Bài giảng Chương 3: Nguyên tử theo thuyết lượng tử

Chia sẻ: Day Ma | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:98

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng gồm các nội dung như: Hiđro và các ion tương tự, phân bố xác suất tìm thấy E trong nguyên tử, mở rộng cho các nguyên tử khác, nguyên tử trong từ trường, các số lượng tử đặc trưng cho một trạng thái. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chi tiết nội dung kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 3: Nguyên tử theo thuyết lượng tử

Chương 3. Nguyên tử theo thuyết lượng tử Trong chương này ta dùng cơ học lượng tử để xét cấu trúc nguyên tử. Bao gồm các phần lớn sau: 1. Hiđro và các ion tương tự. 2. Các số lượng tử đặc trưng cho một trạng thái. 3. Phân bố xác suất tìm thấy e trong nguyên tử 4. Mở rộng cho các nguyên tử khác. 5. Nguyên tử trong từ trường. 1
3.1. Phương trình Schrodinger cho Hidro và các ion tương tự • e mang điện chuyển động trong 2 trường lực thế Coulomb KZe U=− r Phương trình Schrodinger dừng: ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ 2m e + 2 + 2 + 2 ( E − U )ψ = 0 ∂x 2 ∂y ∂z 2
3.1. Phương trình Schrodinger cho Hidro và các ion tương tự • e mang điện chuyển động trong 2 trường lực thế Coulomb KZe U=− r Phương trình Schrodinger dừng: ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ 2m e + 2 + 2 + 2 ( E − U )ψ = 0 ∂x 2 ∂y ∂z viết tách hàm sóng: i − Et Ψ ( x, y , z , t ) = e ψ ( x, y , z ) 3
3.1. Phương trình Schrodinger cho Hidro và các ion tương tự • e mang điện chuyển động trong 2 trường lực thế Coulomb KZe U=− r Phương trình Schrodinger dừng: ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ 2m e + 2 + 2 + 2 ( E − U )ψ = 0 ∂x 2 ∂y ∂z viết tách hàm sóng: i − Et Ψ ( x, y , z , t ) = e ψ ( x, y , z ) ψ(x,y,z) thoả mãn phương trình: 2 me KZe 2 Δψ ( x, y, z ) + 2 (E + )ψ ( x , y , z ) = 0 (3.1) r 4
Với đối xứng xuyên tâm Ta dùng toạ độ cầu x = r cos ϕ sin θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos θ từ (3.1) thu được: 1 ∂ 2 ∂ψ 1 1 ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ 1 ∂2ψ 2me KZe2 (r )+ 2 ⎜sinθ ⎟ + 2 2 2 + 2 (E+ )ψ =0 r2 ∂r ∂r r sinθ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r sin θ ∂ϕ r (3.1*) 5
6
nghiệm của (3.1*) là hàm sóng ψ(r, θ, ϕ) thoả mãn các điều kiện hàm sóng trong sác xuất thống kê. Không giải cụ thể ở đây, (trong CHLT), ta chỉ xét phương pháp, kết quả và ý nghĩa. Phương pháp tách biến: ψ ( r ,θ , ϕ ) = R (r ).Θ(θ ).Φ (ϕ ) = R (r ).Y (θ , ϕ ) gồm phần xuyên tâm R(r) và phần góc Y(θ, ϕ), cũng thoả mãn các điều kiện của hàm sóng. 7
3.2. Điều kiện cho hàm sóng 2 2 2 2 • Biểu thức về môdun: Ψ =R Θ Φ • Điều kiện chuẩn hoá: π 2π ∞ ∫∫∫ 2 2 2 R Θ Φ r 2 sin θ drdθ dϕ = dV = r sin θ drdθ d ϕ ⇒ 2 0 0 0 2π π ∞ ∫Φ dϕ ∫ Θ sin θ dθ ∫ R r dr = 1 2 2 2 2 0 0 0 • Tích phân cho toàn miền khả dĩ, nên mỗi tích phân của từng biến phải =1 • Hàm phải giới nội, đơn trị, khả vi, liên tục và đạo hàm bậc 1 liên tục. 3.3. Phương pháp giải ph.tr. (3.1) 8
• Đặt hàm sóng vào phương trình Schrodinger (3.1*), được: Y ∂ 2 ∂R R 1 ∂ ⎛ ∂Y ⎞ R ∂ 2Y 2me KZe 2 (r )+ 2 ⎜ sin θ ⎟+ 2 2 2 + 2 (E + ) R.Y = 0 r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r sin θ ∂ϕ r 9
• Đặt hàm sóng vào phương trình Schrodinger (3.1*), được: Y ∂ 2 ∂R R 1 ∂ ⎛ ∂Y ⎞ R ∂ 2Y 2me KZe 2 (r )+ 2 ⎜ sin θ ⎟+ 2 2 2 + 2 (E + ) R.Y = 0 r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r sin θ ∂ϕ r • Chia cho R.Y, nhân với r2, chuyển vế, có: 1 ∂ 2 ∂R 2me r 2 KZe 2 1 1 ∂ ⎛ ∂Y ⎞ 1 ∂ 2Y (r )+ (E + )=− ⎜ sin θ ⎟− (2) R ∂r ∂r 2 r Y sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ Y sin 2 θ ∂ϕ 2 10
