Bài giảng Chương 10: Tối ưu hóa thực nghiệm

Chia sẻ: Codon_11 Codon_11 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

248
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 10: Tối ưu hóa thực nghiệm hướng đến trình bày các vấn đề về khái niệm và phân loại các phương pháp tối ưu hóa; phương pháp thực nghiệm theo đường dốc nhất; phương pháp khảo sát mặt mục tiêu;... Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 10: Tối ưu hóa thực nghiệm

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 PhÇn IV Tèi -u ho¸ thùc nghiÖm 10.1- Kh¸i niÖm vµ ph©n lo¹i c¸c ph-¬ng ph¸p tèi -u ho¸: Cã 4 ph-¬ng ph¸p t×m ®iÒu kiÖn tèi -u chÝnh: - Ph-¬ng ph¸p mß ®iÒu kiÖn tèi -u b»ng c¸ch lÇn l-ît kh¶o s¸t tõng nh©n tè ¶nh h-ëng lªn kÕt qu¶ thÝ nghiÖm trong khi cè ®Þnh c¸c yÕu tè kh¸c (h×nh a/). - Ph-¬ng ph¸p thùc nghiÖm theo ®-êng dèc nhÊt, ®-êng cña vect¬ grad y(x) (h×nh b/). - Ph-¬ng ph¸p kh¶o s¸t mÆt môc tiªu (h×nh c/). - Ph-¬ng ph¸p thùc nghiÖm theo ®¬n h×nh (h×nh d/) x2 x2 x1 x1 a/ Ph-¬ng ph¸p mß b/ Ph-¬ng ph¸p thùc nghiÖm theo ®-êng dèc nhÊt x3 x2 x1 x1 x2 c/ Ph-¬ng ph¸p ®¬n h×nh d/ Ph-¬ng ph¸p kh¶o s¸t mÆt môc tiªu H×nh 10.1- Minh ho¹ c¸c ph-¬ng ph¸p tèi -u ho¸ 10.2.Ph-¬ng ph¸p thùc nghiÖm theo ®-êng dèc nhÊt §-êng dèc nhÊt lµ ®-êng chuyÓn dÞch theo vect¬ grad y(x), vect¬ nµy biÓu thÞ sù biÕn thiªn nhanh nhÊt cña y(x) vÒ phÝa cùc trÞ. Thùc chÊt cña viÖc thùc nghiÖm theo ®-êng dèc nhÊt ®Ó t×m ®iÒu kiÖn tèi -u thùc nghiÖm lµ t×m c¸c kho¶ng biÕn thiªn míi i*, j* t-¬ng øng cña c¸c yÕu tè x i, xj... tû lÖ víi 104
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 nhau theo mét tû sè x¸c ®Þnh, ®Ó dÞch chuyÓn ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn thÝ nghiÖm vÒ phÝa cùc trÞ. Cã thÓ m« t¶ qui ho¹ch thùc nghiÖm theo ®-êng dèc nhÊt b»ng b¶ng sau ®©y: B¶ng 10.1- Ma trËn thùc nghiÖm theo ®-¬ng dèc nhÊt Stt x1 x2 x3 ... xn y 1 Møc gèc 01 02 03 ... 0n 2 HÖ sè b i B1 b2 b3 ... bn 3 Kho¶ng biÕn thiªn 1 2 3 ... n 4 bii b1 1 B 22 b33 ... bnn bi i 5 i' = 1' 2 ' 3 ' ... n ' b  max i j 6 Lµm trßn i' thµnh i* 1* 2 * 3 * ... n * 7 Thùc nghiÖm thø 1 theo i' 01+11* 02 +12* 03 +13 * ... 0n +1n * y6* 8 Thùc nghiÖm thø 2 theo i' 01+21* 02+22* 03 +23 * ... 0n +2n * y7* 9 Thùc nghiÖm thø 3 theo i' 01+31* 02+32* 03 +33 * ... 0n +3n * y8* ... ... ... ... ... ... ... ... K Thùc nghiÖm thø k theo i' 01+k1* 02+k2* 03 +k3 * ... 0n +kn * yk* ... ... ... ... ... ... ... ... M Thùc nghiÖm thø m theo 01 +m1* 02+m2 * 03+m3* ... 0n+mn* ym* i' Ghi chó: - Møc gèc 0 i lµ møc dïng ®Ó m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm thu ®-îc hµm môc tiªu y(x) phï hîp. - HÖ sè bi lµ hÖ sè cña ph-¬ng tr×nh håi qui phï hîp. - Kho¶ng biÕn thiªn  lµ kho¶ng biÕn thiªn ®· dïng ®Ó m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm cho hµm môc tiªu phï hîp - Lµm trßn 1' thµnh 1* lµ phÐp lµm trßn sè häc. (ThÝ dô: 0.3 thµnh 0.5; 0.8 thµnh 1.0) - 1 * lÊy dÊu cña cña hÖ sè bi t-¬ng øng. - Qi + i1* lµ céng ®¹i sè, nÕu 1* < 0 th× lµm gi¶m møc gèc, nÕu 1* > 0 th× lµm t¨ng møc gèc. Gi¶ thiÕt yk* lµ gi¸ trÞ thùc nghiÖm thu ®-îc cùc trÞ, khi ®ã ®iÒu kiÖn thùc nghiÖm ®Ó thu ®-îc yk * lµ ®iÒu kiÖn tèi -u thùc nghiÖm. VÝ dô 10.1: Nghiªn cøu sù biÕn tÝnh cña nh«m nguyªn chÊt b»ng m« lÝp ®en. Th«ng sè tèi -u hãa y ®-îc chän lµ sè h¹t nh«m trªn bÒ mÆt 1cm2. C¸c yÕu tè ¶nh h-ëng ®Õn th«ng sè tèi -u hãa lµ:1/ x1: l-îng m« lÝp ®en ®-a vµo nh«m, tÝnh b»ng %; 2/ x2: nhiÖt ®é nung nãng, 0C; 3/ x3 : thêi gian nung nãng, phót; 4/ x4 : tèc ®é lµm l¹nh (ñ), trong ®ã x1, x2, x3 lµ nh÷ng yÕu tè ®Þnh l-îng, x4 lµ yÕu tè ®Þnh tÝnh, cã hai gi¸ trÞ: lµm l¹nh nhanh (lµm l¹nh b»ng ®¸ graphit), lµm l¹nh chËm (lµm l¹nh b»ng g¹ch chÞu löa). B¶ng 10.2- C¸c møc cña c¸c yÕu tè ®-îc cho ë b¶ng sau : C¸c møc C¸c yÕu tè x1 x2 x3 x4 nghiÖm gèc 0,4 840 60 - Kho¶ng biÕn thiªn 0,15 100 60 - Møc trªn (+) 0,55 940 120 ®¸ graphit 105
