15 Chuyên đề luyện thi đại học môn Toán

Chia sẻ: EntrySKY ESIT's | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:146

Thêm vào BST

Báo xấu

1.886
lượt xem 1.084
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Môn Toán: gồm 15 chuyên đề. Chuyên đề 1: Phương trình và bất phương trình đại số Chuyên đề 2: Phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối Chuyên đề 3: Hệ phương trình đại số Chuyên đề 4: Phương trình và bất phương trình chứa căn thức Chuyên đề 5: Bất đẳng thức Cuyên đề 6 : Phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit Chuyên đề 7: Hệ phương trình siêu việt Chuyên đề 8: Phương trình lượng giác Chuyên đề 9: Hệ thức lượng trong tam giác huyên đề 10: Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số Chuyên đề 11: Các bài toán...

Chủ đề:

Bình luận(2) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 15 Chuyên đề luyện thi đại học môn Toán

15 Chuyên đề luyện thi đại học môn Toán
Chuyeân ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ & BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA CAÙC HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab 2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a 2 + b 2 = (a − b) 2 + 2ab 3. a2 − b2 = (a + b)(a − b) 4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a 3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) 5. (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 6. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) 7. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) AÙp duïng: Bieát x + y = S vaø xy = P . Haõy tính caùc bieåu thöùc sau theo S vaø P a) A = x 2 + y 2 b) B = (x - y) 2 c) C = x 3 + y 3 d) D = x4 + y4 A. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ I. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát: ⎧x : aån soá 1. Daïng : ax + b = 0 (1) ⎨ ⎩a, b : tham soá 2. Giaûi vaø bieän luaän: Ta coù : (1) ⇔ ax = -b (2) Bieän luaän: b Neáu a ≠ 0 thì (2) ⇔ x = − • a • Neáu a = 0 thì (2) trôû thaønh 0.x = -b * Neáu b ≠ 0 thì phöông trình (1) voâ nghieäm * Neáu b = 0 thì phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x Toùm laïi : b • a ≠ 0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x = − a • a = 0 vaø b ≠ 0 : phöông trình (1) voâ nghieäm • a = 0 vaø b = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x 1
AÙp duïng: Ví duï : Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau: 1) 2 x + 3m = mx + 2 2 2) m x + 2 = x + 2m x−m x−2 3) = x +1 x −1 2 x + 3m 2m − 1 m 4) = + x +1 x −1 2 x −1 3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình: Ñònh lyù: Xeùt phöông trình ax + b = 0 (1) ta coù: (1) coù nghieäm duy nhaát a ≠0 • ⇔ ⎧a = 0 (1) voâ nghieäm • ⇔ ⎨ ⎩b ≠ 0 ⎧a = 0 (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x ⇔ • ⎨ ⎩b = 0 AÙp duïng: Ví duï : 1) Vôùi giaù trò naøo cuûa a, b thì phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x ( a = ±1; b = 0 ) a 4 − ( x + 1)a 2 + x − b = 0 2) Cho phương trình (2m − 1) x + (3 − n)( x − 2) − 2m + n + 2 = 0 1 ( m = − ;n =1) Tìm m và n để phương trình nghiệm đúng với mọi x 2 3) Cho phương trình: (2m + 1) x − 3m + 2 = 3 x + m 1 Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ ( 0;3) ∨m >2) (m < 2 4) Cho phương trình: (3m − 2) x − m = 4mx + 2m − 5 ( m ∈ {−3; −13; −1;9} ) Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm nguyên 2mx − 3 x−m 5) Cho phương trình: = x x 1 < m < 3) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm duy nhất ( 2 6) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù nghieäm 2x + m x − 2m + 3 − 4 x −1 = x −1 x −1 7) Cho phương trình: x − 1 ⎡(2m − 3) x + m + (1 − m) x − 3⎤ = 0 ⎣ ⎦ 5 (2 < m < Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ) 2 2
BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM KHAÙCH QUAN Thôøi gian 10 phuùt ÑEÀ: Baøi 1: Phöông trình 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m − 3) coù nghieäm duy nhaát vôùi giaù trò cuûa m laø: 4 3 10 4 (A) m = (B) m = − (C) m ≠ − (D) m ≠ 3 4 3 3 Baøi 2: Phöông trình (m − 2)(x + 1) = x + 2 voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: 2 (B) m = ±1 (C) m = ±2 (A) m = 0 (D) m = ± 3 Baøi 3: Phöông trình (m + 3m)x + m + 3 = 0 coù taäp nghieäm laø R khi : 2 (A) m = 0 (B) m = −3 (C) m = 0; m = −3 (D) Moät ñaùp soá khaùc 2x + m Baøi 4: Phöông trình = m voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: x −1 (A) m = 2 (B) m = −2 (C) m = ±2 (D) Khoâng coù m − mx + m + 1 Baøi 5: Phöông trình = m voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: x−2 (B) m = 1 (A) m = 0 (C) m = 0; m = 1 (D) Moät ñaùp soá khaùc ÑAÙP AÙN: Baøi 1: Phöông trình 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m − 3) coù nghieäm duy nhaát vôùi giaù trò cuûa m laø: 4 3 10 4 (A) m = (B) m = − (C) m ≠ − (D) m ≠ 3 4 3 3 Baøi 2: Phöông trình (m − 2)(x + 1) = x + 2 voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: 2 (B) m = ±1 (C) m = ±2 (A) m = 0 (D) m = ± 3 Baøi 3: Phöông trình (m + 3m)x + m + 3 = 0 coù taäp nghieäm laø R khi : 2 (A) m = 0 (B) m = −3 (C) m = 0; m = −3 (D) Moät ñaùp soá khaùc 2x + m Baøi 4: Phöông trình = m voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: x −1 (A) m = 2 (B) m = −2 (C) m = ±2 (D) Khoâng coù m − mx + m + 1 Baøi 5: Phöông trình = m voâ nghieäm vôùi giaù trò cuûa m laø: x−2 (B) m = 1 (A) m = 0 (C) m = 0; m = 1 (D) Moät ñaùp soá khaùc 3
II.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc hai: ⎧x : aån soá 1. Daïng: ax 2 + bx + c = 0 (1) ⎨ ⎩a, b , c : tham soá 2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Xeùt hai tröôøng hôïp Tröôøng hôïp 1: Neáu a = 0 thì (1) laø phöông trình baäc nhaát : bx + c = 0 c b ≠ 0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x = − • b • b = 0 vaø c ≠ 0 : phöông trình (1) voâ nghieäm • b = 0 vaø c = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x Tröôøng hôïp 2: Neáu a ≠ 0 thì (1) laø phöông trình baäc hai coù b Bieät soá Δ = b 2 − 4ac ( hoaëc Δ ' = b '2 − ac vôùi b' = ) 2 Bieän luaän: Neáu Δ < 0 thì pt (1) voâ nghieäm b' b Neáu Δ = 0 thì pt (1) coù nghieäm soá keùp x1 = x2 = − ( x1 = x2 = − ) 2a a − b' ± Δ ' −b ± Δ Neáu Δ > 0 thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1,2 = ( x1,2 = ) 2a a AÙp duïng: Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau: 5 − 12 x 1) =x 12 x − 8 x2 + 2x − 3 2) = −3 ( x − 1)2 Ví duï 2: 1) Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : x 2 − 2 x = m( x − 1) − 2 2) Giải và biện luận phương trình : (m − 1) x 2 + (2m − 3) x + m + 1 = 0 4
