Áp dụng định lí điểm bất động monch để nghiên cứu tính giải được của một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính có hiệu ứng xung

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, tác giả sử dụng độ đo không compact Hausdorff và định lí điểm bất động Monch để chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân đối với một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính có hiệu ứng xung và chuyển động Brown bậc phân số (fBm) với nửa nhóm không compact trong không gian Hilbert. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Áp dụng định lí điểm bất động monch để nghiên cứu tính giải được của một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính có hiệu ứng xung

P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 SCIENCE - TECHNOLOGY ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG MONCH ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN TRUNG TÍNH CÓ HIỆU ỨNG XUNG APPLY MONCH FIXED POINT THEORY TO STUDY THE SOLVABILITY FOR A CLASS OF IMPULSIVE NEUTRAL STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS Lâm Trần Phương Thủy TÓM TẮT trong đó, A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích Trong bài báo này, tác giả sử dụng độ đo không compact Hausdorff và định lí ( T (t)) t 0 các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian điểm bất động Monch để chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân đối với một lớp Hilbert X; BHQ là một fBm với tham số Hurst H  (1 / 2, 1) ; phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính có hiệu ứng xung và chuyển động g, f : J    X là các hàm thích hợp sẽ được xác định sau; Brown bậc phân số (fBm) với nửa nhóm không compact trong không gian Hilbert. Ở đây Ik : T  X(k  1, 2,..., m) là các hàm bị chặn và các Từ khóa: Sự tồn tại nghiệm, chuyển động Brown bậc phân số, định lí điểm bất động Monch. thời gian cố định tk thỏa mãn 0  t0  t1  ...  tk  ...  tm  T , x(tk ) và x(tk ) là giới hạn bên phải và bên trái của x(t) tại ABSTRACT thời điểm tk. x (tk )  x (tk )  x (tk ) là bước nhảy của hàm In this paper, author use the Hausdorff measure of noncompactness and the Monch fixed point theorem to prove the existence of mild solutions for a class of trạng thái x tại thời điểm tk, trong đó Ik xác định kích thước impulsive neutral stochastic differential equations driven by a fractional của bước nhảy thứ k; hàm trễ x t :    được định nghĩa Brownian motion (fBm) with noncompact semigroup in Hilbert spaces. bởi x t ()  x (t  ) với t  0 thuộc không gian pha  sẽ Keywords: The existence, fractional Brownian motion, Monch fixed point định nghĩa sau; dữ kiện đầu   {( t ) :   t  0} là một theorem. hàm 0 - đo được và là một  - quá trình ngẫu nhiên độc Trường Đại học Điện lực lập với fBm BHQ . Email: thuyltp@epu.edu.vn Các phần tiếp theo của bài báo được trình bày như