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 Møc d-íi (-) 0,25 740 0 G¹ch chÞu löa M« h×nh ®-îc chän lµ m« h×nh thùc nghiÖm bËc 1 rót gän lµ lo¹i 2 4 – 1 ph-¬ng tr×nh håi qui thu ®-îc cã d¹ng: y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4x 4 Víi biÓu thøc sinh x4 = x1 x2 x3. C¸c thÝ nghiÖm kh«ng lµm lÆp l¹i. Ma trËn qui ho¹ch thùc nghiÖm vµ c¸c kÕt qu¶ ®-îc cho ë b¶ng d-íi ®©y: B¶ng 10.3- Ma trËn quy ho¹ch thÝ nghiÖm STT X0 x1 x2 x3 X4 Y 1 + + + + + 100 2 + - + + - 81 3 + + - + - 95 4 + - - + + 36 5 + + + - - 130 6 + - + - + 69 7 + + - - + 90 8 + - - - - 64 §Ó x¸c ®Þnh ph-¬ng sai t¸i hiÖn sth 2 ph¶i lµm thªm 3 thÝ nghiÖm ë t©m ph-¬ng ¸n. C¸c kÕt qu¶ nhËn ®-îc yu 0 (u = 1, 2, 3) vµ c¸c tÝnh to¸n y0 vµ (y u0 - y 0) ®-îc cho ë b¶ng 10.3 sau : B¶ng 10.4- B¶ng kÕt qu¶ vµ c¸ch tÝnh ph-¬ng sai : STT yu 0 y0 yu 0 – y0 (yu0 - y0)2 1 80 3 0 0 3 2 82 y 0u 2 4 ( yu0 y 0 ) 2 8 3 78  -2 4 u 1 u 1 80 3 Ph-¬ng sai lÆp l¹i, chÝnh lµ sai sè thøc nghiÖm: n0 ( y 0 u y 0 ) 2 s 02 u 1 4 n0 1 C¸c hÖ sè trong m« h×nh ®-îc tÝnh theo c«ng thøc: N N y i  x ji y i b0  i 1 ; b j  i 1 N N b0 = 83,1; b1 = 20,0; b2 = 11,9; b3 = -5,1; b4 = -9,4 KiÓm ®Þnh tÝnh nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui: b j s 2th t j  ; Sb j  0 ,71 S b j N t1 = 28,16; t 2 = 16,76; t 3 = 7,18; t 4 = 13,2; t 0 = 117,04 106
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 Tra b¶ng tp (f) víi p = 0,05; f = n0 - 1 = 2; t p (f) = 4,30. C¸c tj > tp (f) víi j = (0,1, 2, 3, 4) do ®ã c¸c hÖ sè håi quy ®Òu cã ý nghÜa vµ ph-¬ng tr×nh håi quy cã d¹ng: y = 83,1 + 20x1 + 11,9x2 - 5,1x3 - 9,4x 4. Tõ m« h×nh to¸n häc ta thÊy r»ng muèn t¨ng gi¸ trÞ cña th«ng sè tèi -u hãa cÇn t¨ng gi¸ trÞ cña c¸c yÕu tè x1 vµ x2 vµ gi¶m gi¸ trÞ cña c¸c yÕu tè x 3 vµ x4 . KiÓm ®Þnh sù t-¬ng thÝch cña m« h×nh víi thùc nghiÖm ®-îc thùc hiÖn theo tiªu chuÈn Fisher. B¶ng 10.5- C¸c sè liÖu dïng ®Ó tÝnh s sk2 ®-îc cho ë b¶ng sau : STT yi yˆi yo - yˆi (yo - ˆy i)2 1 100 101 -1 1 2 81 79 2 4 3 95 96 -1 1 4 36 37 -1 1 N 5 130 130 0 0 ( y i  yˆi ) 2  24 i 1 6 69 71 -2 4 7 90 87 3 9 8 64 66 -2 4 N ( y i  yˆ i) 2 S 2 s 2  i 1 8 Vµ F  sk 2  2 .0 sk N L S f 0 Tra b¶ng F1 - p (f1 , f2); p = 0,05; f1 = 3; f2 = 2 ®-îc : F1 - p (3, 2) = 19,2 F < F1 - p (f1 , f2), do ®ã ph-¬ng tr×nh t-¬ng thÝch víi thùc nghiÖm. Tèi -u hãa thùc nghiÖm ®-îc thùc hiÖn b»ng ph-¬ng ph¸p ®-êng dèc nhÊt, b¾t ®Çu tõ ®iÓm kh«ng, lµ møc c¬ së: x1 = 0,40; x2 = 840; x3 = 60; x4 lµm l¹nh chËm (lµm l¹nh b»ng g¹ch chÞu löa). B¶ng 10.6- C¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm tèi -u hãa ®-îc tr×nh bµy ë b¶ng sau : Tªn x1 x2 x3 x4 y 01- Møc c¬ së 0,40 840 60 - - 02- HÖ sè b j 20 11,9 -5,1 -9,4 - 03- Kho¶ng biÕn thiªn 0,15 100 60 - - 04- bj x j 3 1190 -306 - - 05- B-íc j 0,0252 10 -2,57 - - 06- B-íc lµm trßn 0,03 10 -3 - - 07- ThÝnghiÖm t-ëng t-îng 0,43 850 57 G¹ch chÞu löa 08- ThÝnghiÖm t-ëng t-îng 0,46 860 54 '' - 09- ThÝ nghiÖm thø 9 0,49 870 51 " 108 10- ThÝnghiÖm t-ëng t-îng 0,52 880 48 " - 11- ThÝnghiÖm t-ëng t-îng 0,55 890 45 " - 12- ThÝ nghiÖm thø 10 0,58 900 42 " 196 13- ThÝ nghiÖm thø 11 0,61 910 39 " 366 14- ThÝ nghiÖm thø 12 0,64 920 36 " 313 Chän c¸c b-íc chuyÓn ®éng cña yÕu tè x2 lµ  2,  0 2 = 10 C. C¸c b-íc chuyÓn ®éng cña c¸c yÕu tè x1 vµ x3 trong b¶ng ®-îc tÝnh nh- sau: 107
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 b1 1 20 .0,15 1 2 . 10 . 0 ,0252 b 2 2 11,9 .100 b3 3 ( 5 ,1). 60 3 2 . 10 . 2, 57 b 2 2 11,9 .100 VÝ dô 10.2: B»ng ph-¬ng ph¸p theo ®-êng dèc nhÊt cã thÓ tèi -u ho¸ hiÖu suÊt (y, %) cña ph¶n øng A D xÈy ra trong dung dÞch r-îu cã chÊt xóc t¸c. Chóng ta chän c¸c nh©n tè sau ®©y ®Ó nghiªn cøu t×m ®iÌu kiÖn tèi -u ho¸: 1/ z1 - Nång ®é chÊt [A] g/l, 2/ z2 - NhiÖt ®é ph¶n øng Co , 3/ z3 - Nång ®é chÊt xóc t¸c g/l, 4/ z4 - Thêi gian ph¶n øng, giê. B¶ng 10.7- §iÒu kiÖn thùc nghiÖm Nh©n tè Møc gèc z0 j Kho¶ng thay ®æi Møc zj Cao xj = +1 ThÊp x j = -1 z1 30 10 40 20 z2 60 20 80 40 z3 10 1,5 11,5 8,5 z4 4,0 0,5 4,5 3,5 Muèn x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cña ph-¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh: yˆ= b0 + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4x 4 chóng ta chän ph-¬ng ¸n thùc nghiÖm rót gän tõ kÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm bËc 1 ®Çy ®ñ víi hÖ thøc ph¸t sinh x4 = x1x2 x3 (b¶ng III-14) lµm ma trËn thùc nghiÖm. ViÖc chän hÖ thøc ph¸t sinh ®-îc quy ®Þnh bëi