3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai: Ñònh lyù : Xeùt phöông trình : ax 2 + bx + c = 0 (1) ⎧a = 0 ⎧a ≠ 0 ⎪ Pt (1) voâ nghieäm ⇔ ⎨b = 0 hoaëc ⎨ ⎩Δ < 0 ⎪c ≠ 0 ⎩ ⎧a ≠ 0 Pt (1) coù nghieäm keùp ⇔⎨ ⎩Δ = 0 ⎧a ≠ 0 Pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät ⇔⎨ ⎩Δ > 0 ⎧a ≠ 0 Pt (1) coù hai nghieäm ⇔⎨ ⎩Δ ≥ 0 ⎧a = 0 ⎪ Pt (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x ⇔ ⎨b = 0 ⎪c = 0 ⎩ Ñaëc bieät Neáu pt(1) coù heä soá a,c thoaû a.c < 0 thì pt(1) luoân coù hai nghieäm phaân bieät. AÙp duïng: Ví duï 1: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät: 2x 2 − x + 1 = m−x x −1 Ví duï 2: 1) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät: ( x + 1)( x 2 + 2mx + m + 2) = 0 2) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät: ( x − 1)(mx 2 − 4 x + m) = 0 4. Ñònh lyù VIEÙT ñoái vôùi phöông trình baäc hai: Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai : ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) coù hai nghieäm x1, x2 thì ⎧ b ⎪S = x1 + x 2 = − a ⎪ ⎨ ⎪ P = x .x = c ⎪ 12 ⎩ a Ñònh lyù ñaûo : Neáu coù hai soá α , β maø α + β = S vaø α .β = P ( S 2 ≥ 4 P) thì α , β laø nghieäm cuûa phöông trình x2 - Sx + P = 0 5
YÙ nghóa cuûa ñònh lyù VIEÙT: Cho pheùp tính giaù trò caùc bieåu thöùc ñoái xöùng cuûa caùc nghieäm ( töùc laø bieåu thöùc chöùa x1, x2 vaø x 2 + x2 2 1 1 khoâng thay ñoåi giaù trò khi ta thay ñoåi vai troø x1,x2 cho nhau .Ví duï: A = 1 + 2 + 2 ) maø x1 x 2 x1 x 2 khoâng caàn giaûi pt tìm x1, x2 , tìm hai soá khi bieát toång vaø tích cuûa chuùng …. Chuù yù: c Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a+b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø x1 = 1 vaø x 2 = a c Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a-b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø x1 = −1 vaø x 2 = − a AÙp duïng: Ví duï 1 : Cho phöông trình: x 2 − 2 x + m − 1 = 0 (1) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn x12 + x 2 = 4 2 Ví duï 2: Cho phöông trình: x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0 (1) Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn 5 x1 + 3 x 2 = 4 Ví duï 3: Cho phöông trình: (3m − 1)x 2 + 2(m + 1)x − m + 2 = 0 (1) Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn x1 − x 2 = 2 5. Daáu nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai: Döïa vaøo ñònh lyù Vieùt ta coù theå suy ra ñònh lyù sau: Ñònh lyù: Xeùt phöông trình baäc hai : ax 2 + bx + c = 0 (1) ( a ≠ 0 ) ⎧Δ > 0 ⎪ Pt (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät ⇔ ⎨P > 0 ⎪S > 0 ⎩ ⎧Δ > 0 ⎪ Pt (1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät ⎨P > 0 ⇔ ⎪S < 0 ⎩ Pt (1) coù hai nghieäm traùi daáu P
BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM KHAÙCH QUAN Thôøi gian 10 phuùt ÑEÀ SOÁ 1: Baøi 1: Phöông trình (m − 1)x 2 + 2mx + m = 0 coù hai nghieäm phaân bieät khi : (A) m > 0 (B) m ≥ 0 (C) m > 0 vaø m ≠ 1 (D) m ≥ 0 vaø m ≠ 1 Baøi 2: Phöông trình : mx + 2(m − 3)x + m − 5 = 0 voâ nghieäm khi : 2 (A) m > 9 (B) m ≥ 9 (C) m < 9 (D) m < 9 vaø m ≠ 0 Baøi 3: Cho phöông trình baäc hai: x − 2(m + 2)x + m + 12 = 0 . Giaù trò nguyeân nhoû nhaát cuûa tham soá m ñeå 2 2 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät laø: (A) m = 1 (B) m = 2 (D) m = 4 (C) m = 3 11 Baøi 4: Giaû söû x1, x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình: x 2 + 3x − 10 = 0 . Giaù trò cuûa toång laø + x1 x 2 3 3 10 10 (A) (B) − (C) (D) − 10 10 3 3 Baøi 5: Phöông trình: x − mx + m − 1 = 0 coù hai nghieäm döông phaân bieät khi 2 (A) m > 1 (B) m ≥ 1 (C) m > 1 vaø m ≠ 2 (D) m ≥ 1 vaø m ≠ 2 ÑAÙP AÙN: Baøi 1: Phöông trình (m − 1)x 2 + 2mx + m = 0 coù hai nghieäm phaân bieät khi : (A) m > 0 (B) m ≥ 0 (C) m > 0 vaø m ≠ 1 (D) m ≥ 0 vaø m ≠ 1 Baøi 