XỬ LÝ ẢNH - CHƯƠNG 15

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

138
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

QUANG HỌC VÀ PHÂN TÍCH HỆ THỐNG 15.1. GIỚI THIỆU Trong phạm vi phần 2, chúng ta đã trình bày bộ các công cụ cho phép ta phân tích các thành phần thường dùng trong biểu diễn ảnh số. Bây giờ chúng ta ứng dụng những công cụ này để phát triển những đặc tính của các hệ thống xử lý ảnh số. Hai trường hợp thường nảy sinh, đòi hỏi một phương pháp khả thi đối với phân tích hệ thống. Một là khi được yêu cầu chọn lựa hay cấu hình một hệ thống biểu diễn ảnh số cho...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: XỬ LÝ ẢNH - CHƯƠNG 15

Ch¬ng 15 QUANG HỌC VÀ PHÂN TÍCH HỆ THỐNG 15.1. GIỚI THIỆU Trong phạm vi phần 2, chúng ta đã trình bày bộ các công cụ cho phép ta phân t ích các thành phần thư ờng dù ng trong biểu diễn ảnh số. Bây giờ chúng ta ứng dụ ng những công cụ này để phát triển nhữ ng đặc tính củ a các hệ t hố ng xử lý ảnh số. Hai trường hợp thường nảy sinh, đò i hỏ i một phương pháp khả thi đố i với phân tích hệ thống. Một là khi được yêu cầu chọ n lựa hay cấu hình một hệ thố ng biểu diễn ảnh số cho mộ t lo ại thường dù ng. Ở đây, một t ập các thành phần phù hợp hay to àn bộ mộ t hệ thống phải được chọn từ tập các lự a chọ n, thường theo quan niệm liên quan đến giá cả. Trường hợp cò n lại nảy sinh mỗ i khi ng ười dù ng hệ thố ng tiếp cận một vấn đề mới. Bình thường, ngườ sử dụng chỉ thao tác một khâu tromh chuỗ i xử lý ảnh: chương trình máy t ính thực hiện các phép toán xử lý số . Thao tá của các thành phần hệ thống khác, từ bộ số hoá đến thiết bị hiển thị, thường được điều chỉnh trước bằng thiết kế phần cứ ng, mặc dù có thể có những tuỳ chọ n cho trước. Việc bảo trì đúng đắn cũ ng cần thiết để phục vụ cho việcthực hiện tốt nhất. Có thể t a phải chỉ rõ ảnh hư ởng mà một thành phần phần cứ ng của hệ thống sẽ tác độ ng lên ảnh, để bù cho nhữ ng ảnh hư ởng này trong phần mềm. Theo cách này, Chương trình xử lý có thể được cấu thành để đạt đến mục tiêu đã đề ra, đồ ng thờ i không làm giảm giá trị của đề tài. Trước đây, một vấn đề về ảnh số đặc trưng có thể tiếp cận một cách hoàn chỉnh, người ta phải thừa nhận rằng sự trang bị máy mó c sử dụng là tho ả đáng cho cô ng việc. Nó i chung, độ phân giải, độ phóng đ ại, số điểm ảnh, k ích thước đ iểm ảnh và khoảng cách đ iểm ảnh phải t ương xứng với công việc sắp tới. Nên có một sự cân bằng giữ a các dụng cụ quang học (camera, k ính viễn vọ ng, kính hiển vi,…), cảm nhận ảnh (camera), số hoá ảnh, phần cứng lưu trữ và hiển thị, và các thuật giải sử dụng để xử lý và p hân t ích đ ịnh lượng ảnh số. Trong chương này, chú ng ta sẽ nhằm vào t ập các nguyên tắc có thể thực hiện đố i với việc thiết lập một sự cân bằng như trên. Phân tích chi tiết mọ i mặt của mộ t hệ thống xử lý ảnh có thể trở nên rất phức tạp và điều này vượt quá tầm kiểm so át của ta. Cách tiếp cận ở đ ây là làm cho một vài giả thiết trên thực tế trở nên đơn giản và có khả năng ứng dụ ng rộng rãi. Nếu cần thiết, có thể thêm vào mộ t lượng dư để đảm bảo khô ng có sai só t trong nhữ ng giả thiết. Phần lớn các trường hợp trong thực tế, kết quả chính xác được cung cấp đ ầy đủ. 15.1.1. Thực hiện phân tích một hệ thống ảnh số Câu hỏ i mà chúng ta đặt ra ở đây là: phân t ích mộ t hệ thố ng như thế nào để có thể xác định nó có thích hợp và giá cả có gây ấn tượng cho việc thực hiện xử lý ảnh và các dự án định lượng ảnh mà nó sử dụ ng hay không? Ta sẽ cố gắng để thiết lập sự cân bằng giữa các thành phần khác nhau trong chuỗi xử lý ảnh, sao cho toàn bộ sự thực hiện là phù hợp với cô ng việc và không có thành phần nào thể hiện quá mức cần thiết so với những g ì được yêu cầu để thực hiện cô ng việc. 283
Chúng ta sẽ chỉ ra những chủ đ ề về độ phân giải không gian và lấy mẫu ảnh, vớ i mục đích thiết lập sự cân bằng giữa thực hiện từng thành phần hệ thố ng và to àn bộ hệ thống. Mục đ ích này có liên quan đến việc thực hiện những thành phần khác nhau trong mộ t hệ thố ng thành mộ t khố i. Độ phân giải. Những nhầm lẫn đáng kể thường xuất hiện xung quanh khái niệm về độ phân giải. Để tránh nhầm lẫn, ta cần mộ t định nghĩa rõ ràng về độ phân giải là gì và một sự cảm nhận sâu sắc về mục đích của bất kỳ phân t ích nào về công cụ xử lý ảnh. Đối với mục đ ích của chúng ta, câu hỏ i chủ yếu về độ phân giải là: Hệ thống sẽ tái tạo nhữ ng chi tiết nhỏ trong đối tượng quan t âm một cách thích hợp? Câu hỏ i này có thể được trả lời dễ dàng nếu đầu tiên chúng ta có một câu trả lời định lượng, ngắn gọ n cho một câu hỏ i khác: Hệ thống làm cách nào để tái tạo lại các đối tượng có k ích thước khác nhau? Sau đó, giả sử rằng chú ng ta biết kích thước của nhữ ng chi tiết đang xét, chúng ta có thể thu được trả lời cho câu hỏ i về độ phân giải. Để tiếp cận với câu hỏ i sau, ta áp dụng cô ng cụ của lý thuyết hệ thống tuyến tính (chương 9) vào những thành phần của hệ thống trước bộ phận lấy mẫu (chuyển đổ i từ dạng tương tự sang dạng số chẳng hạn). Những thành phần này có thể coi như là các thành phần hệ thống tuyến tính bất biến dịch, để có thể ứng dụng lý thuyết hệ thố ng tuyến t ính. Nói chung, chúng ta phân t ích dạng ảnh quang học và bộ cảm nhận ảnh (camera) để xác định kích thư ớc và hình dáng thật sự của đ iểm quét. Từ đó mà ta có hàm tán xạ đ iểm (Point Spread Function-PSF) của hệ thố ng ảnh và hàm tương đương của nó , hàm truyền đạt đ iều biên (Modulation Transfer Function-MTF). Hàm MTF hình thành đặc đ iểm định lượng của độ phân giải mà ta cần cho việc phân t ích. Lấy mẫu. Câu hỏ i đặt ra đối với các tham số của quá tr ình lấy mẫu có thể được biểu diễn như sau: Cần có bao nhiêu đ iểm ảnh và kho ảng cách giữa chúng như thế nào, để đảm bảo cho ảnh số hoá diến đạt được chính xác nộ i dung của ảnh quang họ c? Điều này k éo theo một t ập các khái niệm hoàn toàn khác những khái niệm liên quan đến độ phân giải. Lấy mẫu là quá trình phi tuyến hoàn toàn và việc khô ng phân biệt được giữa các khái niệm lấy mẫu và độ phân giải có thể tạo ra sự nhầm lẫm đáng tiếc. Để tiếp cận câu hỏ i lấy mẫu, ta sẽ áp dụng lý thuyết lấy mẫu (chương 12) vào bư ớc chuyển đổ i tương tự sang số. Đây là một phương pháp đơn giản để xác đ ịnh khoảng cách điểm ảnh có đủ nhỏ hay khô ng và miêu tả điều sẽ xảy ra nếu nó không đủ nhỏ. Hiển thị ảnh. Câu hỏ i thứ ba trong phân tích hệ t hố ng ảnh số có thể diễn tả như sau: Ảnh hiển thị biểu diễn các đối tượng mà ta quan tâm chính xác đến mức nào? Trong những ứng dụ ng chỉ bao gồm phân t ích định lượng, hiển thị ảnh có thể không quan trọ ng lắm hay thậm chí không cần thiết. Trong nhữ ng ứng dụ ng khác-đặc biệt là trong xử lý ảnh và trong cách hiểu của con người-nó là một thành phần quan trọ ng. Giống như trước đây, hiển thị ảnh là xem xét sự khác nhau nhau giữa khái niệm về độ phân giải và lấy mẫu, và nó xứng đáng được phân tích riêng biệt. Chúng ta thừa nhận quá tr ình hiển thị ảnh là mộ t bư ớc nộ i suy và áp dụng lại lý thuyết lấy mẫu. Đây là cách để xác định quá trình hiển thị có đúng đắn hay khô ng. Nghiên cứu thực tiễn. Mỗ i một quá trình trong ba quá tr ình cơ bản đã nó i trên đều được phân t ích, ngư ời ta có thể kết hợp cả ba kết quả để xác định toàn bộ thiết kế hệ thố ng coa cân bằng và chính xác cho các ứng dụng đặc biệt hay khô ng. Cuố i cùng, người ta phải đánh giá hiệu quả của từng giả thiết và sự gần đúng khi phân t ích và kết quả mà nhiễu hệ thống tạo ra. Trong các chương trước, chúng ta đã trình bày các cô ng cụ mô tả kết quả lấy mẫu, nộ i suy và lọ c tuyến t ính. Trước khi chúng ta có thể p hân t ích một hệ thố ng đầy đủ, ta cần có một phương pháp miêu tả những hiệu quả mà thấu kính thường dùng trong 284
hệ thống mang lại. Trong phần sau, chúng ta sẽ tr ình bày những k ỹ t huật phân t ích việc thực hiện những hệ thố ng quang học và trong phần cò n lại của chương này chúng ta sẽ ứng dụng mộ t kỹ thuật để phân tích những hệ thống ảnh số hoàn chỉnh. 15.2. QUANG HỌC VÀ HỆ THỐNG ẢNH Hệ thố ng ảnh quang họ c đóng một vai trò quan trọng trong ảnh số vì hầu như chúng luô n luôn xuất hiện tại phần trước khi kết thúc mộ t hệ thống xử lý ảnh. Nếu ảnh được chụp trước khi qu ét thì p hải có một hệ thống thấu kính khác thêm vào để phân tích. Các hệ thố ng quang học tạo ra hai kết quả trên ảnh: phép chiếu, như đã đề cập trong chương 2, và sự suy biến do nhiễu xạ và q uang sai của thấu kính. Phép chiếu giải thích cho sự đảo ngược của ảnh trên hệ thống to ạ độ của nó (quay 1800 chẳng hạn) và cho sự phóng đ ại. Lĩnh vực quang học vật lý-lý thuyết nhiễu xạ nó i chung- cung cấp những cô ng cụ mô tả sự suy biến ảnh do (1) sóng ánh sáng tự nhiên và (2) quang sai của các hệ thống quang học được thiết kế và chế tạo không ho àn chỉnh. V ì vậy, tiếp theo chúng ta sẽ trình bày ngắn gọn những đ iểm quan trọng của quang học vật lý. Để giải quyết vấn đ ề p hân t ích hệ thố ng quang học chi tiết hơn, độc giả nên tham khảo thêm tài liệu về quang học. 15.2.1. Cơ sở của hệ thống quang học Hình 15-1 cho thấy mô t hệ thống quang học bao gồm một thấu kính đơn giản. Một nguồ n đ iểm tại gốc của mặt phẳng trung tâm tạo ra một ảnh điểm tại gốc của mặt phẳng ảnh. Ảnh được tạo ra bởi mộ t nguồ n đ iểm gọ i là hàm tán xạ đ iểm (Point Spread Function-PSF) trong thuật ngữ quang họ c. Nó sẽ nhận kích thước nhỏ nhất có thể được nếu hệ thống là rõ ràng, tức là, nếu 1 1 1   (1) d f di f Trong đó f là t iêu cự của thấu kính. Bằng cách đặt tên như thế này, mặt phẳng tiêu là mặt phẳng trong khô ng gian đối tượng t ạo thành một ảnh rõ nét trên mặt phẳng ảnh. Thật ngữ này khác thuật ngữ màn trập mặt phẳng tiêu (focal plane shutter) dùng trong nhiếp ảnh để mô tả lá chắn sáng đặt tại mặt phẳng phim (ảnh). HÌNH 15-1 Hình 15-1 Một hệ thống ảnh đơn g iản Bằng trực giác, rõ ràng điều này làm tăng cường độ nguồ n đ iểm, dẫn đến tăng t ỷ lệ cư ờng độ ảnh đ iểm. Nghĩa là thấu kính là mộ t hệ thống tuyến tính hai chiều. Theo đó thì hai nguồn điểm tạo ra một ảnh trong đó hai điểm kết hợp với nhau bằng phép cộ ng. 285
Nếu nguồn điểm di chuyển trục z đến vị trí (x0, y0), thì ảnh đ iểm di chuyển đến mộ t vị trí mới được cho bởi (2) xi   Mx0 y i   My 0 Trong đó di M (3) df Là độ phóng đại của hệ thống. Hình d ạng ảnh đ iểm khô ng cần thiết phải thay đổi, khi trong các hệ thống quang họ c được thiết kế ho àn hảo, khoảng cách trục bên phải nhỏ mộ t cách hợp lý. Vì thế, hệ thố ng có t hể được giả thiết là bất biến dịch (hay đồng phẳng, theo thuật ngữ quang họ c), cũng như tuyến t ính và PSF là đáp ứng xung của nó . 15.2.1.1. Tính tuyến tính Một vật thể chắn sáng được chiếu sáng từ phía trước (epiilluminated) hay mộ t đố i tượng hấp thụ ánh sáng được chiếu sáng từ phía sau (transilluminated) có thể được coi như nguồ n đ iểm ánh sáng phân bố hai chiều. Ảnh của mộ t đố i tượng như trên là tổng của các điểm PSF phân bố khô ng gian. Nghĩa là ảnh có thể được miêu tả như tích chập đối tượng với PSF của hệ thố ng quang học. Hơn nữa, có thể chỉ rõ ho àn to àn một hệ thống đồng phẳng bằng PSF hai chiều của nó hay hàm truyền đạt quang học (optical transfer function-OTF) hai chiều của nó . Hàm truyền đạt quang họ c (OTF) là biến đổi Fourier hai chiều của PSF. Biểu thức (2) giải thích cho việc thực hiện phép chiếu bới hệ thố ng quang họ c, mặc dù t ích chập với PSF làm mất mộ t số chi tiết vố n có trong quá trình xử lý ảnh. 15.2.1.2. Bất biến dịch Hệ thống thấu k ính vật lý không phải là bất biến d ịch thật sự. Đặc biệt, ảnh sắc nét suy biến (PSF mở rộng chẳng hạn) như khi ta di chuyển trục, như ng bất biến d ịch là mộ t hiện tượng dần dần. Đố i với mộ t thấu kính chất lượng cao, hàm PSF, mặc dù không phải là một xung, nhưng ít nhất nó cũng khác 0 trên một phạm vi hẹp. Vì bất biến dịch là một hiện tượng dần dần, nên chúng ta có thể g iả thiết rằng mỗ i điểm được bao quanh bới các đ iểm lân cận bất biến dịch. Trong lĩnh vực quang học, những điểm lân cận này được gọ i là nh ững vùng đồng ph ẳng. Vì thế, nếu t ính bất biến d ịch không là tổ ng thể, thì hệ thống quang học sẽ được giả thiết là bất biến dich cục bộ trên phạm vi nhỏ của PSF và tích chập vẫn có hiệu lự c trong mô hình cục bộ . Thông thường, chúng ta có thể dùng, với ý nghĩa gần đúng, một hệ thống ảnh quang họ c là mộ t hệ thố ng tuyến tính, bất biến d ịch hai chiều. Nếu cần thiết, chúng ta có thể mô phỏ ng hệ thống với hàm PSF có tham số biến thiên không gian. Mặc dù k ỹ thuật này có thể giải thích cho đa số phản đồ ng phẳng (anisoplanatism) điển hình mà ta bắt gặp, nhưng nó khô ng nhất thiết phải có trong quá trình phân tích của các hệ thố ng thấu k ính chất lượng cao. 15.2.1.3. Các quan hệ cơ bản Biểu thức (1) và (3) đem lại mộ t tập các công thức thường dù ng trong phân t ích các hệ t hố ng quang họ c. Đặc biệt, di d f f (4) di  d f M  1 fd f di  f (5) df  f M 286
