Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng -------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nhiều biến
Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
0.2 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
0.3 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
0.4 – Đạo hàm theo hướng
0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint
0.6 – Ứng dụng của đạo hàm riêng
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa đạo hàm riêng theo x.
,
)
Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm cố định.
M x y ( 0
0
0
Xét hàm một biến F(x) = f(x,y0) theo biến x.
y
)
,
Đạo hàm của hàm một biến F(x) tại x0 được gọi là đạo hàm riêng theo x M x ( của f(x,y) tại , ký hiệu 0 0
0
)
(
)
F x ( 0
F x ( 0
f
(
)
' x
x y , 0 0
lim x 0
f x y , 0 0 x
x ) x
f
(
(
,
)
x y , 0 0
f x y 0 0
lim x 0
) x
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa đạo hàm riêng theo y.
,
)
Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm cố định.
M x y ( 0
0
0
Xét hàm một biến F(y) = f(x0,y) theo biến y.
y
)
,
Đạo hàm của hàm một biến F(y) tại y0 được gọi là đạo hàm riêng theo y M x ( của f(x,y) tại , ký hiệu 0 0
0
)
(
)
F y ( 0
F y ( 0
f
(
)
' y
x y , 0 0
lim y 0
f x y , 0 0 y
y ) y
(
,
(
,
)
f x y 0 0
f x y 0 0
lim y 0
y ) y
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi nhớ.
y
)
,
0
M x ( Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại theo x là đạo hàm của hàm 0 0 một biến f = f(x,y0).
)
,
y 0
M x ( Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại theo y là đạo hàm của hàm 0 0 một biến f = f(x0,y).
Qui tắc tìm đạo hàm riêng.
Để tìm đạo hàm riêng của f theo biến x, ta coi f là hàm một biến x, biến còn lại y là hằng số.
f(x,y) biễu diễn bởi mặt S (màu xanh)
Giả sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c)
Cố định y = b. Đường cong C1 giao của S và mặt phẳng y = b.
Phương trình của đường cong là g(x) = f(x, b).
Hệ số góc của tiếp tuyến T1 đường cong C1 là ' g a ( )
' f a b ( , ) x
Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 tại P(a,b,c).
Tương tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong C2 tại P(a,b,c).
2
2
dụ. Cho hàm . Tìm và biễu diễn hình học của
' (1,1) xf
đạo hàm riêng này.
2
f
x y ( ,
)
(4
x
2
y
2
x
' x
'2 ) x
' (1,1)
2.1
2
xf
Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh.
Mặt phẳng y = 1 cắt ngang được đường cong C1.
Tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng.
Hệ số góc của tiếp tuyến với tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm
) 4 f x y ( , 2 y x
2
2
(1,1)
f x y ( ,
) 4
x
2
y
vôùi
Biễu diễn hình học của
' xf
2
2
dụ. Cho hàm . Tìm và biễu diễn hình học của
' (1,1) yf
đạo hàm riêng này.
2
2
f
x y ( ,
)
(4
x
2
y
)
4
y
' y
' y
' (1,1)
4.1
4
yf
Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh.
Mặt phẳng x = 1 cắt ngang được đường cong C2.
Tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng.
Hệ số góc của tiếp tuyến với tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm
) 4 f x y ( , 2 y x
2
2
(1,1)
f x y ( ,
) 4
x
2
y
vôùi
Biễu diễn hình học của
' yf
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của đạo hàm riêng
Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến.
f
)
f
f
g
)
f
g
1) (
2) (
' x
' x
' x
' x
' x
'
gf
fg
' x
' x
f g
f
g
f g
3)
'
' x
' x
4)
x
f g
2 g
x
Hàm một biến: hàm liên tục tại x0 khi và chỉ khi hàm có đạo hàm cấp 1 tại x0
Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0,y0) nhưng không liên tục tại điểm này. Giải thích!
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
2
(1, 2),
(1, 2)
f
' f Tìm đạo hàm riêng , biết x
' y
2
2
Giải.
f x y ( , ) ln( x 2 y )
' x
'
x
f
x y ( ,
)
(1, 2)
' x
' xf
2
2
2
x 2
y
x
2 9
2
2
f
x y ( ,
)
ln(
x
2
y
)
' y
'
y
f
x y ( ,
)
(1, 2)
' y
' yf
2
2
4
y 2
y
x
8 9
f x y ( , ) ln( x 2 y )
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
(1, 2),
(1, 2)
f
' f Tìm đạo hàm riêng , biết x
' y
Giải.
f x y ( , ) ( x 2 ) y y
' ( , x
x
' y 2 ) y 1
x y ( ,
)
y x (
' (1, 2) 10
' xf
xf
ln
f
y
ln(
x
y 2 )
Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có
ln(
x
y 2 )
y
2 2
y
x
' yf f
y
x y ( ,
)
(
x
y 2 )
ln(
x
y 2 )
y
' yf
2 2
y
x
x y ( ,
) 25(ln 5
)
' yf
4 5
f x y ) ( x 2 ) y y
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
3 Cho . y
f x y ( ,
x
)
1) Tìm
3) Tìm
2) Tìm
' (0,0) yf
' (1,1) xf
' (0,0) xf
x
2
3
(1,1)
Giải.
