúng ta sẽ đưa ra biến đổi Cone Máy ảnh mới sẽ gồm hai máy dò đặt song (Cone transform) như sau. song. Khi một photon chạm vào máy dò Định nghĩa 2. Phép biến đổi Cone ba thứ nhất (detector 1) tại vị trí x1 (trong tọa chiều là ánh xạ biến mỗi hàm ba biến f thành các tích phân trên một mặt nón của độ 3 ) với mức năng lượng E1 , sau một nó. Gọi u  3 là đỉnh,  là một vectơ quá trình tán xạ, nó sẽ đến cảm máy dò thứ đơn vị trong và  là nửa góc mở. Ta 3 hai tại vị trí x2 ( trong tọa độ 3 ) và cũng định nghĩa phép biến đổi Cone được đo lại mức năng lượng E2 , (xem Cf  u,  ,  của hàm f như sau: Hình 4). Cf  u,  ,    f  x  dS (4)  x u .  x u cos Dữ liệu đầy đủ của Cf  u,  ,  là 6 chiều, tuy nhiên để đo hết các dữ này thì cần phải có một hệ thống phức tạp. Do đó vấn đề đặt ra là xây dựng hàm ngược với dữ liệu đo tối giản. Một số nghiên cứu gần đây đã xây dựng công thức ảnh ngược với Hình 4. Máy ảnh Compton gồm hai lớp trường hợp tối giản là dữ liệu đo bằng đúng máy dò đặt song song nhau số chiều của hàm f . Các kết quả này được Góc tán xạ (hoặc nửa góc mở)  của trình bày trong các nghiên cứu của mỗi photon sẽ phụ thuộc vào mức năng Sunghwan Moon, Markus Haltmeier [3], lượng E1 , E2 và tính theo công thức: hay Chang Yeol Jung, Sunghwan Moon [4], hay Sunghwan Moon, Markus mc 2 E1 cos  1  (3) Haltmeier [5]. Với trường hợp số chiều dữ  E1  E2  E2 liệu đo lớn hơn số chiều của hàm f thì có 67
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 75 (03/2021) những kết quả thú vị trong các nghiên cứu 3. Kết quả chính của Peter Kuchment và Fatma Terzioglu Nội dung chính của bài báo này là [6] [7], hay Fatma Terzioglu [8] [9], hay chúng tôi sẽ xây dựng một công thức để James W. Webber và Eric Todd Quinto xác định một hàm f  C   D1 (0)  từ chính [10]. Trong trường hợp hai chiều, phép biến biến đổi V-line V ( f )( , ) của nó. Để đổi Cone sẽ suy biến thành biến đổi V-line. làm được điều này, chúng ta sẽ xuất phát từ Trong bài báo này, chúng tôi sẽ giải quyết biến đổi Fourier của một hàm tuần hoàn, bài toán với trường hợp V-line đặc biệt như cộng với yêu cầu hàm f là b-band- limited, nghĩa là tích phân  d f   d sau:  Đỉnh của V-line sẽ nằm trên đường  b tròn có tâm là O, bán kính r  1 và trục với b đủ lớn, d bất kì, còn f   là biến đối xứng của V-line sẽ đi qua gốc tọa độ. đổi Fourier hai chiều của hàm f . Ta sẽ định nghĩa biến đổi V-line khi đó Định nghĩa 4. Giả sử f  L   là như sau. Định nghĩa 3. Cho hàm f là hàm hàm tuần hoàn chu kì 2 , n là số nguyên. compact, có giá thuộc hình tròn đơn vị Hệ số Fourier bậc n của f được định nghĩa bởi: D1  0  , biến đổi V-line Vf  ,  của f 1 2 được định nghĩa bởi: f n (r )  2  0 f ( , r )ein d. Vf : 0,2    0;    ,  Vf  ,    Định nghĩa 5. Giả sử f , g  L   hai   f  r    t      dt. hàm tuần hoàn chu kì 2 . Tích chập f  g được định nghĩa như sau:  1 0 1   f  g  ( x)   f ( x  y) g ( y)dy. (6) 2 Ta có tính chất sau, tham khảo (Valery, 2017). Định lí 1. Giả sử f n , g n là hai hệ số Fourier bậc n của f và g . Khi đó,  f  g n  f n . gn . (7) Cho hàm f  L   2 được biểu diễn Hình 5. V-line với đỉnh nằm trên đường trong tọa độ cực bởi f  , r  và f n  r  là tròn, trục đi qua gốc tọa độ hệ số Fourier bậc n của f theo biến  . Do f có giá thuộc hình tròn đơn vị Hàm số f được khai triển thành chuỗi  Fourier dưới dạng: nên với góc 0    ta luôn có: 2 f ( , r )   f n (r )ein . (8)    n Vf  ,   Rf      , r sin    2  (5) Do biến đổi Radon Rf  , r  là hàm    tuần hoàn chu kì 2 theo biến  , nên ta có Rf      ,  r sin   2  khai triển: 68
NGUYỄN NGỌC DUY TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Rf ( , s)    Rf n (s)ein , với Vf ( , )   Vf n ( )ein , với n n 1 2 1 2  Rf n (s)  Vf n ( )   2 0 Rf (, s) ein d là hệ số Vf (, ) ein d là hệ số 2 0 Fourier bậc n của Rf theo biến  . Fourier bậc n của Vf theo biến  . Mối quan hệ giữa hệ số Fourier bậc n Định lí 3. Cho hàm số f  C   D1 (0)  , của hàm f  , r  và biến đổi Radon của f n  r  , Vf n   lần lượt là hệ số kí hiệu nó được A. Comack đề xuất, tham khảo [6], ? Fourier bậc n của hai hàm f ( , r ) và Định lí 2. Vf ( , ) . Ta có công thức ngược như sau s s 1 r  Rf  n ( s )T|n|   1  1 Vf n (arcsin s) rT|n|   (10) 1   r  ds,  r  ds. 2 r r f n (r )  f n (r )   r r s s r2 2 (9)      s s2  r 2 cos  n  arcsin s      2  với Tn là đa thức Chebyshev. Chứng minh Do biến đổi V-line Vf ( , ) là hàm  Giả sử góc 0   , tham khảo tuần hoàn chu kì 2 theo biến  nên ta 2 cũng có khai triển Fourier như sau: chứng minh của [3], ta có: 2 1 Vf n ( )   Vf ( , )e  in d 2 0 2 1          Rf     2 ,sin   Rf     2 ,sin  e  in  d 2 0 2 2 1    1     Rf     ,sin  ein d   Rf     2 ,sin  e  in  d 2 0  2  2 0 2 2 1 1  Rf  ,sin  e  Rf  ,sin  e  in   /2   in   /2   d  d 2 0 2 0 2  Rf  ,sin   e e 1  in  /2   in   /2   in  e d 2 0  2cos  n(   / 2)  Rf n  sin  . Suy ra  Rf   s   Vf n (arcsin s) , xây dựng hàm f  , r  từ biến đổi V-line của nó: n 2cos  n(arcsin s   / 2)  f ( , r )   f n ( r )ein  với 0  s  1 . n (11) s Thay (9), ta có chứng minh của định lí. 1  Vf n (arcsin s ) rT|n|    r  ds . ein .  1 Bằng việc kết hợp Định lí 3 và (8), ta có thể 2 r n r      s s2  r2 cos  n  arcsin s      2  69
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 75 (03/2021) Tuy nhiên công thức này không cho  1 Ln  arcsin s, r  d. r r lợi thế tính toán với dữ liệu đo là rời rạc, f n (r )  do đó chúng tôi tiếp tục đề xuất một công Để xây dựng hàm số f , đầu tiên ta sẽ thức khác để tối ưu việc tính toán hơn. tính toán hàm số K bằng tổng: Đầu tiên, ta xây dựng tích chập như sau: K  , , r    K n  , r ein . n 2 L  , , r    K    , , r  .Vf  ,  d . (12) Nhưng tổng này không hội tụ đến một 0 hàm khả tích, vì vậy ta sẽ xây dựng hàm Sử dụng Định lí 1, theo biến  , ta có chặt cụt như sau: Ln  , r   Kn  , r  . g n  , r  . K N  , , r    K  , r  e  . n in |n|  N Ta chọn hệ số Fourier bậc n của hàm K như sau Khi đó, hàm chặt cụt LN tương ứng là 2  r  LN  , , r    K N    , , r  .Vf  ,  d . (14) rT|n|   0 K n  , r   1  sin  , Giả sử k dữ liệu đo là tại các V-line có 2 cos  n(   / 2)  sin r 2  sin 2  đỉnh là các các điểm trên đường tròn có  2 l với 0    , sin  r  1 , góc l  , 0  l  k . Biểu thức (14) 2 k và K n  , r   0 trong các trường hợp còn trở thành: 2 k 1 N  2 l   2 l  lại.  LN  , , r  K   k l 0  k , , r  .Vf    k , .  Khi đó, hệ số Fourier bậc n của hàm L trở thành: Do đó, ta có công thức tính xấp xỉ để r xây dựng ảnh ngược như sau: Định lí 4. Cho hàm f  C   D1 (0)  rT|n|    Vf n  arcsin s  s . (13) Ln  arcsin s, r        s r 2  s2 2 cos  n  arcsin s    và b-band-limited, hàm LN  , , r  được   2  Do đó, ta có: xây dựng như trên. Khi đó,  arcsin r k 1 N  2 l   2 l  f (r ,  ) r 0  l 0 K    k ,arcsin s, r  .Vf    k ,arcsin s ds.  (15) Từ việc giả sử hàm f là b-band- dựng dựa trên các giá trị đo rời rạc. Tuy limited, ta có thể chọn được số tự nhiên N nhiên, việc xác định ảnh ngược của hàm số đủ lớn để sai số trong công thức đủ nhỏ. chỉ hiệu quả khi hàm số đó thuộc tập C   D1 (0)  và b-band-limited. Do đó, khi 4. Kết luận hàm số không thuộc tập C   D1 (0)  hoặc Bài báo đã trình bày một công thức để xác định một hàm số khi biết các tích phân không là b-band-limited là hướng mở tiếp của hàm đó trên một V-line có đỉnh thuộc theo, cũng như xác định điểm kì dị của một đường tròn và trục đối xứng đi qua biến đổi V-line là hướng phát triển mới của tâm. Đặc biệt, công thức này được xây bài toán. 70
NGUYỄN NGỌC DUY TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S. Helgason, The radon transform, Springer, 1999. [2] F. Natterer, The mathematics of computerized tomography, SIAM, 2001. [3] Sunghwan Moon, Markus Haltmeier , “Analytic inversion of a conical radon transform arising in application of compton cameras on the cylinder,” SIAM Journal on imaging sciences, tập 10(2), pp. 535-557, 2017. [4] Jung, Chang-Yeol, Sunghwan Moon, “Exact inversion of the cone transform arising in an application of a Compton camera consisting of line detectors,” SIAM Journal on Imaging Sciences, pp. 520-536, 2016. [5] Moon Sunghwan, Markus Haltmeier, “The conical Radon transform with vertices on triple line segments,” Inverse Problems, 2020. [6] F. T. Peter Kuchment, “Three-dimensional image reconstruction from compton camera data,” SIAM Journal on Imaging Sciences, tập 9, số 3, pp. 1708-1725, 2016. [7] F. T. Peter Kuchment, “Inversion of weighted divergent beam and cone transforms,” Inverse Problems, tập 11, số 6, 2017. [8] F. Terzioglu, “Some inversion formulas for the cone transform,” Inverse Problems, tập 31(11), số 115010, 2015. [9] F. Terzioglu, “Some analytic properties of the cone transform,” Inverse Problems, tập 3, 2019. [10] E. T. Q. James W. Webber, “Microlocal analysis of generalized Radon transforms from scattering tomography,” arXiv preprint, tập 2007.00208, 2020. [11] C. A. Macleod, “Representation of a function by its line integrals, with some radiological, applications,” Journal of applied physics, American Institute of Physics, tập 34(9), pp. 2722-2727, 1963. [12] DB Everett, JS Fleming, RW Todd, JM Nightingale, “Gamma-radiation imaging system based on the compton effect,” Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, tập 124, p. 995{1000}, 1977. [13] Marcela Morvidone, Mai Khuong Nguyen, Tuong T Truong, Habib Zaidi,, “On the v- line radon transform and its imaging applications,” Journal of Biomedical Imaging, tập 11, 2010. [14] M. Haltmeier, “Exact reconstruction formulas for a radon transform over cones,” Inverse Problems, tập 30(3), số 035001, 2014. [15] V. Serov, Fourier series, Fourier transform and their applications to mathematical physics, New York: Springer, 2017. [16] Y. Hristova, “Inversion of a v-line transform arising in emission tomography,” Journal of Coupled Systems and Multiscale Dynamics, tập 3, pp. 272-277, 2015. Ngày nhận bài: 17/9/2020 Biên tập xong: 15/3/2021 Duyệt đăng: 20/3/2021 71