Và M  1 fd i (6) df  f di  f M 15.2.2. Độ chiếu sáng cố kết (coherent) và không cố kết (incoherent) Trong hình 15-1, nguồ n điểm phát ra mộ t sóng ánh sáng hình cầu. Biên độ trường E giống như một hàm thời gian và không gian có thể được viết như sau  t    a r c u  x, y , z , t   cos  2  2  t  (7)      r   Trong đó r  x2  y2  z 2 (8)  là bước só ng trung bình của ánh sáng, c là tốc độ ánh sáng và  (t) là pha dao độ ng theo thời gian. Thường thì là hàm ngẫu nhiên. Chú ý rằng (t) cũng là độ rộ ng dải (bandwidth) của ánh sáng gần như đơn sắc. Để tiện lợi, ta định nghĩa lượng sóng, thực chất là một biến tần số , như sau 2 k (9)  Và lo ại bỏ thành phần số mũ phức đằng trước. Bây giờ biểu thức (7) trở thành A  u x, y, z , t   e  e  jkr e jk ct  t   (10) r  Trong phần này, chú ng ta đã quan tâm đến sự phân bố khô ng gian của cường độ ánh sáng trong ảnh đ iểm. Trong thời gian này, chú ng ta sẽ rút gọ n e và các thành phần biến thiên thời gian ngầm định. Khi được chiếu sáng đơn sắc, đối tượng là p hân bố không gian của các nguồ n điểm tại cùng t ần số thời gian c/. Nếu tất cả các nguồn đ iểm đều có quan hệ p ha ổn định thì sự chiếu sáng được gọ i là cố kết (coherent). Có thể chú ng vẫn dao động ngẫu nhiên, như ng chúng vẫn giữ nguyên cách xử lý đồ ng thời, bảo to àn quan hệ p ha ổ n định. Nói cách khác, nếu mỗ i nguồ n đ iểm thay đổ i pha một cách độc lập, thì sự chiếu sáng gọ i là không cố kết (incoherent). Trong trường hợp đó, pha của mỗ i nguồn điểm thay đổ i độc lập với các đ iểm lân cận. Trong đa số các trường hợp, mắt người hay bộ cảm nhận trung bình thời gian nào đó thực hiện mục đích cuố i cùng của ảnh. Bằng cách lấy trung bình thời gian, các dao độ ng ngẫu nhiên của (t) được lấy giá trị trung bình. Trong chiếu sáng cố kết, vì các nguồ n đ iểm dao độ ng cộ ng hưởng nên quan hệ pha ổn định cho phép các mô hình giao thoa (interference) t ích cực (constructive) và tiêu cực (destructive) cùng tồn tại giữa các ảnh điểm. Có thể nhận thấy rõ nhữ ng mô hình giao thoa cân bằng này là một bộ cảm nhận trung bình thời gian. Vì thế, đố i vớ i sự chiếu sáng cố kết, phép toán tích chập phải được thực hiện trên biên độ phức của các sóng điện từ. Trong chiếu sáng không cố kết, nhữ ng quan hệ p ha tương đố i ngẫu nhiên gây ra hiện tượng giao thoa. Vì thế, các ảnh điểm làm tăng thêm t ính thố ng kê. Hành động này được mô p hỏ ng chính xác nếu t ích chập được thực hiện trên cơ sở cư ờng độ (bình phương biên độ hay năng lượng). Do đó, biên độ p hức trong chiếu sáng cố kết của mộ t hệ thố ng quang họ c là tuyến tính, trong khi cường độ ánh sáng không cố kết của hệ thống là tuyến tính. 287
15.2.3. Các nhân tố đặc trưng cho ảnh Hai nhân tố hạn chế đặc trưng ảnh của mộ t hệ thống quang học là quang sai của thấu kính và các hiệu ứ ng nhiễu xạ. Việc thiết kế thấu k ính kỹ lưỡng có thể lầm giảm tối thiểu, mặc dù không thể lo ại trừ quang sai một cách ho àn to àn. Hiệu ứng nhiễu xạ là do bản chất sóng của ánh sáng và kích thư ớc hữu hạn của thấu kính. Bởi vì thiết b ị xử lý ảnh thường sử dụng các thiết bị quang học chất lượng cao với các mức quang sai tương đố i thấp, cho nên nó thường nhiễu xạ tại những vị trí bên ngoài hạn chế về đặc trưng ảnh. Trong phần tiếp theo, chú ng ta bắt đầu bằng PSF của mộ t hệ thống quang họ c không có quang sai (giới hạn nhiễu xạ) và chỉ ra cách giải thích quang sai. Chú ng ta có khả năng xác đ ịnh rõ một hệ thống quang học bằng PSF giới hạn nhiễu xạ của nó , bằng dữ liệu PSF do nhà sản xuất cung cấp, hay bằng PSF xác định qua thực nghiệm. 15.3. HỆ THỐNG QUANG HỌC GIỚI HẠN NHIỄU XẠ Vì chú ng ta đã chứng tỏ rằng, với một ý nghĩa gần đúng hợp lý, mọ t hệ thố ng quang học là một hệ thống tuyến tính bất biến d ịch, chú ng ta chỉ cần tìm một biểu thức biểu diễn cho PSF hay hàm truyền đạt của hệ thống. Trong hình 15-1, nguồn điểm phát ra một só ng hình cầu, phần nằm trong thấu k ính. Hệ số khúc xạ cao của thấu kính làm sóng chậm lại. Bởi vì thấu kính mỏ ng gần giố ng trục hơn so với các biên, nên các tia trục bị chậm hơn so với các tia bên ngo ài. Trong trường hợp lý tưởng. Sự biến đổ i độ mỏng cần thiết phải có để chuyển đổ i sóng hình cầu mở rộ ng thành só ng hình cầu hộ i tụ về p hía điểm ảnh. Theo định nghĩa, một độ lệch của sóng ra bất kỳ từ dạng hình cầu là do quang sai. Vì thế, mộ t hệ thống quang học giới hạn nhiễu xạ tạo ra một só ng ra (hình cầu, hội tụ) t ương ứng với só ng vào của một nguồn điểm (hình cầu, hộ i tụ). 15.3.1. Hình dạng thấu kính Đối với một thấu k ính mỏ ng, hai mặt lồ i có hệ số phóng đại nhỏ hơn so với tiêu cự của nó, các bề mặt của thấu kính phải có dạng hình cầu để tạo ra só ng ra hình cầu. Hơn nữa, tiêu cự f của thấu kính phải được cho bởi biểu thức 1 1 1  n  1  R R  (11)  f 1 2 trong đó n là hệ số khúc xạ của thu ỷ t inh và R1 và R2 là bán k ính mặt cầu trước và sau của thấu kính. Đối với các hệ số phó ng đại không nhỏ so với f, các mặt thấu k ính lồ i khô ng thích hợp để t ạo ra só ng cầu. Các thấu k ính trên khô ng hộ i tụ các tia bên ngo ài lêng mộ t điểm trên trục z giố ng như chúng thực hiện trên các tia gần trục. Hiện tượng này gọ i là quang sai cầu, vì nó là quang sai rút ra (khô ng thích hợp) từ dạng hình cầu của các mặt thấu kính. Các hệ thố ng quang họ c chất lượng cao thường dù ng các phần tử có nhiều mặt cầu và nhiều thấu k ính để tạo ra quang sai cầu. 15.3.2. Ống kính và hàm con ngươi Trong hình 15-1, ảnh điểm đư ợc tạo thành bằng cách cắt bớt só ng cầu hội tụ là PSF chính xác của hệ t hố ng. Hình 15-2 cho thấy mộ t cách tương đương khác để tạo ra mộ t ảnh như vậy. Ở đây, mộ t sóng cầu hộ i tụ đ ược cắt bởi một màn chắn sáng có chứa một ống k ính. Ống k ính thể hiện sự mở rộng cho thấu kính trong hình 15-1. Những hệ thống quang học đầy đủ hơn có thể bao gồm nhiều ống k ính và nhiều thấu kính, hay các thiết bị điều chỉnh độ mở ống kính. Tuy nhiên, tất cả các ống kính có thể được hư ớng đến con ngươi để thực hiện mộ t tác động tại ống k ính ra của hệ 288