1)
x y ( ,
)
x
y
' xf
' f x
'
2
3
1 2
x
x
y
2) Không thể thay (0,0) vào công thức để tìm . Ta sử dụng định nghĩa
' (0,0) xf
2
f
(0
x
f
(0,0)
(
x
|
|
f
(0,0)
0 0
' x
lim x 0
lim x 0
lim x 0
,0) x
)
x
x x
Không tồn tại giới hạn này vì giới hạn trái và giới hạn phải không bằng nhau
3
( 0 f (0,0 f (0,0)
Tương tự
0
' y
f (0, 0)
lim y 0 lim y 0 y ) y y ) y
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
2
x
y
2 t e dt
Cho
1
f
x y ( ,
),
f
x y ( ,
).
Tìm
' x
' y
Giải.
'
2
2
2
2
2
x
y
'
x
y
2
2
x
x
y
2
2
e
f
x y ( ,
)
2 t e dt
e
x
y
' x
f x y ( , )
2
2
x
1
x
y
x
Vì biểu thức đối xứng đối với x và y nên, đổi chỗ x và y cho nhau ta được đạo hàm riêng theo y.
2
2
y
x
y
f
x y ( ,
)
e
' y
2
2
x
y
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
2
1/(
x
y
)
2
2
e
,
x
y
0
neáu
Cho
f x y ( ,
)
2
2
0,
y
0
x neáu
Tìm
' (0,0). xf
Giải.
2
1/(
x
)
f
(0
x
f
(0,0)
e
f
(0,0)
' x
lim x 0
,0) x
t
Đặt , suy ra .
t
1 x
2
lim x 0 x
0
' (0,0) x
(sử dụng qui tắc Lopital)
f
te lim t t
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hàm hai biến f = f(x,y).
Đạo hàm riêng theo x và theo y là những hàm hai biến x và y:
Ta có thể lấy đạo hàm riêng của hàm : )
x y
' ( , xf
2
2
'
'
f
x y ( ,
)
f
x y ( ,
)
x y ( ,
)
' x
'' xy
' x
'' xx
f 2
y
x
f x y ( , ) f x y ( , ) x y ( , )
x
x y
)
Tương tự có thể lấy đạo hàm riêng của hàm :
' ( , yf
2
2
'
'
f
x y ( ,
)
f
x y ( ,
)
x y ( ,
)
' y
'' yy
f x y
f 2
' y
'' yx
y
x
y
f x y ( , ) f x y ( , ) x y ( , )
Tiếp tục quá trình, ta có khái niệm các đạo hàm cấp cao.
Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm riêng cấp cao cũng tương tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng.
f y x
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý.
2
2
Nói chung , nên khi lấy đạo hàm riêng cấp x y , 0 0
cao ta phải chú ý đến thứ tự lấy đạo hàm.
Định lý
f
,
f
,
f
,
f
Cho hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng xác định trong lân
' x
' y
'' xy
'' yx
cận của và liên tục tại điểm này. Khi đó
)
(
x y , 0 0
2
2
) ( ) ( x y , 0 0 f y x f y x
Chứng minh:
( ) ( , ) x y , 0 0 x 0 y 0 f x y f y x
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Chứng tỏ rằng hàm thỏa phương trình Laplace
2
2
0
f 2
f 2
x
y
sinx
e
y
Giải.
x y
)
sinx
e
y
'' xxf
' ( , xf
x
e
sinx
y
x y
)
e
cos
y
'' yyf
' ( , yf
2
2
x
x
e
sin
y
e
sin
y
0
f 2
f 2
x
y
Hàm f = f(x,y) thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa.
Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết fluid flow, heat conduction, electric potential,….
f x y ( , y e ) sinx
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
u x t ( , )
x at
sin(
)
Chứng tỏ rằng hàm thỏa phương trình sóng
2
2
2
a
u 2
t
u 2 x
Giải.
a
cos(
x at
)
a
2 sin(
x at
)
'' ttu
' ( , ) tu x t
sin(
x at
)
cos(
x at
)
'' xxu
' ( , ) xu x t
2
2
2
a
a
sin(
x at
)
u 2
2 t
u 2 x
Phương trình sóng mô tả sự chuyển động của các loại sóng: sóng biển, sóng âm thanh hay sóng chuyển động dọc theo một sợi dây rung.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
1
x
/(4
2 a t
)
Chứng tỏ rằng thỏa phương trình truyền nhiệt
u t x ( , )
e
2
a
t
2
2
a
u t
u 2 x
2
2
2
1
x
/(4
2 a t
)
x
/(4
2 a t
)
Giải.
u
x t ( , )
e
u x t ( , )
e
'' xx
' x
2
a
t
2 x 2 a t ) 4
x 2 5 2 a t 8
2 a t t
'
2
2
2
1
x
/(4
2 a t
)
x
/(4
2 a t
)
e
e
u t
2
a
t
2 x 3 2 a t 8
2 a t t
t
2
2
a
u t
u 2 x
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
2
,
x
y
0
neáu
2
2
x
y
xy
Cho
f x y ( ,
)
2
2
0,
y
0
x neáu
Tìm
'' (0, 0). xxf
Giải.