chóng ta quan t©m tíi sù ®¸nh gi¸ ®èi víi hiÖu øng tuyÕn tÝnh. Mçi thÝ nghiÖm trong ma trËn thiÕt kÕ ®-îc lÆp l¹i 2 lÇn. B¶ng 10.8- Ma trËn vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm ThÝ x1 x2 x3 x4 y1 Y2 y sy 2 yˆ y yˆ ( y yˆ) 2 nghiÖm sè 1 +1 +1 +1 +1 40,48 42,43 41,41 1,73 41,00 0,41 0,16 2 -1 -1 +1 +1 32,68 31,51 32,10 0,68 32,23 0,13 0,02 3 +1 -1 +1 -1 43,38 41,82 42,60 1,22 43,36 0,76 0,57 4 -1 +1 +1 -1 29,18 30,56 29,87 0,95 29,88 0,01 0,00 5 +1 +1 -1 -1 40,12 42,73 41,43 3,41 41,00 0,43 0,16 6 -1 -1 -1 -1 32,32 33,97 33,20 1,53 32,23 0,97 0,93 7 +1 -1 -1 +1 43,62 42,95 43,29 0,22 43,86 0,07 0,00 8 -1 +1 -1 +1 29,42 28,71 29,07 0,25 29,88 0,81 0,66  10,00 2,45 TÝnh lÆp l¹i ®-îc ®¸nh gi¸ theo chuÈn khoren: 2 G = sN max  3 , 41 = 0,341 10 , 0  i 1 s2 i Gi¸ trÞ chuÈn khoren ®-îc tra ë b¶ng ®èi víi p = 0,05 vµ sè bËc tù do f1= 1, f2 = 8 b»ng: G1-p (f1, f2 ) = 0,6798 108
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 Nh- vËy G < G1-p (f1, f2 ), vµ do ®ã thùc nghiÖm lµ lÆp l¹i. Còng v× thÕ cho nªn ph-¬ng sai lÆp l¹i ®-îc x¸c ®Þnh nh- lµ ®é ph©n t¸n trung b×nh sè häc. N s i 2 10 ,0 s 2lao  i1  = 1,25 N 8 Sè bËc tù do cña ph-¬ng sai lÆp b»ng: f = N (m - 1) = 8 (2 - 1) = 8 C¸c hÖ sè ph-¬ng tr×nh håi qui ®-îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (III - 78). Ph-¬ng tr×nh håi qui cã d¹ng: yˆ= 36,62 + 5,556x1 - 1,175x2 - 0,24x3 - 0,15x4 Ph-¬ng sai lÆp b»ng: 6,6 SlÆp 2 = = 1,65 4 Víi sè bËc tù do flÆp = 4. B¶ng 10.9- Nh©n tè Møc gèc Kho¶ng thay HÖ sè b j bjzj Kho¶ng thay z0 j ®æi cò ®æi míi Kbjzj zj Z1 30,0 10,0 5,556 55,56 5,56 Z2 60,0 20,0 - 1,175 -23,50 -2,35 Z3 10,0 1,5 - - - Z4 4,0 0,5 - - - B¶ng 10.10- ThÝ nghiÖm z1 z2 Z3 z4 Y 1 35,56 57,65 8,5 3,5 35,67 2 41,12 55,30 8,5 3,5 40,41 3 46,68 52,95 8,5 3,5 43,56 4 52,24 50,60 8,5 3,5 46,97 5 57,80 48,25 8,5 3,5 48,73 6 63,36 45,90 8,5 3,5 52,72 7 68,92 43,55 8,5 3,5 58,00 8 74,48 41,20 8,5 3,5 50,62 9 80,04 38,85 8,5 3,5 47,34 B¶ng 10.11 Nh©n tè Møc gèc z 0j Kho¶ng thay ®æi Møc zj Cao xj = +1 ThÊp xj =-1 z1 68,92 10,00 78,92 68,92 z2 43,55 20,00 63,55 23,55 B¶ng 10.12- ThÝ x0 x1 x2 y1 Y2 y s 2y yˆ y yˆ ( y yˆ)2 nghiÖm 1 +1 -1 +1 56,48 57,42 56,95 0,41 61,31 4,36 19,03 2 +1 -1 -1 56,53 68,27 67,40 1,62 71,49 4,09 16,74 3 +1 +1 +1 62,69 60,21 61,45 3,12 57,09 4,36 19,03 4 +1 +1 -1 70,50 72,20 71,35 1,45 67,27 4,09 16,74 109
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001  _ _ _ _ _ _ 6,6 _ _ 71,5 Ph-¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh mµ hÖ sè cña nã ®-îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (III, 78) cã d¹ng: yˆ= 64,29 - 2,112x1 - 5,09x2 Chóng ta h·y kiÓm tra sù phï hîp cña ph-¬ng tr×nh nµy víi thùc nghiÖm (b¶ng III - 18). Ph-¬ng sai phï hîp sphï hîp 2 ®-îc x¸c ®Þnh theo sè liÖu cét cuèi, b¶ng III - 18; 2 71 ,5 s 2phïhîp  = 143 4 3 ChuÈn F tÝnh ®-îc b»ng: s 2phïhîp 143 F tÝnh = 2  = 86,7 s lap 1, 65 Gi¸ trÞ chuÈn F tra b¶ng F 0,05 (1,4) = 7,7; vËy F tÝnh > F0,95 (1,4) Nh- vËy ph-¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh kh«ng phï hîp víi thùc nghiÖm. Râ rµng ta ®· ®¹t ®-îc vïng gÇn víi ®iÓm cùc trÞ. VÝ dô 10.3: Chóng ta h·y lÊy vÝ dô thùc nghiÖm 4 nh©n tè. CÇn ph¶i tèi -u hãa qu¸ tr×nh xö lý nguyªn liÖu d-îc phÈm. Ng-êi sö dông c¸c nh©n tè sau ®©y coi nh- lµ tèi -u: Nång ®é dung dÞch am«niac dïng ®Ó chiÕt (X1 , %), Thêi gian ng©m trong m¸y khuyÕch t¸n tÝnh b»ng phót (X2 ), sè m¸y khuyÕch t¸n (X3 ) vµ tû sè nguyªn liÖu vµ chÊt chiÕt X4 . HiÖu suÊt c¸c chÊt tÝnh theo phÇn tr¨m nguyªn liÖu tiªu hao ®-îc xem lµ hµm môc tiªu y. Qua c¸c kÕt qu¶ 16 thÝ nghiÖm ®Çu tiªn (b¶ng 9.13) ta tÝnh ®-îc ph-¬ng tr×nh håi qui (bá qua t-¬ng t¸c cña 2 thÝ nghiÖm trªn) d¹ng tæng qu¸t cña nã lµ: y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4x 4 + b12x1x2 + b13x1x3 + b14x 1x4 + b23x2 x3 + b24x2 x4 + b34x3 x4. C¸c hÖ sè cña ph-¬ng tr×nh b»ng: b0 = 48,8; b1 = 2,11; b2 = 3,12; b3 = 1,79; b4 = 1,36; b12 = 1,15; b13 = 1,87; b14 = 1,14; b23 = 0,22; b24 = 0,88; b34 = -1,38. ë ma trËn t©m (møc gèc) ng-êi ta thùc hiÖn 6 thÝ nghiÖm lÆp (17 - 22). Chóng cho y = 2 50,0; s = 5,00. Theo chuÈn t (khi P = 0,95) c¸c hÖ sè 