thố ng. Trong hình 15-2, ố ng kính biểu diễn cho ống kính ra có hiệu lực củ a mộ t hệ thố ng thấu k ính khô ng có quang sai bất kỳ. Phân bố không gian của hệ số truyền trên tấm chắn chứa ống k ính là hàm con ngươi (pupil function). Vì t hế, đối với ống k ính trò n có đường k ính a đặt tại t âm của hệ to ạ độ (xa, ya), hàm con ngươi là  x2  y2  p  x a , y a    a a (12)   a   HÌNH 15-2 Hình 15-2 Sóng cầu bị cắt Với những ố ng kính bình thường, hàm con ngươi giả thiết là chỉ nhận giá trị 0 và 1. Tuy nhiên, nó có khả năng thực hiện những hệ số con ngươi thay đổ i bằng cách chụp ảnh hay các k ỹ thuật làm lắng phim kim loại. Đối với hệ thống không có quang sai, hàm con ng ươi có g iá tr ị thực; nặt khác nó sẽ làm nhiễu loạn dạng hình cầu của sóng ra. Các hàm con ngươi mang giá tr ị phức được dùng để mô phỏng các hệ thố ng quang họ c có quang sai. Chừng nào mà quá t rình phân tích cho phép sử dụng các hàm con ngươi tuỳ ý, th ì ống kính hình trò n là quan trọ ng nhất trong thực tiễn. Trường E của só ng cầu hộ i tụ có biên độ đơn vị trong hình 15-2 có thể được viết như sau 1  jkR u xi , yi , z i   (13) e R Dùng những quy ước đã mô tả có quan hệ với biểu thức (10). R là kho ảng cách t ừ gố c toạ độ của mặt phẳng ảnh đến đ iểm (xi, yi, zi). Để xác đ ịnh sự p hân bố của ánh sáng lên trên mặt phẳng ảnh, chúng ta sẽ áp dụng mộ t nguyên t ắc chuyển độ ng sóng quan trọ ng. 15.3.3. Nguyên lý Huygens-Fresnel Một trong nhữ ng tính chất hữu ích và đáng quan tâm nhất của sự truyền só ng quang học được nó i đến trong nguyên lý Huygens-Fresnel. Nguyên lý này nó i rõ rằng trường gây ra bởi mộ t sóng truyền thẳng tương tự như trường gây ra bởi một số lượng vô cùng lớn các nguồn điểm thứ cấp phân bố trên to àn bộ sóng truyền thẳng đó. Trong trường hợp một só ng truyền qua một ống kính thì trường tại điểm bất kỳ sau ống kính sẽ tương tự như trường gây ra bằng cách lấp đầy ố ng kính bới các nguồ n đ iểm thứ cấp có biên độ và p ha thích hợp. Một cách chính xác, nguyên lý Huygens-Fresnel phát biểu rằng trường tại điểm (xi, yi) thuộ c mặt phẳng ảnh được cho bởi 289
1 1 jkr u i  xi , yi    u a xa , y a  r e cos dxa dya (14) j A (Xem hình 15-3) Thành phần ua (xa, ya) là diện t ích ố ng kính và t ích phân được lấy trên độ mở của ống kính. Khoảng cách từ đ iểm đang xét tại (xi, yi) đến điểm (xa, ya) trong ố ng k ính là r, trong đó  là góc giữa đường nố i hai đ iểm trên và p háp tuyến của mặt phẳng ố ng kính. Với mục đích của chú ng ta,  phải đủ nhỏ sao cho cos() có thể coi như là bằng 1. Chú ng ta có thể mở rộng giới hạn t ích phân của biểu thức (14) ra vô hạn nếu ta nhân sóng hội tụ với hàm con ngươi. Điều này thực hiện phép cắt bằng cách cho diện tích tại mọ i nơi trong mặt phẳng con ngươi bằng 0, ngo ại trừ vùng bên trong ống kính. Với nhữ ng điều kiện trên, biểu thức (14) trở thành 1  jkR 1 jkr   u i xi , yi     px , ya  (15) e e dxa dya a R r   Kho ảng cách từ điểm hộ i tụ tại gốc to ạ độ mặt phẳng ảnh đến đ iểm (xa, ya) trong ống kính là x a  y a  d i2 2 2 (16) R Và khoảng cách từ (xa, ya) đến (xi, yi) là xi  xa 2   y i  y a 2  d i2 r (17) Trong biểu thức (15), số hạng 1/R và 1/r đều xấp xỉ bằng 1/di. Tuy nhiên, trong các hệ số mũ số hạng R và r có hệ số k lớn và ta phải sử dụng một phép toán gần đúng tốt hơn. 15.3.4. Phép toán gần đúng Fresnel Chúng ta có thể đưa hệ số di ra khỏi các biểu thức (16) và (17) và viết lại chúng như sau HÌNH 15-3 Hình 15-3 Mô tả hình họ c 2 2 x   ya  R  di 1   a    (18) d  d  i   i Và 290
2 2  x  xa   yi  y a  r  di 1   i    (19) d d     i i Biểu thức chuỗ i nhị thức của căn bậc hai là q q2 (20) 1 q  1   ... | q | 1 28 Nếu chú ng ta chỉ sử dụ ng hai số hạng đầu tiên của biểu thức, ta sẽ đưa được các xấp xỉ Fresnel vào các kho ảng cách trong biểu thức (18) và (19) 2 2  1x 1  ya    R  d i 1   a     (21)   2  di    2  di     2 2  x x   1  y  ya  r  d i 1   i a  i   (22) d  2  di       i   15.3.5. Hàm tán xạ điểm cố kết (Coherent Point Spread Function) Thay thế những xấp xỉ trước đây vào biểu thức (15) ta được 2 2  1x   y a  1   u i  xi , yi     px , y a e  jkd i 1   a       d  a jd i2  2  di     i    (23) 2 2  1 x  x  y  y a    e jkd i 1   i a  i   dxa dy a d  d   2    i i   Sau khi khai triển các biểu thức và rút ra số hạng, ta có thể viết lại biểu thức (23) như sau e  jk / 2 di xi  yi    2 2  j 2 / d i  xi xa  yi ya  u i  xi , yi     px a , y a e (24) dxa dy a jd i2 Nếu ta thay biến xa ya ' ' xa  ya  (25) d i d i Thì biểu thức (24) trở thành   jk / 2 di xi2  yi2     j 2 x x '  y y '    pd i xa , d i ya e i a i a dxa dya u i  xi , yi   ' ' ' ' e (26) j Bây giờ chúng ta có một kết quả rất quan trọ ng mà hàm tán xạ điểm (PSF) cố kết, ngoài là một hệ số phứ c, chỉ đơn thuần là biến đổ i Fourier hai chiều của hàm con ngươi. Hệ số mũ p hức trong biểu thức (26) chỉ ảnh hưởng đến pha trong mặt phẳng ảnh và điều này thường bị các bộ cảm nhận ảnh bỏ qua. Vì thế, đố i với mụ c đ ích của chúng ta, số hạng trước dấu tích phân chỉ là mộ t hằng số phức. Trong hình 15-2, nguồ n điểm nằm trên trục z. Trình bày trức đây có thể được thực hiện với nguồn nằm ngoài trục và nó cũng tạo ra kết quả tương tự, mặc dù đã dịch và thực hiện theo biểu thức (2). Nghĩa là, theo giả thiết của chúng ta, hệ thống quả thực 291
là bất biến d ịch. Tuy nhiên, giống như việc di chuyển đ iểm ảnh ra khỏ i trục, các giả thiết bắt đầu bị sụp đổ. Vì vậy, PSF của một hệ t hố ng ảnh thực sự thay đổ i (đố i vớ i trường hợp tồi tệ hơn) bên ngo ài phạm vi đề cập. Tuy nhiên, nó là cách thông thư ờng để xác đ ịnh rõ một hệ thống ảnh bằng PSF trên trục của nó. Biểu thức (26) cho thấy sự phân bố biên độ trong mặt phẳng ảnh được tạo ra tương ứng với mộ t nguồn điểm tại gốc mặt phẳng tiêu. Các số hạng phức đằng trước dấu tích phân có liên kết độ sáng của ảnh với độ sáng củ a nguồ n đ iểm và nó miêu tả những thay đổ i pha trong mặt phẳng ảnh. Bởi vì các bộ cảm nhận ảnh thường bỏ qua thô ng tin pha, vấn đề này chú ng ta ít quan t âm đến ở đây. Hơn nữa, to àn bộ độ sáng của ảnh được xác định rất dễ dàng bằng một vài phân t ích riêng biệt, để xác đ ịnh phần bức xạ nguồ n bị thấu kính chặn lại. Vì thế, chỉ các tham số chúng ta đang xét mới tác độ ng đến chất lượng ảnh-đó là hình dạng PSF. Chúng ta có thể đơn giản ho á ký hiệu một cách đáng kể nếu chúng ta khô ng kiểm tra biên độ tuyệt đố i và bỏ qua các số hạng trước dấu tích phân. Sau đó chú ng ta có thể viết mô ie quan