f
(0
x
f
(0,0)
0
f
(0,0)
' x
lim x 0
0 0 x
lim x 0
,0) x
3
2
y
yx
2
2
,
y
0
x neáu
2
2
2
h x y ( ,
)
f
x y ( ,
)
x
y
' x
2
2
0,
y
0
x neáu
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm đạo hàm riêng cấp hai
h
(0
x
h
(0, 0)
f
(0, 0)
(0, 0)
'' xx
' h x
lim x 0
,0) x
f
(0, 0)
0
'' xx
lim x 0
0 0 x
Tương tự tìm được và
f
(0,0);
(0,0)
f
'' (0, 0) 0 yyf
'' xy
'' yx
x y
)
x y
)
Chú ý. Để tìm đạo hàm riêng cấp hai tại (x0, y0) ta phải tìm đạo hàm riêng cấp một tại mọi điểm (tức là tìm hàm ).
' ( , xf
' ( , xf
Hàm này có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (0,0) nhưng không liên tục tại đây.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
f
y 3 ) ln(
u x y ( ,
y 2 )
(2
x
)
x Cho hàm . Tìm
100 100 (1, 2). x
Giải.
Sử dụng công thức Leibnitz, coi f(x,y) là hàm một biến theo x.
( ,
u
;
) 2
x
3 ;
y g x y ( ,
)
ln(
x
y 2 )
f g f x y . Đặt
)
g
...
0 C f 100
(0) x
(100) x
1 C f g 100
' x
(99) x
2 C f g 100
'' x
(98) x
100 f x y 100 ( , x
n
1
g
ln(
x
y 2 )
( 1)
(
n
1)!
f
2;
f
0;
( )
n ( ) x
' x
'' xx
n x
n
1 y 2 )
(
x
99
98
x y C ( , )
(2
x
y 3 )
C
2
0
0 100
1 100
99! 100
98! 99
100 f 100 x
( 1) x (
2 ) y
( 1) x (
2 ) y
Cho f có các đạo hàm riêng cấp 1 liên
C1 và C2 là hai đường cong nên do hai mặt y = b và x =a cắt
n
Điểm P nằm trên cả hai đường này Giả sử T1 và T2 là hai tiếp tuyến với hai đường cong C1 và C2 tại P
( )
Mặt phẳng chứa T1 và T2 gọi mặt phẳng tiếp diện với mặt S tại
Tiếp tuyến với mọi đường cong nằm trong S, qua P đều nằm trong . ) (
Phương trình mặt tiếp diện với S tại (x0, y0, z0) là:
z
f
(
,
)(
x
)
(
,
)(
y
)
f
z 0
' x
x 0
y 0
x 0
x 0
y 0
y 0
' y
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện với paraboloid elliptic
2
2
(1,1,3)
tại điểm .
Giải.
x 4
(1,1) 4.
f
f
' x
' x
f
f
y 2
(1,1) 2.
' y
' y
Phương trình mặt phẳng tiếp diện:
z
f
(
,
)(
x
)
(
,
)(
y
)
f
z 0
' x
x 0
y 0
x 0
x 0
y 0
y 0
' y
z
3 4(
x
1) 2(
y
1)
z
4
x
2
y
3
L x y ( ,
)
z 2 x y
Nếu tại điểm tiếp xúc ta phóng to lên thì mặt paraboloid gần trùng với mặt phẳng tiếp diện
Hàm tuyến tính L(x,y) = 4x +2y – 3 là hàm xấp xỉ tốt cho f = 2x2 + y2 khi mà (x,y) gần với điểm (1,1).
f x y ( ,
) 4
x
2
y
3
f
(1.1,0.95) 4(1.1) 2(0.95) 3 3.3
(1.1,0.95)
2
2
Gần bằng với giá trị thực:
Nếu ta chọn điểm xa điểm (1,1) thì kết quả không còn đúng nữa.
(2,3)
f
(2,3) 4(2) 2(3) 3 11
2
2
Khác xa với giá trị thực: f
(1.1,0.5) 2(1.1) f (0.95) 3.3225
(2,3) 2(2) (3) 17
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa Cho hàm f = f(x,y) và (x0, y0) là điểm trong của miền xác định. Hàm f được gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu số gia toàn phần
(
,
)
y
)
(
,
)
f x y 0 0
f x ( 0
x y , 0
f x y 0 0
có thể biễu diễn được ở dạng
(
,
)
x y
A x B y
f x y 0 0
0,
y
,
0.
khi x
trong đó A, B là các hằng số, ,
Định nghĩa
A x B y
)
,
df x y ( 0 0
Đại lượng gọi là vi phân của hàm f = f(x,y) tại (x0,y0).
z
f
(
)
f
(
y b
)
' x
' y
x a f a b ( , ) Mặt tiếp diện
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý (điều kiện cần khả vi) Nếu hàm f = f(x,y) khả vi tại (x0, y0), thì:
) f liên tục tại (x0, y0),
A f
(
,
(
)
) f có các đạo hàm riêng cấp một tại (x0,y0) và
x y B f ), 0
0
x y , 0 0
' x
' y
Chứng minh.
