Bài giảng Công cụ tài chính phái sinh (ĐHKT Đà Nẵng)

Chương 55 Chương

ĐĐỊỊNH GI

NH GIÁÁ QUYQUYỀỀN CHN CHỌỌNN

Khoa TC-NH

TTàài li

i liệệu tham kh

u tham khảảoo

• Hull, chương 10, 12.

Khoa TC-NH

ĐĐỊỊNH GI

NH GIÁÁ QUYQUYỀỀN CHN CHỌỌN N

* Hai mô hình định giá cơ bản:

+ Mô hình nhị thức (Binomial Model). + Mô hình Black-Scholes (Black-Scholes

Model).

Khoa TC-NH

ĐĐịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn theo

theo mômô hhììnhnh nhnhịị ththứứcc

Model) (Binomial Model) (Binomial

(cid:40) Giả định giá cổ phiếu sau một khoảng thời gian nhất định chỉ nhận một trong hai giá trị: hoặc tăng hoặc giảm so với giá trị ban đầu của nó. (cid:40) Những giả định thêm:

Khoa TC-NH

- Không có các rào cản của thị trường. - Vay, cho vay theo lãi suất phi rủi ro. - Không tồn tại các cơ hội arbitrage.

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t

bưbướớcc

Ví dụ: Giả sử chúng ta cần định giá một quyền chọn mua kiểu châu Âu trên một cổ phiếu với thời gian đến hạn T = 3 tháng. Giá thực hiện K = 21$; Giá cổ phiếu hiện tại S0 = 20$; Lãi suất phi rủi ro r = 12%/năm.

Khoa TC-NH

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t c (tt) bưbướớc (tt)

Giả định rằng sau 3 tháng, giá cổ phiếu sẽ là hoặc 22$ hoặc 18$.

(cid:40) Quyền chọn chỉ nhận một trong hai giá trị

vào ngày đến hạn: hoặc là 1$, hoặc là 0$.

S1 = 22$ c = 1$

S0 = 20$

Khoa TC-NH

S1 = 18$ c = 0$

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t c (tt) bưbướớc (tt)

Xem xét một danh mục đầu tư gồm ∆ cổ phiếu và vị thế bán 1 quyền chọn mua.

(cid:49) Có thể chọn một giá trị của ∆ sao cho

danh mục đầu tư không có rủi ro sau 3 tháng?

Khoa TC-NH

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t c (tt) bưbướớc (tt)

- Nếu giá cổ phiếu tăng đến 22$ khi đến hạn của quyền chọn, giá trị của danh mục đầu tư sẽ là:

22∆ - 1

- Nếu giá cổ phiếu giảm còn 18$ khi đến hạn của quyền chọn, giá trị của danh mục đầu tư sẽ là:

Khoa TC-NH

18∆

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t c (tt) bưbướớc (tt)

Danh mục sẽ không có rủi ro nếu ∆ được chọn sao cho giá trị của danh mục là bằng nhau trong cả 2 tình huống giá cổ phiếu tăng, hoặc giảm. Cụ thể:

22∆ - 1 = 18∆

∆ = 0,25 ⇒

Khoa TC-NH

(cid:40) Danh mục phi rủi ro sẽ gồm: + Nắm giữ 0,25 cổ phiếu. + Vị thế bán 1 quyền chọn mua.

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t c (tt) bưbướớc (tt)

* Vào ngày đến hạn của quyền chọn:

(cid:51) Nếu giá cổ phiếu tăng đến 22$, giá trị của

danh mục sẽ là:

0,25*22 - 1 = 4,5$ (cid:51) Nếu giá cổ phiếu giảm còn 18$, giá trị của

danh mục sẽ là:

0,25*18 = 4,5$

Khoa TC-NH

(cid:40) Bất kể giá cổ phiếu tăng hay giảm, giá trị của danh mục vẫn là 4,5$ vào ngày đến hạn của quyền chọn.