hệ t ích chập giữa đố i tượng (ký hiệu o) và ảnh (k ý hiệu i) như sau   ui xi , yi     h x  xo , y i  y o u o Mxo , My o dxo dy o (27) i    Trong đó đáp ứng xung được cho bởi h x, y   p d i x a , d i y a  (28) Trong biểu thứ c (27), số hạng uo(xo, yo) là sự p hân bố biên độ của đố i tượng và ui(xi, yi) là đối tượng sau phép chiếu mà không làm suy biến mặt phẳng ảnh. Vì thế, chúng ta có thể coi việc mô phỏng như một quá trình hai bư ớc: chiếu hình học, tiếp theo là t ích chập trong mặt phẳng ảnh với PSF. Hệ số phóng đại M là âm trừ phi các trục to ạ độ trong mặt phẳng ảnh và mặt phẳng tiêu được quay 1800. Bình thường thì nó thích hợp nhất để thực hiện quá trình phân t ích của chúng ta trong mặt phẳng tiêu. Trong trường hợp đó , chúng ta có thể giả thiết rằng tích chập với PSF xảy ra trong mặt phẳng tiêu và đơn thuần chỉ là thay thế df cho di trong biểu thức (28). Sau đó chúng ta nhân chập PSF kết quả với đố i tượng uo(xo, yo) khô ng được chiếu. 15.3.6. Hàm truyền đạt quang học cố kết Hàm truyền đ ạt của mộ t hệ thố ng quang họ c đơn thuần chỉ là biến đổi Fourier của đáp ứng xung trong biểu thức (28). Tuy nhiên, đây chính là biến đổ i Fourier của hàm con ngươi. Biến đổ i một hàm hai lần chính là đem nó về dạng ban đầu, vì vậy hàm biến đổ i cố kết được cho bởi H u , v   p  d i u , d i v  (29) Trường hợp phổ biến của các ố ng kính đố i xứng, việc quay 1800 không có ảnh hư ởng g ì. Vì thế, hàm con ngươi, có thể so sánh thích đáng, là hàm truyền đạt quang họ c (OTF) cố kết. 15.3.7. Hàm tán xạ điểm (PSF) không cố kết Một phân bố của các nguồn điểm được miêu tả bởi biểu thức (10) là đầy đủ để mô phỏng ba t ính chất chiếu sáng: đơn sắc, cố kết dải hẹp và không cố kết dải hẹp. Đố i với chiếu sáng đơn sắc, (t) là hằng số. Nếu ánh sáng là cố kết về không gian thì  (t) là ngẫu nhiên, như ng có một mố i quan hệ nhất định với tất cả các điểm khác trong ảnh. Trường hợp ánh sáng là k hô ng cố kết, (t) là ngẫu nhiên tại từng đ iểm và độc lập với các đ iểm xung quanh nó. Trong trường hợp này, cường độ quan sát được tại mỗ i đ iểm (xi, yi) là 292
  I i  xi , yi    u i  xi , y i ui*  xi , yi  (30) Trong đó to án tử dự tính  biểu diễn cho thời gian trung bình trên một chu k ỳ so với chu kỳ dao độ ng của nguồ n sáng. Bởi vì ui(xi, yi) là nguồ n đ iểm tại gố c của mặt phẳng tiêu được cho bởi biểu thức (27), nên ta có thể thay thế vào biểu thức (30) đê rút ra   I i xi , yi    {  h x  x1 , y i  y1 u o Mx1 , My1 dx1 dy1 i    (31)   h xi  x 2 , yi  y 2 u o Mx 2 , My 2 dx2 dy 2 } *     Vì h(x, y) không phụ thuộc vào thời gian nên ta có thể sắp xếp lại biểu thức (31) I i x i , y i       h x  x1 , yi  y1 h *  xi  x2 , yi  y 2  i (32)     u o Mx1 , Mx 2 u o Mx 2 , My 2  dx1dy1 dx2 dy 2 * Số hạng dự t ính đơn giản chỉ là hàm thời gian tương quan chéo của uo tại (x1, y1) và (x2, y2). Vì tương quan chéo của các nguồ n đ iểm ảnh khác nhau là 0, trong trường hợp chiếu dáng khô ng cố kết, nên đây là xung đơn vị không g ian. Hơn nữa, nếu x1 = x2 và y1 = y2 thì g iá trị của số hạng dự tính chỉ là cường độ của ảnh tại điểm đó . Nghĩa là  u o Mx1 , Mx2 u o Mx2 , My 2   I o Mx1 , My1   x1  x2 , y1  y 2  (33) * Thay vào biểu thức (32) và tính t ích phân để lo ại bỏ các biến x2 và y2, ta được 2 I i  xi , yi     h xi  xo , yi  y o  I o Mxo , My o dxo dyo (34) Trong đó các biến xo và yo thay cho x1 và y1. Biểu thức (34) là t ích phân chập hai chiều. Nó cho thấy rằng, với ánh sáng khô ng cố kết, hệ t hố ng là tuyến t ính về cường độ và PSF là mô đun bình phương của h(x, y), PSF cố kết. Đây là biến đổ i Fourier ngược của hàm con ngươi, cho bởi biểu thức (29). Vì thế, PSF không cố kết là phổ năng lượng của hàm con ngươi. 15.3.7.1. Ống kính hình tròn Một thấu kính với ống k ính có đường k ính a nằm trong miền ánh sáng dải hẹp, không cố kết có bước sóng trung tâm là , thì PSF là 2    r   J 1       r  0   h( r )   2  (35) r        r0     Trong đó J1(x) là hàm Bessel loại một bậc nhất. Hệ số hằng tỷ lệ một chiều là d i r0  (36) a Và r là khoảng cách bán k ính đo được từ trục quang họ c của mặt phẳng ảnh; tức là r  xi2  y i2 (37) 293
15.3.8. Hàm truyền đạt quang học không cố kết Biến đổ i Fourier của hàm PSF không cố kết được đơn giản ho á gọ i là OTF khô ng cố kết. Bởi vì PSF không cố kết là phổ năng lượng của của hàm con ngươi, nên lý thuyết t ự tương quan bao hàm rằng OTF khô ng cố kết là hàm tự tương quan của hàm con ngươi đã đơn giản hóa:     pd x, d y  pd x  u, d y  v dudv R p u , v  i i i i OTF u , v     (38)  0,0   Rp   p d x, d y dxdy 2 i i   15.3.8.1. Ống kính hình tròn Một thấu kính với ống k ính có đường k ính a nằm trong miền ánh sáng dải hẹp, không cố kết có bước sóng trung tâm là , thì OTF là 2  1  q   1  q     H q   cos    sin cos    (39) f   2 fc   c       Trong đó q là biến tần số khô ng gian, là bán k ính đo được trong khô ng gian tần số hai chiều. Nó được cho bởi q  u2  v2 (40) Trong đó u và v là các tần số khô ng gian theo các chiều x và y tương ứ ng. Tham số fc gọ i là tần số cắt quang học (optical cutoff frequency), xác đ ịnh từ 1 a (41) fc   r0 d i Hình 15-4 minh hoạ cho mố i quan hệ, đối với ống kính hình tròn và hình chữ nhật, giữa hàm con ngươi, hàm tán xạ điểm cố kết, hàm tán xạ đ iểm khô ng cố kết và các hàm truyền đạt. Lưu ý rằng đố i với chiếu sáng cố kết, OTF hoàn toàn nằm ngoà i tần số cắt, trong khi đố i với chiếu sáng không cố kết, nó lần lượt mất đi. HÌNH 15-4 Hình 15-4 Những tính chất quang họ c của ống kính hình tròn và hình chữ nhật 15.3.9. Thiết kế hàm truyền đạt quang học Nếu con ngươi ra của một hệ thố ng quang học là một ố ng kính, hàm con ngươ i p(x, y) chỉ nhận các giá trị 0 và 1. Chú ng ta có thể thực hiện một vài tác độ ng lên trên OTF bằng cách lựa chọ n ố ng kính kỹ lưỡng. Thự c tế, vì các k ỹ t huật chụp ảnh hay 294