Định lý (điều kiện đủ)
Nếu hàm f(x,y) xác định trong một lân cận của (x0,y0) và có các đạo hàm riêng f
f
' ,x
' y
liên tục tại (x0,y0), thì hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0).
Chứng minh.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi nhớ
,
)
f
(
)
,
f
(
)
,
Vi phân cấp 1 của f(x,y) tại (x0,y0):
df x y ( 0 0
' x
x y dx 0 0
' y
x y dy 0 0
Tính chất của vi phân
Cho f(x,y) và g(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó
1)
( )
f
df
d
2)
g
)
df
dg
d f (
3)
)
gdf
fdg
d fg (
gdf
fdg
4)
(
)
d
f g
2 g
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng
Cho hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó ta có:
y
)
(
,
)
f
(
)
,
f
(
)
,
x
y
f x ( 0
x y , 0
f x y 0
0
' x
x y dx 0 0
' y
x y dy 0 0
f x y ( ,
)
(
,
)
(
)
,
(
)
,
y x
f
f
f x y 0 0
x y dx 0 0
x y dy 0 0
' x
' y
f x y ( ,
)
(
,
)
(
)
,
(
)
,
f
f
(1)
f x y 0 0
x y dx 0 0
x y dy 0 0
' x
' y
Công thức (1) dùng để tính gần đúng giá trị của f tại (x,y).
f x y ( ,
)
(
,
)
f
(
)
,
f
(
)
,
Công thức (1) có thể viết lại:
f x y 0 0
' x
x y dx 0 0
' y
x y dy 0 0
hay ta có: f
df
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Qui tắc dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng
Để tính gần đúng giá trị của hàm f tại điểm cho trước (x,y). Ta thực hiện
) Chọn một điểm (x0,y0) gần với điểm (x,y) sao cho f(x0,y0) được tính dễ dàng
x
x
,
y
y
,
f
(
),
f
(
).
2) Tính giá trị
x 0
y 0
' x
x y , 0 0
' y
x y , 0 0
) Sử dụng công thức:
f x y ( ,
)
(
,
)
f
(
)
x
f
(
)
y
(1)
f x y 0 0
' x
x y , 0 0
' y
x y , 0 0
Chú ý: Nếu điểm (x0,y0) xa với điểm (x,y) thì giá trị tính được không phù hợp.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ Chứng tỏ f = xexy khả vi tại (1,0). Sử dụng kết quả này để tính gần đúng giá trị
(1.1, 0.1)
f
Giải.
xy
xy
xy
f
x y ( ,
)
e
xye
;
f
x y ( ,
)
2 x e
x
y
Các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên R2, nên liên tục trong lân cận của (1,0). Theo định lý (đk đủ khả vi) f = xexy khả vi tại (1,0).
Chọn
0
x
x
x 0
y 01;
0 1.1 1.0 0.1 x
y
y
0.1 0
0.1
y 0
f
(1.1, 0.1)
f
(1,0)
(1, 0)
x
(1, 0)
y
f
f
1 1(0.1) 1(
.1) 1 0
' x
' y
0.11
So sánh với giá trị thực:
f (1.1, 0.1) ) (1.1 e . 8542 0 9
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
2
Cho
1) Tìm
df x y ( ,
)
2) Khi x thay đổi từ 2 đến 2.05, y thay đổi từ 3 đến 2.96, so sánh df và f
df x y ( ,
)
(2
x
3 )
y dx
(3
x
2 )
y dy
df x y ( ,
)
Giải.
1)
' f dx x
' f dy y
x
0.05,
y
0.04,
x
2.05,
y
2.96
2) Cho x0 = 2, y0 = 3
fd
(2,3)
(2.2 3.3)0.05 (3.2 2.3)
( 0.
04)
0.6
5
f
(2,3)
f
(2.05, 2.96)
f
(2,3)
2
2
2
0.6449
f
(2,3)
2.05)
3 (2.5) (2.96)
(2.96)
2
2 3 2 3 3
Ta thấy hai giá trị gần giống nhau nhưng df tính dễ hơn.
f x y ( , ) x 3 xy y
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa vi phân cấp cao Cho hàm f = f(x,y) khi đó df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y.
Vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1 được gọi là vi phân cấp 2.