1,15; 1,14; 0,22; 0,88 lµ kh«ng cã nghÜa vµ ®-îc thay b»ng 0, ta thu ®-îc ph-¬ng tr×nh: y= 48,8 + 2,11 . x1 + 3,12x2 + 1,79x3 + 1,36x4 + 1,87x1 x3 - 1,38x3 x4, nã phï hîp víi c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm, bëi v× Fph = 3,0 nhá h¬n F0,05(9,5) = 4,78 tra b¶ng. Thùc hiÖn theo ph-¬ng ph¸p ®-êng dèc nhÊt, cã thÓ kh«ng cÇn tÝnh ®Õn hÖ sè t-¬ng t¸c theo cÆp, v× chØ cÇn c¸c hÖ sè tuyÕn tÝnh vµ hÖ sè ®-îc dÉn ra chØ ®Ó minh häa ph-¬ng ph¸p thu ®-îc ph-¬ng tr×nh bËc hai rót gän. Ph-¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh (ph-¬ng tr×nh bËc 1): y= 48,8 + 2,11x1 + 3,12x2 + 1,79x3 + 1,36x4 lµ phï hîp cña 16 thÝ nghiÖm ®Çu tiªn, v× F = 22,8 : 5,0 = 4,56 nhá h¬n F0,05(11,5) = 4,71 theo b¶ng. Bëi vËy, ph-¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh thu ®-îc ®-îc sö dông ®Ó thùc hiÖn ph-¬ng ph¸p ®-êng dèc nhÊt, (b¶ng 9.14). 110
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 B¶ng 10.13.§iÒu kiÖn vµ ma trËn thùc nghiÖm.(ai-Møc gèc, c i-Kho¶ng thay ®æi) §Æc tr-ng X1 X2 X3 X4 ai 1,5 60 3 5 ci 0,5 30 1 1 ThÝ nghiÖm x1 x2 x3 x4 y y 1 + + + + 63,2 61,0 2 + - + - 45,6 48,5 3 - - + + 44,2 42,3 4 - + + - 47,0 49,1 5 + + - + 51,0 56,0 6 + - - - 41,3 40,2 7 - - - + 41,0 45,3 8 - + - - 45,4 45,1 9 - - - - 43,5 44,2 10 + - - + 51,0 46,2 11 - + - + 57,5 51,1 12 + + - - 46,0 46,6 13 - + + + 45,0 48,4 14 + - + + 49,0 50,4 15 - - + - 50,5 46,4 16 + + + - 60,8 57,1 1722 0 0 0 0 50,0 48,8 B¶ng 10.14. Ma trËn th-c nghiÖm theo ph-¬ng ph¸p ®-êng dèc nhÊt. C¸c ®Æc tr-ng X1 X2 X3 X4 Y Møc gèc ai 1,5 60 3 5 Kho¶ng thay ®æi ci 0,5 30 1 1 HÖ sè bi 2,11 3,12 1,79 1,36 cibi 1,05 93,6 1,79 1,36 Kho¶ng thay ®æi míi 0,50 52 1 0,76 C¸c thÝ 1 1,5 60 3 5 50,7 nghiÖm 2 2,0 110 4 5,8 t-ëng t-îng 3 2,5 160 5 6,6 4 3,0 210 6 7,4 5 3,5 260 7 8,2 6 4,0 310 8 9,0 85,5 7 4,5 360 9 9,8 92,0 8 5,0 410 10 10,6 96,4 Tõ 8 thÝ nghiÖm t-ëng t-îng ®· ®-îc tÝnh to¸n, ta nhí l¹i thÝ nghiÖm 1, 6, 7, 8. ThÝ nghiÖm 8 thu ®-îc gi¸ trÞ y= 96,4%, trong giíi h¹n sai sè thÝ nghiÖm ë ®ã gÇn víi lý thuyÕt (100%). VÝ dô 10.4: CÇn ph¶i cùc tiÓu ho¸ thêi gian c« ®Æc kÕt tña khi thªm acid v« c¬ vµo dung dÞch (m«i tr-êng pH). Nh- ®· biÕt, nhiÖt ®é ¶nh h-ëng tíi tèc ®é c« ®Æc. Muèn gi¶i quyÕt nhanh vÊn ®Ò nµy, ng-êi ta tiÕn hµnh m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm hai nh©n tè (b¶ng 9.15). Theo kÕt qu¶ cña 4 thÝ nghiÖm ®Çu tiªn, ta nhËn ®-îc ph-¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh cã d¹ng: 111
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 y = b0 + b1x1 + b2 x2 (191) TÝnh hÖ sè ph-¬ng tr×nh theo c¸c c«ng thøc (188): 1 b0 = yu = (45 + 62 + 30 + 45) : 4 = 45,5, 4 1 b1 = x1uyu = (45 + 62 - 30 - 45) : 4 = 8,0, 4 1 b2 = x2uyu = (45 - 62 + 30 -45) : 4 = -8,0. 4 Ngoµi ra, cã thÓ tÝnh hÖ sè: 1 4 b12 = x1u x 2 u y u = (45 - 62 - 30 + 45) : 4 = -0,5. 4 n 1 B¶ng 10.15. Nh÷ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu, ma trËn vµ kÕt qu¶ thÝ nghiÖm. §Æc tr-ng M«i tr-êng, NhiÖt ®é, Thêi gian c« ®Æc X1 X2 Møc gèc a i 5 40 Kho¶ng thay ®æi ci 1 10 x1 x2 y y ThÝ nghiÖm 1 + + 45,0 45,5 " 2 + - 62,0 61,5 " 3 - + 30,0 29,5 " 4 - - 45,0 45,5 " 5 - 10 0 0 46,0 45,5 KÕt qu¶ ph-¬ng tr×nh (191) cã d¹ng: yˆ= 45,5 +8,0 . x1 - 8,0 . x2. §Ó ®¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè cña ph-¬ng tr×nh håi qui cÇn ph¶i x¸c ®Þnh ®-îc ph-¬ng sai ®Æc tr-ng cho sai sè thÝ nghiÖm, S2 = 2,0 qua 6 thÝ nghiÖm lÆp l¹i ë trung t©m thùc nghiÖm (c¸c thÝ nghiÖm 5 - 10) cho gi¸ trÞ ë trung b×nh y0 =46,0. Tõ ®©y tÝnh ph-¬ng sai ®Æc tr-ng cho sai sè cña hÖ sè b»ng (xem c«ng thøc 189): s2 {bi} = s 2 : n = 2 : 4 = 0,5, cßn ®é lÖch chuÈn cña hÖ sè: s {bi} = 0 , 5 = 0,707. Gi¸ trÞ t ®· tÝnh theo c«ng thøc (190) b»ng: t0 = 45,5 : 0,707 = 64,4; t 1 = t2 = 8,0: 0,707 = 11,3 vµ lín h¬n gi¸ tri t tra b¶ng t0,95 (5) = 2,01 (xem b¶ng t ë phô lôc). TÊt c¶ c¸c hÖ sè cña ph-¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh ®Òu cã nghÜa. Chóng ta nhËn thÊy r»ng hÖ sè b12 = -0,5 lµ kh«ng cã nghÜa, bëi v× t12 = 0,5 : 0,707 = 0,707 nhá h¬n 2,01 theo b¶ng. Muèn ®¸nh gi¸ sù phï hîp cña ph-¬ng tr×nh b»ng c¸c kÕt qu¶ cña m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm hai nh©n tè. Ta h·y tÝnh gi¸ trÞ thêi gian c« ®Æc vÒ mÆt lý thuyÕt ®èi víi mçi thÝ nghiÖm: y1 = 45,5 + 8,0 . 1 - 8,0 . 1 = 45,5, y2 = 45,5 + 8,0 . 1 - 8,0 . (-1) = 61,5, v.v.... (xem cét cuèi cïng b¶ng 46). 112