2: Phöông trình : mx + 2(m − 3)x + m − 5 = 0 voâ nghieäm khi : 2 (A) m > 9 (B) m ≥ 9 (C) m < 9 (D) m < 9 vaø m ≠ 0 Baøi 3: Cho phöông trình baäc hai: x − 2(m + 2)x + m + 12 = 0 . Giaù trò nguyeân nhoû nhaát cuûa tham soá m ñeå 2 2 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät laø: (A) m = 1 (B) m = 2 (D) m = 4 (C) m = 3 11 Baøi 4: Giaû söû x1, x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình: x 2 + 3x − 10 = 0 . Giaù trò cuûa toång laø + x1 x 2 3 3 10 10 (A) (B) − (C) (D) − 10 10 3 3 Baøi 5: Phöông trình: x − mx + m − 1 = 0 coù hai nghieäm döông phaân bieät khi 2 (A) m > 1 (B) m ≥ 1 (C) m > 1 vaø m ≠ 2 (D) m ≥ 1 vaø m ≠ 2 7
II. Phöông trình truøng phöôngï: 1.Daïng : ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) (1) 2.Caùch giaûi: Ñaët aån phuï : t = x2 ( t ≥ 0 ). Ta ñöôïc phöông trình: at 2 + bt + c = 0 (2) Giaûi pt (2) tìm t. Thay t tìm ñöôïc vaøo t = x2 ñeå tìm x Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (2) maø ta suy ra ñöôïc soá nghieäm cuûa phöông trình (1) AÙp duïng: Ví du 1ï: 89x2 − 25 Giaûi phöông trình : 32x3 = vôùi x > 0; x ≠ 1 2x Ví duï 2: 1) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì các phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät: a) x 4 − 2 x 2 − 3 = m b) x 4 − (m + 2) x 2 + 4m + 1 = 0 2) Cho phương trình: x 4 − (m + 2) x 2 + 4m + 1 = 0 Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng III . Phöông trình baäc ba: 1. Daïng: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) ( a ≠ 0 ) 2 .Caùch giaûi: AÙp duïng khi bieát ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình (1) Böôùc 1: Nhaåm moät nghieäm cuûa phöông trình (1). Giaû söû nghieäm laø x = x0 Böôùc 2: Söû duïng pheùp CHIA ÑA THÖÙC hoaëc sô ñoà HOOÙCNE ñeå phaân tích veá traùi thaønh nhaân töû vaø ñöa pt (1) veà daïng tích soá : (1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0 ⎡ x = x0 ⇔⎢2 ⎣ Ax + Bx + C = 0 (2) Böôùc 3: Giaûi phöông trình (2) tìm caùc nghieäm coøn laïi ( neáu coù). Bổ sung kiến thức: Định lý Bezu (Bơ-du) “Đa thức P(x) có nghiệm x = x0 khi và chỉ khi P(x) chia hết cho x − x0 AÙp duïng: Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 = 0 b) x 3 + x 2 − x + 2 = 4 x − 1 c) 2 x 3 + 7 x 2 − 28 x + 12 = 0 8
Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì các phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät a) x 3 − 3 x 2 + 2 = mx + m − 2 b) x 3 − (2m + 1) x 2 + mx + m = 0 c) x 3 − 2(m + 1) x 2 + (7m − 2) x + 4 − 6m = 0 d) mx 3 − (m − 4) x 2 + (4 + m) x − m = 0 e) x 3 + (1 − m) x 2 − 3mx + 2m 2 = 0 Ví dụ 3: Cho phương trình : x 3 + 3mx 2 − 3 x − 3m + 2 = 0 Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho A = x12 + x2 + x3 đạt GTNN. 2 2 Chuù yù Ta coù theå aùp duïng phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû baèng kyû thuaät söû duïng sô ñoà HOOÙCNE, ñeå giaûi caùc phöông trình ña thöùc baäc cao (vôùi ñieàu kieän nhaåm ñöôïc moät nghieäm cuûa ña thöùc) Ví duï: Giaûi các phöông trình: 1) x 4 − 5 x 3 + x 2 + 21x − 18 = 0 2) x 4 + x 3 − 7 x 2 − x + 6 = 0 3) x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 − 5 x − 6 = 0 IV. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN QUY VEÀ BAÄC HAI BAÈNG PHEÙP ÑAËT AÅN PHUÏ 1.Daïng I: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) Ñaët aån phuï : t = x2 2. Daïng II. ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) = k ( k ≠ 0 ) trong ñoù a+b = c+d Ñaët aån phuï : t = (x+a)(x+b) Ví dụ : Giải phương trình: ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + 7 ) = 9 3.Daïng III: ( x + a )4 + ( x + b )4 = k (k ≠ 0) a+b Ñaët aån phuï : t = x + 2 Ví dụ : Giải phương trình: ( x + 3) + ( x + 5) = 2 4 4 9
