Bài giảng Tài chính phái sinh: Chương 13 - Mô hình Black-Scholes-Merton

Mô hình Black-Scholes- Merton

ng 13

ươ

13.1 Gi

đ nh giá c phi u

ả ị

ổ

ế

ủ

ộ c phi u đ ổ ế

(

 Xem xét m t c phi u có giá là S ộ ổ ắ D i nhu n c a  Trong m t th i gian ng n t, l ậ ợ ờ c phân ph i chu n: ẩ ố ượ )t

S S

D D »

s là l i nhu n kỳ v ng và là đ bi n ậ ọ ộ ế

13.2

v i ớ m đ ng (đ r i ro - volatility) ộ ợ ộ ủ

ủ

ẩ

Thu c tính c a Logarit chu n ng trình 13.2 và 13.3, trang 282) (Các ph

ộ ươ

 T gi

đ nh trên, ta có:

ừ ả ị

Ø ø (cid:230) (cid:246) s

- » - f m s (cid:231) (cid:247) Œ œ

Ł ł º ß

Ø ø (cid:230) (cid:246) s

» - f m s (cid:231) (cid:247) Œ œ

ẩ

 Vì logarit c a ủ ST là logarit chu n (log c s ơ ố

ố

10 - ND) nên ST có phân ph i logarit chu n. ẩ

13.3

Ł ł º ß

Phân ph i Log chu n

ố

ẩ

( E S

)

S e 0

var

(

)

(

1 )

2 2 S e 0

m s -

i g p lãi liên t c,

ợ ộ

ụ x

Su t sinh l ấ ( Các ph

ng trình 13.6 và 13.7, trang 283)

ươ

eS 0

S T ho cặ 1 T

S T S

ho cặ

(cid:246) (cid:230)

(cid:247) (cid:231) - » (cid:247) (cid:231)

13.5

ł Ł

L i nhu n kỳ v ng ậ

ợ

ọ

ổ

S0em T ổ

ọ ọ

ế

 Giá c phi u kỳ v ng là ế i kỳ v ng c a c phi u là  Su t sinh l ấ ủ ợ ả m 2/2 ch không ph i m – s ứ

Nguyên nhân là do

ln[

SE (

)]

[ln(

)]

không b ng nhau ằ

13.6

2 /2

m và m −s

s chúng ta có d li u hàng ngày

ả ử

ữ ệ

Gi trong m t giai đo n vài tháng

ạ

ộ

i trung bình trong m i ngày

ợ

ỗ

 m su t sinh l ấ [=E(D S/S)]  m−s2/2 là l ợ

ậ

i nhu n kỳ v ng c a toàn b ộ

ọ

c t

ằ

ộ

ủ d li u nói trên ặ ng t ).

giai đo nạ tính đ ượ ừ ữ ệ b ng cách g p lãi liên t c (ho c g p hàng ụ ộ ngày, cũng cho k t qu t ả ươ

ự

ế

13.7

ợ

ỹ ươ

ng h ỗ

L i nhu n c a Qu T ậ ủ (Xem Business Snapshot 13.1 trên trang 285)

i nhu n c a các năm liên t c là

 Gi

ụ

s l ả ử ợ

ủ

ậ 15%, 20%, 30%, -20% và 25%  Trung bình c ng c a các m c l

i nhu n

ủ

ộ

ứ ợ

ậ

trên là 14%

 L i nhu n s th c s đ t đ

c trong giai

ự ạ ượ

ẽ ự

ậ

ợ

đo n 5 năm (trung bình nhân) là 12.4%

ạ

13.8

Đ bi n đ ng ộ ế ộ

 Đ bi n đ ng là đ l ch chu n c a t

ộ ế ủ ỷ ẩ su t ấ

ộ ệ i g p lãi liên t c trong 1 năm ụ ộ ợ ộ

i trong ợ ấ

 Đ l ch chu n c a su t sinh l ẩ t ộ ế

D D s ủ kho ng th i gian t là sinh l ộ ệ ả

ờ ổ ủ ế ế ộ

 N u giá c phi u là $50 và đ bi n đ ng c a nó là 25% m t năm thì đ l ch chu n c a ủ thay đ i giá trong m t ngày là bao nhiêu? ộ

