Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc và quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm biến ngẫu nhiên, bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 3 - ĐH Kinh tế Quốc dân
- BÀI 3 – BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ
QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA
BIẾN NGẪU NHIÊN
▪ 3.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên
▪ 3.2. Bảng phân phối xác suất
▪ 3.3. Hàm phân phối xác suất
▪ 3.4. Các tham số đặc trưng
▪ 3.5. Phân phối Không-Một
▪ 3.6. Phân phối Nhị thức
▪ 3.7. Phân phối Poisson
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 67
- 3.1. KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN
▪ Ví dụ: Tung 1 con xúc xắc. Gọi 𝑋 là số chấm xuất hiện
𝑋 có thể nhận 1, 2, 3, 4, 5, 6
▪ Ví dụ: Gọi 𝑌 là điểm kiểm tra môn xác suất
𝑌 nhận các giá trị 0, 1, 2, …,10
▪ Ví dụ: Gọi 𝑍 là năng suất lúa
𝑍 nhận các giá trị trong khoảng (0; 10)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 68
- Khái niệm biến ngẫu nhiên
▪ Một biến số là biến ngẫu nhiên nếu trong kết quả của
phép thử nó chỉ nhận 1 và chỉ 1 trong các giá trị có thể
có của nó .
▪ Kí hiệu biến ngẫu nhiên: 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝑋1, 𝑋2, …
▪ Giá trị có thể có của 𝑋: 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )
• (𝑋 = 𝑥𝑖 ) là các biến cố 𝑋 nhận giá trị 𝑥𝑖
• 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) là xác suất 𝑋 nhận giá trị 𝑥𝑖
▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc: Nếu các giá trị có thể có của
nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được.
▪ Biến ngẫu nhiên liên tục: Nếu các giá trị có thể có của
nó lấp đầy một khoảng trên trục số.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 69
- 3.2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có và
các xác suất tương ứng.
Các phương pháp mô tả quy luật phân phối
xác suất: Bảng phân phối xác suất, hàm phân phối
xác suất và hàm mật độ xác suất
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 70
- Bảng phân phối xác suất
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 nhận các giá trị
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 với xác suất tương ứng 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛
𝑋 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑘 … 𝑥𝑛
𝑃 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 … 𝑝𝑛
n
0 pi 1, p
i =1
i =1
Bảng trên gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 71
- Bảng phân phối xác suất
Ví dụ 3.1. Hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Lấy
đồng thời 2 sản phẩm. Gọi 𝑋 số sản phẩm tốt lấy được.
Lập bảng phân phối xác suất của 𝑋
▪ Gọi 𝑋 là số chính phẩm lấy được; 𝑋 = 0, 1, 2
𝑋 0 1 2
𝑃 ? ? ?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 72
- 3.3. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên, kí hiệu
𝐹(𝑥), là xác suất để biến ngẫu nhiên 𝑋 nhận giá trị nhỏ
hơn 𝑥, với 𝑥 là số thực bất kì
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥)
▪ Ý nghĩa: Hàm phân bố xác suất 𝐹(𝑥) phản ánh mức
độ tập trung xác suất ở bên trái điểm x.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 73
- Tính chất hàm phân phối xác suất
▪ Tính chất 1: 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1
▪ Tính chất 2: 𝐹(𝑥) là hàm không giảm
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) – 𝐹(𝑎)
▪ Tính chất 3: 𝐹 𝑥 = 0 𝑛ế𝑢 𝑥 < 𝑥𝑚𝑖𝑛
𝐹(𝑥) = 1 𝑛ế𝑢 𝑥 > 𝑥𝑚𝑎𝑥
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 74
- 3.4. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
▪ KÌ VỌNG (EXPECTED VALUE)
▪ Kì vọng của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝐸(𝑋)
▪ 𝑬 𝑿 = ∑𝒊 𝒙𝒊 𝒑𝒊
▪ Ví dụ: Tính kì vọng của biến ngẫu nhiên có bảng phân
phối xác suất sau
𝑋 1 2 3 4 5
𝑃 0,1 0,4 0,25 0,2 0,05
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 75
- Kì vọng
▪ Kì vọng phản ánh giá trị trung bình của biến ngẫu
nhiên.
