Bài giảng Applied numerical methods (Ứng dụng phương pháp tính số): Chương 6 - TS. Ngô Văn Thanh

Chia sẻ: Little Little | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Applied numerical methods (Ứng dụng phương pháp tính số) - Chương 6: Phương trình vi phân. Những nội dung chính được trình bày trong chương này gồm: Các bài toán giá trị đầu (Initial value problems), giải hệ các phương trình vi phân, các bài toán giá trị biên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Applied numerical methods (Ứng dụng phương pháp tính số): Chương 6 - TS. Ngô Văn Thanh

TS. Ngô Văn Thanh, Viện Vật lý. Cao học vật lý – chuyên ngành Vật lý lý thuyết.
Chương 6. Phương trình vi phân. 6.1. Các bài toán giá trị đầu (Initial value problems) 6.1.1. Phương pháp Euler. 6.1.2. Phương pháp Runge-Kutta. 6.2. Giải hệ các phương trình vi phân. 6.2.1. Phương pháp Euler. 6.2.2. Phương pháp Runge-Kutta. 6.3. Các bài toán giá trị biên. 6.3.1. Phương pháp shooting. 6.3.2. Phương pháp sai phân xác định. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Giới thiệu.  Dạng tổng quát phương trình vi phân bậc nhất:  điều kiện đầu  Hệ phương trình vi phân bậc nhất:  trong đó  Dạng tổng quát phương trình vi phân bậc n :  điều kiện đầu @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.1.1. Phương pháp Euler.  Phương trình vi phân bậc nhất:  điều kiện đầu  Chia biến t thành N + 1 điểm  mặt khác  suy ra: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Phương pháp Euler: tính  Điều kiện đầu  Cuối cùng: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Phương pháp Taylor bậc n.  Điều kiện đầu  Chuỗi Taylor  Mặt khác  Cuối cùng ta có @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.1.2. Phương pháp Runge-Kutta.  Định lý Taylor cho hàm 2 biến: Phương pháp Runge-Kutta bậc 2:  sử dụng biểu thức Taylor bậc 2: sử dụng ta có: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Phương pháp MidPoint:  điều kiện đầu Phương pháp Euler bổ sung:  điều kiện đầu Phương pháp Heun:  điều kiện đầu @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Phương pháp Runge-Kutta bậc 4:  điều kiện đầu  trong đó: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.2.1. Phương pháp Runge-Kutta.  Hệ phương trình vi phân bậc 1:  với  Chia t thành N + 1 điểm  Điều kiện ban đầu:  trong đó @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Tổng quan:  Xét phương trình đạo hàm riêng bậc 2:  Các điều kiện biên  Để phương trình có nghiệm duy nhất thì:  Hàm f và đạo hàm riêng của nó theo y và y’ phải liên tục.  Đạo hàm riêng của f theo y phải lớn hơn 0 (dương).  Đạo hàm riêng của f theo y’ phải giới nội. 6.3.1. Phương pháp shooting cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.  Dạng bài toán giá trị biên tuyến tính:  Đây là dạng phương trình đạo hàm riêng không thuần nhất  Nghiệm của nó được tính từ nghiệm của phương trình thuần nhất @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Để giải phương trình này, người ta tách thành hệ hai phương trình với điều kiện đầu: với điều kiện đầu  Và với điều kiện đầu  Cả hai phương trình trên đều có nghiệm duy nhất.  Giả sử là hai nghiệm của hai phương trình trên.  Đây chính là nghiệm duy nhất của phương trình với điều kiện biên @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Giải phương trình hai điều kiện đầu: với điều kiện đầu  Chuyển về giải hệ hai phương trình: với điều kiện đầu Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp Runge-Kutta (6.2.1). @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.3.2. Phương pháp sai phân xác định.  Dạng bài toán giá trị biên tuyến tính:  Chia đoạn [a, b] thành N + 1 khoảng.  Xét khoảng phương trình vi phân có dạng:  Sử dụng dạng Centered-Difference ta có: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Định nghĩa các nghiệm gần đúng:  Ta có với  Viết lại phương trình trên dưới dạng  Đây là hệ phương trình dạng ma trận chéo bậc 3 @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý