Bài giảng môn toán 5: Xác xuất thống kê - Ts. Nguyễn Hữu Thọ

Chia sẻ: Bui Ngoc Ngu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

205
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo Bài giảng môn toán 5: Xác xuất thống kê để nắm bắt nội dung tài liệu một cách nhanh chóng và dễ dàng. Bài giảng giúp người học nắm được các nội dung cơ bản về: xác suất cổ điển, biến ngẫu nhiên một chiều với những ví dụ, bài tập cơ bản.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn toán 5: Xác xuất thống kê - Ts. Nguyễn Hữu Thọ

Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 Bài s 15 T NG K T MÔN TOÁN 5 I. XÁC SU T C I N. BI N NG U NHIÊN M T CHI U 1 Nh c l i và b xung ki n th c v gi i tích t h p a.Quy t c c ng. Gi i s m t công vi c nào có k trư ng h p th c hi n: Trư ng h p 1 có n1 cách th c hi n Trư ng h p 2 có n2 cách th c hi n ….. Trư ng h p k có nk cách th c hi n Khi ó ta có: n = n1 + n2 + ... + nk cách th c hi n công vi c ã cho. b.Quy t c nhân.Gi i s m t công vi c nào ó ư c chia thành k giai o n: Có n1 cách th c hi n giai o n th nh t Có n2 cách th c hi n giai o n th hai….. Có nk cách th c hi n giai o n th k Khi ó ta có: n = n1.n2 ...nk cách th c hi n công vi c ã cho. c. Hoán v nh nghĩa: Hoán v c a n ph n t là m t b có th t g m k ph n t khác nhau ch n t n ph n t ã cho ho c g m úng n ph n t ã cho. Công th c 1: S các hoán v c a n ph n t phân bi t là Pn = n ! . Công th c 2: S nh ng hoán v c a n ph n t phân bi t ư c l y k l n liên ti p là n! P = An = k (còn g i là ch nh h p ch p k c a n ph n t ) k r (n − k )! Công th c 3: S nh ng hoán v c a n ph n t phân bi t ư c s p x p theo m t vòng tròn là : (n − 1)! . 1
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 Công th c 4: S nh ng hoán v phân bi t c a n ph n t mà trong ó n1 ph n t thu c ki u th nh t, n2 ph n t thu c ki u th hai, ... , nk ph n t thu c ki u th k k là: n! . n1 ! n 2 ! n k ! d.Phân ho ch. T h p. Công th c 1: Ta phân ho ch m t t p g m n ph n t thành k ngăn sao cho: có n1 ph n t trong ngăn th nh t, có n2 ph n t trong ngăn th hai,... có nk phân t trong ngăn th k Khi ó s cách phân ho ch là:  n      n! n , n ,..., n  = n ! n ! n !     1 2 r 1 2 k trong ó n1 + n2 + ... + nk = n . Công th c 2: S các t h p c a n ph n t phân bi t ư c t o ra khi l y r ph n t cùng m t lúc là n       = Cn = k n! r    r !(n − r )!   2. Bi n c a. nh nghĩa. Các k t qu có th x y ra c a phép th ư c g i là bi n c . Như v y bi n c c a m t phép th chính là m i t p con c a không gian m u. Ký hi u bi n c : Dùng các ch in hoa như A, B, C… Chú ý • M i i m m u là m t bi n c và ư c g là bi n c sơ c p. • Bi n c không th là bi n c không bao gi x y ra khi th c hi n phép th , ký hi u là ∅. • Bi n c ch c ch n là bi n c luôn luôn x y ra khi th c hi n phép th , nó tương ng v i chính không gian m u S (hay ) nên ký hi u là S (hay ). 2
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 b. Quan h gi a các bi n c . Cho A và B là hai bi n c c a m t phép th v i không gian m u S . Khi ó: • Bi n c A ư c g i là kéo theo bi n c B, ký hi u A ⊂ B, n u A x y ra thì B cũng x y ra. • Bi n c A ư c g i là tương ương v i bi n c B, ký hi u A = B, n u A x y ra thì B x y ra và ngư c l i. • Bi n c i c a bi n c A, ký hi u A , là bi n c x y ra khi và ch khi A không x y ra. • H p (t ng) c a hai bi n c A và B , ký hi u là A ∪ B (ho c A + B ) là bi n c x y ra n u có ít nh t m t bi n c nào ó trong các bi n c A ho c B x y ra. Nói cách khác : A ∪ B là bi n c g m các i m m u ho c thu c A ho c thu c B . nh nghĩa h p c a n bi n c cũng ư c nh nghĩa tương t : A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An • Giao (tích) c a hai bi n c A và B , kí hi u A ∩ B (ho c AB ) là bi n c x y ra n u c A và B cùng x y ra. Nói cách khác A ∩ B là bi n c g m các i m m u thu c c A và B . N u A1, A2, …, An là các bi n c liên quan n cùng m t phép th , thì giao (hay tích) c a chúng, ký hi u là A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An . • Hai bi n c A và B ư c g i là xung kh c n u A ∩ B = ∅ . 