sau: Ngày nhận bài: 20/02/2021 Phần 2, ta cung cấp một số ký hiệu và khái niệm cần thiết; Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 26/3/2021 Phần 3, ta thiết lập một số điều kiện đủ đảm bảo sự tồn Ngày chấp nhận đăng: 25/4/2021 tại nghiệm tích phân của hệ (1) với tham số Hurst H  (1 / 2, 1) ; cuối cùng là Phần kết luận các kết quả đạt 1. ĐẶT VẤN ĐỀ được của bài báo. Gần đây, vấn đề nghiên cứu liên quan đến phương trình 2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ vi phân ngẫu nhiên với fBm đã được nhiều tác giả nghiên cứu, xem [1, 3, 6] và các tài liệu tham khảo trong đó. Tuy Cho X và Y là hai không gian Hilbert thực tách được và nhiên, cho đến nay các phương trình vi phân ngẫu nhiên L(X, Y) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ Y đến trung tính với hiệu ứng xung được điều khiển bởi fBm với X. Để thuận tiện, ta sử dụng chung kí hiệu ‖‖  là chuẩn nửa nhóm không compact trong không gian Hilbert vẫn trong các không gian X, Y và L(X, Y). Giả sử ( ,  ,  ) là chưa được nghiên cứu nhiều. Vì vậy, bài báo này nghiên không gian xác suất đầy đủ. Kí hiệu  () là toán tử kì vọng cứu sự tồn tại nghiệm tích phân đối với lớp phương trình vi toán tương ứng với xác suất  . Toán tử không âm, tự liên phân ngẫu nhiên sau: hợp được kí hiệu là Q  L ( Y , Y ) . L0Q là không gian các hàm  d[x(t)  g( t, x t )]  [Ax(t)  f(t , x t )]dt    (t)dB HQ (t), t  J  [0 , T ], t  t k ,   L ( Y , X ) sao cho Q1/ 2 là toán tử Hilbert-Schmidt với   (1) chuẩn được định nghĩa bởi   x(t k )  Ik (x t k ),k  1, 2 ,...,m ,  2 1  x 0 (t )  (t )  L (  ,  ), a.e t  (  , 0], |  |L20 ( Y ,X ) | 2 2 Q |HS  tr ( Q* )  Q  Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn Vol. 57 - No. 2 (Apr 2021) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 135
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 Khi đó, γ được gọi là toán tử Q-Hilbert-Schmidt từ Y với toán tử hiệp phương sai Q. Chẳng hạn, nếu {n }n là vào X. dãy số thực không âm bị chặn sao cho Qun  nun , giả sử Chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về fBm và  tích phân Wiener đối với fBm. Xét một khoảng thời gian rằng Q là toán tử hạch trong Y (cụ thể  n   ), khi đó [0, T] với T tùy ý và cho {BH (t), t  J} là chuyển động Brown n1 phân số một chiều với tham số Hurst H  ( 0, 1). Điều này có quá trình ngẫu nhiên  1  1 nghĩa BH là một quá trình trung tâm Gauss liên tục với hàm hiệp phương sai: BHQ (t)   BHn (t)Q 2 un   (n ) 2 BHn (t)un , t  0, n1 n1 1 RH(t,s)  [ (t) (s)]  (| t |2H  | s |2H  | t  s |2H ), t, s   H H được định nghĩa như một Q - hình trụ fBm nhận giá trị 2 trong Y. Xét quá trình Wiener   { ( t ), t  [ 0 , T ]} định nghĩa Cho  :[0, T ]  L0Q (Y, X) sao cho H bởi  ( t)  B ((K *H )1I[0,t ] ). H Khi đó, B có biểu diễn tích  1 H t  ‖K *H (Q 2 un )‖L2 ([0,T ];X)   (2) phân Wiener sau: B (t)  K H ( t, s)d (s). Ở đây nhân 0 n1 K H (t, s) cho bởi Định nghĩa 2.1. Cho ( s), s  [0, T ] là hàm số nhận giá 1 H t H 3 H 1 trị trong L0Q (Y, X) . Khi đó, tích phân Wiener của φ tương K H ( t , s )  cH s2  (  s) 2  2 d, t  s, s ứng với BHQ được định nghĩa bởi  1 H(2H  1) t t với cH  và  là hàm Beta.  (s)dBHQ (s)   (s)Q 2 undHn 1 0 0  (2  2H, H  ) n1 2  t 1 Dễ thấy rằng   (K *H ((K *H (Q 2 un ))(s)dW (s), t  0. 1 3 n1 0 K H (t, s) t H H  cH ( ) 2 ( t  s) 2 . Lưu ý rằng nếu t s  1 Xét toán tử tuyến tính K *H :   L2 ([0, b]) , cho bởi  n1 ‖Q 2 un‖L1/H ([0,b];X)  , (3) t K H (t, s) (K *H)(s)   ( s ) dt. thì (2) được thỏa mãn, điều này suy ra từ s t Ta có L1/H ([0, b])  L2 ([0, b]) . (K *H[0, t ] )(s)  K H (t, s)* [0,t ] (s). Bổ đề 2.1. ([4]) Với mỗi  :[0, b]  L0Q (Y, X) sao cho (5) thỏa mãn, và với mọi  ,   [ 0, b ] với    , K *H là một đẳng cự giữa Φ và L2 ([0, b]) và có thể mở  rộng đến không gian  . | (s)dBHQ (s) |2X   Giả sử dãy hai mặt của một fBm một chiều {BHn (t)}n  1  độc lập trên ( ,  ,  ) và xét chuỗi sau  cH(2H  1)(  )2H1 |(s)Q 2 un |2X ds  n1   H  n ( t )un , t  0.  1 n1 ở đây c = c(H). Nếu, thêm nữa,  n1 |(t)Q 2 un |X hội tụ Ở đây {un }n là cơ sở trực chuẩn đầy đủ trong Y. Chuỗi đều với t  [ 0 , b ] , thì trên không nhất thiết hội tụ trong không gian Y. Xét quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong Y, BHQ ( t) xác định bởi |  (s)dBHQ (s) |2X  cH(2H  1)(  )2H1       |(s) |L0 (Y,X) ds Q BHQ (t)   BHn (t)Q1/ 2un   n BHn (t)un , t  0. Trong bài báo này, ta định nghĩa không gian pha  . n1 n1 Giả sử  : (  , 0 ]  ( 0,  ) là hàm liên tục với Chuỗi này hội tụ trong Y nếu Q thuộc lớp các toán tử 0 vết không âm tự liên hợp. Rõ ràng, ta có BHQ  L2 (, Y ) . Tại l  (t)dt   . Với   0 , ta định nghĩa không gian thời điểm đó, BHQ ( t) là Q - hình trụ fBm nhận giá trị trong Y Banach ( ,‖‖   ) như sau 136 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ● Tập 57 - Số 2 (4/2021) Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn
P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 SCIENCE - TECHNOLOGY   { : (, 0]  X : (‖()‖2 )1/ 2 là hàm bị chặn (1) B là compact yếu nếu và chỉ nếu α(B) = 0; 0 (2) (B)  (B )  (convB) , với B và convB tương ứng và do được trên [, 0] và  (s) sup (‖()‖2 )1/2 ds  }  s0 là bao đóng và bao lồi của B; với chuẩn (3)  (B )   (D ) khi B  D ; 0 (4) (B  D)  (B)  (D) , với B  D  {x  y; x  B, y  D} ; ‖‖   (s) sup ( ‖()‖2 )1/2 ds.  s  0 (5)  (B  D )  max{ (B),  (D )} ; Và ta xét không gian (6)  (  B) |  |  (B ) , với mỗi số thực λ; T  {x : (, T]  X : xk  C(Jk , X), k  0,1,..., m, x(tk ), x(tk ) (7) Nếu W  C ([ 0, T ]) là tập bị chặn, khi đó với x (tk )  x (tk ), k  0,1,..., m, x 0    L2 (,  ) trên (W(t))  (W) với mọi t  [0, T ] , với W(t)  {u(t) : u  W  Y} . (  , 0 ]} Hơn nữa, nếu W là đồng liên tục trên $[0,T]$ thì t  W ( t ) Kí hiệu ‖‖  T là nửa chuẩn trên T