Xử lý tín hiệu số_Chương III (Phần 2)

Chia sẻ: Le Ngoc Thin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

170
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định nghĩa đáp ứng tần số: Chúng ta biết rằng đáp ứng xung h(n) của hệ thống tuyến tính bất biến chính là đáp ứng (Hay đáp ứng ra ) của hệ thống kích thích (Hay kích thích vào) x(n) = (n). Hình 3.5 Bây giờ ta đặt đầu vào một kích thích, ở đây ôm là tần số. Vật đáp ứng ra y(n) của hệ thống sẽ được tính như công thức

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xử lý tín hiệu số_Chương III (Phần 2)

Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc FT [ x(n)r − n ] = ZT [x(n)] (3.48) neáu X(z) hoäi tuï taïi z = 1 , thì X ( e jω ) = X ( z ) ∞ z = e jω = ∑ x ( n )e m = −∞ − jωn = FT[ x (n )] Nhö vaäy bieán ñoåi Fourier chính laø bieán ñoåi Im(z) Z ñöôïc ñaùnh giaù treân voøng troøn ñôn vò trong maët Maët phaúng Z phaúng Z hình 3.4. Ví duï nhö cho daõy tín hieäu r =1 1 n ω Re(z) x ( n) =   u ( n) -1 +1  3 0 Haõy tìm X(Z) vaø X(ejω) ∞ n 1 1 X(z) = ∑   z − n = n =0  3  1 1 − z −1 Hình 3.4 3 1 ,z > 3 Vaäy X(Z) hoäi tuï treân voøng troøn ñôn vò, neân X(ejω) toàn taïi, ta coù : X ( e jω ) = X ( z ) 1 jω = z=e 1 1 − e − jω 3 3.5 Bieåu Dieãn Heä Thoáng Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc 3.5.1 Ñaùp Öùng Taàn Soá a. Ñònh Nghóa Chuùng ta bieát raèng ñaùp öùng xung h(n) cuûa heä thoáng tuyeán tính baát bieán chính laø ñaùp öùng (hay ñaùp öùng ra) cuûa heä thoáng kích thích (hay kích thích vaøo) x(n) = δ(n) Hình 3.5. h(n) x(n) ≡ δ(n) y(n) ≡ h(n) Hình 3.5 Baây giôø ta ñaët ñaàu vaøo moät kích thích x(n) = ejωn vôùi - ∞ < n < ∞ (3.49) ôû ñaây ω laø taàn soá. Vaäy ñaùp öùng ra y(n) cuûa heä thoáng seõ ñöôïc tính nhö sau : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 103
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc ∞ ∞  ∞  y ( n) = ∑ x ( m) x ( n − m) = m = −∞ ∑ m = −∞ h(m)e jω ( n − m ) =  ∑ h(m)e − jωm  e jωn  m = −∞  ∞ H ( e jω ) = ∑ h( m)e m = −∞ − jωm (3.50) Vaäy y (n) = H (e jω )e jωn (3.51) Töø ñaây ta coù ñònh nghóa : H (e jω ) ñöôïc goïi laø ñaùp öùng taàn soá cuûa heä thoáng. Nhaän xeùt : Theo bieåu thöùc (3.50), ta thaáy raèng ñaùp öùng taàn soá cuûa heä thoáng chính laø bieán ñoåi Fourier cuûa ñaùp öùng xung : ∞ H (e jω ) = FT [h(n)] = ∑ h( n)e n = −∞ − jωn (3.52) Ngöôïc laïi, ta cuõng coù theå noùi raèng ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng chính laø bieán ñoåi Fourier ngöôïc cuûa ñaùp öùng taàn soá cuûa heä thoáng : π 1 h(n) = IFT [ H (e jω )] = ∫π H (e jω )e jωn dω (3.53) 2π − b. Bieåu Dieãn H(ejω) Nhö vaäy, H (e jω ) laø haøm bieán soá phöùc cuûa taàn soá ω, nhö vaäy, ta coù theå bieåu dieãn noù döôùi daïng sau ñaây : H (e jω ) = Re[H (e jω )] + j Im[H (e jω )] (3.54) hoaëc H (e jω ) = H (e jω ) e jϕ (ω ) (3.55) ϕ(ω) = arg[H(e jω )] (3.56) ôû ñaây H (e jω ) : laø ñaùp öùng taàn soá cuûa bieân ñoä hay goïi taét laø ñaùp öùng bieân ñoä cuûa heä thoáng. ϕ (ω ) : laø ñaùp öùng taàn soá cuûa pha hay goïi taét laø ñaùp öùng pha cuûa heä thoáng. Roõ raøng laø ta cuõng coù quan heä giöõa ñaùp öùng taàn soá cuûa bieân ñoä H (e jω ) vaø pha ϕ (ω ) vôùi phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa H (e jω ) : [ ] H (e jω ) = Re 2 H (e jω ) + Im 2 H (e jω ) [ ] (3.57) ϕ (ω ) = arctg [ Im H (e jω ) ] (3.58) [ Re H (e jω ) ] Cuõng gioáng nhö tín hieäu, chuùng ta coù caùch bieåu dieãn döôùi daïng ñoä lôùn vaø pha nhö sau : H (e jω ) = A(e jω )e jθ (ω ) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 104
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc A(e jω ) goïi laø ñoä lôùn, coù theå laáy caùc giaù trò aâm hoaëc döông. Coøn H (e jω ) chæ laáy caùc giaù trò döông. Ví duï 3.5 : Cho moät heä thoáng tuyeán tính baát bieán coù ñaùp öùng xung nhö sau : h(n) = anu(n) vôùi a < 1 Haõy xaùc ñònh ñaùp öùng taàn soá cuûa heä thoáng vaø ñaùp öùng ra vôùi kích thích vaøo laø π j n 1 x ( n) = e 3 ) vaø a = 3 Giaûi : ∞ ∞ ∞ H ( e jω ) = ∑ h ( n )e n = −∞ − jωn = ∑ a n e − jωn = ∑ (ae − jω ) n n =0 n =0 Vì a < 1 neân ae − jω < 1 neân chuoãi naøy hoäi tuï, vaäy ta coù : 1 H ( e jω ) = 1 − ae − jω Töø ñaây ta coù : 1 − a cos ω [ Re H (e jω ) = ] 1 + a 2 − 2a cos ω a sin ω [ Im H (e jω ) = ] 1 + a − 2a cos ω 2 1 H ( e jω ) = 1 + a 2 − 2a cos ω π j n Vôùi x(n) = e 3 ) , öùng duïng bieåu thöùc (3.50), ta coù ñaùp öùng y(n) nhö sau : π 1 j n y ( n) = π e 3 1 −j 1− e 3 3 3.5.2 Caùc Boä Loïc Soá Lyù Töôûng Moät öùng duïng quan troïng nhaát cuûa xöû lyù tín hieäu laø loïc soá. Caùc boä loïc soá daàn daàn ñaõ thay theá caùc boä loïc töông töï. Vieäc thieát keá caùc boä loïc thöïc teá ñeàu ñi töø lyù thuyeát caùc boä loïc lyù töôûng, vì vaäy caàn phaûi nghieân cöùu caùc boä loïc lyù töôûng. Chuùng ta seõ tieán haønh nghieân cöùu boán loaïi boä loïc soá tieâu bieåu laø : - Boä loïc soá thoâng thaáp. - Boä loïc soá thoâng cao. - Boä loïc soá thoâng daûi. - Boä loïc soá chaén daûi. Loïc ôû ñaây, chuùng ta hieåu laø loïc taàn soá chính, vì vaäy maø taát caû caùc ñaëc tröng cuûa loïc taàn soá ñeàu ñöôïc cho theo ñaùp öùng bieân ñoä. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 105
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc a. Boä Loïc Soá Thoâng Thaáp Lyù Töôûng Tröôùc heát, chuùng ta ñònh nghóa theá naøo laø boä loïc thoâng thaáp lyù töôûng. Boä loïc thoâng thaáp lyù töôûng ñöôïc ñònh nghóa theo ñaùp öùng bieân ñoä. Ñònh nghóa : Ñaùp öùng bieân ñoä cuûa boä loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : 1 vôùi − ω c ≤ ω ≤ ω c H ( e jω ) =  (3.59) 0 vôùi ω coøn laïi Hình 3.6 cho ñoà thò cuûa ñaùp öùng bieân ñoä cuûa loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng. |H(ejω)| 1 ω -π -ωc 0 ωc π Hình 3.6 Nhaän xeùt : Ôû ñaây H (e jω ) laø ñoái xöùng, töùc laø chuùng ta ñònh nghóa loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng vôùi h(n) laø thöïc, vaø sau naøy neáu H (e jω ) laø ñoái xöùng thí ta chæ caàn xeùt moät nöûa chu kyø ( 0 ≤ ω ≤ π ) laø ñuû. Neáu chæ xeùt trong moät nöûa chu kyø thì caùc tham soá cuûa boä loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng seõ nhö sau : ωc : taàn soá caét ( 0 ≤ ω ≤ ωc ) : daûi thoâng ( ωc ≤ ω ≤ π ) : daûi chaén Ví duï 3.6 : Cho ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng pha khoâng (θ(ω) = 0) nhö sau: 1 , − ωc ≤ ω ≤ ωc H ( e jω ) =  vôùi (- π ≤ ω ≤ π ) 0 , ω coøn laïi Haõy tìm ñaùp öùng xung h(n) cuûa boä loïc vaø haõy veõ h(n) trong tröôøng hôïp taàn soá caét ωc = π/2. Giaûi : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 106
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc π ωc 1 1 1 1 ∫π H (e ∫e ( e jω c n − e − jω c n ) = jω jωn jωn h( n) = )e dω = dω = sin ω c n 2π − 2π ω − c 2πjn πn ω c sin ω c n h( n) = (3.60) π ωcn thay ωc = π/2 ta coù : π sin n 1 2 h( n) = 2 π n 2 Thay töøng giaù trò cuûa n vaøo ta seõ thu ñöôïc caùc giaù trò cuûa h(n). Ñoà thò cuûa h(n) cho treân hình 3.7 h (n ) 1/2 1/π 1/5π n 0 1 2 Hình 3.7 Nhaän xeùt : - Ñaùp öùng xung h(n) laø ñoái xöùng, bôûi vì ñaùp öùng pha θ(ω) laø tuyeán tính. - Taâm ñoái xöùng cuûa h(n) naèm taïi maãu n = 0, bôûi vì pha θ(ω) = 0 (truøng vôùi truïc hoaønh). - Taïi taát caû caùc maãu laø soá nguyeân laàn cuûa 2 (caùc maãu chaün) tröø taïi n = 0 thì h(n) = 0 bôûi vì ωc = π/2. Trong tröôøng hôïp toång quaùt ωc = π/M (M laø nguyeân döông) thì taïi caùc maãu laø soá nguyeân laàn cuûa M. h(n) = h(mM) = 0. - Caùc boä loïc coù taàn soá caét ωc = π/M (M laø nguyeân döông) ñöôïc goïi laø boä loïc Nyquist. - Neáu ωc = π/2 goïi laø boä loïc nöûa band, neáu ωc = π/M goïi laø boä loïc moät phaàn M band. - Ñaùp öùng bieân ñoä H (e jω ) cuûa caùc boä loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng laø hoaøn toaøn nhö nhau, nhöng ñaùp öùng pha θ(ω) coù theå khaùc nhau - L[H(n)] = ∞. - Laø khoâng nhaân quaû - Khoâng thöïc hieän ñöôïc veà vaät lyù. b. Boä Loïc Soá Thoâng Cao Lyù Töôûng Cuõng nhö boä loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng, boä loïc soá thoâng cao lyù töôûng cuõng ñöôïc ñònh nghóa theo ñaùp öùng bieân ñoä. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 107