ộ ệ ẩ ộ

13.9

ổ

c tính đ bi n đ ng t

các

ộ ế ộ

ừ

Ướ d li u l ch s

ữ ệ ị

ử (trang 286-88)

1. Quan sát S0, S1, . . . , Sn trong kho ng ả

ờ

i theo ph t năm th i gian 2. Tính su t sinh l ấ ợ ươ

ộ ừ ả

ư (cid:230) (cid:246)

u i

(cid:231) (cid:247)

=s ˆ

3. Tính đ l ch chu n, ộ ệ c tính đ bi n đ ng l ch s là: ộ

Ł ł ng pháp g p lãi liên t c trong t ng kho ng th i ờ ụ gian nh sau: S = S -

13.10

ẩ s , c a ủ ui´s ử ị ộ ế Ướ t

B n ch t c a đ bi n đ ng

ấ ủ ộ ế ộ

ả

ng m c a

 Đ bi n đ ng khi th tr ộ

ộ ế

ị ườ

ượ

ề

ớ

ở ử c giao d ch) ớ

(nghĩa là khi tài s n đang đ th tr

ả ị ng l n h n r t nhi u so v i khi th ị ơ ấ ng đóng c a. ử

ườ ườ

 Vì lý do này, khi đ nh giá quy n ch n, th i ờ

ề

ọ

ng đ

ượ

ườ

ằ

ứ

ả

ị c tính b ng “ngày làm gian th vi c (trading days)” ch không ph i là ệ ngày l ch.

ị

13.11

ề

Khái ni m v Black-Scholes trên tài ệ s n c s ả ơ ở

 Giá quy n ch n và giá c phi u cùng ph ụ ả

ề ọ

ổ ắ ế ắ ủ

thu c vào tính không ch c ch n c a tài s n ộ c s . ơ ở

ổ ồ ộ ụ ế

ề

ậ ọ ắ ể ắ

ậ ứ

ủ

 Đi u này d n t

 Chúng ta l p m t danh m c g m c phi u và quy n ch n, danh m c này có th lo i b s ể ạ ỏ ự ụ không ch c ch n k trên.  Danh m c tr thành phi r i ro và ngay l p t c ủ ở ụ c lãi su t phi r i ro. ph i đ t đ ả ạ ượ ề

ng trình vi phân Black- i ph ấ ươ ẫ ớ

13.12

Scholes.

ng trình vi phân Black-

ả ủ

ươ

K t qu c a Ph ế Scholes

D D

(cid:246) (cid:230)

+D t

ƒ 2

+D tS ¶ ¶

zS ¶ ¶

¶ ¶

ƒ S

ƒ t

ƒ S

(cid:247) (cid:231) D D (cid:247) (cid:231)

Chúng ta l p m t danh m c g m ộ

ụ ồ

ậ

ł Ł

ẩ

c phi u ế ổ

:1 ¶ ¶

s n ph m phái sinh ả ƒ S

13.13

ng trình vi phân Black-

ế

ươ

K t qu c a Ph ả ủ Scholes ti p theo ế

-=P

ƒ S

ụ P Giá tr c a danh m c ị ủ duoc cho b iở

ụ ổ

¶ ¶ Thay đ i giá tr c a danh m c trong ị ủ kho ng th i gian

D c cho b i ở ả ờ

D D D P

13.14

t đ ượ ¶ ƒ + ¶ S

ng trình vi phân Black-

ế

ươ

K t qu c a Ph ả ủ Scholes ti p theo ế

L i nhu n c a danh m c ph i là lãi su t phi r i ro.