4.Daïng IV: ax 4 + bx 3 + cx 2 ± bx + a = 0 Chia hai veá phöông trình cho x2 1 Ñaët aån phuï : t = x ± x Ví dụ : Giải phương trình: 2 x + 3 x − 16 x + 3 x + 2 = 0 4 3 2 10
B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ I. Baát phöông trình baäc nhaát: ≥, 0 (1) 2. Giaûi vaø bieän luaän: Ta coù : (1) ⇔ ax > −b (2) Bieän luaän: b Neáu a > 0 thì • (2) ⇔ x > − a b Neáu a < 0 thì (2) ⇔ x < − • a Neáu a = 0 thì (2) trôû thaønh : 0.x > −b • * b ≤ 0 thì bpt voâ nghieäm * b > 0 thì bpt nghieäm ñuùng vôùi moïi x AÙp duïng: Ví duï1: Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình : mx + 1 > x + m 2 ⎧2 x + 9 ≥ 0 ⎪ Ví duï 2: Giaûi heä baát phöông trình sau: ⎨4 − x ≥ 0 ⎪3 x + 1 ≥ 0 ⎩ ⎧2x − 1 ≤ x + 4 Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm: ⎨ ⎩ −5x + 2m − 1 < x + m II. Daáu cuûa nhò thöùc baäc nhaát: 1. Daïng: f ( x) = ax + b (a ≠ 0) 2. Baûng xeùt daáu cuûa nhò thöùc: x b −∞ − +∞ a ax+b Traùi daáu vôùi a Cuøng daáu vôùi a 0 AÙp duïng: Ví duï : Xeùt daáu caùc bieåu thöùc sau: 1) A = ( x − 3)( x + 1)(2 − 3x) x+7 2) B = ( x − 2)(2 x − 1) 11
III. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai: f ( x) = ax 2 + bx + c 1. Daïng: (a ≠ 0) 2. Baûng xeùt daáu cuûa tam thöùc baäc hai: −∞ +∞ x f(x) Cuøng daáu a Δ0 Cuøng daáu a 0 Traùi daáu a 0 Cuøng daáu a f(x) 3. Ñieàu kieän khoâng ñoåi daáu cuûa tam thöùc: Ñònh lyù: Cho tam thöùc baäc hai: f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ⎧Δ < 0 • f ( x) > 0 ∀x ∈ R ⇔⎨ ⎩a > 0 ⎧Δ < 0 • f ( x) < 0 ∀x ∈ R ⇔⎨ ⎩a < 0 ⎧Δ ≤ 0 • f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔⎨ ⎩a > 0 ⎧Δ ≤ 0 • f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ R ⇔⎨ ⎩a < 0 AÙp duïng: Ví duï1 : Cho f ( x) = (m − 1) x 2 − 2(m + 1) x + 3(m − 2) Tìm m ñeå f ( x) > 0 ∀x ∈ R 2x 2 − x + 3a Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì −2 ≤ 2 ≤ 3 thoûa vôùi moïi x ∈ x +x+4 IV. Baát phöông trình baäc hai: ≥, 0 1. Daïng: ( hoaëc 12
2. Caùch giaûi: Xeùt daáu tam thöùc baäc hai ôû veá traùi roài choïn nghieäm thích hôïp. AÙp duïng: Ví duï1 : Giaûi caùc heä baát phöông trình: ⎧3 x − 11 > 0 a) ⎨ ⎩− 11x + 10 x + 1 > 0 2 ⎧3x 2 − 7 x + 2 > 0 ⎪ b) ⎨ ⎪− 2 x 2 + x + 3 > 0 ⎩ Phương pháp: Giải từng bất phương trình của hệ rồi chọn nghiệm chung (phần giao của các tập nghiệm của từng bất phương trình trong hệ). x + 5 2x − 1 Ví duï 2 : Giaûi baát phöông trình: >2 + 2x − 1 x + 5 Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät: x 2 − (2m + 3) x + 2(m + 3) = 0 2x − 3 Ví duï 4: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: y = 2x 2 + x − 6 + x 2 − 5x + 4 V. So saùnh moät soá α vôùi caùc nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai f ( x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) Ñònh lyù: ⎡ Tam thöùc coù hai nghieäm x1 , x 2 thoûa ⎤ [ a.f(α) < 0 ] ⇔ ⎢ ⎥ x1 < α < x 2 ⎣ ⎦ ⎡⎧ ⎤ ⎢ ⎪Δ > 0 ⎥ ⎡ Tam thöùc coù hai nghieäm x1 , x 2 thoûa ⎤ ⎢⎪ ⎥ ⎢ ⎨a.f(α ) > 0 ⎥ ⇔ ⎢ ⎥ x1 < x 2 < α ⎣ ⎦ ⎢⎪ S ⎥ ⎢⎪ − α < 0 ⎥ ⎣⎩ 2 ⎦ ⎡⎧ ⎤ ⎢ ⎪Δ > 0 ⎥ ⎡ Tam thöùc coù hai nghieäm x1 , x 2 thoûa ⎤ ⎢⎪ ⎥ ⎢ ⎨a.f(α ) > 0 ⎥ ⇔ ⎢ ⎥ α < x1 < x 2 ⎣ ⎦ ⎢⎪ S ⎥ ⎢⎪ − α > 0 ⎥ ⎣⎩ 2 ⎦ ⎡ Tam thöùc coù hai nghieäm x1 , x 2 thoûa ⎤ ⎢ ⎥ [f (α ).f(β) < 0] ⎢ moät nghieäm thuoäc khoaûng (α;β) vaø ⇔ ⎥ ⎢ nghieäm coøn laïi naèm ngoaøi ñoaïn [α;β] ⎥ ⎣ ⎦ AÙp duïng: Ví duï : Cho phöông trình: x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0 (1) Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm x1, x2 thoûa maõn 1 < x1 < x 2 13
