intTypePromotion=3

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.1 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

Chia sẻ: Hung Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

0
96
lượt xem
30
download

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.1 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.1 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier trình bày các nội dung cơ bản của tích phân Fourier. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.1 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

  1. Chương 2 Tích phân Fourier & biến ñổi Fourier  2.1 Tích phân Fourier  2.2 Phép biến ñổi Fourier  2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến ñổi Fourier  2.4 Các hàm bất thường và biến ñổi Fourier của chúng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1
  2. 2.1 Tích phân Fourier  Hàm tuần hoàn  Chuỗi Fourier  Hàm chỉ xác ñịnh  Chuỗi Fourier trên khoảng kín  Hàm không tuần hoàn  Tích phân Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2
  3. 2.1.1 Tích phân Fourier  Khác biệt giữa hàm tuần hoàn và không tuần hoàn ? Chu kỳ T hữu hạn và vô hạn T →∞ f(t) -T -T/2 T/2 T f(t) -T/2 T/2 f(t) T →∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
  4. 2.1.1 Tích phân Fourier  Cần tìm khai triển Fourier cho f(t) trong khoảng (-∞,+∞) f(t) T →∞  Ta sẽ bắt ñầu từ fΤ(t) fT(t) -T/2 T/2 t  Dễ thấy rằng f (t ) = lim fT (t ) T →∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
  5. 2.1.1 Tích phân Fourier  Hàm tuần hoàn fT(t) 0 − T 2 < t < −1  có ñịnh nghĩa trong fT (t ) = 1 −1 < t < 1 0 1< t < T2 1 chu kỳ là  fT(t) 1 -T/2 -1 1 T/2 t  fT(t) có khai triển Fourier là : a0 +∞ 2 +∞ 4 sin(nω0 ) fT (t ) = + ∑ an cos(nω0 t ) = + ∑ cos(nω0 t ) 2 n =1 T n =1 T nω0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
  6. 2.1.1 Tích phân Fourier ωn = nω0 4 sin( nω0 ) 2 sin ωn  ðặt an = = ∆ω ∆ω = ω0 T nω0 π ωn  ðịnh nghĩa hàm biên ñộ A(ω ) 2 2  π ω=0 π A(ω ) =   2 sin ω ω>0  π ω sin(ω ) = sinc(ω )=Sa(ω ) ω ω0 2ω0 π 2π ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
  7. 2.1.1 Tích phân Fourier  Chu kỳ T kéo dài → các vạch (ñặc trưng cho biên ñộ ) chạy dồn về trục tung trên ñường biên ñộ A(ω) A(ω ) 2 π ω0 2ω0 π 2π ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
  8. 2.1.1 Tích phân Fourier 2 +∞ 4 sin(nω0 ) 2 sin ωn fT (t) = + ∑ cos(nω0t) an = ∆ω T n=1 T nω0 π ωn  Viết lại fT(t) ∆ω +∞ 2 sin(ωn ) fT (t) = +∑ {cos(ωnt)}∆ω π n=1 π ωn  1 +∞  fT (t) =  + ∑ A(ω){cos(ωnt)} ∆ω  π n=1  Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
  9. 2.1.1 Tích phân Fourier ∆ω 2 sin(ωn ) +∞ fT (t) = +∑ {cos(ωnt)}∆ω π n=1 π ωn  1 +∞  fT (t) =  + ∑ A(ω){cos(ωnt)} ∆ω  π n=1   Nếu xét t cố ñịnh và biến ω thay ñổi ta có: T → ∞ ; ω → 0 +∞ f (t ) = lim fT (t ) = T →∞ ∫ A(ω ) cos(ωt)dω 0 Tích phân Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