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 Sau ®ã, theo c«ng thøc (121) ta tÝnh ®-îc gi¸ trÞ lý thuyÕt sai lÖch víi gi¸ trÞ thùc nghiÖm t-¬ng øng, b×nh ph-¬ng ®é lÖch vµ tæng cña chóng (SR): y yi  = 1,00. 2 SR = i Khi tÝnh (124) chóng ta cã: fR = N - (k + 1) = 4 - 3 = 1, s 2R = SR : fR = 1,00. Sau ®ã chóng ta sö dông chuÈn F (xem c«ng thøc 125): FtÝnh = s 2R : s2 = 1: 2 = 0,5. Khi so s¸nh FtÝnh = 0,5 ®· tÝnh ®-îc víi F tra b¶ng , F0,05 (1 ; 5) = 6,61 (xem b¶ng F ë phô lôc) chóng ta tin r»ng ph-¬ng tr×nh phï hîp víi c¸c kÕt qu¶ cña m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm hai nh©n tè. Cã thÓ coi ph-¬ng tr×nh lµ mét phÇn cña mÆt môc tiªu, t-¬ng øng víi thùc nghiÖm ®· ®-îc tiÕn hµnh, bëi v× gi¸ trÞ lý thuyÕt ë t©m thùc nghiÖm (tøc lµ khi x 1 = 0 vµ x2 = 0) b0 = 45,5 kh¸c víi gi¸ trÞ thùc nghiÖm y = 46 kh«ng cã ý nghÜa. t = 46 45 , 5  6 = 0,865 1, 43 nhá h¬n t0,95(5) = 2,01 tra b¶ng. Thùc chÊt trong tr-êng hîp nµy cã thÓ kh«ng cÇn ph¶i quay vÒ víi c¸c tiªu chuÈn bëi v× tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ lý thuyÕt ®Òu kh¸c víi gi¸ trÞ thÝ nghiÖm t-¬ng øng Ýt nhÊt lµ ®« lÖch chuÈn cña thÝ nghiÖm b»ng 1,43. C¸c gi¸ trÞ ®· ®-îc tÝnh to¸n cña hÖ sè ph-¬ng tr×nh håi qui cho phÐp nhËn ®Þnh s¬ bé tÝnh chÊt ¶nh h-ëng cña mçi nh©n tè trong vïng thÝ nghiÖm. Gi¸ trÞ kh¸ lín vµ dÊu d-¬ng cña hÖ sè khi x1 cho phÐp kÕt luËn r»ng m«i tr-êng pH ¶nh h-ëng lín tíi tèc ®é c« ®Æc chÊt kÕt tña. Cã thÓ hy väng tiÕp tôc gi¶m gi¸ trÞ pH (c¸i ®ã t-¬ng ®-¬ng víi t¨ng ®é axit) sÏ lµm gi¶m thêi gian t¹o chÊt kÕt tña ®Æc. Qua ®¸nh gi¸ dÊu vµ gi¸ trÞ cña hÖ sè khi x 2 chóng ta ®i ®Õn kÕt luËn r»ng t¨ng nhiÖt ®é còng thóc ®Èy qu¸ tr×nh t¹o chÊt kÕt tña ®Æc. B¶ng 10.16. T¨ng ®ét ngét trªn bÒ mÆt môc tiªu. C¸c ®Æc tr-ng X1 X2 y Møc gèc 5 40 Kho¶ng thay ®æi 1 10 HÖ sè bi +8 -8 cibi +8 -80 TÝnh kho¶ng c¸ch h +8:16 -80:16 Kho¶ng c¸ch (b-íc) h +0,5 -5 C¸c thÝ nghiÖm 1 4,5 45 t-ëng t-îng 2 4,0 50 3 3,5 55 4 3,0 60 5 2,5 65 22 6 2,0 70 7 1,5 75 14 8 1,0 80 8 9 0,5 85 3 §Ó tÝnh to¸n mét lo¹t thÝ nghiÖm theo ®-êng dèc nhÊt, sau ®©y chóng ta h·y trÝch ra nh÷ng møc gèc, kho¶ng thay ®æi vµ hÖ sè ph-¬ng tr×nh (b¶ng 47). Sau ®ã nh©n kho¶ng thay ®æi víi c¸c hÖ sè t-¬ng øng: 113
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 1. 8 = 8 ; 10 . (-8) = -80. Ta chän hÖ sè biÕn thiªn thuËn cña tÝch sè thu ®-îc xuÊt ph¸t tõ chç kho¶ng c¸ch theo nh©n tè pH ®-îc chän mét c¸ch hîp lý b»ng 0,5. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ tÝch sè thu ®-îc +8 vµ - 80 cÇn nh©n víi 1/16. Lóc ®ã kho¶ng c¸ch theo c¸c nh©n tè t-¬ng øng b»ng 8 : 16 = 0,5 vµ -8 : 16 = -5. Trªn h×nh 32 giíi thiÖu ma tr©n m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm hai nh©n tè víi thÝ nghiÖm ë t©m vµ h-íng t¨ng theo ®-êng dèc nhÊt ®-îc ghi b»ng nh÷ng dÊu chÊm. Gi¸ trÞ thêi gian t-¬ng øng ®-îc ghi gÇn c¸c ®iÓm lµm thÝ nghiÖm. Tõ 10 thÝ nghiÖm t-ëng t-îng ®-îc tÝnh to¸n, ng-êi ta ®· thùc hiÖn c¸c thÝ nghiÖm 5, 7, 8, 9. TiÕp tôc dÞch chuyÓn ®-îc coi lµ hoµn toµn kh«ng hîp lý bëi v× viÖc t¨ng ®é axit cña m«i tr-êng vµ nhiÖt ®é cã thÓ lµm cho chÊt bÞ ph©n hñy. O C 3 X2 80 8 14 70 22 60 30 45 50 40 46 30 45 62 20 0 1 2 3 4 5 6 7 X1 H×nh 10.2. §å thi m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm hai nh©n tè vµ ph-¬ng ph¸p ®-êng dèc nhÊt. 10.3. Ph-¬ng ph¸p kh¶o s¸t mÆt môc tiªu Hµm môc tiªu ®-îc biÓu diÔn b»ng mét ph-¬ng tr×nh håi qui d¹ng ®a thøc: y  b i x i  b ij x i x j  b i x i2 9.1 0 i n 0 i j n 1 i n Ph-¬ng tr×nh håi qui bËc hai m« t¶ mét mÆt môc tiªu trong kh«ng gian n chiÒu, cã låi lâm t-¬ng øng víi c¸c gi¸ trÞ cùc trÞ cña hµm môc tiªu. Kh¶o s¸t mÆt môc tiªu, khi t×m ®-îc c¸c gi¸ trÞ cùc trÞ, sÏ t×m ®-îc c¸c ®iÒu kiÖn thùc nghiÖm tèi -u nh»m tèi -u ho¸ thùc nghiÖm. §Ó tËp trung kh¶o s¸t c¸c miÒn cùc trÞ cña hµm môc tiªu, ng-êi ta ph¶i ®-a hµm môc tiªu bËc 2 vÒ d¹ng chÝnh t¾c: Y - Ys = B11X 12 + B22X2 2 + ... + B nnXn 2 9.2 Trong ®ã: -Y = Gi¸ trÞ cña hµm môc tiªu. -Ys = Gi¸ trÞ cña hµm môc tiªu ë gèc to¹ ®é míi. -X 1 ... X n = C¸c biÕn chuÈn, lµ hµm tuyÕn tÝnh cña c¸c yÕu tè x1 ,x2 ... xn. 114