định nghĩa bởi liên tục trên [0,T], và  ( W )  sup{W ( t ) : t  [ 0, T ]} ; (8) Nếu W  C ([ 0, T ]; X ) bị chặn và đồng liên tục, khi đó ‖x‖T ‖x 0‖  sup( ‖x(s)‖2 )1/2 ,x  T . sJ t   ( W ( t )) liên tục trên [0,T], và Bổ đề 2.2. ([5]) Giả sử rằng x  T , khi đó với  t  t t  J, x t   . Hơn nữa    W(s)ds    (W(s))ds với mọi t [0, T] , 0 0 l(‖x(s)‖2 )1/2 ‖x t‖ ‖x0‖ lsup( ‖x(s)‖2 )1/2 ,x  T t  t  sJ với 0   W (s)ds   u(s)ds : u  W  ; 0  0 với l   (s)ds. (9) Cho {un }1 là dãy hàm khả tích Bochner từ J tới Y với  ‖un (t)‖ m ˆ (t) hầu khắp t  J và mọi n  1 , ở đây Tiếp theo, cho A : D (A )  X (D(A): miền xác định của toán tử A) là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích các mˆ (t)  L ( J,   ) , khi đó hàm  (t)  ({un }n1 )  L( J,   ) và toán tử tuyến tính bị chặn ( T (t)) t 0 trên X. Giả sử rằng tồn thỏa mãn tại hằng số M  1 và số thực μ sao cho ‖T (t)‖ Met , với  t  t mọi t  0 . ta cũng giả thiết rằng ( T (t)) t 0 bị chặn đều và là  0     un (s)ds : n  1   2   (s)ds . 0 nửa nhóm giải tích sao cho 0   ( A ). Ở đây δ(A) là tập giải Với độ đo của số hạng tích phân ngẫu nhiên, ta có Bổ đề của A. Khi đó, ta có thể định nghĩa (-A)α với 0    1 , như sau. Đây là Bổ đề quan trọng để chứng minh kết quả của là một toán tử tuyến tính đóng với miền xác định D(-A)α nghiên cứu. tương ứng với chuẩn ‖‖   . Kí hiệu Xα ( 0    1 ) là không Bổ đề 2.5. Nếu W  C([0, t]; L02 ( V , X)),  là một quá gian D(-A) với chuẩn ‖‖ α   , ta có bổ đề sau trình Winer, khi đó Bổ đề 2.3. [8] Giả sử có các giả thiết trên  t  (1) Nếu 0    1 , thì Xα là một không gian Banach.    W(s)d(s)   0 T (W (t)) , (2) Nếu 0     , thì phép nhúng X   X  liên tục. ở đây (3) Tồn tại hằng số Mα > 0 sao cho với mọi 0    1 , t t ta có  W(s)d(s)   u(s)d(s) : với mọi u  W, t [0, T] 0 0 M Bổ đề 2.6. Giả sử rằng D là một tập lồi đóng của X, ‖(A) T (t )‖ e t , t  0,   0. t 0  D . Nếu ánh xạ  : D  X liên tục và thuộc kiểu Monch Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu độ đo không compact nghĩa là, Φ thỏa mãn M  D, M đếm được, Hausdorff α(.) định nghĩa trên các tập con bị chặn B của M  co {0}  (M)   M compact, khi đó Φ có điểm bất không gian Banach X xác định bởi (B)  inf{  0;B có  động trong D. lưới hữu hạn trong X. 3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Một số tính chất được liệt kê trong Bổ đề sau. Trong phần này, sẽ trình bày và chứng minh sự tồn tại Bổ đề 2.4. ([2]) Cho X là không gian Banach thực và nghiệm tích phân của (1). Trước tiên cần đưa ra khái niệm B, D  X là các tập bị chặn; khi đó các tính chất sau được nghiệm tích phân của bài toán đã nêu. thỏa mãn: Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn Vol. 57 - No. 2 (Apr 2021) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 137