ậ ủ

ụ

ủ

ấ

ả

ợ

Do v yậ

D= r

ng trình này đ có

ươ

ữ

ể

f và D S vào nh ng ph ng trình vi phân Black-Scholes:

Chúng ta thay D c ph đ ượ

ươ

s ½

¶ ¶

ƒ t

ƒ S

ƒ 2 S

13.15

P D P

Ph

ng trình vi phân

ươ

 B t kỳ ch ng khoán nào có giá ph thu c vào giá

ụ ộ

ng trình vi phân này. ấ ứ c phi u s th a mãn ph ẽ ỏ ổ ế

c xác ứ ẽ ượ

 Trong h p đ ng kỳ h n, đi u ki n gi

ị ở ề

ươ  Ch ng khoán đang đ c đ nh giá này s đ ị i h n (boundary ệ ớ ạ ng trình vi phân nói trên. ươ i h n là ạ ớ ạ ề ệ

 Đáp s c a ph

ượ đ nh b i các đi u ki n gi conditions) c a ph ủ ồ ợ ƒ = S – K v i ớ t =T

13.16

ng trình này là ƒ = S – K e–r (T – t ) ố ủ ươ

Các công th c The Black-Scholes ứ (Xem các trang 295-297)

)

rT ( dNeK

)

- -

dNS ( 1 ( dN

= eKp

)

2 ( dNS 1

) )2/2 T

ln(

(

/ KS 0

v iớ d 1

+ ) s

r T

- - - -

(

ln(

)2/2 T

/ KS 0

d 1

+ ) s

r T

13.17

Hàm N(x)

ế

ượ

ủ

ố

 N(x) là xác su t mà bi n c a nó đ ấ ằ ẩ ỏ ơ x

ộ ệ

ẩ

 Xem các b ng

phân ph i chu n có trung bình b ng 0 và đ l ch chu n b ng 1, nh h n ằ cu i cu n sách này. ở

ả

ố

13.18

ộ

ứ

Các thu c tính c a công th c Black- ủ Scholes

ấ ớ

ở

 Khi S0 tr nên r t l n thì

c có xu h ướ

ng ướ i ng ti n t ế ớ

ế ớ S – Ke-rT và p có xu h ti n t 0

ấ

ở i 0 và

ỏ p có xu h

 Khi S0 tr nên r t nh thì ướ

ti n t ế ớ

c có xu h ướ ế ớ Ke-rT – S i ng ti n t

13.19

ng pháp đ nh giá trung l p

ậ

ị

Ph ươ v i r i ro ớ ủ

 Bi n ế m

không xu t hi n trong ph ng trình ệ ấ ươ

Black-Scholes

ữ

 Ph ươ ế

ụ ộ thích r i ro. ng trình này không ph thu c vào nh ng ị ở ế ố ủ

 Do v y, ph ậ k t qu gi ng nh trong th gi ư ả ố ế ro m c dù nó đang

bi n b tác đ ng b i y u t ộ ươ ẽ

ng trình vi phân này s cho ra i không có r i ủ ế ớ i th c trong th gi ự ở

ặ  Đi u này d n t ế ớ i nguyên lý đ nh giá trung l p ị ẫ ớ ậ

13.20

ề v i r i ro. ớ ủ

ị

ụ

ậ ớ

ng d ng đ nh giá trung l p v i Ứ r i ro ủ (Xem ph l c

cu i Ch

ng 13)

ụ ụ ở ố

ươ

đ nh r ng l

i nhu n kỳ v ng thu đ

ợ

ằ

ậ

ọ

ượ

1. Gi t ừ

ủ

ả ị giá c phi u là lãi su t phi r i ro. ỗ

ổ 2. Tính k t qu lãi l ế

kỳ v ng c a quy n ủ

ế ả

ấ ọ

ề

3. Chi

t kh u

ch n ọ ế

ấ ở ứ

m c lãi su t phi r i ro. ấ

ủ

13.21

ộ ợ ồ ị

ạ ằ ậ ớ

Đ nh giá m t h p đ ng kỳ h n b ng ị ng pháp đ nh giá trung l p v i ph ươ r i roủ

 K t qu lãi l

là

ế

ả

ỗ

 K t qu lãi l

ST – K ọ

ế

i ế ớ

ộ

ả ậ

kỳ v ng này là

ỗ trung l p v i r i ro là ớ ủ  Hi n giá c a kho n lãi l ủ

ả

ọ

kỳ v ng trong m t th gi SerT – K ỗ ệ e-rT[SerT – K]=S – Ke-rT

13.22

ộ ế ộ

ễ

Đ bi n đ ng suy di n (Implied Volatility)