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t c (tt) bưbướớc (tt) * Giá trị của danh mục đầu tư vào ngày hôm nay: 0,25*20 - c = 5 - c

(cid:40) Để không tồn tại cơ hội arbitrage, danh mục đầu tư phải mang lại tỷ suất lợi tức bằng với lãi suất phi rủi ro. hay 5 - c = 4,5e-0,12*3/12 = 4,367$

Khoa TC-NH

c = 0,633 ⇒

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t c (tt) bưbướớc (tt)

* Tổng quát mô hình nhị thức một bước:

Giả định trong thời gian tồn tại của quyền chọn, thay đổi

giá cổ phiếu được thể hiện theo cây nhị thức sau:

S0u cu

S0 c

Trong đó:

u > 1 và d < 1.

Khoa TC-NH

S0d cd

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t c (tt) bưbướớc (tt)

* Tổng quát mô hình nhị thức một bước (tt): Xem xét một danh mục đầu tư gồm ∆ cổ

phiếu và vị thế bán 1 quyền chọn mua.

(cid:49) Xác định giá trị của ∆ sao cho danh mục

Khoa TC-NH

đầu tư không có rủi ro vào ngày đến hạn của quyền chọn?

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t c (tt) bưbướớc (tt)

* Tổng quát mô hình nhị thức một bước (tt):

+ Vào ngày đến hạn của quyền chọn: - Nếu cổ phiếu tăng giá, giá trị của danh mục

đầu tư sẽ là:

S0u*∆ - cu

- Nếu cổ phiếu giảm giá, giá trị của danh mục

đầu tư sẽ là:

Khoa TC-NH

S0d*∆ - cd

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột t c (tt) bưbướớc (tt) * Tổng quát mô hình nhị thức một bước (tt):

Để danh mục không có rủi ro vào ngày đến hạn của quyền chọn, giá trị của danh mục phải là như nhau trong cả hai tình huống giá cổ phiếu tăng hay giảm. Cụ thể:

S0u*∆ - cu = S0d*∆ - cd

hay

(5.1)

c c =Δ

Khoa TC-NH

− − dSuS

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột bưt bướớc c

(tt)(tt)

* Tổng quát mô hình nhị thức một bước (tt): + Giá trị của danh mục đầu tư vào ngày

hôm nay:

Khoa TC-NH

S0*∆ - c

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột bưt bướớc c

(tt)(tt)

* Tổng quát mô hình nhị thức một bước (tt):

(cid:40) Để không tồn tại cơ hội arbitrage, danh mục đầu

tư phải mang lại tỷ suất lợi tức bằng với lãi suất phi rủi ro. Cụ thể:

Khoa TC-NH

hay S0*∆ - c = (S0u*∆ - cu)e-rT c = S0*∆ - (S0u*∆ - cu)e-rT

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột bưt bướớc c

(tt)(tt)

Thay thế ∆ từ biểu thức (5.1) và thực hiện một số biến đổi, có được:

c = e-rT[π*cu + (1- π)*cd] (5.2)

Trong đó:

=π

− −

e rT u

d d

(5.3)

Khoa TC-NH

(cid:40) Biểu thức (5.2) và (5.3) cho phép định giá quyền chọn kiểu châu Âu theo mô hình nhị thức một bước.

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức mc mộột bưt bướớc c

(tt)(tt)

Sử dụng lại ví dụ trên với u = 1,1; d = 0,9; r = 0,12; T = 0,25; cu = 1; và cd = 0.

Từ (5.3): rT

65230

− ,

de − du −

, 90250120 , 9011 −

Từ (5.2):

c = e-0,12*0,25(0,6523*1 + 0,3477*0) =

0,633

Khoa TC-NH

ĐĐịịnh gi

n theo nguyên lý nh giáá quyquyềền chn chọọn theo nguyên lý Neutral Valuation) i ro (Risk--Neutral Valuation)

trung tíính rnh rủủi ro (Risk trung t

(cid:40) Khi không tồn tại cơ hội arbitrage, giá trị của π thay đổi từ 0 đến 1. Vì vậy, có thể diễn giải π ở (5.2) như là xác suất giá cổ phiếu (hoặc giá quyền chọn) tăng, và (1- π) như là xác suất giá cổ phiếu (hoặc giá quyền chọn) giảm.