làm lắng phim kim loại đ ều có thể dùng đ ể thực hiện các hàm con ngươi với các giá trị trung gian, mà chú ng ta có thể tác độ ng đáng kể trên OTF. Ví dụ, Frieden đã t ính các hàm con ngươi hình tròn mà OTF đạt cực đại t ại những tần số riêng biệt. Một vài trong số những hàm này và những OTF tương ứng của nó được cho trong hình 15-5. Chú ý rằng ố ng kính hình trò n rất khả quan cho việc cực đại hoá OTF tại nhữ ng tần số trung bình và cải tiến đô i chút bằng cách tác động lên hàm con ngươi là có thể được. Để cực đại ho á OTF tại nhữ ng tần số thấp, ta phải làm cho hệ số truyền của con ngươi suy giảm bằng cách tăng bán kính. Đây gọ i là tính xác thực. Một thiết bị đ iều chỉnh độ mở trung tâm có đường k ính thích hợp rất khả quan cho việc cực đại ho á OTF tại các tần số trên mức trung bình. 15.3.10. Hàm truyền đạt quang học và hàm truyền đạt điều biến OTF giá trị p hức xác định rõ cách mà thấu kính có thể tái tạo, trong mặt phẳng ảnh, các đặc tính đ iều hoà xảy ra trong mặt phẳng tiêu. Mô đun (độ lớn) của OTF là hàm truyền đạt đ iều biến (Modulation Transfer Function-MTF) đã đề cập đến ở chương 2. Các thấu kính chất lượng cao được thiết kế để mở đầu cho độ dịch pha và thường được giả thiết là không pha. Nghĩa là OTF suy giảm đến MTF (giá tr ị thực). Vớ i nhiều mục đ ích, người ta có thể sử dụ ng thuật ng ữ OTF hay MTF thay đổ i cho nhau những hay ít. Như đã nó i rõ trước đây, giá trị của MTF tại mộ t tần số riêng biệt là hệ số mà sự tương phản của các đặc trưng điều ho à trong ảnh tại tần số đó được nhân trong quá trình mô phỏng. Tính đối xứng. Vì OTF là biến đổ i Fourier hai chiều của PSF, nên nếu PSF là hàm chẵn (đố i xứng qua trục x và y) thì OTF sẽ có giá trị thực và cũ ng là một hàm chẵn. bởi vì ố ng kính là hình trò n nên ảnh mà nó t ạo thành tự một nguồn điển cũ ng đố i xứ ng hình trò n. Vì thế, một hệ thống không pha, mộ t PSF trò n và OTF giá tr ị thực có liên quan chặt chẽ với nhau. Theo biểu thức trong hình 15-5, hiển nhiên là tần số cắt có thể được cải tiến (làm tăng) bằng cách thử thay mộ t độ mở ống k ính lớn hơn hay bước só ng ngắn hơn. Do PSF và OTF được liên kết bới biểu diễn Fourier hai chiều nên ng ười ta cũng có thể thu nhận được chúng bằng các cách khác. 15.4. QUANG SAI CỦA HỆ THỐNG ẢNH Trong những thảo luận trước đây, ta đã đề cập đến mộ t hệ thống quang họ c khô ng quang sai tạo ra một sóng cầu. Quang sai trong hệ thống quang họ c tạo ra sóng cầu xuất phát từ dạng hình cầu lý tưởng của nó. Điều này có thể được mô p hỏ ng như trước đây, dù ng hình 15-2, nếu ta tổng quát ho á hàm con ngươi bằng cách định nghĩa nó như sau p  x, y   T x, y e jkW  x , y  (42) Trong đó T(x, y) là hệ số truyền củ a con ngươi và W(x, y) là quang sai. W(x, y) là sự chênh lệch về độ dài đư ờng đ i, theo bước sóng, giữa đường truyền (só ng cầu) thực tế và lý tưởng từ điểm (x, y) trong ố ng kính đếm tâm mặt phẳng ảnh. 15.4.1. Quang sai của thấu kính Hàm quang sai W(x, y) được chọ n đú ng đắn sẽ cho phép ta mô phỏ ng các tác độ ng của quang sai cầu, ngoài tiêu đ iểm (defocus), loạn thị (astigmation), côma, trường cong (field curvature) và méo ảnh (image distortion). Trường cong đề cập đến hiện tượng bề mặt của tiêu đ iểm chính là một mặt cong chứ k hô ng phải là mặt phẳng ảnh (phẳng). Loạn thị là tình trạng mà trong đó các tia tới đi qua con ngươi thuộc trục xa không hộ i tụ vào cùng một điểm như các tia tới thuộ c trục ya. Sự méo là do các đường thẳng trên mặt phẳng tiêu được biểu diễn như các đường cong trên mặt phẳng 295
ảnh. Cô ma đề cập đến trạng thái các tia từ mộ t điểm đ ơn trên mặt phẳng tiêu, đ i qua mặt đối diện của ố ng kính, hộ i tụ đến một điểm khác trên mặt phẳng ảnh. Mặc dù một nghiên cứu đầy đủ về quang sai quang học vượt ra ngoài mục đ ích của chúng ta, nhưng trong lĩnh vực đó có hai kết quả mà t a phải quan tâm. Thứ nhất, không t ồn tại hàm hệ số truyền T(x, y) mà có thể khiến cho OTF âm. Thứ hai, không có hàm quang sai W(x, y) nào có thể làm tăng OTF tại tần số bất k ỳ, nhưng quang sai có thể thực sự khiến cho OTF âm. Hình 15-6 minh ho ạ tác động của quang sai cầu lên OTF. Trong trường hợp này, có một sự chênh lệch về độ dài đường đ i  giữa tia chính và tia phụ. Mặt phẳng ảnh được đặt ở giữa tiêu cự chính và t iêu cự phụ. HÌNH 15-6 Hình 15-6 Tác động của quang sai cầu lên OTF 15.4.2. Ngoài tiêu điểm (defocus) Hình 15-7 minh hoạ tác động của các lượng ngoài tiêu đ iểm khác nhau. Ở đây ngoài tiêu điểm được đo bằng đơn vị bước só ng của sai số ngoài tiêu điểm (chênh lệch về độ dài đư ờng đi giữa tia chính và t ia phụ), chứ k hô ng phải bằng chính khoảng cách ngo ài tiêu điểm. OTF ngo ài tiêu điểm đố i xứ ng với sai số ngo ài tiêu điểm; tức là, lượng ngo ài tiêu đ iểm âm và dương bằng nhau sẽ cho cùng một OTF. Tuy nhiên, do sai số ngoài tiêu điểm là đơn điệu, nhưng không tuyến t ính, vớ i khoảng cách ngo ài tiêu đ iểm, nên OTF trước và sau mặt phẳng ảnh khô ng có cùng mộ t kho ảng cách. HÌNH 15-7 Hình 15-7 Tác độ ng ngo ài tiêu điểm lên OTF Lưu ý rằng, đối với mộ t lư ợng ngo ài tiêu đ iểm lớn, OTF sẽ coa giá trị âm tại mộ t vài tần số. Đó là kết quả của việc đảo ngược đen sang trắng các cấu trúc tần số trong 296
ảnh. Điều này đợc minh hoạ trong hình 15-8. Tần số tăng đến gần tâm của hình nan hoa (spoke target) (a) và pha đảo là hiển nhiên trong ảnh ngo ài tiêu điểm (b). Hiện tượng ngoài tiêu đ iểm và chiều sâu củ a trường sẽ được đề cập chi tiết hơn trong phần 22.2.5. HÌNH 15-8 Hình 15-8 Pha đảo do ngo ài tiêu điểm: (a) ảnh tiêu điểm của một hình nan hoa; (b) ảnh ngoài tiêu đ iểm 15.5. ĐỘ PHÂN GIẢI CỦA HỆ THỐNG ẢNH Hình 15-9 minh ho ạ, chi tiết hơn hình 15-4, hàm tán xạ điểm của hệ thống quang họ c giới hạn nhiễu xạ với các con ngươi hình tròn và hình chữ nhật. HÌNH 15-9 Hình 15-9 Tổng kết nhữ ng tính chất của ống kính Khoảng cách Rayleigh. Đối với một thấu k ính mang ống k ính trò n thì g iád trị 0 đầu tiên của mặt phẳng ảnh PSF xuất hiện tại bán kính d i   1.22 (43) a được gọ i là bán kính của đĩa Airy. Theo tiêu chu ẩn Rayleigh về độ phân giải th ì hai nguồ n đ iểm có thể được giải quyết nếu trong ảnh, chúng tách biệt nhau mộ t khoảng . (Xem hình 15-10) 297
HÌNH 15-10 Hình 15-10 Tiêu chuẩn độ phân giải Rayleigh Theo thuật ngữ quang họ c, kho ảng cách Rayleigh đ ịnh nghĩa phần tử phân giả i hình tròn trong ảnh, vì hai nguồn điểm có thể được giải quyết nếu chú ng khô ng cù ng nằm trong phạm vi một phần tử phân giải. Khoảng cách Abbe. Với ý nghĩa gần đú ng nhất, đường kính nửa biên độ đ ỉnh giữa của mặt phẳng ảnh PSF được cho bởi khoảng cách Abbe. d i r0  (44) a Những camera thu nhận nhữ ng đối tượng gần như phẳng, giống như chụp ảnh trên không, ảnh vệ tinh và ảnh qua k ính hiển vi, rất thuận tiện để thực hiện t ính to án kích thước trong mặt phẳng tiêu hơn là t ính toán trong mặt phẳng ảnh, bởi vì đó là nơi tập trung những đố i t ượng mà ta quan tâm. Điều này bao gồm cả một phép quay 1800 và mộ t phép t ỷ lệ với hệ số M (biểu thức (3)). Khoảng cách điểm ảnh và độ phân giải có thể xác định bằng số chu kỳ trên mét, chu k ỳ trên micro mét, …, trong mặt phẳng tiêu. 15.5.1. Camera Khi thao tác với thấu kính camera, thường thì df >> di  f, và độ phó ng đại M
15.5.2. K ính thiên văn Một hệ thố ng ảnh thiên văn chĩa vào bề mặt mộ t hình tinh có thể được coi như là mộ t hệ thống camera sử dụng công thức có trước, mặc dù bề mặt có thể phải mô phỏng là mặt cầu thay vì là mặt phẳng. (Xem chương 8) Tuy nhiên, trong thiên văn họ c, sự cách biệt giữa các vật thể thường được xác đ ịnh theo đơn vị gó c (độ, phút và giây) chứ không phải đo lường tuyến t ính. Đối với mụ c đ ích thực tiễn, các ngô i sao là các nguồn điểm. Tức là, kích thước ảnh củ a một ngôi sao nhỏ hơn nhiều lần so với PSF của một kính thiên văn quang họ c tốt nhất. Vì thế, mỗ i ngô i sao tạo ra trên mặt phẳng ảnh không phải ảnh của chính nó, mà là một bản sao PSF của hệ thống quang học. Đó là kích thước của PSF xác định mức độ gần nhau của hai ngô i sao (tính theo góc) và mặc dù nó được giả i quyết trong ảnh như những thực thể riêng biệt. Việc xác đ ịnh các kính thiên văn bằng đường kính ố ng kính của chú ng và số f (biểu thức (45)) thật thuận tiện. Chẳng hạn như đối với hệ thống camera, df >> di  f, và sự xấp xỉ này hầu như luôn luô n có giá trị. Với những đ iều kiện này, tần số cắt quang họ c không cố kết trong hệ t oạ độ góc đặt trên k ính thiên văn (t ính bằng chu k ỳ trên radian) là fc  a /  (49) Trong khi đó khoảng cách gó c Abbe (tính bằng radian) là r0   / a (50) Và khoảng cách góc Rayleigh (tính bằng radian) là   1.22 / a (51) 15.5.3. K ính hiển vi Trong kính hiển vi quang họ c, di được đặt bằng độ dài ống quang học của k ính hiển vi. Độ dài ống cơ họ c-kho ảng cách t ừ mép khung thấu kính đến mặt phẳng ảnh- thường là 160 mm. Tuy nhiên, độ dài ố ng quang học thường là từ 190 đến 210 mm, tuỳ thuộ c nhà sản xuất. Trong trường hợp bất k ỳ, di >> df  f và M >> 1, ngoại trừ khi sử dụ ng một thấu k ính có độ phóng đại thấp (nhỏ hơn 10 lần). Bình thường, đó là mục tiêu để xác định chất lư ợng ảnh, quy đ ịnh rằng các thành phần quang học còn lạ i trong thiết bị được sắp xếp ho àn to àn và đú ng đắn. Thông thường để chỉ rõ mục tiêu không phải bằng tiêu cự và đường kính ống kính, mà bằng hệ số (chẳng hạn như là: độ phó ng đại, biểu thức (3)) và hệ số ống kính, được định nghĩa như sau NA  n sin    a / 2d f  a / 2 f (52) Trong đó n là hệ số khúc xạ của mô i trường (không khí, nước hay dầu) đặt giữa mẫu vật và thấu kính, và  = artan(a/2df) là gó c giữa trục quang họ c và một tia phụ từ gốc của mặt phẳng tiêu đến cạnh ống k ính. Những xấp xỉ trong biểu thức (52) giả thiết ố ng kính nhỏ và độ phóng đại cao. Các nhà sản xuất kính hiển vi thường khắc hệ số phó ng đại và hệ số ống kính lên các thấu kính của họ, cò n tiêu cự và đư ờng kính ống k ính thực tế ít được sử dụng. Thường thư ờng, thấu kính t ạo thành một ảnh trực tiếp lên bộ cảm nhận ảnh và khoảng cách điểm ảnh giảm t ỷ lệ từ bộ cảm nhận đến mẫu vật theo một hệ số xấp x ỉ với hệ số đ ích. Trong các trường hợp khác, độ phóng đại cộ ng thêm được đưa vào bằng những thấu kính trung gian đặt giữa mục tiêu và camera. Thị k ính của k ính hiển vi, coi như quy ước tính toán độ phó ng đại, khô ng có ảnh hưởng đến kho ảng cách 299
điểm ảnh. Mộ t cách lý tưởng, người ta nên đo chứ không nên tính khoảng cách điểm ảnh trong một ảnh số hiển vi. Vì df  f, nên các tham số độ phân giải sẽ đơn giản hơn nếu chúng ta thao t ác chúng với mặt phẳng tiêu (mẫu vật) hơn là làm việc trên mặt phẳng ảnh. Đố i với mộ t mục tiêu hiển vi, tần số cắt không cố kết trong hệ toạ độ mặt phẳng tiêu là f c  Ma / d i  a / d f  2 NA /  (53) Kho ảng cách Abbe là df 1 di    (54) r0   Ma a 2 NA Và khoảng cách Rayleigh (đường kính phần tử phân giải) là   1.22r0  0.61 / NA (55) Những xấp xỉ đã nó i ở trên bắt đầu đổ vỡ tại hệ số thấp và NA cao, chúng thường không cùng xuất hiện. Người ta có thể tính toán và so sánh f với a, hay các góc arctan(a/2df) với arcsin(NA/n), để định lượng mức độ gần đúng. 15.6. PHÂN TÍCH CÁC HỆ THỐNG ĐẦY ĐỦ Bây giờ chúng ta đã có các công cụ để miêu tả các tác động của quang họ c, lấy mẫu, lọ c và nộ i suy. Trong phần cò n lại của chương này, chúng ta sẽ áp dụng những kỹ thuật đã chọn này để p hân tích các hệ thống ảnh số đầy đủ. Liên quan đến vấn đề này, chúng ta sẽ tìm kiến những phương pháp để xác đ ịnh mộ t hệ thố ng đặc biệt có đủ và giá cả có gây ấn tượng cho thực hiện xử lý ảnh và các đề tài phân tích định lượng ảnh có đáng mong đợi hay khô ng. Chúng ta cũng sẽ tìm kiếm một sự điều chỉnh g iữa những thành phần hệ thố ng con sao cho toàn bộ những thực hiện của hệ thống là thích đáng và k hô ng có thành phần nào thể hiện sự tàn phá quá nghiêm trọng. 15.6.1. Độ phân giải Trước khi có thể t rình bày một tiếp cận cố kết để xác định độ phân giải của một hệ thố ng ảnh, chú ng ta phải phát biểu mộ vài đ ịnh nghĩa. Những định nghĩa này khô ng mang ý nghãi tiêu chuẩn, nhưng chú ng tạo thành cơ sở thực tế để ta có thể dựa vào đó mà thực hiện. 15.6.1.1. Định nghĩa Nói đến độ phân giải, chú ng ta nghĩ ngay đến khả năng tạo ra độ tương phản giữa các đố i tượng với nhiều kích thước khác nhau của một hệ thố ng ảnh. Đặc biệt đáng quan tâm là những đố i tượng nhỏ hơn, vì chúng thường gây rắc rối hơn cả. Thuật ngữ tương phản đ ề cập đến sự khác nhau về cường độ trong một đố i tượng hay giữa mộ t đố i tượng với nền xung quanh. Nếu mộ t đố i tượng không còn tương phản do quá trình xử lý, trong ảnh nó có vẻ mờ nhạt hơn so với ngoài thực tế. Nếu độ tương phản của nó giảm đến 0 thì nó sẽ biến mất. Phương pháp hữu ích nhất để xác định số lượng khái niệm về k ích thước đố i tượng là bằng tần suất khô ng gian, theo chu kỳ hay cặp dòng trên đơn vị chiều dài. Với mục đích của chú ng ta, biểu thức thuận tiện nhất về độ phân giải của mộ t hệ thố ng ảnh là MTF của nó. Vì đây là hàm thực, nên nó chỉ g iải thích vấn đề mất tương phản của đố i tượng trong suốt quá trình xử lý và khô ng có tác dụng đố i với bất kỳ sự dịch vị tr í (pha) nào. Hàm truyền đạt phức giải thích cho cả hai và có thể sử dụng nếu thấy cần thiết. 300