2
(
)
(
)
(
)
' d f dx x
' f dy y
' d f dx x
' d f dy y
dxd f (
)
dyd f (
)
dx
(
f
dx
(
f
dy
dy
(
f
dx
(
f
dy
' x
' y
' ' ) x x
' ' ) x y
' ' ) y x
' ' ) y y
'' f dxdx xx
'' f dxdy xy
'' f dxdy yx
'' f dydy yy
2
2
2
d f x y
( ,
)
2
'' f dx xx
'' f dxdy xy
'' f dy yy
Một cách hình thức, có công thức tính vi phân cấp n. Sử dụng nhị thức Newton
n
nd f
d f x y ( , ) d df x y ( , ( ))
dx dy f
x y
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ Công thức vi phân cấp 3 của hàm f = f(x,y)
3
3d f
dx dy f
3
2
y x
3 2
f 3 dx 3 dx dy f dy f
3
3
x x y y y dy f
3
2
3
3 d f
dx
3
2 dx dy
3
dxdy
dy
f 3
f 3
2
x 3
x
f x y
4
4d f
3 f 2 x y y
Công thức vi phân cấp 4:
dx dy f
4
4
4
4
4
4
3
2
3
4
C
dx
C
dx dy C
2 dx dy
C
dxdy
C
dy
0 4
1 4
2 4
3 4
4 4
2
f 4
3
f 4
f 2 x y
x
f 3 x y
f x y
y
y x
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm vi phân cấp hai , biết
2 d f
xy
(1,1)
xy
xy
xy
Giải.
f
ye
2 y e
,
f
e
(1
xy
)
' x
'' f xx
'' xy
xy
xy
f
xe
2 x e
.
' y
'' f yy
Vi phân cấp hai
2
2
2 d f
2
'' f dx xx
'' f dxdy xy
'' f dy yy
2
2
xy
2
d f x y
( ,
)
2 y dx
2 (1
e
2 x dy
2
2
2 d f
(1,1)
4
dxdy dy
e dx
) xy dxdy
f x y ( , ) e
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm vi phân cấp hai , biết
2 d f
f x y ( ,
)
Giải.
f
f
,
f
' x
'' xx
'' xy
y 3
y 2
2 x
1 2 x
f
f
0.
' y
'' yy
x 1 x
Vi phân cấp hai
2
2
2 d f
2
'' f dx xx
'' f dxdy xy
'' f dy yy
4
2
2
2
d f x y
( ,
)
dx
dxdy
0
dy
y 2
y 3
x
x
2
2 d f
(1,1)
dx
4
dxdy
(1,1) y x
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng
2
3
A
(1.03)
(1.98)
2
3
f x y ( ,
)
x
y
Chọn hàm
Giải.
2
Chọn giá trị gần với 1.03, 1.98:
x 0
y 01,
dy
y
y
y
0.02
dx
x
x
0 1.98 2
x 0 1.03 1 0.03
2
x
f
f x y ( ,
)
,
)
df
dx
dy
f x ( 0
y 0
' f dx x
' f dy y
2 2
3
y 3 2
3
x
y
2
x
y
f
(1.03,1.98)
f
(1, 2)
(1, 2).(0.03)
(1, 2)( 0.02)
f
f
' x
' y
2
3
2.98
A
(1.03)
(1.98)
f
(1.03,1.98) 3
(0.03)
( 0.02)
2 3
3.4 2.3
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm một biến
'
'
' f x ( )
f u u x ( )
( )
f u ( ) u x ( )
f u
Hàm hai biến: trường hợp 1
'
'
f u u f
( )
;
f u u ( )
' f x
' x
' y
' y
f u ( ) yx ( , )
f u u
Trường hợp 2.
f u v ( , )
' f x ( )
f
' v x ( )
' ' f u x ( ) u
' v
u x ( ) v x ( )
f u v
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
u
Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợp
f
f u ( )
e
,
u
sin(
xy
)
2 sin (
xy
)
Giải.
f
f x y ( ,
)
e
2
2 sin (
xy
)
'
u
f
f u u ( )
ue 2
y . cos(
xy
)
2sin(
xy e )
y . cos(
xy
)
' x
' x
2
2 sin (
xy
)
'
u
f
f u u ( )
ue 2
x . cos(
xy
)
2sin(
xy e )
x . cos(
xy
)
' y
' y
Ví dụ
2
3 u v
x e v ,
' xf Tìm , biết
x
3
Giải.
2 u v 3
e
u
x sin(2 )
' f x ( )
f
' v x ( )
' ' f u x ( ) u
' v
1 u
1 v
df dx
f f u v ( , ) ln( uv u ), sin x
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trường hợp 3
f u v ( , )
f
f
v
f
f
v
' x ' y
' f u u ' f u u
' x ' y
' v ' v
' x ' y
u x y ) ( , v x y ) ( ,
f u v
' xf
f = f(u,v)
v = v(x,y)
u = u(x,y)
' yf
x
y
y
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
2
uv
Tìm của hàm hợp
f
f
' ,x
' y
2
2
(
x
y
)
xy
Giải.
f
f x y ( ,
)
e
uv
uv
f
f
v
ve
.2
x ue
.
y
' x
' f u u
' x
' v
' x
2
2
2
2
(
x
y
)
xy
2
(
x
y
)
xy
xye
.2
x
(
x
2 y e )
.
y
' xf
uv
uv
f
f
v
ve
.2
y ue
.
x
' y
' f u u
' y
' v
' y
2
2
2
2
(
x
y
)
xy
2
(
x
y
)
xy
xye
.2
y
(
x
2 y e )
.