π được gọi là xác suất trung tính rủi

ro (Risk-Neutral Probability)

Khoa TC-NH

ĐĐịịnh gi

n theo nguyên lý nh giáá quyquyềền chn chọọn theo nguyên lý Neutral Valuation) i ro (Risk--Neutral Valuation)

trung tíính rnh rủủi ro (Risk trung t (tt) (tt)

(cid:40) Một cách diễn đạt khác cho (5.2):

Giá trị của quyền chọn ở thời điểm hiện

tại bằng với giá trị kỳ vọng của quyền chọn vào ngày đến hạn trong môi trường trung tính rủi ro được chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro.

Khoa TC-NH

ĐĐịịnh gi

n theo nguyên lý nh giáá quyquyềền chn chọọn theo nguyên lý Neutral Valuation) i ro (Risk--Neutral Valuation)

trung tíính rnh rủủi ro (Risk trung t (tt) (tt)

(cid:40) π có thể được xác định từ (5.3), hoặc tính toán dựa vào giá cổ phiếu trong môi trường trung tính rủi ro.

Ví dụ: Định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu trên một cổ phiếu với thời gian đến hạn T = 3 tháng. Giá thực hiện K = 21$; Giá cổ phiếu hiện tại S0 = 20$; Lãi suất phi rủi ro r = 12%/năm. Giả định sau 3 tháng, giá cổ phiếu sẽ là 22$ hoặc 18$.

Khoa TC-NH

ĐĐịịnh gi

n theo nguyên lý nh giáá quyquyềền chn chọọn theo nguyên lý Neutral Valuation) i ro (Risk--Neutral Valuation)

trung tíính rnh rủủi ro (Risk trung t (tt) (tt)

* Trong môi trường trung tính rủi ro, giá cổ phiếu sau 3 tháng:

St = S0erT = 20e0,12*3/12

Mặt khác, giá trị kỳ vọng của cổ phiếu sau 3 tháng: 22π + 18(1-π)

Do vậy,

Khoa TC-NH

hay 22π + 18(1-π) = 20e0,12*3/12 π = 0,6523

ĐĐịịnh gi

n theo nguyên lý nh giáá quyquyềền chn chọọn theo nguyên lý Neutral Valuation) i ro (Risk--Neutral Valuation)

trung tíính rnh rủủi ro (Risk trung t (tt) (tt)

* Giá trị kỳ vọng của quyền chọn sau 3 tháng:

0,6523*1 + 0,3477*0 = 0,6523

(cid:40) Giá quyền chọn ở thời điểm hiện tại: 0,6523e-0,12*3/12 = 0,633$

Khoa TC-NH

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c hai bướớcc

Phân tích trên có thể được mở rộng cho cây nhị thức hai bước.

Khoa TC-NH

Ví dụ: Giả sử giá cổ phiếu hiện tại là 20$; Giá thực hiện K = 21; Ở mỗi bước thời gian, giá cổ phiếu có thể tăng 10% hoặc giảm 10%; Độ dài của mỗi bước thời gian là 3 tháng; Lãi suất phi rủi ro r = 12%/năm.

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

Cây nhị thức với hai bước thời gian cho ví dụ trên được thể hiện dưới đây: D

24,2 3,2

22 2,0257

B E A

20 1,2823

19,8 0,0

F C 18 0,0

16,2 0,0

Khoa TC-NH

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

(cid:40) Để định giá quyền chọn ở thời điểm hiện tại (nút A), đi ngược từ cuối cây đến đầu cây.

(cid:49) Giá quyền chọn ở các nút cuối cùng của cây (nút D, E, F) được xác định như thế nào? (cid:49) Tính giá quyền chọn tại nút C và nút B. (cid:49) Cuối cùng, tính giá quyền chọn ở thời

Khoa TC-NH

điểm hiện tại (nút A).

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

* Để tính giá quyền chọn ở nút B, tách riêng một phần của cây như sau:

24,2 3,2

22 2,0257

19,8 0,0

Khoa TC-NH

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

Sử dụng các ký hiệu như trước:

u = 1,1; d = 0,9; r = 0,12; T = 0,25.

