Vài mẹo nhỏ khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phân

Chia sẻ: Sin Neo | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

592
lượt xem 157
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu về vài mẹo nhỏ khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phân...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vài mẹo nhỏ khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phân

www.MATHVN.com VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN LÊ ANH DŨNG (Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang)  udv  uv   vdu , nếu Khi tính tích phân bằng công thức tích phân từng phần  vdu ta chọn u, v một cách khéo léo thì thành phần sẽ đơn giản và việc tính tích phân sẽ đơn giản hơn. Bài viết này trao đổi với các bạn một số kĩ năng khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần. 1. Tách tích phân thành 2 phần, từng phần 1 phần sao cho phần còn lại khử vdu Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm I =  e 2 x (x 2  4x  1)dx Bình thường ta đặt u = x2 + 4x + 1 thì phải tích phân từng phần 2 lần; để tránh điều này, ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần còn lại. du  2xdx    u  x 2  ; nên  vdu=  xe 2 x dx sẽ khử hết xe2x do đó ta thêm vào u :   1 2x dv  e dx v  e    2x   2 + 3x để phần còn lại chỉ còn xe2x. Lời giải. I =  e 2 x (x 2  4x  1)dx   e 2 x (x 2  3x)dx   e 2 x (x  1)dx du  (2x  3)dx  u  x 2  3x   Đặt     , chọn v  1 e 2 x dv  e 2 x dx      2 1 1 e 2 x (x 2  3x)   e 2 x (2x  3)dx   e 2 x (x  3)dx Khi đó: I = 2 2 1 3 1 3 e 2 x (x 2  3x)   e 2 x dx  e 2 x (x 2  3x)  e 2 x  C = 2 2 2 4 Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau I   e x (x 3  4x 2  1)dx u  x 3 du  3x 2 dx   Tương tự ví dụ trên  ; nên  vdu=  3x 2 e x dx sẽ khử hết 3x2ex   dv  e x dx v  e x     do đó ta thêm vào u : x2 để phần còn lại còn lại 3x2 u  x 3  x 2 du  (3x 2  2x)dx    ;   nên vdu=(3x 2 +2x)e x dx sẽ khử hết 2xex do đó ta lại dv  e x dx v  e x     thêm vào u: -2x để phần còn lại chỉ còn 2x. Lời giải. I   e x (x 3  x 2  2x)dx   e x (3x 2  2x  1)dx 1 www.mathvn.com
www.MATHVN.com u  x 3  x 2  2x du  (3x 2  2x  2)dx   Đặt:     , chọn dv  e x dx v  e x     I  e x (x 3  x 2  2x)   e x (3x 2  2x  2)dx   e x (3x 2  2x  1)dx  e x (x 3  x 2  2x)   e x dx  e x (x 3  x 2  2x  1)  C Trên cơ sở đó, ta có thể sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho bài toán tính tích  phân từng phần của hàm số eax  b (a n x n  a n 1 x n 1  ...  a1  a 0 )dx an an-1 an-2 a1 hệ số của đa thức _ _ n/a (n-2)/a (n-1)/a x x bn - 3 bn - 1=an bn - 2 hệ số của đa thức của u b n 1  a n  k2  b k  a k 1  b a k 1  (Nhân lên, lấy hệ số của đa thức trừ rồi hạ xuống) 1 e (x 5  4x 3  x  1)dx 2x Thí dụ 3: Tính I = 0 Ta lập sơ đồ sau ngoài nháp để tính u 0 -4 0 1 1 hệ số của đa thức _ 1 3 5 1 n=5, a =2 2 2 2 2 x 3 5 5 1 - 1 hệ số của đa thức của u - 2 2 2 2 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Trình bày:  5 5  1 1 5 3 3 3  e  x 5  x 4  x 3  x 2  x  dx   e 2x  x 4  5x 3  x 2  x  1 dx   2x   I= 2   2     2 2 2 2 0 0   5  du  5x 4 10x 3  3x 2  3x  u  x 5  5 x 4  x 3  3 x 2  5 x    Đặt  2   2 2 2,   v  1 e2x  dv  e dx   2x    2 1 1  5 5 5 1 5 3 3 3 I  e 2x  x 5  x 4  x 3  x 2  x    e 2x  x 4  5x 3  x 2  x   dx  2 0 0 2 4 2 2 2 2 2 1 5  3 3   e 2x  x 4  5x 3  x 2  x  1 dx 2  2 2 0 1 1  5 1 5 3 1  e 2x  x 5  x 4  x 3  x 2  x    e 2x dx  2 0 