3. Xác xu t c a c a m t bi n c Xét phép th v i không gian m u S= = {s1, s2 ,...sk } . Khi ó, v i m i i m m u (bi n c sơ c p) si ư c gán tương ng v i m t s th c pi th a mãn     pi ∈ 0;1  k   , s th c pi ư c g i là xác su t c a i m m u (bi n c sơ c p) si . ∑ p = 1   i =1   i nh nghĩa. Xét phép th v i không gian m u S và A bi n c trong phép th ó. Khi ó xác su t c a bi n c A là t ng xác xu t c a t t c các di m m u trong A , ký hi u là P (A) . Các bư c tìm xác su t(theo l i c i n) c a m t bi n c A : 1. m s bi n s sơ c p ng kh năng trong không gian m u: N 2. m s bi n s sơ c p ng kh năng trong bi n c A : n n 3. T ó P (A) = . N a.Công th c c ng. Trư ng h p các bi n c xung kh c. 3
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 N u A và B là 2 bi n c xung kh c (t c là A ∩ B = AB = ∅ ) trong m t phép th thì ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Trư ng h p t ng quát. N u A và B là hai bi n c tùy ý trong m t phép th thì ta có P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) b.Xác su t có i u ki n. Công th c nhân Xác su t có i u ki n. nh nghĩa: Xác su t c a bi n c B ư c tính khi bi t bi n c A nào ó ã x y ra ư c g i là xác su t có i u ki n và ư c ký hi u là P(B|A). Ký hi u P(B|A) thư ng ư c c là “ xác su t B x y ra v i i u ki n A ã x y ra” ho c ơn gi n là “xác su t c a B v i i u ki n A”. Công th c: Xác su t có i u ki n c a B v i i u ki n A, ký hi u P(B|A), ư c xác nh như sau: P (A ∩ B ) P (B | A) = n u P(A) > 0. P (A) Công th c nhân xác su t. N u trong m t phép th , các bi n c A và B có th cùng x y ra thì P (A ∩ B ) = P (A)P (B A) = P (B )P (A B ) Hai bi n c A và B là c l p v i nhau khi và ch khi P(A ∩ B) = P(A).P(B). c.Công th c xác su t ây . Công th c Bayes Công th c xác su t y . N u các bi n c B 1 ,B 2 , …, B k là m t phân ho ch c a không gian m u S (t c là B1, B2,..., Bk là nhóm các bi n c y ôi m t xung kh c), trong ó P(B i ) ≠ 0 v i m i i = 1, 2, …, k thì v i bi n c A b t kì c a S ta có: k k P(A) = ∑ P(Bi ∩ A) = i =1 ∑ P(B )P(A | B ). i =1 i i Công th c Bayes. Cho phép tính xác su t có i u ki n P (B | A) khi bi t xác su t có i u ki n P (A | B ) và m t s thông tin khác. 4
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 a) D ng ơn gi n nh t c a công th c này là: V i A và B là hai bi n c b t kỳ v i xác su t khác không, khi ó ta luôn có: P (A | B )P (B ) P (B | A) = . P (A) nh lý (Công th c Bayes t ng quát). N u các bi n c B 1 ,B 2 , …, B k là m t phân ho ch c a không gian m u S (t c là B1, B2,..., Bk là nhóm các bi n c y ôi m t xung kh c), trong ó P(B i ) ≠ 0 v i m i i = 1, 2, …, k, thì v i bi n c A b t kì c a S mà P(A) ≠ 0 ta có: P (Br ∩ A) P (Br )P (A | Br ) P(B r |A) = k = k ∑ P(Bi ∩ A) ∑ P(Bi )P(A | Bi ) i =1 i =1 4. Bi n ng u nhiên m t chi u a. nh nghĩa: Bi n ng u nhiên là m t quy t c cho tương ng m i ph n t trong không gian m u v i duy nh t m t s th c. b. Phân lo i bi n ng u nhiên T tính ch t c a t p giá tr c a bi n ng u ng u nhiên, ngư i ta chia các bi n ng u nhiên thành hai lo i: Bi n ng u nhiên X ư c g i là bi n ng u nhiên r i r c n u t p giá tr c a nó là t p m ư c. Bi n ng u nhiên X ư c g i là bi n ng u nhiên liên t c n u các giá tr c a nó có th l p y m t hay m t s kho ng h u h n ho c vô h n trên tr c s . c. Phân ph i xác su t Ta ký hi u bi n ng u nhiên X nh n giá x là X = x và xác su t X nh n giá tr x là P (X = x ) . i. i v i bi n ng u nhiên r i r c. t: f (x ) = P (X = x ) , khi ó f (x ) chính là hàm c a các giá tr c a X Hàm xác su t c a bi n ng u nhiên r i r c. Cho X là bi n ng u nhiên r i r c có t p giá tr {x , x , x ,...} 1 2 3 Hàm s th c f (x ) xác nh trên » ư c g i là hàm xác su t (ho c phân ph i xác su t) c a X n u tho mãn các i u ki n sau: 1. f (x ) ≥ 0 v i m i x trong t p giá tr c a X 2. ∑ f (x ) = 1 i xi 3. f (x i ) = P (X = x i ) . Hàm phân ph i tích lũy. 5