▪ 𝐸(𝑋) đơn vị trùng với đơn vị của 𝑋
▪ Tính chất:
𝐸 𝐶 =0, 𝐶: hằng số
𝐸 𝐶 + 𝑋 = 𝐶 + 𝐸(𝑋)
𝐸 𝐶. 𝑋 = 𝐶. 𝐸(𝑋)
𝐸 𝑋 ± 𝑌 = 𝐸(𝑋) ± 𝐸(𝑌)
𝐸 𝑋. 𝑌 = 𝐸 𝑋 . 𝐸 𝑌
nếu 𝑋, 𝑌 độc lập
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 76
- Phương sai
▪ Ví dụ:
Điểm lớp A 6 7 8
Số SV 40 20 40
Xác suất 0,4 0,2 0,4
Điểm lớp B 5 7 9
Số SV 40 20 40
Xác suất 0,4 0,2 0,4
▪ So sánh điểm số giữa 2 lớp
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 77
- Phương sai
𝑉(𝑋) = 𝐸 𝑋 – 𝐸 𝑋 2
2
Biến đổi ta có: 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) – 𝐸 𝑋
Trong đó: 𝐸 𝑋 2 = ∑𝑥𝑖2 𝑝𝑖
▪ Chú ý: 𝑉(𝑋) ≥ 0
▪ Tính chất
𝑉 𝐶 =0, 𝐶: hằng số
𝑉 𝑋+𝐶 =𝑉 𝑋
𝑉 𝐶 × 𝑋 = 𝐶2 × 𝑉 𝑋
𝑉 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 𝑉 𝑌 với 𝑋 và 𝑌 độc lập
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 78
- Phương sai
▪ Ý nghĩa: Phương sai phản ánh độ phân tán của
biếngẫu nhiên. Phương sai lớn thì độ phân tán lớn.
Phương sai phản ánh độ rủi ro, độ ổn định, độ đồng
đều
▪ Đơn vị của phương sai?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 79
- Độ lệch chuẩn
▪ Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝜎(𝑋), là
căn bậc hai của phương sai:
𝜎𝑋 = 𝑉 𝑋
▪ Ý nghĩa: Phương sai và độ lệch chuẩn phản ánh độ
phân tán của biến ngẫu nhiên.
▪ Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị của 𝑋
▪ Đơn vị của độ lệch chuẩn là đơn vị của 𝑋
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 80
- 3.5. PHÂN PHỐI KHÔNG – MỘT
▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1 với
xác suất được tính bằng công thức
P( X = x) = p x (1 − p)1− x ; x = 0,1
▪ Bảng phân phối xác suất
𝑋 0 1
𝑃 1−𝑝 𝑝
▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝐴(𝑝)
▪ Tham số đặc trưng: 𝐸(𝑋) = 𝑝; 𝑉(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 81
- 3.6. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
▪ Xét n phép thử độc lập
▪ Xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử là p
▪ 𝑋 là số lần A xảy ra trong 𝑛 lần thử
▪ 𝑋 có thể nhận các giá trị 0, 1, 2,…, n với các xác suất
tương ứng được tính theo công thức:
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝐶𝑛𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 ; 𝑥 = 0,1, … , 𝑛
▪ 𝑋 gọi là phân phối Nhị thức với tham số 𝑛 và 𝑝.
▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝐵(𝑛; 𝑝)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 82
- Phân phối Nhị thức
Các tham số đặc trưng:
▪ Kì vọng 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝;
▪ Phương sai 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝).
▪ Mốt 𝑚0 (giá trị có xác suất lớn nhất) thỏa mãn
𝑛𝑝 + 𝑝 – 1 ≤ 𝑚0 ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝
Ví dụ: Một người đi chào hàng ở 10 địa điểm độc lập nhau.
Xác suất bán được hàng ở mỗi đại điểm đều bằng 0,2.
a) Tính xác suất bán được hàng ở đúng 3 địa điểm.
b) Tính xác suất bán được hàng ở ít nhất 2 địa điểm.
c) Tính kì vọng, phương sai, mốt của số địa điểm bán được
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 83
- 3.7. PHÂN PHỐI POISSON
▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 nhận một trong các giá trị có
thể có là 0, 1,2,… với các xác suất tương ứng được
tính theo công thức
x
Px = P( X = x) = e− ; x = 0,1, 2,...
x!
gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số 𝜆.
▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝑃(𝜆)
▪ Nếu 𝑋 ~ 𝐵(𝑛; 𝑝) với 𝑛 khá lớn, 𝑝 khá nhỏ và
𝑛𝑝 ≈ 𝑛𝑝𝑞 thì coi như 𝑋 ~ 𝑃(𝜆)
• Các tham số đặc trưng
𝐸(𝑋) = 𝜆; 𝑉(𝑋) = 𝜆; 𝜆 − 1 ≤ 𝑚0 ≤ 𝜆
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 84
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