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc Ñònh nghóa : Ñaùp öùng bieân ñoä cuûa boä loïc soá thoâng caothaáp lyù töôûng ñöôïc ñònh nghóa nhö sau :  − π ≤ ω ≤ ω c 1 ,  H (e ) =  jω  ωc ≤ ω ≤ π (3.61) 0 , ω coøn laïi  vaø (- π ≤ ω ≤ π ) Hình 3.8 cho ñoà thò cuûa ñaùp öùng bieân ñoä cuûa loïc soá thoâng cao lyù töôûng. |H(ejω)| 1 ω -π -ωc 0 ωc π Hình 3.8 Nhaän xeùt : Cuõng gioáng nhö boä loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng, H (e jω ) laø ñoái xöùng, nhö vaäy h(n) laø thöïc vaø nhö vaäy trong mieàn taàn soá ω ta chæ caàn xeùt H (e jω ) trong moät nöûa chu kyø ( 0 ≤ ω ≤ π ) laø ñuû. Neáu chæ xeùt trong moät nöûa chu kyø thì caùc tham soá cuûa boä loïc soá thoâng cao lyù töôûng seõ nhö sau : ωc : taàn soá caét ( 0 ≤ ω ≤ ωc ) : daûi chaén ( ωc ≤ ω ≤ π ) : daûi thoâng Ví duï 3.7 : Cho ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc thoâng cao lyù töôûng pha khoâng (θ(ω) = 0) nhö sau :  − π ≤ ω ≤ ω c 1 ,  H (e ) =  jω  ωc ≤ ω ≤ π 0 , ω coøn laïi  vôùi ( -π ≤ ω ≤ π ) Haõy tìm ñaùp öùng xung h(n) cuûa boä loïc vaø veõ h(n) trong tröôøng hôïp ωc = π/2 Giaûi : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 108
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc π π ωc 1 1 1 sin πn ω c sin ω c n ∫π H (e ∫π e ∫e jω jωn jωn jωn h( n) = )e dω = dω − dω = − 2π − 2π − 2π − ωc πn π ωcn ω c sin ω c n h( n) = δ ( n ) − (3.62) π ωcn thay ωc = π/2 ta coù : π sin n 1 2 h( n) = δ ( n) − 2 π n 2 Thay töøng giaù trò cuûa n vaøo ta seõ thu ñöôïc caùc giaù trò cuûa h(n). ñoà thò cuûa h(n) cho treân hình 3.9. h (n ) 1/2 n 1/5π 1/π Hình 3.9 Nhaän xeùt : - Cuõng gioáng nhö boä loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng pha khoâng, ñoái vôùi boä loïc soá thoâng cao lyù töôûng thì ñaùp öùng xung h(n) laø ñoái xöùng vaø taâm ñoái xöùng naèm taïi maãu n = 0 bôûi vì ñaùp öùng pha θ(ω) laø tuyeán tính vaø pha θ(ω) = 0. - Neáu ta kyù hieäu boä loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng (lowpass filter) laø H lp (e jω ) vaø hlp(n) ; boä loïc thoâng cao (highpass filter) laø laø H hp (e jω ) vaø hhp(n) thì thaáy raèng ñoái vôùi caùc boä loïc pha khoâng ta coù quan heä sau ñaây : 1 − hlp (0) , n=0 h( n) =  (3.63)  − hlp (n) , n≠0 - Ta thaáy raèng δ(n) chính laø ñaùp öùng xung cuûa boä loïc thoâng taát (All-pass filter) pha khoâng vaø ñaùp öùng bieân ñoä cuûa boä loïc thoâng taát laø : H ap (e jω ) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 109
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc H ap (e jω ) = 1 , −π ≤ ω ≤ π (3.64) H ap (e jω ) ñöôïc minh hoaï treân hình 3.10 |Hap (ejω)| 1 ω -π -ωc 0 ωc π Hình 3.10 Nhö vaäy boä loïc thoâng taát cho thoâng taát caû caùc thaønh phaàn taàn soá, hay noùi caùch khaùc, boä loïc thoâng taát laø boä loïc thoâng thaáp coù taàn soá caét ωc = π (neáu xeùt trong nöûa chu kyø 0 ≤ ω ≤ π). Vì vaäy boä loïc thoâng taát thöôøng duøng laøm caùc boä di pha vaø vieäc thieát keá boä loïc thoâng taát chæ theo caùc tieâu chuaån kyõ thuaät cuûa ñaùp öùng pha, khoâng caàn xeùt ñeán ñaùp öùng bieân ñoä, vì trong caû daûi taàn H ap (e jω ) ñeàu baèng 1. Neáu caùc boä loïc thoâng thaáp, boä