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 Hàm phân ph i tích lũy F (x ) c a bi n ng u nhiên r i r c X v i phân ph i xác su t f (x ) là hàm s ư c xác nh b i: F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑ f (t ) v i −∞ < x < +∞ . t ≤x ii. i v i bi n ng u nhiên liên t c. Hàm m t xác su t. Hàm m t xác su t f (x ) c a bi n ng u nhiên liên t c X là hàm s th c xác nh trên t p s th c » và th a mãn xác i u ki n sau: 1. f (x ) ≥ 0 , v i ∀x ∈ » +∞ 2. ∫ f (x )dx = 1 −∞ b 3. P(a < X < b) = ∫ f (x )dx . a Hàm phân ph i tích lũy. Hàm phân ph i tích lũy F (x ) c a bi n ng u nhiên liên t c X v i hàm m t f (x ) là hàm th c ư c xác nh b i: x F (x ) = P (X ≤ x ) = ∫ f (t )dt , v i −∞ < x < +∞ . −∞ 5.M t s hân ph i xác su t thư ng g p. a. i v i bi n ng u nhiên r i r c i. Phân ph i ur ir c nh nghĩa. Gi s bi n ng u nhiên r i r c X v i mi n giá tr là {x 1, x 2 ,..., x k } và xác su t X nh n m i giá tr có th c a nó là b ng nhau: P (X = x i ) = P (X = x j ), ∀i ≠ j . Khi ó ta nói r ng bi n ng u nhiên X có phân ph i u r i r c, và ta có: 1 f (x ; k ) = , x ∈ {x 1, x 2 ,..., x k } . k 6
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 Tham s c trưng:Cho BNN r i r c X v i mi n giá tr là {x 1, x 2,..., x k } . Giá tr trung bình (kỳ v ng) và phương sai c a phân ph i u r i r c f (x ; k ) là k k ∑x i ∑ (x i − µ)2 E (X ) = µ = i =1 và σ 2 = i =1 . k k ii. Phân ph i nh th c. nh nghĩa. Phép th Bernoulli là m t quá trình th a mãn ng th i các tính ch t sau: 1. M t thí nghi m g m n phép th cùng lo i ư c l p i l p l i. 2. M i bi n c c a m t phép th ư c phân lo i theo bi n c thành công ho c bi n c th t b i. 3. Xác su t thành công trong m i phép th u b ng nhau và ư c kí hi u là p . 4. Các phép th là c l p. nh nghĩa. S l n thành công X trong n phép th Bernoulli ư c g i là bi n ng u nhiên nh th c. Phân ph i xác su t c a BNN r i r c này ư c g i là phân ph i nh th c. Xác su t ư c kí hi u là b(x; n; p) - b i vì nó ph thu c vào s phép th và xác su t thành công trong m i phép th Công th c tính: Cho phép th Bernoulli v i xác su t thành công là p và th t b i là q = 1 − p . Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên nh th c X (s l n thành công trong n phép th c l p), là x x n −x b(x ; n, p) = P (X = x ) = C n p q , x = 0,1,2,..., n. Chú ý: n 1. Do p + q = 1 nên ta ư c: ∑ b(x ; n, p) = 1 x =0 2. Nhi u khi ta c n tính P(X < r) và P(a ≤ X ≤ b). Khi ó ta c n các k t qu ã ư c tính s n, các t ng r nh th c: B(r ; n, p) = ∑ b(x ; n, p) ã ư c tính s n và ghi trong B ng A.1 trong ph n ph l c, v i x =0 n = 1, 2,...,20 và các giá tr xác su t p t 0,1 n 0,9. Tham s c trưng: Giá tr trung bình (kỳ v ng) và phương sai c a phân ph i nh th c b(x; n, p) ư c xác nh b i: µ = np và σ 2 = npq iii. Phân ph i a th c. nh nghĩa. Phép th nh th c tr thành phép th a th c n u m i phép th có nhi u hơn hai k t qu . Khi ó phân ph i xác su t c a phép th a th c ư c g i là phân ph i a th c. 7