x
' yf
f f u v ( , ) e u x y , ( , ) x y v x y , ( , ) xy
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trường hợp 4
)
f f x y ( , y y x ( )
f = f(x,y) là một hàm hai biến theo x và y. Khi đó ta có khái niệm đạo hàm riêng theo x:
f
' x
f x
Thay y = y(x) vào ta được hàm một biến theo x:
Trong trường hợp này vừa tồn tại đạo hàm của f theo x như là đạo hàm
df dx
của hàm một biến x, vừa tồn tại đạo hàm riêng của f theo x.
f x
df dx f dx x dx f dy y dx f x f dy y dx
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
xy
2
f
f x y ( ,
)
e
2 x y y ,
y x ( )
ln
x
1
x
Tìm của hàm
f df , x dx
xy
xy
e
2 x y
ye
2
xy
'
x
f x
xy
xy
2
2 x y
'
y
e xe x
f y
2
1
' y x ( )
2
'
ln x 1 x
dy dx 1 x
xy
xy
2
1
2
ye 2 xy ( xe x )
df dx f x f dy y dx 1 x
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đạo hàm cấp hai của hàm hợp
'
'
f
f
v
'' xx
' x
' f u u
' x
' v
' x
' x
' f u u
' x
' v
' x
x
x
f u v ( , )
' uf
là hàm hợp hai biến u,v
u x y ) ( , v x y ) ( ,
f u v
'
'
'
'
'
'
f f f v
' u
' x
' x
' v
' x
' v
' x
' f u u
' x
' v
' x
' f u u
x
x
x
x
x
x
'
'
'
'
f
u
f
v
u
f
u
f
u
f
v
v
f
v
' u
' x
' u
' x
' x
' u
'' xx
' v
' x
' v
' x
' x
' v
'' xx
u
v
u
v
2
2
f
u
f
f
f
v
f
v
'' uu
' x
'' uv
' v u x
' x
' f u u
'' xx
'' vu
' v u x
' x
'' vv
' x
' v
'' xx
f u f v f v f v
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
2
'' xyf
'
2
2
f
f
v
u y 2 .
2.1
f
u y 2 .
2
'' f xy
' x
' f u u
' x
' v
' x
' ' x y
y
2
2
f
u y 2 .
u y 2 .2
'' xy
' u y 2 . y
'
y
Ví dụ
uv
2
f u v ( , ) u 2 , ( , v u x y ) xy v x y , ( , ) x 3 y f Tìm của hàm hợp
Tìm của hàm hợp
'' xyf
uv
uv
uv
uv
f
f
v
ve
.
y ue
.2
ve
.
y ue
.2
' x
' f u u
' x
' v
' x
'' f xy
'
y
'
'
uv
uv
u
v
uv
uv
e
.
y
v
.
y
ve
2(
x
y 2 )
e
u 2
e
e
y
y
'
'
'
uv
uv
uv
uv
uv
f f u v ( , ) e u x y , ( , ) xy y v x y , ( , ) 2 x y
e
e
u .
e
v .
' y
' y
y
u
v
ve .( x y 2 ) ue .1
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đạo hàm cấp hai của hàm hợp
'( ) f u là hàm hợp một biến u
'
f
f u u ( )
' x
' x
f u ( ) f u u x y ( , )
'
'
'
'
' f u (
' f u (
'' xx
' x
' x
' x
x
x
x
'
'
f
u ( )
u u ( )
u
' f u ( )
u
'' f u ( )
u
f u u ( )
' x
' x
'' xx
' x
'' xx
'
' ' x x 2
'
'
'
'
f
f
f u u ( )
' f u (
)
u
' f u (
)
u
'' xy
' x
' x
' x
y
y
y
' ' x y
''
'
'
f u u u
( )
f u u ( )
f
u ( )
u u ( )
u
' f u ( )
u
' x
' y
'' xy
' y
' x
'' xy
'
f f f u u ( ) ) u ) u
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
y
Tìm của hàm hợp
'' xyf
'
'
f
f u u ( )
f f u ( ) ln , ( , u u x y ) xy e
' x
' x
'' f xy
' ' x y
21 y . u
21 y . u
f
y
'
y
2
2
(2
xy
e
).
y
.2
y
'' xy
1 u
f . y .2 y
1 2 u
y
Ví dụ
Tìm của hàm hợp f
1 u 1 u
2( f x
'' xyf
'
2
y
f u u ( )
' f u
( ).2
x
Đặt
e )y
' f x
' x
u x y ( , ) x e
f
'( ).2 f u
x
'' xy
'
y
( ). y '' x f u e 2 .