loïc thoâng cao vaø boä loïc thoâng taát coù cuøng ñaùp öùng pha, ta seõ coù caùc quan heä sau : hhp(n) = hap(n) - hlp(n) (3.65) vaø H hp (e jω ) = H ap (e jω ) − H lp (e jω ) (3.66) do ñoù ta cuõng coù H hap (e jω ) = H ap (e jω ) − H lp (e jω ) (3.67) c. Boä Loïc Soá Thoâng Daûi Lyù Töôûng Chuùng ta ñònh nghóa theo ñaùp öùng bieân ñoä. Ñònh nghóa : Ñaùp öùng bieân ñoä cuûa boä loïc soá thoâng daûi lyù töôûng ñöôïc ñònh nghóa nhö sau :  − ω c 2 ≤ ω ≤ ω c1 1 ,  jω H (e ) =   ω c1 ≤ ω ≤ ω c 2 (3.68) 0 , ω coøn laïi  vaø (- π ≤ ω ≤ π ) Hình 3.11 cho ñoà thò cuûa ñaùp öùng bieân ñoä cuûa loïc soá thoâng daûi lyù töôûng. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 110
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc |H(ejω)| 1 ω -π -ωc2 -ωc1 0 ωc1 ωc2 π Hình 3.11 Nhaän xeùt : Ñaùp öùng bieân ñoä H (e jω ) laø ñoái xöùng trong moä chu kyø ( -π ≤ ω ≤ π ), vì vaäy chuùng ta chæ caàn xeùt trong moät nöûa chu kyø ( 0 ≤ ω ≤ π ) laø ñuû. Trong moät nöûa chu kyø naøy, boä loïc thoâng daûi chæ cho thoâng qua caùc thaønh phaàn taàn soá töø ωc1 ñeán ωc2. Caùc tham soá cuûa boä loïc thoâng daûi lyù töôûng nhö sau : ωc1 : taàn soá caét döôùi ωc2 : taàn soá caét treân (ωc1 ≤ ω ≤ ωc2 ) : daûi thoâng ( 0 ≤ ω ≤ ωc1 ) : daûi chaén (ωc2 ≤ ω ≤ π) : daûi chaén Ví duï 3.8 : Cho ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc thoâng daûi lyù töôûng pha khoâng (θ(ω) = 0) nhö sau  − ω c 2 ≤ ω ≤ −ω c1 jω 1 ,  H (e ) =   ω c1 ≤ ω ≤ ω c 2 0 , 0 ω coøn laïi  vôùi ( -π ≤ ω ≤ π ) Haõy tìm ñaùp öùng xung h(n) cuûa boä loïc vaø veõ h(n) trong tröôøng hôïp ωc1 = π/3, ωc2 = π/2. Giaûi : π ωc 2 ω c1 1 1 1 ∫π H (e ∫e ∫e jω j ωn j ωn j ωn h( n) = )e dω = dω − dω 2π − 2π − ω c2 2π ω − c1 ω c 2 sin ω c 2 n ω c1 sin ω c1 n h( n) = − (3.69) π ω c2 n π ω c1 n thay ωc2 = π/3, ωc2 = π/2 ta coù : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 111
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc π π sin n sin n 1 2 −1 3 h( n) = 2 π 3 π n n 2 3 Trong tröôøng hôïp naøy ñoà thò cuûa h(n) ñöôïc cho treân hình 3.12. h (n ) 1/6 n -1/3π Hình 3.12 Nhaän xeùt : - Neáu ta coù hai boä loïc soá thoâng thaáp coù taàn soá caét ωc2 vaø ωc1 vaø neáu hai boä loïc naøy cuøng ñaùp öùng pha thì boä loïc thoâng giaûi chính laø hieäu cuûa hai boä loïc thoâng thaáp, töùc laø : H bp (e jω ) = H lp 2 (e jω ) − H lp1 (e jω ) ôû ñaây : H bp (e jω ) : Laø ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc thoâng daûi. H lp 2 (e jω ) : Laø ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc thoâng thaáp taàn soá caét ωc2. H lp1 (e jω ) : Laø ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc thoâng thaáp taàn soá caét ωc1. Vaø trong mieàn n ta cuõng coù : hbp(n) = hlp2(n) - hlp1(n) - Khi ωc2 ≈ ωc1 ta coù boä loïc thoâng daûi daûi heïp, thöôøng ñöôïc duøng laøm boä loïc coäng höôûng. d. Boä Loïc Soá Chaén Daûi Lyù Töôûng Ñònh nghóa : Ñaùp öùng bieân ñoä cuûa boä loïc soá chaén daûi lyù töôûng ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 112