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 Công th c tính: N u m t phép th có k k t c c E1, E2, …,Ek v i xác su t tương ng là p1, p2,…, pk, thì phân ph i xác su t c a các bi n ng u nhiên X1, X 2,..., Xk bi u th s l n xu t hi n c a E1, E2, …,Ek tương ng, trong dãy n phép th c l p là x ,x 2 ,...,x k f (x 1, x 2,.., x k ; p1, p2 ,..., pk , n ) = C n 1 x x x p1 1 .p2 2 ...pk k k k trong ó ∑x i =1 i = n, ∑p i =1 i = 1. iv. Phân ph i siêu b i. nh nghĩa. Khi ch n ng u nhiên m t m u c n t N ph n t , ta quan tâm n xác su t ch n ư c x ph n t thành công. Phép th ki u này ư c g i là phép th siêu b i, n u nó th a mãn hai tính ch t sau: 1. M t m u c n ư c ch n ng u nhiên theo phương th c không hoàn l i t N ph n t . 2. Trong N ph n t ã nh rõ k ph n t là thành công và N – k ph n t còn l i là th t b i. S ph n t thành công X trong phép th siêu b i ư c g i là bi n ng u nhiên siêu b i. Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên siêu b i ư c g i là phân ph i siêu b i và các giá tr c a nó ư c kí hi u là P (X = x ) = h(x ; N , n, k ) . Công th c tính: Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên siêu b i X (bi u th s thành công trong m u c n ư c ch n ng u nhiên t N ph n t ) trong ó có k ph n t là thành công và N – k ph n t ư c t th t b i, ư c xác nh b i công th c: C kxC N−xk n h(x ; N , n, k ) = n − , x = 0,1, 2,..., n . CN Tham s ăc trưng: Trung bình (kỳ v ng) và phương sai c a phân ph i siêu b i h(x; N, n, k) ư c xác nh b i: N −n k  k n 1 −  . nk  µ= và σ 2 =  N N −1 N   N  v. Phân ph i nh th c âm. Xét m t phép th có các tính ch t tương t như các tính ch t c a phép th nh th c, nhưng s phép th ư c l p l i ( c l p) cho n khi s lư ng bi n c thành công xu t hi n là m t con s ư c n nh trư c. Khi ó, ta quan tâm n xác su t có ư c k l n thành công và d ng l i l n th c hi n phép th th x . Dãy phép th ki u này ư c g i là dãy phép th nh th c âm. a. nh nghĩa. S phép th X có ư c k bi n c thành công trong phép th nh th c âm ư c g i là bi n ng u nhiên nh th c âm, và phân ph i xác su t c a nó ư c g i là phân ph i nh th c âm, kí hi u các xác su t là b * (x ; k, p) . 8
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 b. Công th c. N u m t phép th ư c l p i l p l i m t cách c l p v i bi n c thành công xu t hi n trong m t l n th c hi n có xác su t là p và bi n c th t b i xu t hi n v i xác su t là q = 1 − p , thì phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X (bi u th s phép th c n ph i th c hi n có ư c l n th k bi n c thành công xu t hi n) là b * (x ; k, p) = C xk−1 p kq x −k , x = k, k + 1, k + 2,... −1 vi. Phân ph i hình h c. Trư ng h p c bi t c a phân ph i nh th c âm là phân ph i hình h c và kí hi u các giá tr c a nó là g(x ; p) . nh nghĩa. N u m t phép th ư c l p i l p l i m t cách c l p và xác su t xu t hi n bi n c thành công trong m i phép th là p và bi n c th t b i là q = 1 – p, thì phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X (bi u th s phép th ph i th c hi n n khi m t bi n c thành công xu t hi n) là g(x ; p) = pq x −1, x = 1, 2, 3,... Tham s c trưng. Giá tr trung bình (kỳ v ng) và phương sai c a bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân 1 1− p ph i hình h c, là: µ = , σ 2 = p p2 vii. Phân ph i Poisson và quá trình Poisson. nh nghĩa 1. Các phép th cho k t qu là các giá tr b ng s c a bi n ng u nhiên X , bi u th s bi n c sơ c p xu t hi n trong su t m t kho ng th i gian cho trư c (th có dài b t kỳ) ho c m t mi n xác nh, ư c g i là phép th Poisson. nh nghĩa 2. S bi n c sơ c p X xu t hi n trong phép th Poisson ư c g i là bi n ng u nhiên Poisson và phân ph i xác su t c a nó ư c g i là phân ph i Poisson. Công th c. Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên Poisson X, bi u th s bi n c sơ c p xu t hi n trong m t kho ng th i gian cho trư c ho c m t vùng nh trư c ư c ký hi u b i t, là e −λt (λt )x p(x ; λt ) = , x = 0,1,2,... x! trong ó λ là s bi n c xu t hi n trung bình trong m t ơn v th i gian ho c vùng, và e ≈ 2.71828... r Chú ý. B ng A.2 ch a các t ng xác su t Poisson : P (r ; λt ) = ∑ p(x ; λt ) x =0 v i m t s giá tr c a λt thay i t 0,1 n 18. Tham s c trưng. Giá tr trung bình(Kỳ v ng) và phương sai c a phân ph i Poisson p(x ; λt ) u b ng λt . 9