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp một của hàm hợp
f u v ( , )
u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập.
u x y ( , ) v x y ( , )
f u v
Khi thay u(x,y), v(x,y) vào ta được hàm f theo hai biến x, y độc lập.
df
f
dy
f
f
' y
' x
' v
' f u u
' y
' v
' v dy y
f
' f du u
' f dv v
' f u dx u dy u
' y
' x
' v
' v dx x
' f dx x
' f u u
' v dx x ' v dy y
df
(1)
' f du u
' f dv v
Tùy theo bài toán mà ta dùng công thức (1) hoặc (2). Thường dùng công thức số (1)
df
(2)
' f dx x
' f dy y
Hai công thức giống nhau. Trong (1) là biến hàm, trong (2) là biến độc lập Nên ta nói: vi phân cấp một có tính bất biến.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
uv
2
Tìm của hàm hợp
df
df
f f u v ( , ) e u x y , ( , ) xy v x y ; ( , ) 2 x 3 y
2 y dx
dv
2
dx
dy 3
' f du u
' f dv v
uv
uv
uv
2
uv
du 2 xydy
2( y dx
Ví dụ
f u ( )
u x y , ( ,
)
ln(
x
y 2 )
f Tìm của hàm hợp
df
1 u
df ve 2 xydy ) ue (2 dx dy 3 ) e ( vy u dx 2 ) e (2 vxy u dy 3 )
'( ) f u du
dx
dy
u dx u dy
' x
' y
1 2
y
x
2 2
y
x
1 2 u
1 2 u
df Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều có thể dùng
' f dx x
' f dy y
nhưng việc tính toán phức tạp hơn.
df
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2( f x
Tìm của hàm hợp
df
2
xy
f 2 , y e )xy
2
xy
x 2 ; y v e u Đặt
f u v u x y ( , ); ( , ) x 2 , ( , y v x y ) e f Ta có
xy ye dx
xy xe dy
du
2
xdx
2
dy
df
' f du u
' f dv v
df
(2
xdx
2
dy
)
f
f
xy ye dx
(
xy xe dy
)
' u
' v
Chú ý: Có thể dùng df
' f dx x
' f dy y
dv
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp hai của hàm hợp
2 d f
(
)
' f dv v
f u v ( , ) u x y ( , )
v x y ( ,
)
f u v
)
' d f dv v
' d f du u
Chú ý ở đây u, v là biến hàm nên du, dv không là hằng số
2 d f
du
d du (
)
f
dv
)
' u
' u
' v
' f d dv ( v
d f
d f
f
f
là những hàm hợp hai biến
' ,u
' v
'
'
'
'
' d f du u d df (
' u
' u
' u
' v
' v
' v
d f
d f
u
v
u
v
2
d u d dv ,
2 d v
d du
Vi phân cấp hai không còn tính bất biến.
f du f dv f du f dv
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp hai của hàm hợp
2 d f
' d f u du ( )
'
du
f u d du
( )
f u f ( ) u u x y ( , )
d df ( ( )
''
2
'
2
'
2
' d f u ( ) )
2 d f
' f u ( )
u du du ( )
f u d u ( )
'
Tóm lại:
Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai của hàm hợp ta lấy đạo hàm (vi phân) của đạo hàm (vi phân) cấp một và phải biết phân biệt là hàm hợp mấy biến.
f u du ( ) f u d u ( )
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
2d f
2
2
2 u v u x y
f d
2
(
y
2)
dx
xdy
2
v
2
xdx
2
dy y
' uduf
' f d v v
2 d f
d df (
)
d
y
2)
dx
xdy
xdx
2
ydy
2 (
v 2 2
2 d f
d
y
2)
dx
xdy
d
xdx
2
ydy
2 (
v 2 2
2 d f
2
d
(
y
2)
dx
) 2 (
d xdy
xdx
2
vd 2
2
xdx
2
ydy
2 2
ydy dv
d y ((
2)
dx
)
dxd y (
2)
d xdy (
)
dxdy
dxdy
2
2
d
2
xdx
2
ydy
d
(2
xdx
)
d
(2
ydy
)
f f u v ( , ) 2 ; ( , ) xy 2 ; ( , x v x y ) x y
2 dx 2 dy
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2( f x
Tìm của hàm hợp
2d f
f y 3 )
2 3
Đặt
2
u x y
Ta có
f f u u x y ( ); ( , ) x 3 y
'( ) f u du
'( )(2 f u
2 d f
df xdx dy 3 ) ú
' d f u
'
'
2 d f
d df ( ) ( )(2 ( xdx dy 3 ))
' d f u
(2 xdx dy d f u 3 ) ( ( )) f u d ( ) (2 xdx dy 3 )
''( ) f u du
''( ) (2 f u
2
2dx
d
(2
xdx
dy 3 )
( )) ( xdx dy 3 )
d
(2
xdx
)
d dy (3 )
2 dxdx 0
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
y
y x ( )
Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn
F x y
) 0
( ,
sao cho với mọi x thuộc miền xác định của f.
F x y x
( )) 0
( ,
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp:
0 0
dy dx
F x / F y /
' F x ' F y
F dx x dx F dy y dx F x F dy y dx
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
'( ) y x
Tìm biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình
2
2
xy
Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình, chú ý y là hàm theo x.
xy
'
'
xy
'
xy x y e
' y x ( )
y xy
ye x
2 y
x 2 xe
Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây sử dụng đạo hàm riêng!