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc  − π ≤ ω ≤ −ω c 2 1 − ω ≤ ω ≤ ω  ,  c1 H ( e jω ) =  c1 (3.70) ω c 2 ≤ ω ≤ π   0  , ω coøn laïi vôùi (- π ≤ ω ≤ π ) Hình 3.13 cho ñoà thò cuûa ñaùp öùng bieân ñoä cuûa loïc soá thoâng cao lyù töôûng. |H(ejω)| 1 ω -π -ωc2 -ωc1 0 ωc1 ωc2 π Hình 3.13 Ví duï3.10 : Cho ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc thoâng cao lyù töôûng pha khoâng (θ(ω) = 0) nhö sau :  − π ≤ ω ≤ −ω c 2 1 − ω ≤ ω ≤ ω  ,  c1 H ( e jω ) =  c1 ω c 2 ≤ ω ≤ π   0  , ω coøn laïi vôùi ( -π ≤ ω ≤ π ) Haõy tìm ñaùp öùng xung h(n) cuûa boä loïc vaø veõ h(n) trong tröôøng hôïp ωc1 = π/3, ωc2 = π/2. Giaûi : π ωc 2 ω c1 1 1 1 ∫π e ∫e ∫e jωn jωn jωn h( n) = dω − dω − dω 2π − 2π ω − c2 2π ω − c1 ω sin ω c 2 n ω c1 sin ω c1 n  h( n) = δ ( n) −  c 2 − (3.71)  π ω c2 n π ω c1 n   thay ωc2 = π/3, ωc2 = π/2 ta coù :  π π  1 sin n sin n  h( n) = δ ( n ) −  2 −1 3   2 π 3 π n n    2 3   Trong tröôøng hôïp naøy, ñoà thò cuûa h(n) ñöôïc cho treân hình 3.14 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 113
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc h (n ) 5/6 n Hình 3.12 Nhaän xeùt : - Neáu ta coù caùc boä loïc soá thoâng taát, boä loïc soá thoâng daûi, boä loïc soá chaén daûi coù cuøng ñaùp öùng pha thì ta coù quan heä sau: H bs (e jω ) = H ap (e jω ) − H bp (e jω ) ôû ñaây : H bs (e jω ) : Laø ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc chaén daûi. H ap (e jω ) : Laø ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc thoâng taát. H bp (e jω ) : Laø ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc thoâng daûi. Vaø trong mieàn n ta cuõng coù : hbs(n) = hap(n) – hbp(n) e. Keát Luaän Chung Veà Caùc Boä Loïc Soá Lyù Töôûng Caùc boä loïc soá lyù töôûng khoâng theå thöïc hieän ñöôïc veà vaät lyù, maëc duø ta ñaõ xeùt tröôøng hôïp h(n) thöïc, bôûi vì chieàu daøi cuûa h(n) laø voâ cuøng, hôn nöõa h(n) laø khoâng nhaân quaû, töùc laø L[h(n)] = [- ∞, + ∞ ] = ∞ h(n) ≠ 0 khi n < 0 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 114
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc BAØI TAÄP CHÖÔNG III Baøi taäp 3.1 Chöùng minh raèng : π 2π , khi l = n ∫π e jω ( l − n ) dω =  − 0 , khi l ≠ n Baøi taäp 3.2 Giaû söû x(n) laø phöùc, haõy tìm quan heä giöõa Re[ X (e jω )] vaø Im[ X (e jω )] vôùi Re[x(n)] vaø Im[x(n)] Baøi taäp 3.3 Haõy tìm quan heä giöõa Re[ X (e jω )] vaø Im[ X (e jω )] vôùi x(n) neáu : a. x(n) thöïc. b. x(n) thöïc vaø chaün. c. x(n) thöïc leû. Baøi taäp 3.4 Haõy tìm quan heä giöõa Re[ X (e jω )] vaø Im[ X (e jω )] vôùi x(n) neáu : a. x(n) thuaàn aûo. b. x(n) thuaàn aûo vaø