Chương 3: Ánh xạ tuyến tính
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I – Định nghĩa và ví dụ.
III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng
II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng.
Định nghĩa ánh xạ
:
f X Y
, ! : ( )
x X y Y y f x
Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x
thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x)
Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu
1 2 1 2
( ) ( )
x x f x f x
Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu
, : ( )
y Y x X y f x
Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh.
I. Định nghĩa và ví dụ
------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K.
2.
( , ) ( ) ( )
K v V f v f v
Ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ V, W
:
W
f V
là một ánh xạ thỏa
1.
1 2 1 2 1 2
( , ) ( ) ( ) ( )
v v V f v v f v f v
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng tỏ ánh xạ cho bởi
2
3
:
R
R
f
2
1 2
1
3
1
3
3
( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 )
x
x x x x
x x
x
x
f x
Ví dụ
là ánh xạ tuyến tính.
1 2 3 1 2 3 3
( , , ); ( , , )
x x x x y y y y R
1 1
2
3 3
2
( ) ( , , )
x y
x y
x
f x y
y
f
3 3 3
1 1 1
3
2 2
1
3
2
( ) ( ,
3
)
2
2
2
x y x
x y x y
x y
x
y
f y
1 1
3 3
1
2
1
3
2
3
3 3
( ) ( ,
2 2
)
2 2
( , )
x x y y
f x y
x
y
y y
x
x
( ) ( ) ( )
f x y f x f y
Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến
tính.