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 Định nghĩa 3.1. X - quá trình ngẫu nhiên (ii) Tồn tại hàm liên tục mf : J    và một hàm liên {x ( t ), t  (  , T ]} được gọi là một nghiệm tích phân của tục, không giảm  f :    ( 0,  ) sao cho (1), nếu 2 ( x‖2  ‖f (t, x )‖  mf (t) f ‖ ). (i) x(t) đo được, t - tương thích; (ii) Với t  (  , 0 ], x ( t )  ( t ) ; (iii) Tồn tại hàm dương lf  L1( J,   ) sao cho, với mỗi (iii) Với mỗi 0  t  T , x ( t ) thỏa mãn đẳng thức tích tập con bị chặn Q2   : phân sau: (f(t,x))  lf (t) sup (Q2 ( )) . (  ,0] x (t)  T (t)[(0)  g(0, (0))]  g(t, x t ) (H5) Hàm liên tục Ik : T  X , thỏa mãn t t  AT(t  s)g(s, x )ds   T(t  s)f (s, x )ds 0 s 0 s (i) Tồn tại Lk  0, k  1, 2,..., m sao cho với mỗi x, y  T t m H   T (t  t )I (x )   T (t  s)(s)dB (s). 0  tk  t k k tk 0 Q và L k 1 k  Trong phần tiếp theo, sử dụng các giả thiết sau: ‖Ik (x )  Ik (y )‖2  Lk ‖x  y‖2T và ‖Ik (0)‖ 0 . (H1) A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích ( T (t)) t 0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, thỏa mãn (ii) Tồn tại lk  0, k  1, 2,..., m sao cho với mỗi tập con bị 0  ( A ) . Từ Bổ đề 2.3, tồn tại các hằng số M, M1 sao cho chặn Q3  T M1 (Ik (Q3 ))  lk sup (Q3 ( )) . ‖T (t)‖ M và (A)1‖T (t)‖ 1 , t  J. (  ,0] t (H2) Hàm  : J  L0Q ( V , X) thỏa mãn  m  M12 T2 t    2 24 ‖(A) ‖ Lg  2  1 2 Lg  M m k l2  L (i)  ‖(s)‖L20 ds  , t  J , (H6)  k 1  0 Q t  ( )  1/ 2  6TM2 mf (s)ds lim sup f  1  (ii) ‖Q un‖L2 ([0, T ];X )  , 0    n1 Định lí 3.1. Nếu các giả thiết (H1)-(H6) được thỏa mãn  thì hệ (1) có ít nhất một nghiệm tích phân trên (  , T ] với 1/ 2 (iii) ‖Q n1 un‖X ) hội tụ đều với t  J . M1 T  ‖(A )‖Q*  2 ‖lg‖L1 ( J,  ) (H3) Hàm g : J    X thỏa mãn  m (4) (i) g là hàm liên tục và tồn tại các hằng số 0    1, L g  0 , sao cho hàm g nhận giá trị trong X và MT‖lf ‖L1( J,   ) M ln1 k  1. thỏa mãn Chứng minh ‖(A ) g(t, x)  (A) g(t, y )‖2  L g‖x  y‖2 , Xét toán tử  : T  T định nghĩa bởi ‖(A)  g(t, x )‖  L g (1‖x‖2 2 ),   với mọi x, y   và t  J .  (t), t  (, 0]  T(t)[(0)  g(0, (0))]  g(t, xt ) (ii) Tồn tại một hàm dương lg  L1( J,   ) , sao cho với  x(t)   t t (5) mỗi tập bị chặn Q1   thỏa mãn   0  T(t  s)f(s, x )ds  AT(t  s)g(s, xs )ds  0 s (( A) g(t,Q1 ))  lg (t) sup (Q1()),Q*  suplg (t) .  t H (  ,0] tJ    T(t  t )I (x )   T(t  s)(s)dB (s), t  J. k k tk Q 0  0tk t (H4) Hàm f : J    X thỏa mãn Để chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân của (1), ta (i) Với mỗi x   , f (, x ) : J  X đo được với mỗi t  J , cần chứng minh  có điểm bất động. f (t, ) :   X liên tục. Xét T0  {y : y  T , y 0  0} , với mỗi y  T0 , định nghĩa chuẩn 138 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ● Tập 57 - Số 2 (4/2021) Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn