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 -B 11, B22 ... Bnn = HÖ sè cña ph-¬ng tr×nh håi qui d¹ng chÝnh t¾c. Cã thÓ chia viÖc chuyÓn hµm môc tiªu vÒ d¹ng chÝnh t¾c lµm 2 b-íc: - B-íc 1: t×m Ys, b»ng c¸ch lÊy ®¹o hµm riªng cña tõng yÕu tè theo hµm môc tiªu, t×m gi¸ trÞ c¸c nh©n tè xi khi cho c¸c ®¹o hµm riªng t-¬ng øng b»ng kh«ng. Thay c¸c gi¸ trÞ t×m ®-îc vµo hµm môc tiªu phï hîp ta sÏ t×m ®-îc Ys. - B-íc 2: T×m c¸c gi¸ trÞ Bii nhê c¸c ®Þnh thøc ®Æc tr-ng: * §èi víi n = 2: y = b0 + b1x1 + b2 x2+ b12x1 x2 + b11x1 2 + b22x22 9.3 Y - Ys = B11X 12 + B22X2 2 9.4 Khi ®ã : B 11 vµ B22 t×m ®-îc nhê ®Þnh thøc: b11 - B 0.5b12 = = 0 9.5 0.5b12 b22 - B Tøc gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai sau: B2 - ( b11 + b22 ) B + ( b11b22 - 0,25 b122 ) = 0 9.6 *§èi víi n = 3: y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b12x1x 2 + b23x2x3 + b11x12 + b22x 22 + b3 x32 Y- Ys = B11X 12 + B22X2 2 + B33X 32 9.7 Khi ®ã; B 11, B22 vµ B33 t×m ®-îc nhê ®Þnh thøc: (b11 - B) 0.5b 12 0.5b13 0.5b12 (b22 - B) 0.5b 23 =0 9.8 0.5b13 0.5b23 (b33 - B) Tøc gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc ba: B3 - a 1 B2 + a2 B - a 3 = 0 9.9 Trong ®ã: N a 1   b ii 9.10 i 1 N n a 2  b ii b jj 0 , 25 b ij2 9.11 i , j 1 i j 115
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 N n n a 3 b ii 0 , 25 9.12 b ij 0 ,25 b ii b jk i 1 i , j 1 i 1 i j i j k KiÓm tra tÝnh ®óng cña phÐp biÕn ®æi b»ng biÓu thøc: n n  B ii   bii 9.13 i 1 i 1 D¹ng cña mÆt môc tiªu bËc 2, ®-îc ph©n lo¹i nh- sau: 1. Khi c¸c B ii, Bjj cïng dÊu, ta cã mÆt Paraboloit eliptic. MÆt cã cùc trÞ. B ii < 0 cã cùc ®¹i ë t©m. Bii > 0 cã cùc tiÓu ë t©m. Gi¸ trÞ cùc trÞ n»m trªn biªn cña miÒn nghiªn cøu. T©m cña mÆt x2 x3 x1 x1 x2 n»m gÇn t©m thùc nghiÖm. H×nh 10.3- 2. Khi c¸c B ii B jj kh¸c dÊu nhau, ta cã mÆt Paraboloit hyperbolic. T©m cña mÆt gÇn t©m thùc nghiÖm. §iÓm S - T©m cña mÆt ®-îc gäi lµ ®iÓm yªn ngùa (minimax). Chän trôc nµo ®Ó nghiªn cøu lµ tuú bµi to¸n kh¶o s¸t. Cùc ®¹i n»m trªn trôc cã Bii > 0. Cùc tiÓu n»m trªn trôc cã x2 x3 x1 x1 x2 Bjj > 0. 10.3 3. Khi mét hoÆc mét sè Bii rÊt nhá, gÇn b»ng kh«ng th× t©m n»m xa miÒn thùc nghiÖm. x2 x3 x1 x2 116
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 10.4 4. Cã tr-êng hîp suy biÕn, mÆt môc tiªu lµ nh÷ng ®-êng hoÆc mÆt song song. y X2 X1 X X2 X1 10.5 B¶ng 10.17- B¶ng ph©n lo¹i mÆt môc tiªu ( n = 3 ) H=y-Bo=-/ B 11 B22 B33 D¹ng mÆt Ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c I.TÝnh chÊt cña mÆt trung t©m 0 1.C¸c hÖ sè Bii cïng dÊu: a).Bii vµ H cïng dÊu H>0 B11>0 B22>0 B33>0 Elipcoid y=B0+B11X 12 + B22X2 2+B33X3 2 H0 Hyperbonoid X1 2 + X2 2 + X 32 = -1 H H H B11 B22 B33 c).H=0 B11>0 B22>0 B33>0 B11X1 2+B22X 22 +B33X 32 =0 II.TÝnh chÊt cña mÆt kh«ng trung t©m =B11B22B 33=0 1.ChØ cã 1 trong c¸c hÖ sè Bii b»ng kh«ng (B 33=0): a) B11>0 B22>0 B3>0 Parabonoid eliptic B110 B3=0 Elip ph¼ng y=B 0+B11X 12 + B22X2 2 H
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 B11>0 B22
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 Y 4 ,0625 4 ~ x 1~x 2 6 ~x12 2 ~ x 22 §Ó x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè B11, B22 ta gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng sau: 1 b 11 B b 12 f (B)  2 1 b 21 b 22 B 2 Sau khi thay c¸c gi¸ trÞ cña b11, b12, b21 vµ b 22 vµo ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng ta nhËn ®-îc: 1 6 B  4 f ( B)  2 B 2 8B 8 0 1  4 2 B 2 Gi¶i ph-¬ng tr×nh trªn ta nhËn ®-îc: B11 = 6,8284; B22 = 1,1716 Cã thÓ kiÓm tra sù ®óng ®¾n trong tÝnh to¸n b»ng c¸ch so s¸nh: bjj = Bjj vµ ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c cã d¹ng: Y + 4,0625 = 6,8284X1 2 + 1,1716X2 2 Sau khi x¸c ®Þnh ®-îc c¸c hÖ sè Bjj ta x¸c ®Þnh ®-îc d¹ng cña mÆt ®¸p øng theo c¸ch ph©n lo¹i c¸c d¹ng hµm môc tiªu ®· tr×nh bÇy ë phÇn trªn.. VÝ dô 10.6: VÝ dô 41: Minh ho¹ viÖc ®-a ph-¬ng tr×nh håi qui bËc hai vÒ d¹ng chÝnh t¾c qua vÝ dô sau ®©y: yˆ= 0,510 + 0,265x1 - 0,547x2 - 0,550x1 x2 + 0,968x1 2 + 0,873x2 2 §Ó lo¹i trõ c¸c sè h¹ng bËc mét cña c¸c nh©n tè, chóng ta thùc hiÖn phÐp thÕ xi = zi + mi (i =1;2), khi ®ã ta cã: yˆ = 0,510 + 0,265 (z1 + m1) - 0,547 (z2 + m 2) - 0,550 (z1 + m 1). (z2 + m 2) + 0,968 (z1 + m1)2 + 0,873 (z2 + m2 )2 Sau khi më ngoÆc vµ rót gän c¸c sè h¹ng t-¬ng tù ta cã : yˆ= (0,510 + 0,265m1 - 0,547m2 - 0,550m1m 2 + 0,968m1 2 + 0,873m22 ) + (0,265 - 0,550m2 + 0,968 . 