ộ

ề

ễ

ủ

ộ ế ọ

ữ

ộ

 Đây mà m i t ộ ế

 Đ bi n đ ng suy di n c a m t quy n ộ ch n là đ bi n đ ng mà giá Black- ộ ế ộ Scholes b ng v i giá th tr ớ ằ ị ườ ng quan m t – m t gi a ộ ố ươ giá và đ bi n đ ng hàm ý. ộ  Các nhà giao d ch và các nhà môi gi

i ớ ng niêm y t các đ bi n đ ng suy

ị ế

th di n h n là niêm y t giá b ng ti n.

ộ ế ằ

ườ ễ

ộ ề

ế

13.23

ứ

ọ

ề

Phát hành ch ng quy n và quy n ch n mua c phi u cho nhà qu n lý

ổ

ế

ả

ề

ệ

 Khi th c hi n m t quy n ch n mua thông th ề ọ c mua trên th tr ả ượ

ng, ng ườ ị ườ ự ế ộ ị

c phi u giao d ch ph i đ ổ m . ở

 Khi m t ch ng quy n ho c quy n ch n mua c ổ

ộ ề ọ

 N u th tr

ế ặ ượ ệ

ặ ấ

ướ ế

 S không gi m thêm n a (Xem Business Snapshot

ứ ề phi u cho nhà qu n lý đ c th c hi n thì công ty s ả ẽ ự phát hành c phi u ngân qu m i ỹ ớ ế ổ ng th y tr c s không có ho c có r t ít ẽ ấ ế ị ườ i nhu n thì giá c phi u s gi m ngay khi có thông l ẽ ả ổ ậ ợ báo phát hành.

ữ ả

13.24

ẽ 13.3.)

Tác đ ng c a vi c gi m giá

ủ

ộ

ệ

ả

 Sau khi phát hành các quy n ch n, không nh t

ọ

ấ ề t ph i tính đ n vi c gi m giá khi ti n hành ả ế ế ệ ế

thi ả đ nh giá chúng. ị  Tr ể ướ

ề

ỗ ọ ủ ề c khi phát hành, chúng ta có th tính toán ọ ườ

N/(N+M) nhân v i ớ ng có cùng đi u ki n ề ệ ố ổ

ệ M s c ố ổ ữ c phát hành n u quy n ch n ọ ề ế

13.25

chi phí c a m i quy n ch n là giá quy n ch n thông th trong đó N là s c phi u hi n h u và ế phi u m i s đ ớ ẽ ượ ế c th c hi n. đ ệ ự ượ

C t cổ ứ

ề

ị

ằ

ế

ượ ừ

ệ

ủ ng trình Black-Scholes

 Trong su t th i gian t n t

 Các quy n ch n ki u Châu Âu đ i v i các ố ớ ể ọ c phi u có tr c t c đ c đ nh giá b ng ả ổ ứ ổ cách dùng giá c phi u tr đi hi n giá c a ổ ế c t c trong ph ươ ổ ứ ờ

ề

ố

ọ

ỉ

ế ị

 “C t c” đ ổ ứ

ượ

tr kỳ v ng trong giá c phi u kỳ v ng

i c a quy n ồ ạ ủ ch n ch tính đ n nh ng c t c phát sinh ổ ứ ữ sau ngày giao d ch không có c t c ổ ứ ả ọ

c coi là m t s s t gi m giá ộ ự ụ ế ổ

ọ

ị

13.26

Các quy n ch n ki u M

ọ

ể

ề

ỹ

 M t quy n ch n mua ki u M đ i v i c phi u

ể

ộ

ọ ề ả ổ ứ

ẽ

ỹ ố ớ ổ đ ờ ượ

ế c th c ự

ớ

ệ ộ

 M t quy n ch n mua ki u M đ i v i c phi u c

không tr c t c s không bao gi hi n s m ề ả ổ ứ

ể c th c hi n ngay tr ệ ỉ ượ

ế ướ

ọ ẽ

có tr c t c s ch đ ngày giao d ch không có c t c.