Từ (5.3): π = 0,6523. Từ (5.2), giá trị quyền chọn ở điểm B sẽ

là:

e-0,12*0,25(0,6523*3,2 + 0,3477*0) =

2,0257

Khoa TC-NH

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

* Cuối cùng, để tính giá quyền chọn ở thời điểm hiện tại (nút A), tập trung vào bước đầu tiên của cây.

22 2,0257

20 1,2823

18 0,0

Khoa TC-NH

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

Từ (5.2), giá quyền chọn tại nút A sẽ là:

e-0,12*0,25(0,6523*2,0257 + 0,3477*0) = 1,2823

Khoa TC-NH

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

* Tổng quát mô hình nhị thức hai bước:

Cây nhị thức hai bước tổng quát:

S0u2 cuu

S0u cu

S0 c

S0ud cud

S0d cd

Khoa TC-NH

S0d2 cdd

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

* Tổng quát mô hình nhị thức hai bước (ttheo):

Sử dụng biểu thức (5.2) tương ứng cho mỗi

phần của cây, chúng ta có được:

cu = e-rδt[π*cuu + (1-π)*cud] (5.4) cd = e-rδt[π*cud + (1-π)*cdd] (5.5) (cid:40) c = e-rδt[π*cu + (1-π)*cd] (5.6)

Khoa TC-NH

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

* Định giá quyền chọn bán kiểu châu Âu trên cổ phiếu khi giá cổ phiếu thay đổi theo cây nhị thức:

Ví dụ: Định giá một quyền chọn bán kiểu châu

Khoa TC-NH

Âu với giá thực hiện K = 52$, giá hiện tại của cổ phiếu S0 = 50$, thời gian đến hạn T = 2 năm, lãi suất phi rủi ro r = 5%. Giả sử có hai bước thời gian, mỗi bước thời gian có chiều dài δt = 1 năm. Trong mỗi bước thời gian, giá cổ phiếu có thể hoặc tăng với tỷ lệ 20% hoặc giảm với tỷ lệ 20%.

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

* Định giá quyền chọn bán kiểu châu Âu trên cổ phiếu khi giá cổ phiếu thay đổi theo cây nhị thức (ttheo):

Từ (5.3), xác suất trung tính rủi ro (π) được

δ tr

105,0

−

8,0

=π

6282

− −

e u

d d

− 8,02,1

xác định:

Khoa TC-NH

(cid:40) Giá quyền chọn có thể được tính bằng cách sử dụng biểu thức (5.2) và đi ngược từ cuối cây đến đầu cây.

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

* Định giá quyền chọn bán kiểu châu Âu trên cổ phiếu khi giá cổ phiếu thay đổi theo cây nhị thức (ttheo):

Cây nhị thức với các giá quyền chọn trung gian

được thể hiện ở dưới đây:

72 0

60 1,4147

48 4

50 4,1923

40 9,4636 Khoa TC-NH

32 20

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

* Định giá quyền chọn kiểu Mỹ:

Cách thức vẫn được tiến hành tương tự như đối với quyền chọn kiểu châu Âu. Tuy nhiên, ở mỗi nút trung gian, giá trị quyền chọn sẽ là giá trị lớn nhất trong hai giá trị:

Khoa TC-NH

+ Giá trị được tính bởi biểu thức (5.2). + Thanh toán từ quyền chọn do thực hiện sớm.

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

* Định giá quyền chọn kiểu Mỹ (ttheo):

Sử dụng lại ví dụ về quyền chọn bán ở trên,

với giả thiết bây giờ là quyền chọn kiểu Mỹ. (cid:49) Xác định giá quyền chọn ở các nút trên

Khoa TC-NH

cây.

Mô hMô hìình nh

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

* Định giá quyền chọn kiểu Mỹ (ttheo):

Cây nhị thức với các giá quyền chọn trung

gian được thể hiện ở dưới đây.