2m1) . z1 + (-0,547 - 0,550m1 + 0,873 . 2m2 )z2 - 0,550z1 z2 + 0,968z1 2 + 0,873z22 §Ó lo¹i trõ c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh víi z1 vµ z2 chóng ta coi c¸c hÖ sè cña chóng b»ng kh«ng: 0,265 - 0,550m2 + 0,968 . 2m1 = 0; - 0,547 - 0,550m 1 + 0,873 . 2m2 = 0 vµ gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh ta thu ®-îc m1 = -0,0526, m2 = 0,2967. Nh- vËy muèn lo¹i c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh cÇn ph¶i lµm phÐp thÕ x1 = z1 - 0,0526, x 2 = z2 + 0,2967. NÕu thay m1 = -0,0526, vµ m 2 = 0,2967 vµo ph-¬ng tr×nh cuèi cïng, sau khi tÝnh to¸n chóng ta sÏ nhËn ®-îc: 119
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 yˆ = 0,422 - 0,550z1 z2 + 0,968z1 2 + 0,873z22 . y z1 z2 M T P H×nh 10.3: mÆt cùc ®¹i - cùc tiÓu C¸c sè m1 = -0,0526 vµ m2 = 0,2967 lµ to¹ ®é gèc o1 hÖ z1o1z2 trong hÖ to¹ ®é x 1ox2 (h×nh 10.4). X2 mg/ml Z2 x2 Z1 y =1,0 0,46 Nång ®é dung dÞch ph©n tÝch Z2 s 0,44 y=0,5 o1 Z1 O1 0,42 O x1 0,40 0,032 0,034 0,036 0,038 X 1 mg/ml Nång Nång ®é dung dÞch kh«ng H×nh 10.4: nh÷ng vïng mµ trong ®ã sai sè kh«ng v-ît qu¸ gi¸ trÞ ®· cho ®èi víi c¸c tr-êng hîp yˆ= 0,5 vµ yˆ= 1,0. 120
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 Chóng ta nhËn thÊy r»ng trong ph-¬ng tr×nh míi c¸c hÖ sè trong c¸c sè h¹ng tÝch vµ bËc hai vÉn kh«ng thay ®æi, cßn trong c¸c sè h¹ng bËc mét th× b»ng gi¸ trÞ vÕ ph¶i cña ph-¬ng tr×nh ban ®Çu khi thÕ vµo nã nh÷ng gi¸ trÞ cña c¸c tham sè m1 vµ m2. Ta lo¹i tiÕp sè h¹ng - 0,550 z1z2 , nã t-¬ng ®-¬ng víi phÐp quay hÖ to¹ ®é z1 o1 z2 mét gãc xung quanh gèc o1 vµ nhËn ®-îc hÖ Z1O1Z 2. ViÖc chuyÓn tõ hÖ z1 o1z2 sang hÖ Z1O1 Z2 ®-îc thùc hiÖn theo c«ng thøc: z1 = aZ1 - bZ2 , z2 = bZ1 + aZ2 , a = cos , b = sin, (207) 2 tg= b  b 22 b 11    b 22 b 11   (208) a b 12   1  b 12  Nh- vËy, ®èi víi vÝ dô ®-îc kh¶o s¸t: tg= 0 ,873 0 ,968  ,1727 2 1 0 ,172727 1, 0148 . 0 ,550 Ta cã tg1 = 1,1875, tg2 = - 0,841. Muèn x¸c ®Þnh gãc quay cã thÓ lÊy gi¸ trÞ bÊt kú, Chóng ta lÊy tg= 1,1875. Theo b¶ng = 49 0 45'. Tõ ®ã tÝnh ®-îc a = 0,644, b = 0,765 vµ ®èi víi ph-¬ng tr×nh ®-îc kh¶o s¸t, khi ®ã c«ng thøc (207) cã d¹ng: z1 = 0,644 . Z1 - 0,765 . Z2; z2 = 0,765. Z1 + 0,644 . Z2; C¸c hÖ sè trong c¸c biÕn sè míi cã thÓ tÝnh b»ng phÐp thÕ c¸c biÓu thøc ®èi víi z1 vµ z2 vµo ph-¬ng tr×nh hoÆc theo c¸c c«ng thøc: b'11 = b12ab + b11a 2 + b22b2 = = - 0,550 . 0,644 . 0,765 + 0,968 . 0,6442 + 0,837 . 0,7652 = 0,6415, b'22 = - b12ab + b11b2 + b22a 2 = = 0,550 . 0,644 . 0,765 + 0,968 . 0,7652 + 0,837 . 0,6442 = 1,1996 b'12 = b12 (a 2 - b2 ) + 2ab (b22 - b11) 0 §ång nhÊt thøc cuèi cïng cã thÓ ®-îc sö dông ®Ó kiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña phÐp tÝnh a vµ b còng nh- a2 + b2 1. Chóng ta nhËn ®-îc d¹ng ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c: yˆ- 0,422 = 0,6415Z12 + 1,1996Z22 V× c¸c hÖ sè ë c¸c biÕn sè míi cïng mét dÊu (c¶ hai ®Òu d-¬ng) cho nªn phÇn bÒ mÆt môc tiªu ®-îc m« t¶ b»ng ph-¬ng tr×nh khi yˆ> 0,422 sÏ cã cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã to¹ ®é: X1 = 0,034 + 0,002 (- 0,0526) 0,034; X2 = 0,042 + 0,004 . 0,2967 0,043 B¶n th©n bÒ mÆt cã d¹ng elipxoit. Thay cho bÒ mÆt, ng-êi ta dùng h×nh chiÕu tiÕt diÖn mÆt ph¼ng cña nã song song víi bÒ mÆt X1 O X2 , VÝ dô , ®èi víi yˆ= 1,00% sau khi thÕ vµo ph-¬ng tr×nh cuèi cïng chóng ta nhËn ®-îc: 0,578 = 0,6415 . Z12 + 1,1996 . Z22 , 1= Z 12 Z 22  , 0 , 9010 0 ,4818 121