ỹ ố ớ ổ ự ổ ứ

ị

 Gi

ả ử

ệ

ớ

s ngày chi tr c t c là vào các th i đi m ể ờ ố ư ạ ti i u t

ệ ổ ứ ạ

)

ớ t i

+ 1

- -

ả ổ ứ t1, t2, …tn. Vi c th c hi n s m đôi khi t ự n u c t c t ờ ế 1[

i th i đi m này l n h n ể tre ( K

]

13.27

ủ

ọ

ỹ

c tính c a Black trong giao d ch ị Ướ ổ ứ quy n ch n mua ki u M có c t c ể ề

i đa giá ỹ ố ọ ằ ề

ọ ọ ề ề

ề ạ ọ ớ

ề

ọ ướ ị

13.28

Đ t quy n ch n ki u M có giá b ng t ể ặ c a 2 quy n ch n ki u Châu Âu sau : ủ ể 1. giá quy n ch n ki u Châu Âu th nh t có ấ ứ ể cùng kỳ đáo h n v i quy n ch n ki u M ỹ ể 2. giá quy n ch n ki u Châu Âu th hai có kỳ ứ ể c ngày giao d ch không có c đáo h n ngay tr ổ ạ t c cu i cùng. ố ứ

Bài giảng Tài chính phái sinh: Chương 13 - Mô hình Black-Scholes-Merton

Nội dung chính của Chương 13 Mô hình Black-Scholes-Merton trong bộ bài giảng Tài chính phái sinh trình bày về thuộc tính của Logarit chuẩn, phân phối Log chuẩn và lợi nhuận kỳ vọng.

Mô hình Black-Scholes- Merton

13.1

Gi

đ nh giá c phi u

ả ị

ổ

ế

(

ủ

ẩ

Thu c tính c a Logarit chu n ng trình 13.2 và 13.3, trang 282) (Các ph

ộ ươ

Phân ph i Log chu n

ố

ẩ

i g p lãi liên t c,

ợ ộ

ụ x

Su t sinh l ấ ( Các ph

ng trình 13.6 và 13.7, trang 283)

ươ

L i nhu n kỳ v ng ậ

ợ

ọ

ợ

ỹ ươ

ng h ỗ

L i nhu n c a Qu T ậ ủ (Xem Business Snapshot 13.1 trên trang 285)

Đ bi n đ ng ộ ế ộ

c tính đ bi n đ ng t

các

ộ ế ộ

ừ

Ướ d li u l ch s

ữ ệ ị

ử (trang 286-88)

B n ch t c a đ bi n đ ng

ấ ủ ộ ế ộ

ả

ề

Khái ni m v Black-Scholes trên tài ệ s n c s ả ơ ở

ng trình vi phân Black-

ả ủ

ươ

K t qu c a Ph ế Scholes

ng trình vi phân Black-

ế

ươ

K t qu c a Ph ả ủ Scholes ti p theo ế

ng trình vi phân Black-

ế

ươ

K t qu c a Ph ả ủ Scholes ti p theo ế

Ph

ng trình vi phân

ươ

Các công th c The Black-Scholes ứ (Xem các trang 295-297)

Hàm N(x)

ộ

ứ

Các thu c tính c a công th c Black- ủ Scholes

ng pháp đ nh giá trung l p

ậ

ị

Ph ươ v i r i ro ớ ủ

ị

ụ

ậ ớ

ng d ng đ nh giá trung l p v i Ứ r i ro ủ (Xem ph l c

cu i Ch

ng 13)

ụ ụ ở ố

ươ

ộ ợ ồ ị

ạ ằ ậ ớ

Đ nh giá m t h p đ ng kỳ h n b ng ị ng pháp đ nh giá trung l p v i ph ươ r i roủ

ộ ế ộ

ễ