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 b. i v i bi n ng u nhiên liên t c i. Phân ph i liên t c u. nh nghĩa. Bi n ng u nhiên liên t c X ư c g i là có phân ph i liên t c u trên kho ng a;b  n u hàm m t c a nó trên kho ng ó ư c xác nh b i:   1   khi a ≤ x ≤ b f (x ; a, b) =  b −a    0 khi x ∉ a;b      Nh n xét: N u BNN liên t c X có phân ph i u trên [a;b ] , thì hàm phân ph i c a X ư c xác nh b i: 0 , x < a   x   x −a F (x ) =  ∫ f (x )dx =  , a ≤ x ≤b  −∞ b −a  1 , x > b    Tham s c trưng: Kỳ v ng và phương sai c a phân ph i u ư c xác nh b i: a +b (b − a )2 µ= và σ 2 = . 2 12 ii. Phân ph i chu n. nh nghĩa. M t bi n ng u nhiên liên t c X có phân ph i hình qu chuông ư c g i là m t bi n ng u nhiên chu n. M t c a X ư c ký hi u b i n(x ; µ, σ). Phân ph i chu n: Cho bi n ng u nhiên chuNn X , v i kỳ v ng µ và phương sai σ 2 . Khi ó hàm m t c a bi n ng u nhiên X ư c xác nh b i: (x −µ )2 1 − n(x ; µ, σ) = e 2 σ2 , − ∞ < x < +∞, π = 3.14159... và e = 2.71828.... σ 2π Tham s c trưng. N u X là BNN chuNn có hàm m t n(x ; µ, σ) thì E (X ) = µ, σX = σ . 2 10
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 a.Công th c xác su t c a BNN chu n. Cho X là BNN chuNn có hàm m t n(x ; µ, σ) khi ó: x2 1 x2 P (x 1 < X < x 2 ) = ∫ x1 n(x ; µ, σ) = dx σ 2π ∫ x1 e −(1/2)[(x −µ)/σ ]2dx X −µ Nh n xét: Bây gi ta th c hi n b i phép chuy n: Z = . Khi ó X n u nh n các giá tr trong σ kho ng (x 1, x 2 ) thì bi n ng u nhiên Z s nh n các giá tr trong kho ng x1 − µ x2 − µ (z1, z 2 ) : z 1 = , z2 = . σ σ T ó, chúng ta có th vi t 1 x2 P (x 1 < X < x 2 ) = σ 2π ∫ x1 e −(1/2)[(x −µ)/σ ]2dx 1 z2 z2 ∫ ∫z1 n(z; 0,1)dz = P(z1 < Z < z2 ), 2 = e −z /2dz = 2π z1 ó chúng ta th y Z là m t phân ph i chuNn có trung bình b ng 0 và phương sai b ng 1. nh nghĩa phân ph i chu n t c. Phân ph i c a bi n ng u nhiên chuNn có kỳ v ng b ng 0 và phương x2 1 − sai b ng 1 ư c g i là phân ph i chu n t c: n(x ; 0,1) = e 2 , − ∞ < x < +∞ 2π iii. Phân ph i mũ và phân ph i gamma Hàm gamma là hàm thu c l p các hàm c bi t và ư c ư c nh nghĩa b i: ∞ ∫x α−1 −x Γ(α) = e dx trong ó α > 0. 0 Tính ch t c a hàm Gamma. i. B ng cách tích phân t ng ph n t: u = x α−1 và dv = e −xdx , chúng ta nh n ư c công th c truy h i sau: Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1). ii. L p l i công th c truy h i chúng ta có: Γ(α) = (α − 1)(α − 2)Γ(α − 2) = (α − 1)(α − 2)(α − 3)Γ(α − 3), c bi t: khi α = n, v i n là s nguyên dương thì: Γ(n ) = (n − 1)(n − 2)....Γ(1). 11
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 ∞ ∫e −x iii. Ta có : Γ(1) = dx = 1 . 0 Do ó: Γ(n ) = (n − 1)! . iv. M t tính ch t quan tr ng c a phân ph i gamma ó là: Γ(1 / 2) = π . nh nghĩa. Bi n ng u nhiên liên t c X có phân ph i gamma, v i các tham s α và β , n u hàm m t c a nó ư c cho b i  1    α α−1 −x / β , khi x > 0  β Γ(α) x e f (x ) =    0    trong ó α,β > 0. Tham s c trưng. Kỳ v ng và phương sai c a phân ph i gamma là µ = αβ và σ 2 = αβ 2 . iv. Phân ph i mũ M t phân ph i v i α = 1 ư c g i là phân ph i mũ nh nghĩa. Bi n ng u nhiên liên t c X có phân ph i mũ, v i tham s β , n u hàm m t c a nó ư c cho b i  1 −x /β    e , khi x > 0 f (x ) =  β  0 , khi x ≤ 0    trong ó β > 0. Tham s c trưng. Kỳ v ng và phương sai c a phân ph i mũ là µ = β và σ 2 = β 2 . v. Phân ph i χ2 nh nghĩa. Bi n ng u nhiên X có phân ph i χ2 (Khi bình phương) v i ν b c t do n u hàm m t c a nó ư c cho b i   1   v /2 v /2−1 −x /2 e dx , x>0  2 Γ(v / 2) x f (x ) =    0  x ≤0   ó v là m t s nguyên dương. 12