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN: 2 x − 2x + 4 Baøi 1: Cho phöông trình: = mx + 2 − 2m (1) x−2 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät (m>1) Baøi 2: Cho phöông trình: x 2 − (m + 1) x + 3m − 5 = 0 (1) 5 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm döông phaân bieät ( < m < 3∨ m > 7 ) 3 mx 2 + x + m Baøi 3: Cho phöông trình: (1) =0 x −1 1 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät (− < m 1 ∧ m ≠ 2) Baøi 5: Cho phöông trình: ( x − 1)( x + mx + m) = 0 (1) 2 1 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 3 nghieäm phaân bieät (m < 0 ∨ m > 4 ∧ m ≠ − ) 2 Baøi 6: Cho phöông trình : mx 2 + (m − 1) x + 3(m − 1) = 0 (1) 1 17 1 Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa + 2= (m = ) 2 x1 x 2 9 2 13 2 Baøi 7: Cho phöông trình: x − mx 2 − x + m + = 0 (1) 3 3 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù ba nghieämphaân bieät x1, x2, x3 thoûa maõn x1 + x 2 + x3 > 15 2 2 2 (m < −1 ∨ m > 1) --------------------Heát-------------------- 14
TRAÉC NGHIEÄM KHAÙCH QUAN ÑEÀ SOÁ 1: x−m 2m Caâu 1: Taäp hôïp caùc giaù trò m ñeå phöông trình: x −1 + coù nghieäm laø = x −1 x −1 ⎛1 1⎞ ⎡1 ⎞ ⎛ ⎞ (C) (1; +∞ ) (A) ⎜ ; +∞ ⎟ (B) ⎜ −∞; ⎟ (D) ⎢ ; +∞ ⎟ ⎝3 3⎠ ⎣3 ⎠ ⎝ ⎠ Caâu 2: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = 4x − 3 + x 2 + 5x − 6 laø ⎡3 ⎡3 ⎤ ⎡ 6 3⎤ ⎞ (A) [1; +∞ ) (B) ⎢ ; +∞ ⎟ (C) ⎢ ;1⎥ (D) ⎢ − ; ⎥ ⎣4 ⎣4 ⎦ ⎣ 5 4⎦ ⎠ 2x 2 − 3x + 4 Caâu 3: Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình: > 1 laø x2 + 2 (A) ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) (B) ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; +∞ ) (C) ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) (D) ( −∞;2 ) ∪ ( 4; +∞ ) Caâu 4: Phöông trình: (m 2 + 1)x 2 − x − 2m + 3 = 0 coù hai nghieäm traùi daáu khi vaø chæ khi 2 3 3 3 (A) m > (B) m < (C) m > (D) m > − 3 2 2 2 ⎧2x − 1 > 0 Caâu 5: Heä baát phöông trình : ⎨ voâ nghieäm khi vaø chæ khi ⎩x − m < 3 5 5 7 5 (A) m < − (B) m ≤ − (C) m < (D) m ≥ − 2 2 2 2 ÑAÙP AÙN: x−m 2m Caâu 1: Taäp hôïp caùc giaù trò m ñeå phöông trình: x −1 + coù nghieäm laø = x −1 x −1 ⎛1 1⎞ ⎡1 ⎞ ⎛ ⎞ (C) (1; +∞ ) (A) ⎜ ; +∞ ⎟ (B) ⎜ −∞; ⎟ (D) ⎢ ; +∞ ⎟ ⎝3 3⎠ ⎣3 ⎠ ⎝ ⎠ Caâu 2: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = 4x − 3 + x 2 + 5x − 6 laø ⎡3 ⎡3 ⎤ ⎡ 6 3⎤ ⎞ (A) [1; +∞ ) (B) ⎢ ; +∞ ⎟ (C) ⎢ ;1⎥ (D) ⎢ − ; ⎥ ⎣4 ⎣4 ⎦ ⎣ 5 4⎦ ⎠ 2x 2 − 3x + 4 Caâu 3: Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình: > 1 laø x2 + 2 (A) ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) (B) ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; +∞ ) (C) ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) (D) ( −∞;2 ) ∪ ( 4; +∞ ) Caâu 4: Phöông trình: (m 2 + 1)x 2 − x − 2m + 3 = 0 coù hai nghieäm traùi daáu khi vaø chæ khi 2 3 3 3 (A) m > (B) m < (C) m > (D) m > − 3 2 2 2 ⎧2x − 1 > 0 Caâu 5: Heä baát phöông trình : ⎨ voâ nghieäm khi vaø chæ khi ⎩x − m < 3 5 5 7 5 (A) m < − (B) m ≤ − (C) m < (D) m ≥ − 2 2 2 2 15