chaün. c. x(n) thuaàn aûo vaø leû. Baøi taäp 3.5 Cho :  1 , khi − 3 ≤ n ≤ 3 x (n ) =  0 , khi n coøn laïi Haõy tìm X (e jω ) , X (e jω ) , arg[ X (e jω )] , A(e jω ) , θ (ω ) . Haõy veõ : x(n), X (e jω ) , X (e jω ) , arg[ X (e jω )] , A(e jω ) , θ (ω ) . Baøi taäp 3.6 Haõy tính bieán ñoåi Fourier töø bieán ñoåi Z cuûa caùc daõy sau : a. x1(n) = 3n.u(n) b. x2(n) = (-1)n.u(n) Baøi taäp 3.7 π j Haõy ñaùnh giaù hình hoïc X (e 4 ) neáu bieát X(Z) nhö sau : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 115
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc π j Z − 2e 6 X (Z ) = 5 π π  1 j  1 j  Z − e 3  Z − e 3   2  2  Baøi taäp 3.8 Cho hai daõy x1(n) vaø x2(n) nhö sau : x1(n) = x2(n) = δ(n + 1) + δ(n) + δ(n - 1) Haõy tính tích chaäp x3(n) = x1(n) * x2(n) thoâng qua bieán ñoåi Fourier. Haõy veõ daïng soùng x1(n) ,x2(n), x3(n), X 1 (e jω ) , X 2 (e jω ) Vaø X 3 (e jω ) Baøi taäp 3.9 Cho ñaùp öùng xung cuûa moät heä thoáng tuyeán tính baát bieán nhö sau :   1 n  , khi n ≥ 0 h (n ) =   2    0 , khi n < 0  Döïa vaøo caùch bieåu dieãn heä thoáng trong mieàn taàn soá ω. Haõy tìm ñaùp öùng ra cuûa heä thoáng öùng vôùi kích thích vaøo nhö sau : π j n a. x(n) = A(e 2 ) ∀n π b. x(n) = 10 + 5 sin n + 20 cos πn ∀n 2 Baøi taäp 3.10 Cho phöông trình sai phaân tuyeán tính heä soá haèng sau ñaây : 1 y (n) = [ x(n + 1) + x(n) + x(n − 1)] 3 Haõy tìm H (e ) , H (e jω ) , ϕ (ω ) , A(e jω ) , θ (ω ) . jω Haõy veõ H (e jω ) , ϕ (ω ) , A(e jω ) , θ (ω ) . Baøi taäp 3.11 Cho phöông trình sai phaân tuyeán tính heä soá haèng sau ñaây : 1 1 1 y (n) = [ x(n) + x(n − 1) + x(n − 2)] 4 2 4 Haõy tìm H (e ) , H (e ) , ϕ (ω ) , A(e jω ) , θ (ω ) . jω jω Haõy veõ H (e jω ) , ϕ (ω ) , A(e jω ) , θ (ω ) . Baøi taäp 3.12 Cho moät tín hieäu rôøi raïc x(n) coù bieán ñoåi Fourier nhö sau : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 116
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc  ≠ 0, , ω < ωc X ( e jω ) =  = 0 , ω c ≤ ω ≤ π a. Neáu ta coù tín hieäu môùi x1(n) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : x1(n) = x(nM) vôùi M laø soá nguyeân döông Haõy tìn X1(Z) theo haøm cuûa X(Z). π b. Neáu ω c = Vaø X (e jω ) coù daïng nhö hình BT 3.12 M X(ejω) -π -π/M 0 π/M π ω Hình BT.3.12 Haõy veõ X 1 (e jω ) Neáu ta coù tín hieäu môùi nuõa x2(n) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : x2(n) = x1(n/L) vôùi L : laø soá nguyeân döông Haõy veõ X 2 (e jω ) Baøi taäp 3.13 Cho boä loïc soá thoâng thaáp lyù töôûng coù ñaùp öùng taàn soá nhö sau : jω  e − j4ω vôùi ω < ωc H (e ) =  0 vôùi ω coøn laïi - Haõy tìm h(n). π π - Haõy veõ h(n) vôùi ω c = vaø ω c = . 2 4 Baøi taäp 3.14 Cho boä loïc soá thoâng cao lyù töôûng coù ñaùp öùng taàn soá nhö sau :  − j3ω − π ≤ ω ≤ −ω c jω e vôùi  H (e ) =   ωc ≤ ω ≤ π 0 vôùi ω coøn laïi  - Haõy tìm h(n). π π - Haõy veõ h(n) vôùi ω c = vaø ω c = . 2 4 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 117