• Đặt hàm sóng vào phương trình Schrodinger (3.1*), được: Y ∂ 2 ∂R R 1 ∂ ⎛ ∂Y ⎞ R ∂ 2Y 2me KZe 2 (r )+ 2 ⎜ sin θ ⎟+ 2 2 2 + 2 (E + ) R.Y = 0 r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r sin θ ∂ϕ r • Chia cho R.Y, nhân với r2, chuyển vế, có: 1 ∂ 2 ∂R 2me r 2 KZe 2 1 1 ∂ ⎛ ∂Y ⎞ 1 ∂ 2Y (r )+ (E + )=− ⎜ sin θ ⎟− (2) R ∂r ∂r 2 r Y sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ Y sin 2 θ ∂ϕ 2 • Hai vế phụ thuộc 2 biến độc lập => đẳng thức đúng khi 2 vế cùng bằng một hằng số q, ta thu được: 1 ∂ 2 ∂R ⎡ 2me KZe 2 q⎤ (r ) + ⎢ 2 (E + ) − 2 ⎥ R = 0 (3a) R ∂r ∂r ⎣ r r ⎦ 1 ∂ ⎛ ∂Y ⎞ 1 ∂ 2Y ⎜ sin θ ⎟+ 2 = − qY (3b) sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ 2 11
Tiếp tục tách biến cho Y = Θ.Φ và đặt vào (3b): Φ ∂ ⎛ ∂Θ ⎞ Θ ∂ 2Φ ⎜ sin θ ⎟+ 2 = − qΘΦ sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ 2 12
Tiếp tục tách biến cho Y = Θ.Φ và đặt vào (3b): Φ ∂ ⎛ ∂Θ ⎞ Θ ∂ 2Φ ⎜ sin θ ⎟+ 2 = − qΘΦ sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ 2 2 • chia cho Y, nhân với sin θ , chuyển vế, có: sin θ ∂ ⎛ ∂Θ ⎞ 1 ∂ 2 Φ ⎜ sin θ ⎟ + q sin θ = − 2 Θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ Φ ∂ϕ 2 13
Tiếp tục tách biến cho Y = Θ.Φ và đặt vào (3b): Φ ∂ ⎛ ∂Θ ⎞ Θ ∂ 2Φ ⎜ sin θ ⎟+ 2 = − qΘΦ sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ 2 2 • chia cho Y, nhân với sin θ , chuyển vế, có: sin θ ∂ ⎛ ∂Θ ⎞ 1 ∂ 2 Φ ⎜ sin θ ⎟ + q sin θ = − 2 Θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ Φ ∂ϕ 2 • Hai vế phụ thuộc 2 biến độc lập => đúng khi chúng cùng bằng một số s, đổi vế, nhân lên , thu được: 1 ∂ ⎛ ∂Θ ⎞ s ⎜ sin θ ⎟ + (q − 2 )Θ = 0 (5) sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ ∂ 2Φ = − sΦ (6) ∂ϕ 2 14
Từ việc phải tìm hàm ψ ( r ,θ , ϕ ) , ta đi tìm các hàm R (r ), Θ(θ ), Φ (ϕ ) , trong quá trình giải xuất hiện 2 thông số mới là q và s. Để giải, ta đi ngược lại từ (6)->(1), bắt đầu từ phương trình đơn giản nhất là (6): * Từ (6), hàm đơn giá => chu kỳ là 2π => nghiệm là hàm điều hoà, kết hợp với điều kiện chuẩn hoá thu được: 1 imϕ Φ(ϕ ) = e 2π m gọi là lượng tử số từ m = 0, ±1, ±2..., ( s = m 2 ) 15
Giải (5) với s =m 2 1 ∂ ⎛ ∂Θ ⎞ m 2 ⎜ sin θ ⎟ + ( q − 2 )Θ = 0 sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ • Đây là phương trình vi phân bậc 2, toán học cho nghiệm có dạng xác định. • Nghiệm là đa thức Legendre, dùng điều kiện chuẩn=> q=l(l+1), với l=0,1,2.. và l2 ≥ m2, tức là : m = 0, ±1, ±2,..., ±l l gọi là lượng tử số quỹ đạo 16
• Đa thức Legendre m+n 1 d (z) = (z ) ( ) m n P n m 2 −1 2 n m+ n z −1 2 2 .n ! dz 17
Tìm R(r), thay q=l(l+1) vào ph.tr. (3) d 2 R 2 dR 2me ⎡ KZe 2 2 l (l + 1) ⎤ 2 + + 2 ⎢E + − 2 ⎥ R = 0 (7) dr r dr ⎣ r 2me r ⎦ Nghiệm (7) có dạng: Rnl ∼ exp (− r / 2).L2nl−+l1−1 (r ) Với L2nl−+l1−1 (r ) là đa thức Laguerre, Với điều kiện: n nguyên > l , nghĩa là khi n xác định thì: l = 0,1,2,..n-1 18
Kết hợp điều kiện chuẩn, có 2 trường hợp: • ( i) E > 0 thì E liên tục, ứng với hạt tự do • (ii) khi e trong nguyên tử , E < 0, thì E gián đoạn, nhận các giá trị: 2 4 2 K mee Z En = − 2 2 n = 1, 2,3,...(8) 2n n gọi là lượng tử số chính Ngoài ra n còn phải có điều kiện: n > l => l=0,1,2,..n-1 (8) Trùng với kết quả Bohr. 19
3.4 . Kết quả- nghiệm của ph.tr.(3.1) • Cuối cùng thu được hàm sóng có dạng sau: Ψ nlm ( r ,θ , ϕ ) = Rnl ( r )Θlm (θ )Φ m (ϕ ) n=1,2,3... l=0,1,2,...,n-1 m = 0, ±1, ±2,..., ±l • Đó là một dãy các hàm sóng khả dĩ, ứng với năng lượng khả dĩ, phụ thuộc vào bộ 3 số lượng tử n, l, m n là lượng tử số chính - năng lượng khả dĩ l là lượng tử số quỹ đạo m là lượng tử số từ • n, l, m là 3 số lượng tử (nhưng chưa đủ để xác định 1 trạng thái). Còn thiếu 1 số lượng tử nữa - spin!!! 20