P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 SCIENCE - TECHNOLOGY ‖y‖ 0 ‖y 0‖  sup( ‖y(s)‖2 )1/2  sup( ‖y(s)‖2 )1/2 . t J4  6 ‖ T (t  s)f (s, y s  ˆ s )ds‖2 T sJ sJ  0 (12) t Khi đó, (T0 ,‖‖  0 ) là một không gian Banach. Với mỗi 2 T  6TM  m (s) (r)ds 0 f f r > 0, xét Br  {y  T0 ‖ : y‖2 0  r} , khi đó Br là tập lồi đóng m T và bị chặn trong T0 . Với mỗi y  Br , ta có J5  6‖  T (t  tk )Ik (y tk  ˆtk )‖2  6M2m L r (13) k 0  tk  t k 1 ‖y t  ˆ t‖2  4l2 (r  M2 | (0) |2 )  4‖ˆ‖2 : r  (6) t J6  6 ‖ T(t  s)(s)dBHQ (s)‖2   (t), t  (, 0] 0 (14) với ˆ (t)    6cM2H(2H  1)T 2H sup ‖(s)‖L20  T (t)(0), t  J. Q 0s T Bây giờ ta định nghĩa toán tử  : T0  T0 bởi Từ các bất đẳng thức (9)-(14), suy ra  0, t  (, 0] 6  M12 T 2 m   ˆ r  Ji  6 ‖( A)‖2 Lg  Lg  M2m Lk    T(t)[g(0, (0))]  g(t, yt t ) i1  2  1 k 1    t t   AT(t  s)g(s, ys ˆ s )ds  T(t  s)f (s, ys ˆ s )ds  6M2‖(A)‖2 Lg (1‖‖2 )  6‖( A)‖2 Lg y(t)   0  0  (7) (15)  t M12 T 2  T(t  tk )Ik (ytk ˆ tk )  T(t  s)(s)dBHQ (s), t  J  6 2 Lg  6cM H(2H  1)T 2H sup ‖(s)‖L20  0tk t 0 2  1 0s  T Q  t   6TM2  m (s) (r)ds. f f 0 Rõ ràng, việc chứng minh toán tử  có điểm bất động tương đương với việc chứng minh toán tử Φ có điểm bất Chia hai vế của (15) cho r và cho r   , biết rằng động. Để dễ đọc hơn, tác giả chia chứng minh thành các r 4l2 (r  M2 | (0)|2 )  4‖ˆ‖2  bước như sau. lim  lim  4l2 . r  r r  r Bước 1: Tồn tại số thực dương r sao cho  (Br )  Br . Giả Ta có sử ngược lại rằng  (Br )  Br , khi đó với mỗi số thực dương m  M12 T 2  r r, tồn tại hàm y  Br nhưng (y )   Br , điều này suy ra tồn r    2 24 ‖( A) ‖ L g  2  1 Lg  M m 2  l2 k 1 k  L tại t  t(r )  J, ‖(y )(t)‖  r. Thực tế, ta có r 2   t  (  ) r  ‖(yr )(t)‖2  6‖T (t)[g(0, (0))]‖2 6TM2 mf (s)ds lim sup f t 0      1.  6‖g(t, yrt  ˆ t )‖2  6‖ AT(t  s)g(s, y s  ˆ s )ds‖2  Điều này mâu thuẫn với (H6). Do đó, tồn tại số thực 0 t dương r sao cho  (Br )  Br .  6‖ T (t  s)f (s, y s  ˆ s )ds‖2  (8) 0 Bước 2: Toán tử Φ liên tục trong Br . Điều này suy ra từ  6‖  T (t  t )I (y k k tk  ˆ tk )‖2 tính liên tục của các hàm g, f và các hàm Ik và định lí hội tụ 0  tk  t trội Lebesgue. 6 t Bước 3: Toán tử  (Br ) là đồng liên tục trên J.  6‖ T (t  s)(s)dBHQ (s)‖2 :  J i 0 Dễ thấy rằng hàm { y : y  Br }, t  0 là đồng liên tục. i1 Sử dụng Bổ đề 2.1 và các giả thuyết (H1)-(H5) ta có Với 0  t1  t2  T , t1, t2  J và y  Br nhờ các giả thiết trên, J1  6‖T(t)[g(0, (0))]‖  6M ‖(A) 2 2  2 ‖ Lg (1‖‖2 ) (9) ta có 6 ‖y (t2 )  y (t1)‖2  6(Q* )2 ‖T (t2 )  T (t1 )‖2 J2  6 ‖g( t, yrt  ˆ t )‖2  6‖( A ) ‖2 L g (1 r ) (10) t 6 ‖g( t 2 , y t2  ˆ t2  g( t1, y t1  ˆ t1 )‖ J3  6 ‖ ( A )  1 T ( t  s)( A ) g(s, y s  ˆ s )ds‖2  0 1 t (11) 12‖ (A)1 [T(t2  s)  T(t1  s)](A) g(s, ys  ˆ s )ds‖2  M1 T 2 2 0 6 L g (1  r ) t2 2  1 12‖  AT (t2  s)g(s, y s  ˆ s )ds‖2 t1 Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn Vol. 57 - No. 2 (Apr 2021) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 139