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 vµ 1= Z 12 Z 22 2  2 , 0 , 948 0 ,694 C¸c sè 0,948 vµ 0,694 lµ b¸n trôc elip trong hÖ Z1 O1Z2 . NÕu ®Æt mét ®o¹n 0,95 c¶ hai phÝa trªn trôc O1 Z2, c¸ch O1 cßn ®o¹n 0,69 trªn trôc O1 Z2 , ta sÏ t×m thÊy 4 ®iÓm elip ®èi víi yˆ = 1,0%. Còng t-¬ng tù ta dùng h×nh chiÕu tiÕt diÖn ®èi víi yˆ= 0,5% vµ c¸c gi¸ trÞ yˆkh¸c. C¸c elip cã yˆ= 1,0% vµ yˆ= 0,5% sÏ h¹n chÕ c¸c vïng mµ trong ®ã sai sè t-¬ng ®èi kh«ng v-ît qu¸ 0,5% vµ 1. Tõ h×nh 9.4 ta râ r»ng ë nång ®é X1 = 0,034 mg/ml vµ nång ®é X2 dao ®éng trong giíi h¹n tõ 0,042 ®Õn 0,044 mg/ml, sai sè t-¬ng ®èi cña phÐp ph©n tÝch kh«ng v-ît qu¸ 0,5%, cßn khi X1 = 0,34 mg/ml vµ 0,040 < X2 < 0,046 th× sai sè t-¬ng ®èi kh«ng h¬n 1%. NÕu lµm 4 ph©n tÝch song song vµ lÊy gi¸ trÞ trung b×nh sè häc lµm gi¸ trÞ X2 th× sai sè t-¬ng ®èi gi¶m gÇn 2 lÇn (phï hîp víi OX = 0 : n ) vµ lóc ®ã nÕu X 1 = 0,034 mg/ml vµ 0,040 X 2 0,046 th× sai sè t-¬ng ®èi kh«ng lín h¬n 0,5%. VÝ dô 10.7: Tèi -u ho¸ qu¸ tr×nh cã sö dông ph-¬ng ph¸p ®-êng dèc nhÊt ®-îc b¾t ®Çu tõ ph-¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh. Trong tr-êng hîp nµy nhµ nghiªn cøu chñ yÕu quan t©m ®Õn c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh, do ®ã sö dông m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm rót gän lµ hîp lý. Chóng ta h·y xÐt qu¸ tr×nh ®-îc tèi -u ho¸ theo 4 nh©n tè. Gi¶ sö ®ã lµ c¸c nh©n tè z 1 , z2 , z 3 vµ z4. HiÖu suÊt s¶n phÈm thu ®-îc sÏ lµ hµm môc tiªu y. §©y lµ bµi to¸n cùc ®¹i cã gi¸ trÞ hµm môc tiªu tèi -u giíi h¹n b»ng 100%. V× sè c¸c hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh khi n = 4 lµ b»ng 5, nªn ta cã thÓ sö dông ma trËn thùc nghiÖm rót gän cã chøa 8 thÝ nghiÖm. §èi víi thÝ nghiÖm ba nh©n tè ®©y sÏ lµ ma trËn thùc nghiÖm ®Çy ®ñ. Do cÇn ph¶i cã hiÖu øng tuyÕn tÝnh kh«ng suy biÕn nªn viÖc sö dông ma trËn thùc nghiÖm rót gän cã biÓu thøc t-¬ng ph¶n I = x1x2 x3 x4 lµ hîp lý. C¨n cø vµo ®ã ma trËn thiÕt kÕ sÏ cã d¹ng tr×nh bµy ë b¶ng 51b. Gi¸ trÞ thËt cña c¸c nh©n tè zj cho ë b¶ng 51a. B¶ng 10.18a B¶ng 10.18b C¸c møc Z1 Z2 z3 z4 ThÝ nghiÖm sè x1 x2 x3 x4 thùc nghiÖm +1 4,0 7,8 12,2 5,3 1 +1 +1 +1 +1 2 +1 -1 +1 -1 0 3,2 6,3 10,2 4,1 3 -1 +1 +1 -1 4 -1 -1 +1 +1 5 +1 +1 -1 -1 -1 2,4 4,8 8,2 2,9 6 +1 -1 -1 +1 7 -1 +1 -1 +1 j 0,8 1,5 2,0 1,2 8 -1 -1 -1 -1 C¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm ®-îc ghi ë b¶ng 52. Muèn -íc l-îng ph-¬ng sai lÆp l¹i t¹i mçi thÝ nghiÖm ta bè trÝ ba thÝ nghiÖm lÆp. ViÖc xö lÝ c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm theo ph-¬ng ph¸p thèng kª ®-îc b¾t nguån tõ tÝnh to¸n ph-¬ng sai lÆp l¹i. Chóng ta h·y tÝnh gi¸ trÞ sè häc trung b×nh y i theo c¸c kÕt qu¶ ®èi víi c¸c thÝ nghiÖm lÆp; B×nh ph-¬ng hiÖu gi÷a gi¸ trÞ trung b×nh 122
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 céng vµ c¸c kÕt qu¶ cña tõng thÝ nghiÖm lÆp (y - y )2, ph-¬ng sai lÆp l¹i t¹i mçi thÝ nghiÖm s i2. Gi¸ trÞ (y - y )2 vµ s i2 ®-îc ghi ë b¶ng 52. Sau ®ã chóng ta tÝnh tæng ph-¬ng sai lÆp 8 s 2 i = 22,37 i1 Vµ kiÓm tra tÝnh lÆp l¹i theo chuÈn Khoren s2 3 , 99 Gtinh = max 2  0 ,18 i s 22 , 37 B¶ng 10.19- yi y1 y2 2 y 2 y2 2 y3 y3 2 si 2 Stt C¸c thÝ nghiÖm lÆp y1 y2 y3 1 68,15 66,50 65,90 66,85 1,690 0,120 0,903 1,35 2 68,90 65,90 66,50 67,10 3,240 1,440 0,360 2,52 3 61,15 61,40 58,30 60,35 0,640 1,100 4,200 2,93 4 62,12 61,50 58,60 60,74 1,900 0,578 4,580 3,03 5 72,00 68,85 70,35 70,40 2,560 2,400 0,003 2,48 6 71,10 68,40 72,30 70,60 0,250 4,840 2,890 3,99 7 64,90 65,00 61,80 63,90 1,000 1,210 4,410 3,31 8 61,40 58,80 61,90 60,70 0,490 3,610 1,440 2,77 V× gi¸ trÞ tíi h¹n ®èi víi møc gi¸ trÞ n¨m nh©n tè b»ng 0,516 (b¶ng phô lôc chuÈn G), nªn ®é ph©n t¸n lµ ®ång nhÊt. Chóng ta h·y tÝnh ®é ph©n t¸n trung b×nh Se2 cã sè tæng bËc tù do fe vµ ®é ph©n t¸n c¸c hÖ sè s2(bj). 8 s 2 i 22 , 73 Se 2 = i 1   2 , 78 , Víi fe = m(n - 1) = 8 (3 - 1) = 16 m 8 S 2e 2 ,78 s2 (bj) =  0, 340 vËy s (bj) = 0,58 m 8 ViÖc tÝnh c¸c hÖ sè håi qui lµ giai ®o¹n tiÕp theo. Víi môc ®Ých ®ã chóng ta lËp b¶ng 53. B¶ng 10.20- Sè thÝ x0 x1 x2 x3 x4 yi yˆ i yiyˆi 2 nghiÖm 1 +1 +1 +1 +1 +1 66,85 67,42 0,325 2 +1 +1 -1 +1 -1 67,10 67,42 0,124 3 +1 -1 +1 +1 -1 60,35 60,10 0,063 4 +1 -1 -1 +1 +1 60,74 60,10 0,410 5 +1 +1 +1 -1 -1 70,40 70,06 0,116 6 +1 +1 -1 -1 +1 70,60 70,06 0,292 7 +1 -1 +1 -1 +1 63,90 62,74 1,346 8 +1 -1 -1 -1 -1 60,70 62,74 4,160 (jy) 520,64 29,26 2,36 -10,56 3,54 _ _ ( y i yˆi ) 2 = 6,836 123