ÑEÀ SOÁ 2: x 5 − 2m Caâu 1:Taäp hôïp caùc giaù trò m ñeå phöông trình: coù nghieäm laø = 1 − x2 1 − x2 (C) [ 2;3] (A) ( 2;3) (D) ( −1;1) (B) Caâu 2: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = x 2 + x − 2 + 2x − 3 laø ⎡3 ⎡3 ⎛3 ⎞ ⎤ ⎞ (B) [ −2;1] ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ (A) [1; +∞ ) (C) ⎢ 2 ; +∞ ⎥ (D) ⎜ ; +∞ ⎟ ⎣2 ⎝2 ⎠ ⎣ ⎦ ⎠ Caâu 3: Caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình: 3x + (3m − 1)x + m − 4 = 0 coù hai nghieäm traùi daáu laø 2 2 (A) m < 4 (B) −2 < m < 2 (C) m < 2 (D) m < −2 hoaëc m > 2 Caâu 4: Phöông trình: x + x + m = 0 voâ nghieäm khi vaø chæ khi 2 3 3 5 (A) m > − (B) m < − (C) m > 0 (D) m > − 4 4 4 x −1 Caâu 5: Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình: > 1 laø x−3 (C) ( 3; +∞ ) (D) ( −∞;5) (A) ∅ (B) ÑAÙP AÙN: x 5 − 2m Caâu 1:Taäp hôïp caùc giaù trò m ñeå phöông trình: coù nghieäm laø = 1 − x2 1 − x2 (C) [ 2;3] (A) ( 2;3) (D) ( −1;1) (B) Caâu 2: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = x 2 + x − 2 + 2x − 3 laø ⎡3 ⎡3 ⎛3 ⎞ ⎤ ⎞ (B) [ −2;1] ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ (A) [1; +∞ ) (C) ⎢ 2 ; +∞ ⎥ (D) ⎜ ; +∞ ⎟ ⎣2 ⎝2 ⎠ ⎣ ⎦ ⎠ Caâu 3: Caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình: 3x + (3m − 1)x + m − 4 = 0 coù hai nghieäm traùi daáu laø 2 2 (A) m < 4 (B) −2 < m < 2 (C) m < 2 (D) m < −2 hoaëc m > 2 Caâu 4: Phöông trình: x + x + m = 0 voâ nghieäm khi vaø chæ khi 2 3 3 5 (A) m > − (B) m < − (C) m > 0 (D) m > − 4 4 4 x −1 Caâu 5: Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình: > 1 laø x−3 (C) ( 3; +∞ ) (D) ( −∞;5) (A) ∅ (B) 16
ÑEÀ SOÁ 3: Caâu 1: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = 4 − 3x − x 2 laø ⎡1⎤ 1⎤ ⎛ (D) ⎜ −∞; − ⎥ ∪ [1; +∞ ) (A) [ −4;1] (C) ( −∞; −4] ∪ [1; +∞ ) (B) ⎢ − ;1⎥ ⎣4⎦ 4⎦ ⎝ (m − 1)x (m + 2)x − 2m + 1 Caâu 2: Taäp hôïp caùc giaù trò m ñeå phöông trình: coù nghieäm laø = 4 − x2 4 − x2 ⎛ 7 3⎞ ⎛ 5 7⎞ ⎛5 7⎞ (A) ⎜ − ; ⎟ (B) ⎜ − ; ⎟ (C) ⎜ ; ⎟ (D) ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝2 2⎠ Caâu 3: Phöông trình: x 2 − 2mx + m 2 + 3m − 1 = 0 coù hai nghieäm khi vaø chæ khi 1 1 1 1 (A) m ≤ (B) m < (C) m ≥ (D) m ≥ − 3 3 3 3 Caâu 4: Phöông trình: (m + 3)x − 3x + 2m − 5 = 0 coù hai nghieäm traùi daáu khi vaø chæ khi 2 5 5 5 (A) m > 3 (B) −3 < m < (C) m < (D) m < −3 hoaëc m > 2 2 2 ⎧3x − 1 ≥ 0 Caâu 5: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä baát phöông trình: ⎨ coù nghieäm duy nhaát ? ⎩x + m ≤ 2 5 5 7 (A) m = (B) m = − (C) m = (D) khoâng coù giaù trò naøo cuûa m 3 3 3 ÑAÙP AÙN: Caâu 1: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = 4 − 3x − x 2 laø ⎡1⎤ 1⎤ ⎛ (D) ⎜ −∞; − ⎥ ∪ [1; +∞ ) (A) [ −4;1] (C) ( −∞; −4] ∪ [1; +∞ ) (B) ⎢ − ;1⎥ ⎣4⎦ 4⎦ ⎝ (m − 1)x (m + 2)x − 2m + 1 Caâu 2: Taäp hôïp caùc giaù trò m ñeå phöông trình: coù nghieäm laø = 4 − x2 4 − x2 ⎛ 7 3⎞ ⎛ 5 7⎞ ⎛5 7⎞ (A) ⎜ − ; ⎟ (B) ⎜ − ; ⎟ (C) ⎜ ; ⎟ (D) ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝2 2⎠ Caâu 3: Phöông trình: x 2 − 2mx + m 2 + 3m − 1 = 0 coù hai nghieäm khi vaø chæ khi 1 1 1 1 (A) m ≤ (B) m < (C) m ≥ (D) m ≥ − 3 3 3 3 Caâu 4: Phöông trình: (m + 3)x − 3x + 2m − 5 = 0 coù hai nghieäm traùi daáu khi vaø chæ khi 2 5 5 5 (A) m > 3 (B) −3 < m < (C) m < (D) m < −3 hoaëc m > 2 2 2 ⎧3x − 1 ≥ 0 Caâu 5: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä baát phöông trình: ⎨ coù nghieäm duy nhaát ? ⎩x + m ≤ 2 5 5 7 (A) m = (B) m = − (C) m = (D) khoâng coù giaù trò naøo cuûa m 3 3 3 17