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 Tham s c trưng. Kỳ v ng và phương sai c a phân ph i χ2 là µ = v và σ 2 = 2v. II. BI N NG U NHIÊN HAI CHI U. KỲ V NG, PHƯƠNG SAI. 1. nh nghĩa. Cho hai bi n ng u nhiên X, Y. C p (có th t ) hai bi n ng u nhiên (X,Y) ư c g i là m t bi n ng u nhiên hai chi u.. Hai trư ng h p i. X và Y cùng là bi n ng u nhiên r i r c: khi ó (X ,Y ) ư c g i là bi n ng u nhiên hai chi u r i r c. ii. X và Y cùng là bi n ng u nhiên liên t c: khi ó (X ,Y ) ư c g i là bi n ng u nhiên hai chi u liên t c. 2. Phân ph i xác su t. a. i v i bi n ng u nhiên r i r c nh nghĩa. Cho X, Y là hai bi n ng u nhiên r i r c thì hàm phân ph i xác su t ng th i c a chúng là m t hàm hai bi n f (x , y ) ư c xác nh b i: f (x , y ) = P {X = x ;Y = y } . Nh n xét. Hàm f (x, y ) là phân ph i xác su t ng th i c a các bi n ng u nhiên r i r c X và Y n u: 1. f(x, y) ≥ 0, ∀ (x, y) 2. ∑ ∑ f (x , y ) = 1 x y 3. V i mi n A tùy ý trong m t ph ng Oxy ta có P[(X, Y) ∈ A] = ∑ ∑ f (x, y ) . A Tương t như i v i bi n ng u nhiên m t chi u, khi (X ,Y ) là bi n ng u nhiên hai chi u r i r c (t c là X và Y là các bi n ng u nhiên r i r c), ta thư ng bi u di n phân b xác su t dư i d ng B ng phân ph i xác su t ( ng th i) như sau: Y y1 y2 … yk … X x1 f (x 1, y1 ) f (x 1, y2 ) … f (x 1, y2 ) … x2 f (x 2 , y1 ) f (x 2 , y2 ) … f (x 2 , yk ) … … … … … xk f (x k , y1 ) f (x k , y2 ) … f (x k , yk ) … … … … … … … 13
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 b. i v i bi n ng u nhiên liên t c. nh nghĩa. Hàm f(x, y) ư c g i là hàm m t xác su t ng th i c a các bi n ng u nhiên liên t c X và Y n u: 1. f(x, y) ≥ 0, ∀(x , y ) +∞ +∞ 2. ∫∫ f (x , y )dxdy = 1 −∞ −∞ 3. P [(X ,Y ) ∈ A] = ∫∫ f (x, y)dxdy v i A là mi n tùy ý trong m t ph ng Oxy . A 3.Phân ph i biên duyên. Bây gi n u ã bi t phân ph i xác su t ng th i f (x , y ) c a bi n ng u nhiên hai chi u (X ,Y ) , li u ta có th xác nh ư c phân ph i xác su t c a các bi n ng u nhiên thành ph n hay không? nh nghĩa. Bi n ng u nhiên hai chi u (X ,Y ) r i r c có hàm phân ph i xác su t ng th i là f (x, y ) . Khi ó: phân ph i biên duyên c a X và Y ư c xác nh b i: g(x) = ∑ f (x, y ) và h(y) = ∑ f (x, y ) . y x Bi n ng u nhiên hai chi u (X ,Y ) liên t c có hàm m t xác su t ng th i là f (x , y ) . Khi ó: phân ph i biên duyên c a X và Y ư c xác nh b i ∞ ∞ g(x) = ∫ f (x , y )dy và h(y) = ∫ f (x , y )dx . −∞ −∞ Mô t i v i bi n ng u nhiên r i r c: T B ng phân ph i xác xu t ng th i: Y y1 y2 … yk … T ng theo hàng X x1 f (x 1, y1 ) f (x 1, y2 ) … f (x 1, y2 ) … p1 x2 f (x 2 , y1 ) f (x 2 , y2 ) … f (x 2 , yk ) … p2 … … … … xk f (x k , y1 ) f (x k , y2 ) … f (x k , yk ) … pk … … … … … … T ng theo c t q1 q2 qk 1 14
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 X x1 x2 … xk … g(x ) = ∑ f (x, y j ) j P (X = x i ) p1 p2 pk ∑pi i Y y1 y2 … yk … h(y ) = ∑ f (x i , y ) i P (Y = y j ) q1 q2 qk ∑qj j 4.Phân ph i xác su t coa i u ki n V i hai bi n c ng u nhiên m t chi u A và B ta ã có công th c tính xác su t có i u ki n như sau: P (A ∩ B ) P(B | A) = , P(A) > 0 P (A) O N u coi A là bi n c X = x, B là bi n c Y = y trong ó X và Y là các bi n ng u nhiên r i r c thì ta có: P (X = x ,Y = y ) f (x , y ) P(Y = y | X = x) = = , g(x) > 0 P (X = x ) g(x ) f (x , y ) O Hàm ư c g i là phân ph i xác su t có i u ki n. Ta có th dùng nó tính các xác su t g (x ) có i u ki n. nh nghĩa. Gi s (X ,Y ) bi n ng u nhiên hai chi u r i r c ho c liên t c. Phân ph i có i u ki n c a bi n ng u nhiên Y v i i u ki n X = x ư c xác nh b i: f yx = ( ) f (x , y ) g(x ) , g(x ) > 0 . Phân ph i có i u ki n c a bi n ng u nhiên X v i i u ki n Y = y ư c xác nh b i: f(x | y) = f x y = ( ) f (x, y ) h(y ) , h(y ) > 0. Khi ó: O Xác su t bi n ng u nhiên r i r c X l y giá tr trong kho ng (a,b) khi ã bi t bi n ng u nhiên r i r c Y = y là: P(a < X < b | Y = y) = ∑ f (x | y ) , x trong ó t ng ư c l y trên t t c các giá tr c a X n m gi a a và b. b O Khi X và Y liên t c thì: P(a < X < b | Y = y) = ∫ f (x | y)dx . a 15