72 0

60 1,4147

B

A

48 4

50 5,0894

C 40 12,0

32 20

Khoa TC-NH

nh nhịị ththứức hai bư

c (tt) c hai bướớc (tt)

Mô hMô hìình nh * Xác định thông số u và d:

Trên thực tế khi xây dựng cây nhị thức, các thông số u và d thường được xác định phù hợp với tính bất ổn định của giá cổ phiếu (σ). Cụ thể:

teu δσ=

(5.8)

ted δσ−=

Khoa TC-NH

(5.9)

Cây nhịị ththứức trong th Cây nh

c trong thựực tc tếế

Trên thực tế, thời gian tồn tại của quyền chọn thường được chia thành 30 (hoặc nhiều hơn) bước thời gian. Với 30 bước thời gian, sẽ có 31 nút kết thúc của cây nhị thức thể hiện giá cổ phiếu và 230 nhánh cây (khoảng 1 tỷ !!!).

Khoa TC-NH

Scholes MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes

(Black--Scholes (Black

Model) Scholes Model)

*Những giả định của mô hình Black-Scholes:

+ Giá cổ phiếu ở một thời điểm nào đó trong tương lai có phân phối logarit chuNn (lognormal distribution). Cụ thể,

−

T,T) σ

2 σ 2

⎡ (Sln~Sln T + φ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Trong đó:

: Ký hiệu phân phối chuNn với giá trị kỳ vọng m và độ lệch

)s,m(φ

chuNn s. μ - : Tỷ suất lợi tức kỳ vọng trên cổ phiếu ( và σ được giả định là hằng số).

Khoa TC-NH

Scholes MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes ttheo) ((ttheo)

+ Các nhà đầu tư được phép thực hiện bán khống. + Không có các chi phí giao dịch khi mua, bán cổ

phiếu.

+ Cổ phiếu không có cổ tức trong thời gian tồn tại của

quyền chọn.

+ Không tồn tại cơ hội arbitrage. + Lãi suất phi rủi ro là hằng số và giống nhau cho tất cả

các kỳ hạn.

+ Quá trình giao dịch chứng khoán diễn ra liên tục.

Khoa TC-NH

*Những giả định của mô hình Black-Scholes (ttheo):

MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes Scholes ttheo) ((ttheo)

*Công thức Black-Scholes:

- Quyền chọn mua:

c = S0N(d1) - Ke-rTN(d2) (5.10)

- Quyền chọn bán:

p = Ke-rTN(-d2) - S0N(-d1) (5.11)

Khoa TC-NH

5.2. MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes Scholes 5.2. ttheo):): ((ttheo

*Công thức Black-Scholes (ttheo):

Với:

T)2/

)K/Sln( 0

d 1

2 σ++ r( σ T

T)2/

)K/Sln( 0

σ−

d 2

d 1

2 σ−+ r( σ T

Khoa TC-NH

Scholes MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes ttheo) ((ttheo)

*Công thức Black-Scholes (ttheo):

(cid:40) Các thông số trong công thức Black-

Scholes đều có thể được thu thập dễ dàng (S0, K, r, T) , ngoại trừ tính bất ổn định của giá cổ phiếu (σ).

* Một số cách ước lượng σ: - Ước lượng từ dữ liệu quá khứ của giá cổ

phiếu theo cách thông thường. - Phân tích tình huống. - Sử dụng các mô hình phức tạp hơn (như

Khoa TC-NH

mô hình GARCH).

Scholes MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes ttheo) ((ttheo)

* Tính bất ổn định hàm ý (Implied Volatilities):

(cid:49) Hạn chế của σ được ước lượng từ dữ liệu

lịch sử?

(cid:40) Tính bất ổn định hàm ý (σ*) là một giá trị của σ

Khoa TC-NH

sao cho khi thay giá trị đó vào công thức Black- Scholes, chúng ta sẽ có được một giá trị quyền chọn bằng đúng với giá quyền chọn hiện tại đang được giao dịch trên thị trường.

Scholes MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes ttheo) ((ttheo)

*Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp cổ phiếu có cổ tức:

- Quyền chọn mua:

c = (S0 - D)N(d1) - Ke-rTN(d2) (5.12)

- Quyền chọn bán:

p = Ke-rTN(-d2) - (S0 - D)N(-d1) (5.13)

Trong đó: D: Giá trị hiện tại của cổ tức được

Khoa TC-NH

nhận trong thời gian tồn tại của quyền chọn.