ÑEÀ SOÁ 4: x2 + 2 Caâu 1: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = laø x2 + 3x − 4 (A) ( −∞; −4 ] ∪ [1; +∞ ) (D) [ −4;1] (B) ( −4;1) (C) ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) Caâu 2: Phöông trình: x + 4mx + 4m − 2m − 5 = 0 coù hai nghieäm traùi daáu khi vaø chæ khi 2 2 5 5 5 5 (A) m ≥ − (B) m > − (C) m ≥ (D) m ≤ − 2 2 2 2 Caâu 3: Phöông trình: x − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 coù hai nghieäm ñoái nhau khi vaø chæ khi 2 (A) m < 3 (B) m < 1 (C) m = 1 (D) 1 < m < 3 Caâu 4: Phöông trình: x + x + m = 0 voâ nghieäm khi vaø chæ khi 2 3 3 5 (A) m > − (B) m < − (C) m > 0 (D) m > − 4 4 4 1 Caâu 5: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = x 2 + x + 2 + laø 2x − 3 ⎛2 ⎡2 ⎡3 ⎛3 ⎞ ⎞ ⎤ ⎞ (A) ⎜ ; +∞ ⎟ (B) ⎢ ; +∞ ⎟ (C) ⎢ ; +∞ ⎥ (D) ⎜ ; +∞ ⎟ ⎝3 ⎣3 ⎣2 ⎝2 ⎠ ⎠ ⎦ ⎠ ÑAÙP AÙN: x2 + 2 Caâu 1: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = laø x2 + 3x − 4 (A) ( −∞; −4 ] ∪ [1; +∞ ) (D) [ −4;1] (B) ( −4;1) (C) ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) Caâu 2: Phöông trình: x 2 + 4mx + 4m 2 − 2m − 5 = 0 coù hai nghieäm traùi daáu khi vaø chæ khi 5 5 5 5 (A) m ≥ − (B) m > − (C) m ≥ (D) m ≤ − 2 2 2 2 Caâu 3: Phöông trình: x − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 coù hai nghieäm ñoái nhau khi vaø chæ khi 2 (A) m < 3 (B) m < 1 (C) m = 1 (D) 1 < m < 3 Caâu 4: Phöông trình: x + x + m = 0 voâ nghieäm khi vaø chæ khi 2 3 3 5 (A) m > − (B) m < − (C) m > 0 (D) m > − 4 4 4 1 Caâu 5: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = x 2 + x + 2 + laø 2x − 3 ⎛2 ⎡2 ⎡3 ⎛3 ⎞ ⎞ ⎤ ⎞ (A) ⎜ ; +∞ ⎟ (B) ⎢ ; +∞ ⎟ (C) ⎢ ; +∞ ⎥ (D) ⎜ ; +∞ ⎟ ⎝3 ⎣3 ⎣2 ⎝2 ⎠ ⎠ ⎦ ⎠ 18
ÑEÀ SOÁ 5: 1 Caâu 1: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = x 2 + x + 2 + laø 2x − 3 ⎛2 ⎡2 ⎡3 ⎛3 ⎞ ⎞ ⎤ ⎞ (A) ⎜ ; +∞ ⎟ (B) ⎢ ; +∞ ⎟ (C) ⎢ ; +∞ ⎥ (D) ⎜ ; +∞ ⎟ ⎝3 ⎣3 ⎣2 ⎝2 ⎠ ⎠ ⎦ ⎠ x2 − 1 Caâu 2: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = laø 1− x (A) ( −∞; −1] (B) [ −1; +∞ ) \ {1} (C) ( −∞; −1] ∪ (1; +∞ ) (D) ( −∞;1) Caâu 3: Phöông trình: x 2 − 7mx − m − 6 = 0 coù hai nghieäm traùi daáu khi vaø chæ khi (A) m < −6 (B) m > −6 (C) m < 6 (D) m > 6 11 Caâu 4: Giaû söû x1, x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình: x 2 − 13x − 7 = 0 . Giaù trò cuûa toång laø + x1 x 2 13 13 7 7 (A) (B) − (C) − (D) 7 7 13 13 2x + 11 Caâu 5: Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình: >0 laø x −1 ⎛ 11 ⎛ 11 ⎛ 11 ⎞ 11 ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ (D) ⎜ −∞; − ⎟ ∪ (1; +∞ ) (A) S = ⎜ − ; +∞ ⎟ (B) S = ⎜ ; +∞ ⎟ ⎜ − ;1⎟ (C) ⎝2 ⎝2 ⎝2⎠ 2⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ÑAÙP AÙN: 1 Caâu 1: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = x 2 + x + 2 + laø 2x − 3 ⎛2 ⎡2 ⎡3 ⎛3 ⎞ ⎞ ⎤ ⎞ (A) ⎜ ; +∞ ⎟ (B) ⎢ ; +∞ ⎟ (C) ⎢ ; +∞ ⎥ (D) ⎜ ; +∞ ⎟ ⎝3 ⎣3 ⎣2 ⎝2 ⎠ ⎠ ⎦ ⎠ x2 − 1 Caâu 2: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = laø 1− x (A) ( −∞; −1] (B) [ −1; +∞ ) \ {1} (C) ( −∞; −1] ∪ (1; +∞ ) (D) ( −∞;1) Caâu 3: Phöông trình: x 2 − 7mx − m − 6 = 0 coù hai nghieäm traùi daáu khi vaø chæ khi (A) m < −6 (B) m > −6 (C) m < 6 (D) m > 6 11 Caâu 4: Giaû söû x1, x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình: x 2 − 13x − 7 = 0 . Giaù trò cuûa toång laø + x1 x 2 13 13 7 7 (A) (B) − (C) − (D) 7 7 13 13 2x + 11 Caâu 5: Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình: >0 laø x −1 ⎛ 11 ⎛ 11 ⎛ 11 ⎞ 11 ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ (D) ⎜ −∞; − ⎟ ∪ (1; +∞ ) (A) S = ⎜ − ; +∞ ⎟ (B) S = ⎜ ; +∞ ⎟ ⎜ − ;1⎟ (C) ⎝2 ⎝2 ⎝2⎠ 2⎠ ⎠ ⎠ ⎝ 19