Tuy nhiên, thô ng thường thì các thành phần của mộ t hệ thống ảnh số được giả thiết là hệ thống tuyến tính, bất biến dịch, khô ng pha. Hàm truyền đạt cảu một thành phần không pha là thực (không phải phứ c) và chỉ là MTF. Vì thế, MTF cho biết tất cả nhữ ng điều cần thiết về hệ thống tuyến tính, bất biến dịch, không pha và dù ng để xác định độ phân giải rất thuận tiện. 15.6.1.2. MTF của hệ thống ảnh Các hệ thố ng ảnh số thường bao gồm một tầng các thành phần để ảnh tuần tự đ i qua. Những MTF của các hệ thố ng con này kết hợp bằng phép nhân để tạo thành MTF chung cho hệ thống. Vì thế, nếu biết những MTF của các thành phần riêng lẻ thì MTF của to àn bộ hệ thống ảnh có thể được xác định bằng cách nhân các MTF riêng lẻ với nhau. Các MTF riêng lẻ t hường nhân giá trị nhỏ hơn 1 trên to àn bộ phạm vi tần số. Do đó, tích của chúng sẽ nhỏ hơn MTF nhỏ nhất t ại mọ i nơi và độ phân giải chung của hệ thống sẽ tệ hơn liên kết lỏng lẻo nhất trong chuỗi xử lý ảnh. Thường thì các thành phần để xác đ ịnh độ phân giải được đặt giữa đố i tượng xem xét và bộ chuyển đổ i tương tự sang số (ADC). Do nguyên nhân này mà ta sử dụng MTF của hệ thống ảnh như sự xác đ ịnh rõ độ phân giải cơ bản của một hệ thống ảnh số. Theo định nghĩa, đây là MTF tổ ng hợp của t ất cả các thành phần tuyến t ính đứng trước bộ chuyển đổi tương tự-số . MTF của một hệ thống ảnh số t hường được xác đ ịnh chủ yếu bởi hai thành phần: bộ thu nhận ảnh cơ bản (thấu k ính hay g ương) và bộ cảm nhận ảnh (camera). Bộ thu nhận ảnh cơ bản là thấu k ính camera chính, thấu k ính thiên văn hay hiển vi, ho ặc gương k ính thiên văn. Nó i chung, có thể có nhiều thấu kính, bộ lọ c, gương và bộ tách tia theo hướng quang học từ đố i tượng đến bộ cảm nhận. Tuy nhiên, bộ thu nhận ảnh cơ bản cù ng với camera nói chung là thành phần hạn chế độ phân giải và xác đ ịnh toàn bộ chất lượng ảnh. Một cách lý tưởng (giải pháp tốt nhất), PSF sẽ là những vấu vô cùng hẹp và khô ng có cạnh. Từ biểu thức (35), chúng ta thấy rằng hệ số tỷ lệ r0 là mộ t yếu tố về độ rộ ng của PSF. Nó sẽ trở nên nơor hơn với độ mở ống k ính lớn hơn và nó nhận giá trị nhỏ hơn t ại các bước sóng ánh sáng chiếu ngắn hơn (biểu thức (36)). Các vấu cạnh không thể loại bỏ được hết. 15.6.1.3. Độ mở ống kính, bước sóng và độ phân giải Trong hình 15-4 và 15-9, PSF có giá trị 0 đầu tiên tại bán kính 1.22r0. Theo tiêu chuẩn Rayleigh về độ phân giải, có t hể phân biệt hai nguồn điểm nếu chúng được tách ra theo kho ảng cách trong mặt phẳng tiêu. (Xem lại phần 15.5) Vì thế, mộ t phương pháp phổ biến đ ể xác định độ p hân giải của một hệ thố ng ảnh là t iêu chu ẩn Rayleigh. Lưu ý rằng độ phân giải trở nên tốt hơn (r0 trở nên nhỏ hơn) ở bước sóng bgắn hơn và với độ mở ố ng kính lớn hơn. Một cách khác để xác định độ phân giải của một thấu kính là bằng hệ số phó ng đại của đ ỉnh giữa của PSF. Với ý nghĩa gần đúng nhất, hệ số phó ng đại tương đương của PSF cũng đ ược cho bởi khoảng cách Abbe. Vì thế, giố ng như độ phân giải, hệ sô phóng đại PSF trở nên nhỏ hơn tại bước sóng ngắn hơn và với độ mở ống k ính lớn hơn. Để hiễu rõ hơn về vấn đề độ mở ống k ính lớn hơn sẽ cải thiện độ phân giải như thế nào, hãy xem xét ho ạt độ ng của một kính hiển vi. Giố ng như ánh sáng chiếu song song theo trục quang họ c vào mẫu vật từ phía bên dưới, những cấu trúc nhỏ tại đó làm cho ánh sáng đổ i hướng, do hiện tượng nhiễu xạ. Các cấu trúc nhỏ hơn thì góc nhiễu xạ lớn hơn. Đố i với các cấu trúc bên dư ới k ích thước giới hạn, ánh sáng b ị nhiễu xạ theo cách chú ng sẽ ra khỏ i mẫu vật với gó c là cho nó đi ra ngoài thấu k ính và vì thế sẽ không góp phần vào sự tạo thành ảnh. Việc tăng đường k ính của lỗ ố ng 301
kính sẽ cho phép ánh sáng nhiễu xạ bởi các cấu trúc nhỏ hơn, gó p phần tạo thành ảnh. 15.6.2. K hoảng cách điểm ảnh Chúng ta đã t rải qua mộ t vài k ỹ thuật phân tích đ ộ phân giải, lấy mẫu và hiển th ị khác nhau. Bây giờ chúng ta sẽ kết hợp chú ng lại để định rõ một hệ thống ảnh số ho àn chỉnh. Đối với k ính hiển vi, cũ ng như đố i với các camera thu nhận các đố i tượng hai chiều, việc kết hợp đó rất thuận tiện để xem xét tất cả các kích thư ớc mặt phẳng tiêu (đố i tượng). Điều này dễ dàng được thực hiện nếu biết trước các hệ số phó ng đạ i thích hợp. Những hệ số này được tính to án hay đo lư ờng với sự giúp đỡ của một tiêu chuẩn kiểm tra. Việc đo góc đối với kính thiên văn là thuận lợi nhất. Hình 15-11 cho thấy ba tham số được làm phù hợp trêm mặt phẳng tiêu. Ở đây, F = 1/T là tần số không gian đang xem xét cao nhất biểu thị cho mẫu vật. T là chu k ỳ của chi tiết quan tâm nhỏ nhất tro ng mẫu vật. Trong hình, nhiễu trội hơn phổ tại các tần số bên trên F. Fs = 1/x là tần số lấy mẫu, trong đó x là khoảng cách lấy mẫu và fc là tần số cắt của MTF hệ thố ng ảnh. Theo kinh nghiệm, đường kính W của đ iểm quét (MTF hệ thống ảnh), ám chỉ mặt phẳng tiêu, không nên lớn hơn một nửa T. Nghĩa là một điểm quét sẽ thích hợp trong phạm vi một nửa chu kỳ của sóng sin tần số cao nhất. Một điểm quét lớn hơn có ý thiên về làm giảm độ t ương phản của chi tiết ảnh, vì nó hành độ ng như một bộ lọc thô ng thấp. HÌNH 15-11 Hình 15-11 Các tham số độ phân giải và lấy mẫu trong miền tần số 15.6.2.1. Tiêu chuẩn lấy mẫu Nyquist Các tần số biểu thị trong đối tượng cao như thế nào chẳng quan trọ ng, không mộ t thô ng tin nào bên trên tần số cắt của MTF được biểu hiện trong bộ số hoá. Tần số này có thể không cao hơn tần số cắt của OTF thấu kính hay gương ảnh cơ bản. vì thế, nếu ta đặt tần số cơ bản (mộ t nửa tần số lấy mẫu) bằng tần số cắt OTF, sẽ tránh được hiện tượng trùm phổ và p hép nộ i suy thích hợp có thể khô i phục lại ảnh từ các điểm mẫu mà k hô ng hề sai sót. Việc thiết lập tần số cơ bản bằng tần số cao nhất có trong ảnh gọ i là lấy mẫu theo tiêu chuẩn Nyquist. Nó đặt khoảng cách điểm ảnh bằng f/2 đố i với camera, bằng /2a đối với k ính thiên văn và bằng /4NA đố i với k ính hiển vi. 15.6.2.2. Tiêu chuẩn lấy mẫu Rayleigh Tiêu chuẩn độ phân giải Rayleigh mang lại khái niệm về khoảng cách đ iểm ảnh khá dễ hiểu. Nếu kho ảng cách lấy mẫu bằng mộ t nửa khoảng cách Rayleigh, thì các điểm ảnh sẽ nằm liên tiếp nhau trên và giữa các nguồ n đ iểm tách biệt nhau trong ảnh. Trong trường hợp này, các nguồn điểm có thể được giải quyết theo ảnh số. Khoảng 302