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc Baøi taäp 3.15 Cho boä loïc soá thoâng daûi lyù töôûng coù ñaùp öùng taàn soá nhö sau : e jαω vôùi ω c 2 ≤ ω ≤ ω c1 H ( e jω ) =  0 vôùi ω coøn laïi ω c 2 + ω c1 ñaët ω c 2 − ω c1 = ∆ω ; = ω0 2 - Haõy tìm coâng thöùc tính gaàn ñuùng h(n) khi ∆ω raát nhoû. - Haõy cho caùc nhaän xeùt veà loaïi boä loïc naøy. Baøi taäp 3.16 Haõy giaûi thích vì sao ñaùp öùng taàn soá cuûa boä vi phaân lyù töôûng pha khoâng coù daïng sau ñaây : H ( e j ω ) = jω vôùi 0 ≤ ω ≤ π Baøi taäp 3.17 Cho ñaùp öùng taàn soá cuûa boä vi phaân lyù töôûng nhö sau : H ( e j ω ) = jω vôùi 0 ≤ ω ≤ π Haõy tìm ñaùp öùng xung h(n). Baøi taäp 3.18 Cho ñaùp öùng taàn soá cuûa boä bieán ñoåi Hilbert lyù töôûng nhö sau : Xa(ωa) - j 0 ≤ω ≤π 1 H ( e jω ) =  j -π ≤ ω ≤ 0 Haõy tìm ñaùp öùng xung h(n). Baøi taäp 3.19 -Ωa 0 Ωa ω Chi tín hieäu töông töï coù phoå nhö hình BT.3.19 . Hình BT.3.19 Haõu veõ phoå cuûa tín hieäu laáy maãu trong ba tröôøng hôïp sau ñaây : a) Fs = FsNy b) Fs = (FsN/2) c) Fs = 3FsNy Baøi taäp 3.20 Cho tín hieäu x(n) ñöôïc laáy maãu töø moät tín hieäu töông töï vôùi chu kyø laáy maãu laø Ts, moät tín hieäu môùi x1(n) ñöôïc taïo töø tín hieäu naøy vôùi chu kyø laáy maãu laø Ts/2 baèng caùch sau : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 118
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc  n  x 2   n chaün x 1 (n ) =     1  x  n - 1  + x  n + 1      n leû 2   2     2  Haõy tìm phoå x1(n) neáu phoå cuûa x(n) nhö sau : 1 0 ≤ ω ≤ ωc H ( e jω ) =  0 ω coøn laïi Baøi taäp 3.21 Chöùng minh raèng neáu : ∞ FT[ x (n )] = X(e jω ) = ∑ x (n )e jωn n =0 thì ta coù : π 1 z ∫ X(e jω X(z) = ) dω vôùi z > 1 2π π - z - e jω Baøi taäp 3.22 Cho tín hieäu töông töï xa(t) ñöôïc laáy maãu vôùi chu kyø Ts, bieán ñoåi Fourier cuûa xa(t) laø Xa(ωa). Haõy chöùng minh raèng : ∞ ∞ 1 z ∑ x (nTs )z −n = n =0 2π ∫X a (ω a ) z - e jω a Ts dω a vôùi z > 1 -∞ Baøi taäp 3.23 Haõy xaùc ñònh ñaùp öùng cuûa heä thoáng coù ñaùp öùng xung h(n) nhö sau :  N h (n ) = rect N  n +  vôùi N chaün  2 Baøi taäp 3.24 Cho ñaùp öùng xung cuûa moät heä thoáng tuyeán tính baát bieán nhö sau : H(n) = δ(n) + 2e-3n u(n) a. Haõy tìm ñaùp öùng taàn soá H(ejω) cuûa heä thoáng. b. Haõy tìm ñaùp öùng ra y(n) cuûa heä thoáng öùng vôùi kích x(n) nhö sau : x (n ) = 4 cos 2 2n Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 119
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc Baøi taäp 3.25 Haõy xaùc ñònh ñaùp öùng taàn soá cuûa heä thoáng tuyeán tính baát bieán ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân sau ñaây : Y(n) = x(n) – x(n - N) Ôû ñaây N laø haèng soá. Haõy veõ ñoà thò |H(ejω)|. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 120