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 5. Kỳ v ng. Giá tr trung bình c a bi n ng u nhiên g i là kỳ v ng c a c a nó. a. Kỳ v ng c a bi n ng u nhiên. nh nghĩa. a. Cho X là m t bi n ng u nhiên r i r c v i hàm phân ph i xác su t là f (x ) . Khi ó kỳ v ng (giá tr trung bình) c a X là m t s th c ký hi u là E (X ) ( ho c µ ) ư c xác nh b i µ = E (X ) = ∑ xf (x ) x b. Cho X là m t bi n ng u nhiên liên t c v i hàm m t xác su t là f(x). Khi ó kỳ v ng (giá tr trung bình) c a X là m t s th c ký hi u là E(X) ư c xác nh b i: +∞ µ = E (X ) = ∫ xf (x )dx . −∞ b.Kỳ v ng c a hàm các bi n ng u nhiên. Như ta ã bi t, khi X là m t bi n ng u nhiên và g = g (t ) là m t hàm nào ó thì g(X ) cũng là m t bi n ng u nhiên. Khi ó g(X ) có kỳ v ng là bao nhiêu? nh lí 1. Cho X là bi n ng u nhiên v i phân ph i xác su t là f (x ) và g = g (t ) là hàm s xác nh trên mi n giá tr c a bi n ng u nhiên X . Khi ó kỳ v ng c a bi n ng u nhiên g(X ) ư c xác nh b i: µg (X ) = E [g(X )] = ∑ g(x )f (x ) , n u X là bi n ng u nhiên r i r c, và +∞ µg (X ) = E [g(X )] = ∫ g(x )f (x )dx , n u X là bi n ng u nhiên liên t c. −∞ Sau ây, ta s m r ng cho trư ng h p các bi n ng u nhiên X và Y có phân ph i xác su t ng th i f (x , y ) . nh lý 2. Cho X và Y là các bi n ng u nhiên v i phân ph i xác su t ng th i là f (x , y ) , hàm s g = g(t, u ) xác nh trên mi n giá tr c a bi n ng u nhiên hai chi u (X ,Y ) . Khi ó kỳ v ng c a bi n ng u nhiên g(X ,Y ) ư c xác nh b i: µg (X ,Y ) = E [g(X ,Y )]=∑ ∑ g(x , y )f (x, y ) , n u X và Y là các BNN r i r c, x y + ∞ +∞ và: µg (X ,Y ) = E [g(X ,Y )]= ∫ ∫ g(x,y)f(x,y) dxdy n u X và Y là các BNN liên t c. -∞ - ∞ 16
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 6. Phương sai và l ch chu n a. Phương sai và l ch chu n c a bi n ng u nhiên. nh nghĩa: Cho X là bi n ng u nhiên v i phân ph i xác su t f (x ) và kỳ v ng là µ . Phương sai c a X là m t s th c ư c xác nh b i: σ 2 = E [(X - µ)2 ] = ∑ (x - µ)2 f (x ) ,n u X là r i r c, x và +∞ σ 2 = E [(X - µ)2 ] = ∫ −∞ (x − µ)2 f (x )dx ,n u X liên t c. Căn b c hai c a phương sai là σ và ư c g i là l ch chu n c a bi n ng u nhiên X. nh lí . Phương sai c a bi n ng u nhiên X có th ươc xác nh b i công th c: σ 2 = E (X 2 ) − µ2 . b. Phương sai c a hàm các bi n ng u nhiên Ta s m r ng khái ni m phương sai c a m t bi n ng u nhiên cho hàm c a bi n ng u nhiên X . Gi s g = g(t ) là hàm s xác nh trên mi n giá tr c a bi n ng u nhiên X , khi ó g(X ) cũng là m t 2 bi n ng u nhiên và phương sai c a nó s ư c kí hi u là σg (X ) . nh lý 4. Cho X là bi n ng u nhiên v i phân ph i xác su t là f (x ) . Phương sai c a bi n ng u nhiên g(X) là: { } σg (X ) = E [g(X ) - µg (X ) ]2 = ∑ [g(x ) − µg (X ) ]2 f (x ) , n u X là bi n ng u nhiên r i r c, 2 x và { } ∫ +∞ σg (X ) = E [g(X ) - µg (X ) ]2 = 2 [g (x ) -µg (X ) ]2 f (x )dx , n u X là bi n ng u nhiên liên t c. −∞ 7.Covariance và h s tương quan a. Covariance nh nghĩa. Cho X và Y là các BNN v i phân ph i xác su t ng th i f(x, y). Khi ó Covariance c a X và Y là m t i lư ng mà giá tr c a nó ư c xác nh b i: σXY = E [(X - µX )(Y − µY )] = ∑ ∑ (x −µX )(y − µY )f (x , y ) , n u X và Y là các BNN r i r c, x y và +∞ +∞ σXY = E [(X - µX )(Y − µY )] = ∫ -∞ ∫ -∞ (x −µX )(y − µY )f (x, y )dxdy , n u X và Y là các BNN l/ t c. 17