Scholes MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes ttheo) ((ttheo)

*Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp cổ phiếu có cổ tức (ttheo):

2 σ++ r(

T)2/

d 1

− ]K/)DSln[( σ

2 σ−+ r(

T)2/

d 2

σ−= d 1

− ]K/)DSln[( σ

Khoa TC-NH

Với:

Scholes MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes ttheo) ((ttheo)

*Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp cổ phiếu có cổ tức (ttheo):

Khoa TC-NH

Ví dụ: Một quyền chọn mua kiểu châu Âu trên một cổ phiếu với cổ tức sẽ được nhận 2 đợt sau thời gian 2 tháng (đợt 1) và 5 tháng (đợt 2), mỗi đợt được dự tính là 0,5$/1 cổ phiếu. Giá cổ phiếu hiện tại là 40$; Giá thực hiện là 40$; Tính bất ổn định của giá cổ phiếu là 30%/năm; Lãi suất phi rủi ro là 9%/năm; Thời gian đến hạn của quyền chọn là 6 tháng.

Scholes MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes ttheo) ((ttheo)

*Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp cổ phiếu có cổ tức (ttheo):

* Giá trị hiện tại của cổ tức là:

ln[(

9741

]40/)

09,0(

5,0*)2/3,0

−

2017

+ 5,03,0

ln[(

9741

]40/)

09,0(

5,0*)2/3,0

−

0104

−=

+ 5,03,0

Khoa TC-NH

0,5e-0,1667*0,09 + 0,5e-0,4167*0,09 = 0,9741

Mô hMô hìình đnh địịnh gi

Scholes n Black--Scholes

nh giáá quyquyềền chn chọọn Black (ttheo) (ttheo)

*Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp cổ phiếu có cổ tức (ttheo):

Sử dụng bảng tra:

N(d1) = 0,5800 và N(d2) = 0,4959

Khoa TC-NH

Từ (5.12), giá trị quyền chọn mua: (40 - 0,9741)*0,5800 - 40e-0,09*0,5*0,4959 = 3,67$

Scholes MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes ttheo) ((ttheo)

*Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp tài sản cơ sở là chỉ số chứng khoán, đồng tiền:

* Đối với chỉ số chứng khoán:

Gọi q: Tỷ lệ cổ tức trên danh mục tài sản cơ sở của chỉ số trong thời gian tồn tại của quyền chọn, với q được thể hiện theo tỷ lệ %/năm và được tính kép liên tục:

- Quyền chọn mua:

c = S0e-qTN(d1) - Ke-rTN(d2) (5.14)

- Quyền chọn bán:

p = Ke-rTN(-d2) - S0e-qT N(-d1) (5.15)

Khoa TC-NH

Scholes MôMô hhììnhnh đđịịnhnh gigiáá quyquyềềnn chchọọnn BlackBlack--Scholes ttheo) ((ttheo)

* Đối với chỉ số chứng khoán (ttheo):

T)2/

)K/Sln( 0

d 1

2 σ+−+ qr( σ T

T)2/

)K/Sln( 0

d 2

σ−= d 1

2 σ−−+ qr( σ T

Khoa TC-NH

Với:

Mô hMô hìình đnh địịnh gi

Scholes n Black--Scholes

nh giáá quyquyềền chn chọọn Black (ttheo) (ttheo)

* Đối với chỉ số chứng khoán (ttheo):

Khoa TC-NH

Ví dụ: Một quyền chọn mua kiểu châu Âu trên chỉ số S&P 500 với thời gian đến hạn là 2 tháng. Giá trị hiện tại của chỉ số là 930, giá thực hiện là 900, lãi suất phi rủi ro là 8%/năm, và tính bất ổn định của chỉ số là 20%/năm. Tỷ lệ cổ tức dự tính nhận được trong khoảng thời gian tồn tại của quyền chọn là 3%/năm.

Mô hMô hìình đnh địịnh gi

Scholes n Black--Scholes

nh giáá quyquyềền chn chọọn Black (ttheo) (ttheo)

−

ln(

930

)900

12/2)2/2,0

5444

d 1

08,0( 03,0 12/22,0

−