Chương 4
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
KHOA TOÁN - TIN
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
2025
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1141-CHƯƠNG 4 1/70 2025 1 / 70
Nội dung Chương 4
Nội dung Chương 4
1Khái niệm ánh xạ tuyến tính
2Ma trận của ánh xạ tuyến tính
3Trị riêng và vectơ riêng
Mục tiêu
-Kiến thức: Sinh viên hiểu được khái niệm ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính, mối quan hệ
giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính, khái niệm giá trị riêng, vectơ riêng và ma trận chéo hoá được, toán tử
chéo hoá được.
-Kỹ năng: Nhận biết ánh xạ tuyến tính; tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính tương ứng với cặp cơ sở bất kỳ;
thực hiện chéo hoá ma trận và toán tử tuyến tính chéo hoá được.
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1141-CHƯƠNG 4 2/70 2025 2 / 70
1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Nội dung
1.1 Định nghĩa
1.2 Ví dụ
1.3 Tính chất của ánh xạ tuyến tính
1.4 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
1.5 Hạng của ánh xạ tuyến tính
1.6 Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1141-CHƯƠNG 4 3/70 2025 3 / 70
1.1 Định nghĩa
Trong chương này Klà một trường số (Klà Rhoặc C).
Cho Vvà Wlà hai không gian vectơ trên K.
Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ f:V→Wđược gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó có hai tính chất sau:
i) f(u+v) = f(u) + f(v),∀u,v ∈V,
ii) f(ku) = kf(u),∀k∈K,∀u∈V.
Khi W≡V, ánh xạ tuyến tính f:V→Vđược gọi là một toán tử tuyến tính (hay phép biến đổi tuyến tính)
của không gian vectơ V.
Chú ý 1.1
Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra rằng ánh xạ f:V→Wlà ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi
f(ku +lv) = kf(u) + lf(v)
với mọi u,v ∈Vvà k,l ∈K.
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1141-CHƯƠNG 4 4/70 2025 4 / 70
1.2 Ví dụ
Các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính:
1. Ánh xạ không f:V→W,f(v) = θWvới mọi v∈V.
2. Với α∈Rbất kỳ, ánh xạ f:V→V,f(v) = αv ∀v∈Vlà một phép biến đổi tuyến tính.
Đặc biệt α= 1 thì phép biến đổi này trở thành phép đồng nhất của V, tức là nó giữ nguyên mọi phần tử
của V, kí hiệu là IdV.
3. Phép chiếu f:R2→R2,f(x,y) = (x,0).
4. Ánh xạ f:R2→R,f(x,y) = 2x+ 3y.
5. Ánh xạ f:R3→R2được xác định bởi
f(x1,x2,x3) = (x1−3x2+x3,x1+ 2x3).
6. Cho ma trận A∈ Mm×n(R).Ánh xạ f:Mn×1(R)→ Mm×1(R)được xác định bởi
f(X) = AX.
Thật vậy, với mọi X,Y ∈ Mn×1(R)và k∈Rta có:
f(X+Y) = A(X+Y) = AX +AY =f(X) + f(Y),
f(kX) = A(kX) = k(AX) = kf(X).
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1141-CHƯƠNG 4 5/70 2025 5 / 70