0 4 2 2 2 1  1 1 5 3 5 1 1  e 2x  x 5  x 4  x 3  x 2  x    e 2   40 8 2 2 2 2 8  x 2 ln x  2x 2  2  dx Thí dụ 4: Tính tích phân I =  ln 3 x   e        1 x 1 Chú ý: (x 2  1) '  2x; (ln 4 x)' = 4. ln 3 x , ta tách I thành 2 tích phân để khử vdu x e  e x 1 3   x2 1 3  2 Lời giải. I =   x ln 4 x + 2 ln x dx =  x ln 4 xdx +  2 ln x dx e     1 1         1 x x   3 du  4 ln x dx     Đặt u  ln x chọn  4  x dv  xdx    v  1 (x 2  1)     2 x 2  1 ln 4 x e  e  e x 1  x2 1 2    ln x dx   2 ln x dx 1 2    Suy ra I =  1         1 2 x x x 2  1 ln 4 x e  e2  1  1 2 2 2. Thêm hằng số cho v 3 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Trong các bài toán du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v một hằng số C thích hợp để thành phần vdu khử bớt phân số. 1 Thí dụ 5: Tính tích phân I =  (2x  1) ln(x 3  1)dx 0   2 3x 2 du  3x dx  u  ln(x 3  1)   Lời giải. Đặt  x3 1 (x  1)(x 2  x  1)   , chọn dv  (2x 1)dx   v  x 2  x  1     Bình thường ta lấy v = x2 – x, nhưng ở đây ta chọn C = + 1 mục đích là khử bớt mẫu số trong vdu. 1 3x 2 Khi đó: I = (x  x  1)ln(x +1)   1 2 3 dx x 1 0 0 2    1 1  x 1  1  dx  ln 2  3 x  x  ln x  1   3  2ln 2   = ln 2  3   x  1     2 0 2 0  /4 ln(sin x  cos x)  Thí dụ 6: Tính tích phân dx cos 2 x 0 cos x  sin x Đặt u = ln(sin x  cos x)  du = dx sin x  cos x sin x  cos x 1 dx chọn v  tan x + 1  v= 2 cos x cos x Bình thường ta hay lấy v = tanx nhưng ở đây ta thêm C = 1 để khử mẫu  /4 cos x  sin x  /4 Khi đó: I = (tan x  1) ln(sin x  cos x ) 0   dx cos x 0 3  /4 = 2 ln 2  ( x  ln cos x ) 0   ln 2 42 3. Cách chọn thành phần dv Để tìm v, ta phải tìm nguyên hàm của dv. Trong trường hợp dv không có trong bảng nguyên hàm cơ bản, ta phải tách tích để lấy được nguyên hàm của dv theo biến số mới . π 4 x2  (x sin x  cos x) Thí dụ 7: Tính tích phân dx 2 0 1 Để giảm bậc mẫu thì phải nằm trong thành phần dv; để tìm được (x sin x  cos x) 2 nguyên hàm theo biến xsinx + cosx ta cần có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx 4 www.mathvn.com
www.MATHVN.com π π x cos x 4 4 2 x x  (x sin x  cos x) dx   . Lời giải. dx (x sin x  cos x) 2 2 cos x 0 0   u  x x sin x  cos x   du    dx   Đặt  cos 2 x cos x   chọn   x cos x d(x sin x  cos x) dv  v  1 dx      (x sin x  cos x) 2 (x sin x  cos x) 2  x sin x  cos x    π π 4 π π 4 2π x dx  4  tan x 0  Khi đó I =   4 π4 4π cos x(x sin x  cos x) 0 cos 2 x 0 1 3 x 8 dx  (x Thí dụ 8: Tính tích phân  1) 2 4 0 Để giảm bậc lớn ở dưới mẫu, ta có thể dùng tích phân từng phần. Để khử bậc 2 dưới mẫu 1 phải nằm ở dv. Nhưng để lấy được nguyên hàm theo x4 thì ta cần (x4)’ = 4x3. thì ( x  1) 4 2 u  x 5 du  5x 4 dx   1 d(x 4  1) , chọn  Đặt  x 3 dx 11 dv  (x 4  1) 2  4 (x 4  1) 2 v   4  4 x 1  1 1 1 3 3 8 5 x4 x dx x 5  (x x 3   Vậy I = dx  1) 2 4(x 4  1) 0 1 4 4 4 0 0 1 1 1    1 3 3 3 x4  1 1   2(x 2 1)  2(x 2  1)  dx  dx  1   dx   1  4    =   x  1    x 1 4 0 0 0 1 1    dx   x  1 ln x 1  3  1  1 ln 3  1 3  1 Ta có  1        2(x 1)  4 x 1  0      3 1 2 34 0 1 3 π 1  2(x dx  Đặt x = tant. Ta tính được Tính  1) 2 12 0 3 1 π 1 1   ln Vậy I = 3  1 12 34 Cuối cùng chúng tôi xin đưa ra một số bài tập để các bạn tự luyện tập Tính các tích phân sau: 5 www.mathvn.com
www.MATHVN.com ln(1  x) x 3  2x 2  3x  1 1 2   2) dx. dx 1) x2 e2 x 1 0  e 2  ln 4)  esin x (1 x cos x)dx 3 xdx 3) 0 1  1  sin x 1 2 1  (x 2  1)3 dx 5)  6) dx x (1  cos x)e 0 0 _ HẾT_ 6 www.mathvn.com