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 b. H s tương quan. Cho X và Y là các BNN v i covariance σXY và các l ch chuNn tương ng là σX và σY . H s tương quan c a X và Y là m t s th c ư c xác nh b i: σ ρXY = XY . σX σY Ý nghĩa c a h s tương quan. H s tương quan o m c ph thu c tuy n tính c a hai BNN X và Y : + Khi ρXY càng g n 1 thì tính ch t quan h tuy n tính càng ch t. + Khi ρXY càng g n 0 thì s ph thu c tuy n tính càng ít, càng l ng l o. + Khi ρXY = 0 ta nói X và Y là không tương quan. M t s tính ch t c a phương sai: Cho X là BNN, và các h ng s a,b, a1, a2 ,... Khi ó ta có i. σaX+b = a 2σX = a 2σ 2 . 2 2 ii. Khi a = 1, ta ư c: σX +b = σX = σ 2 . 2 2 iii. Khi b = 0, ta ư c σaX = a 2σX = a 2σ 2 2 2 iv. N u X và Y là các bi n ng u nhiên v i phân ph i xác su t là f (x , y ) thì: σaX +bY = a 2σX + b 2σY + 2abσXY 2 2 2 v. N u X và Y là hai bi n ng u nhiên c l p, thì ta có: σaX +bY = a 2σX + b 2σY . 2 2 2 σaX −bY = a 2σX + b 2σY . 2 2 2 vi. N u X1, X 2 ,..., Xn là các bi n ng u nhiên c l p, thì 2 σa X +a X + an X n = a1 σ X + a 2 σ X + 2 2 2 2 + a n σX . 2 2 1 1 2 2 1 2 n III.BÀI TOÁN Ư C LƯ NG THAM S 1.M u ng u nhiên. a. T ng th . 18
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 nh nghĩa. Khi nghiên c u v m t v n ngư i ta thư ng kh o sát trên m t d u hi u nào ó, các d u hi u này th hi n trên nhi u ph n t . T p h p các phân t mang d u hi u ư c quan tâm ư c g i là m t t ng th . S lư ng các ph n t trong m t t ng th ư c g i là c t ng th . M i ph n t có m t trong t ng th ư c g i là m t cá th c a t ng th ó. b. M u. nh nghĩa. Vi c t t ng th ta l y ra m t t p con nào ó ư c g i là phép l y m u. M i t p con ư c l y ra g i là m t m u. S ph n t c a m u ư c g i là kích thư c c a m u. c. M u ng u nhiên. Gi s X1, X 2 ,..., Xn là n bi n ng u nhiên c l p và có cùng hàm phân ph i xác su t f (x ) . Khi ó chúng ta g i (X1, X 2,..., Xn ) là m t m u ng u nhiên có c n t t ng th f (x ) và hàm phân ph i xác su t ng th i c a chúng là: f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x 1 )f (x 2 )...f (x n ) . c. Th ng kê nh nghĩa M t hàm c a bi n ng u nhiên trong m u ng u nhiên ư c g i là m t th ng kê. 2. M t s th ng kê quan tr ng. i.Trung bình m u ng u nhiên. nh nghĩa. N u (X1, X 2,..., Xn ) là m t m u ng u nhiên có c n , khi ó trung bình m u ư c xác nh b ng th ng kê: n ∑X i X= i =1 n ii.Median m u (trung v m u) 19
Bài gi ng Môn Toán 5- Xác su t Th ng kê Ti n s : Nguy n H u Th 2011 -2 012 nh nghĩa. N u (X1, X 2,..., Xn ) là m t m u ng u nhiên c n , ư c s p x p theo th t tăng d n c a l n, khi ó median m u ư c xác nh b i th ng kê: X  n +1 , khi n le   2  X = X n + X n    2 +1   2 , khi n chan   2 iii. Mode nh nghĩa. N u X1, X 2 ,..., X n không nh t thi t khác nhau hoàn toàn, bi u di n m t m u ng u nhiên có c n . Khi ó mode M là giá tr c a m u mà x y ra thư ng xuyên nh t ho c có t n s l n nh t. Mode có th không t n t i và khi nó t n t i không nh t thi t là giá tr duy nh t. iv. Phương sai m u. nh nghĩa. Cho (X1, X 2 ,..., X n ) là m u ng u nhiên c n v i trung bình m u là X . Khi ó phương sai m u ư c xác nh b i th ng kê: n ∑ (X i − X )2 S2 = i =1 n −1 n ∑ (x i − x )2 V i m i m u c th thì S 2 s nh n giá tr s 2 = i =1 . n −1 nh lý. N u S 2 là phương sai c a m t m u ng u nhiên c n , khi ó:  n  2 n 2  X n ∑ Xi − ∑ i      i =1  i =1  S = 2 n(n − 1) 3.Phân ph i c a các th ng kê cơ b n. X 1 + X 2 + ... + X n a.Phân ph i c a trung bình m u. Trung bình m u: X = n µ + µ + ... + µ có kỳ v ng: µX = =µ n σ 2 + σ 2 + ... + σ 2 σ2 và phương sai: σx = 2 = n2 n 20