2
2
xy
xy
y x y 2 x 2 y y e ( y x y )
' y x ( )
xy
y x
2 2
x y
ye xe
' F x ' F y
xy
y
2
x
x
2
y
xe
' F x
' xy ye F ; y
Chú ý. Cần phân biệt đạo hàm theo x ở hai cách. Cách 1, đạo hàm hai vế coi là hàm theo x. Cách 2, đạo hàm riêng của F theo x, coi y là hằng.
F x y ( , ) xy x y e 0
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
z x y ( ,
z
)
Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn .
F x y z
, ) 0
( ,
sao cho với mọi (x,y) thuộc miền xác định của z.
F x y z x y , ( ,
)) 0
( ,
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp, chú ý x, y là hai biến độc lập, là hàm theo x, y
0
0
F dx x dx
F z x z
F x
F z x z
z x
F x / F z /
z y
F y / F z /
' F x ' F z
' F y ' F z
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
' xz
Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình theo x, chú ý y là hằng, z là hàm theo
z x y
z x y
1
z
e
(
z
1)
1
' x
' x
' z x
z x y
1 1
e e
Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây x là biến, y và z là hằng!
z x y
x y z e z x y
1
' z x
z x y
e 1 1 e
z x y
z x y
' F x ' F z
1
e
;
1
e
' F x
' F z
Tương tự tìm đạo hàm riêng của z theo y.
F x y z ( , , ) y x z e z x y 0
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý (về hàm ẩn) .
Cho hàm thỏa các điều kiện sau:
F x y ( ,
)
M x y (
)
,
r 1) Xác định, liên tục trong hình tròn mở tâm bán kính
B M r , )
(
0
0
0
0
2)
3)
((
,
)) 0
)
F x y 0 0
0
B M r , )
(
0
F x y , ( 0 0 y
y x ( )
y
Khi đó xác định trong lân cận U của một hàm thỏa
F x y
) 0
( ,
0x
)
F x y x
( )) 0
( ,
và trong U. Ngoài ra y = y(x) khả vi, liên tục trong y 0
y x 0(
dy dx
F x / F y /
' F x ' F y
Chứng minh.
F F , 4) Tồn tại trong các đạo hàm riêng liên tục y x
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đạo hàm riêng cấp hai của hàm ẩn: z = z(x,y)
1) Tìm đạo hàm riêng cấp 1 (bằng 1 trong hai cách)
'
'
z
z
2) . Chú ý: x là hằng, y là biến, z là hàm theo y.
'' xy
' x
y
' F x ' F z
y
Vi phân cấp 1 của hàm ẩn: z = z(x,y):
dz
' z dx x
' z dy y
Vi phân cấp 2 của hàm ẩn: z = z(x,y)
2
2
2 d z
2
'' z dx xx
'' z dxdy xy
'' z dy yy
Chú ý. Vì z = z(x,y) là hàm hai biến độc lập x và y. Nên vi phân cấp một, cấp hai hoặc cấp cao của hàm ẩn cũng giống như vi phân cấp 1 và cấp hai của hàm f = f(x,y) trong phần I.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
(1,1)
dz
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
3
3
3
3
3
3
F x y z , ) ( ,
x
2
y
z
3
xyz
2
y
3 0
'
'
'
26 y
3
xz
2
23 x
3
yz
23 z
3
xy
yF
xF
zF
2
2
'
z
x 2 y z 3 xyz 2 y 3 0, (1,1) 2. z
' x
2
xz
3 3
x z
3 3
yz xy
yz 2 z
x xy
(1,1) 1
' F x ' F z
2
6
2
'
(1,1)
z
yz
' y
14 9
y 3
2 z
3
xz 3
xy
' F y ' F z
dz
dx
dy
Vi phân cấp 1:
' z dx x
' z dy y
14 9
1.( 2) 1.1 4 1
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
'' xyz
2
2
2
2
2
2
x y z
F x y z , ) ( ,
x
y
z
e
0
'
x y z
2
2
2
'
x y z
2
2
2
2
x
e
2
x
x
y
z
2
z
e
2
z
x
y
z
xF
zF
2
2
2
z
' x
x 2
2
Đạo hàm theo y, coi x là hằng, y là biến, z là hàm theo y!
2 x
x y
y 2 z
z 2
z
' F x ' F z
'
2
2
2
z
'' xy
x 2
2
2 x
x y
y 2 z
z 2
z
y
( 2
y
2
z z
(2
y
z z
2
z
)
maãu töû
' y
' y
' y
2 2
2
2
2
x
y
z
2
z
)
x y z e x y z
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
2z x y
2
2
2
2
F x y z , ) ( ,
xyz
x
y
2
z
3 0
'
'
'
xz
2
y
yz
2
x
xy
2
yF
xF
zF
z
' x
2 yz x xy 2
yz 2
2 x xy
' F x ' F z
Coi x là hằng, y là biến, z là hàm theo y
'
'
z
'' xy
yz 2
x 2 xy
' F x ' F z
y
y
(
z
yz
xy
x 2 ) (
x
)
) 2
' y
yz 2
xy
2
(
xyz x y 2 z 3
![Bài giảng Hình học họa hình: Bài mở đầu - Giới thiệu [Chuẩn SEO]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250823/kimphuong1001/135x160/99131755935505.jpg)