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 t1 12‖  [ T (t 2  s)  T (t1  s)] f (s, y s  ˆ s )ds‖2 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO t2 12‖ T (t2  s)f (s, y s  ˆ s )ds‖2 [1] G. Arthi, J. H. Park, H. Jung, 2016. Existence and exponential stability for t1 neutral stochastic integrodifferential equations with impulses driven by a fractional m brownian motion. Commun Nonlinear Sci Numer Simul. 32, 145-157. 6 ‖  [ T (t 2  tk )  T (t1  tk )] Ik ( y tk  ˆ tk )‖2 [2] J. Banas, K. Goebel, 1980. Measure of Noncompactness in Banach spaces. k 1 Marcel Dekker, New York. t1 [3] B. Boufoussi, S. Hajji, 2012. Neutral stochastic functional differential 12‖  [ T (t2  s)  T (t1  s) ] (s)dBHQ (s)‖2 0 equations driven by a fractional brownian motion in a hilbert space. Stat.Probab. t2 Lett. 82, 1549-1558. 12‖  T (t2  s)(s)dBHQ (s)‖2  0 [4] T. Caraballo, M. Garrido-Atienza, T. Taniguchi, 2011. The existence and t1 exponential behavior of solutions to stochastic delay evolution equations with a khi t2  t1 . Suy ra { y : y  Br } là tập đồng liên tục trên J. fractional brownian motion. Nonlinear Anal. 67, 3671-3684. Bước 4: Ta kiểm tra điều kiên Monch được thỏa mãn. [5] Y.K. Chang, 2007. Controllability of impulsive functional differential systems with infinite delay in banach spaces. Chaos Soliton. Fract. 33, 1601-1609. Xét tập khác rỗng, bị chặn W*  T0 và y1, y 2  W* . [6] J. Cui, Z. Wang, 2016. Nonlocal stochastic integro-differential equations ˆ y (t),  Ta có: d(y1 (t), y 2 (t))  d( ˆ y ( t)) driven by fractional brownian motion. Adv. Differ. Equ. 115. 1 2 ˆ y (t)), y  W* . suy ra (y (t))  ( [7] Y. Mishura, 2008. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. In: Lecture Notes in Mathematics,1929; Springer-Verlag. Cho D  Br là tập đếm được và D  co({0}  (D)) . Bây [8] A. Pazy, 1992. Semigroups of linear operators and applications to partial giờ, ta chứng minh  (D )  0 . Không mất tính tổng quát, ta differential equations. Spring Verlag, New York. giả sử rằng D  {yn }n1 . Nhờ Bước 3 ta thấy D  co({0}  (D)) là đồng liên tục trên J. AUTHOR INFORMATION Lam Tran Phuong Thuy Theo Bổ đề 2.4 và các giả thiết trên, ta có Electric Power University ({y n (t)}n1)  ( ˆ {yn (t)} ) n1  M T  ‖(A) ‖Q*  2 1 ‖lg‖L1 ( J,  )     n   m  ({y (t)}n1 )  MT‖l ‖    f L1 ( J,   ) M n1 lk    M*({y n (t)}n1), với M1 T M* ‖(A) ‖Q*  2 ‖lg‖L1( J, )  m .  MT‖lf ‖L1( J,  ) M l n1 k 1 Do đó, suy ra (D)  (co({0}  (D)))  M*(D). Điều này chứng tỏ α(D) = 0, D là tập compact tương đối. Nhờ Bổ đề 2.6, ta thấy rằng Φ có điểm bất động trên D. Định lí được chứng minh. 4. KẾT LUẬN Kết quả chính của bài báo này là sử dụng các kiến thức liên quan đến giải tích ngẫu nhiên, độ đo không compact và nguyên lí điểm bất động Monch để chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân của bài toán (1). 140 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ● Tập 57 - Số 2 (4/2021) Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn