1
GII HN
Lecture 2
Nguyen Van Thuy
Ni dung
Review
Đnh ngha gii hn
Gii hn mt pha
Đnh l kp
Cc dng vô đnh
Cc gii hn cơ bn
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-2
Review-Hàm số
Đnh ngha. Hàm số f là mt quy tắc gn mỗi số
thực x trong D vi duy nhất mt số thực, k hiu
f(x), trong tp E
Toan C1-Nguyen Van Thuy
x f(x)
D E
f
•
•
10/31/2010 2-3
Review-Min xc đnh–min gi tr
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Min gi tr
Min xc đnh
y
x
y = f(x)
O
10/31/2010 2-4
Review-Đồ th
Đnh ngha. Nếu hàm số f(x) có min xc
đnh là D thì đồ th của hàm số là tp hợp
Toan C1-Nguyen Van Thuy
{( , ( )) | }x f x x D
O
y
1 2 x
f(x)
f(2)
f(1)
(x, f(x))
x
10/31/2010 2-5
Gii hn khi x
V d. 1/x 0 khi x , điu này ngha
chnh xc là gì?
Toan C1-Nguyen Van Thuy
x 1/x
100 0.001
1,000 0.001
8,000 0.000125
50,000 0.00002
200,000 0.000005
8,000,000
0.000000125
1,250,000,000
0.000000004
1
lim 0
xx

Note: ngha là
+
10/31/2010 2-6
2
Gii hn khi x
Không phi là “1/x bng 0 khi x = ”, không
phi là mt số
f(x) L khi x nếu f(x) nhn nhng gi tr rất
gn L khi x nhn tất c cc gi tr đủ ln, k hiu
f(x) L khi x - nếu f(x) nhn nhng gi tr rất
gn L khi x nhn tất c cc gi tr âm có gi tr
tuyt đối đủ ln, k hiu
Toan C1-Nguyen Van Thuy
lim ( )
xf x L

lim ( )
xf x L

10/31/2010 2-7
Gii hn khi xa hu hn
V d
Toan C1-Nguyen Van Thuy
sin
( ) , 0
x
f x x
x

x sinx/x
1.0 0.84147098
0.5 0.95885108
0.4 0.97354586
0.3 0.98506736
0.2 0.99334665
0.1 0.99833417
0.05 0.99958339
0.01 0.99998333
0.005 0.99999583
0.001 0.99999983
10/31/2010 2-8
Gii hn khi xa hu hn
Toan C1-Nguyen Van Thuy 10/31/2010 2-9
Gii hn khi xa hu hn
f(x) L khi x a nếu f(x) nhn nhng gi tr rất
gn L khi x nhn tất c cc gi tr đủ gn a, k
hiu
f(x)  khi x a nếu f(x) nhn nhng gi tr
rất ln (âm hoc dương) khi x nhn tất c cc gi
tr đủ gn a
Ch . “x rất gn a”
Xt c 2 trưng hợp x<a và x>a
Không xt ti x = a, f(x) có th không xc đnh ti a
Toan C1-Nguyen Van Thuy
lim ( )
xa
f x L
10/31/2010 2-10
Gii hn khi xa hu hn
Đnh l (kp). Nếu khi
x gn a và
thì
Toan C1-Nguyen Van Thuy
( ) ( ) ( )f x g x h x
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x L


lim ( )
xa
g x L

10/31/2010 2-11
Gii hn khi xa hu hn
V d. Tìm nếu
V d. Chng minh rng
Toan C1-Nguyen Van Thuy
4
lim ( )
xfx
2
4 9 ( ) 4 7, 0x f x x x x
4
0
2
lim cos 0
xxx
10/31/2010 2-12
3
Gii hn bên tri
V d. Quan st gi tr của khi cho x
nhn nhng gi tr rất gn 1 và nh hơn 1
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2
1
() | 1|
x
fx x
x<1 f(x)
0.5 -0.666667
0.9 -0.526316
0.99 -0.502513
0.999 -0.500250
0.9999
-0.500025
Nhn xt: f(x) -0.5.
Ta nói gii hn bên tri
của f(x) ti x=1 là -0.5,
viết
2
1
1
lim 0.5
| 1|
x
x
x

10/31/2010 2-13
Gii hn bên tri
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-14
L
f(x)
a
x
x
y
O
lim ( )
xa
f x L
a
x
lim ( ) lim ( )
xa xa
xa
f x f x L

Gii hn bên phi
V d. Quan st gi tr của khi cho x
nhn nhng gi tr rất gn 1 và ln hơn hơn 1
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2
1
() | 1|
x
fx x
x>1 f(x)
1.5 0.400000
1.1 0.476190
1.01 0.497512
1.001 0.499750
1.0001 0.499975
Nhn xt: f(x) 0.5.
Ta nói gii hn bên phi
của f(x) ti x=1 là 0.5,
k hiu
2
1
1
lim 0.5
| 1|
x
x
x
10/31/2010 2-15
Gii hn bên phi
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-16
x
a
lim ( ) lim ( )
xa xa
xa
f x f x L

L
f(x)
x
a
x
y
O
lim ( )
xa
f x L
Gii hn mt pha
Gii hn bên phi của f(x) bng L khi x a nếu
f(x) nhn nhng gi tr rất gn L khi x nhn tất c
cc gi tr đủ gn a và ln hơn a, k hiu
Gii hn bên tri của f(x) bng L khi x a nếu
f(x) nhn nhng gi tr rất gn L khi x nhn tất c
cc gi tr đủ gn a và nh hơn a, k hiu
Toan C1-Nguyen Van Thuy
lim ( )
xa
f x L
lim ( )
xa
f x L
10/31/2010 2-17
Gii hn mt pha
Đnh l
V d. , nhưng
không tồn ti nên
V d. Tìm
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2
lim 2 0
x
x

2
lim 2
x
x
lim ( ) lim ( ) lim ( )
xa x a x a
f x L f x L f x


2
lim 2
xx
1
1
lim | 1|
x
x
x
10/31/2010 2-18
4
V d
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-19
3
) lim 2 | 3|
x
a L x x
6
2 12
) lim | 6 |
x
x
bL x

2
2 | |
) lim 2
x
x
cL x

0
11
) lim ||
x
dL xx




0
11
) lim ||
x
eL xx




Ch 
7 dng vô đnh
Cc gii hn cơ bn
Toan C1-Nguyen Van Thuy
00
.0
0, , , ,1 ,
00,
0
1/
0
01
sin 1
lim 1 , lim 1 ( )
lim(1 ) (
0
)1
u
uu
u
u
ue
uu
ue


10/31/2010 2-20
V d
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-21
0
sin 3
) lim tan 5
x
x
aL x
0
1
) lim cot
sin
x
b L x
x




23
1
) lim 1
x
x
x
cL x




2
1/
0
) lim cos x
x
d L x
V d
Câu 26
Câu 47
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-22
0
1 cos
lim sin 2
0
0
x
x
Lxx



111
) 0 ) ) )
324
a L b L c L d L
2
21
1
lim 1
x
x
xx
Lxx






2
) ) 1 ) )a L b L c L e d L e
V d
Câu 48
Câu 49
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-23
cot
0
lim cos n 1si x
x
L x x

1
) 1 ) ) )a L b L e c L d L
e

3
cot
2
0
lim cos 2 1
x
x
L x x

1
) 1 ) ) )a L b L e c L d L
e

Bài tp
Câu hi trắc nghim ton A1-ĐHBD
Câu 1 câu 26
Câu 47 câu 52
Trang 7 13
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-24