  10. 2.1.1 Tích phân Fourier  Lý luận tương tự khi dùng khai triển số mũ ta ñược tích phân Fourier mũ phức T +∞ • • 1 2 fT (t ) = ∑De n =−∞ n jnω0 t Dn = ∫ f (t )e− jnω0t dt T −T 2 +∞  1 T 2  jω t fT (t ) = ∑  ∫ − jωn t f (t )e dt e n ∆ω n =−∞  2π   −T 2 +∞ ∫ D(ω )e jω t f (t ) = lim fT (t ) = dω T →∞ −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
  11. 2.1.1 Tích phân Fourier  ðịnh lý : Nếu f(t) thỏa ñiều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn ∞ và nếu ∫ −∞ |f(t)|dt hội tụ thì: +∞ 1 +∞  jωt ∫−∞  2π −∞∫ f(t)e dt e dω = 2 f(t ) + f(t ) − jωt 1 + − Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
  12. Tích phân Fourier mũ phức +∞ f (t ) = ∫ −∞ D ( ω ) e jω t d ω +∞ 1 ∫ − jωt D(ω) = f (t)e dt 2π −∞ F (ω ) = 2π D(ω ) Miền t: F Miền ω: f(t) F(ω) F−1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
  13. Tương ñồng giữa chuỗi phức và tích phân phức Chuỗi Tích phân Fourier phức Fourier phức +∞ +∞ ∑ n =−∞ ∫ dω −∞ • Dn D(ω) nω0 ω T +∞ 1 2 1 ∫ T −T dt ∫ 2π −∞ dt 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
  14. Ví dụ tích phân Fourier mũ phức Cho hàm f(t) ñịnh nghĩa bởi 0 t 0) e t >0 Tìm tích phân Fourier mũ phức biểu diễn cho f(t) ? Giải +∞ +∞ 1 1 −1 +∞ ∫ ∫e − jωt − at − jωt D(ω ) = f (t )e dt = e dt = e − ( a + jω )t 2π −∞ 2π 0 2π (a + jω ) 0 +∞ 1 e jωt D(ω ) = ⇒ f (t ) = ∫ dω 2π ( a + jω ) −∞ 2π (a + jω ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
  15. 2.1.2 Tích phân Fourier dạng chuẩn  Nếu ñịnh nghĩa +∞ 1 A (ω ) = π ∫ −∞ f ( t ) c o s (ω t ) d t +∞ 1 B (ω ) = π ∫ −∞ f ( t ) s i n (ω t ) d t Thì tích phân Fourier dạng chuẩn là +∞ f (t ) = ∫ [ A(ω ) cos(ωt ) + B(ω ) sin(ωt )] dω 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
  16. Ví dụ tích phân Fourier dạng chuẩn Tìm tích phân Fourier 0 t 0) Giải e t >0 +∞ +∞ 1 1 ∫ cos(ωt )dt ∫ sin(ωt )dt − at − at A(ω ) = e ; B (ω ) = e π 0 π 0 +∞ 1 1 a + jω A(ω ) + jB(ω ) = ∫ e e dt = − at = jω t π 0 π (a − jω ) π (a 2 + ω 2 ) a ω A(ω ) = 2 2 ; B (ω ) = π (a + ω ) π (a 2 + ω 2 ) +∞ a cos ω t + ω sin ω t ⇒ f (t ) = ∫ 0 2 π (a + ω )2 dω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16
  17. 2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin  Nếu f(t) chẵn +∞ 2 A (ω ) = π ∫ 0 f ( t ) c o s (ω t ) d t Thì tích phân Fourier cos là +∞ f (t ) = ∫ A(ω ) cos(ωt )dω 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
  18. 2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin  Nếu f(t) lẻ +∞ 2 B (ω ) = π ∫ 0 f ( t ) s in ( ω t ) d t Thì tích phân Fourier sin là +∞ f (t ) = ∫ B(ω ) sin(ωt )dω 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 18
  19. 2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin  ðịnh lý Nếu hàm f(t) = 0 khi t < 0 thì tích phân Fourier cos và tích phân Fourier sin lần lượt bằng hai lần số hạng thứ nhất và thứ hai trong tích phân Fourier dạng chuẩn.  Gợi ý :Thêm hàm ϕ(t) ñể f(t) thành chẵn hoặc lẻ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19
  20. Ví dụ tích phân Fourier cos và Fourier sin Tìm tích phân Fourier 0 t 0) Giải e t >0 +∞ 1 a cos ω t + ω sin ω t f (t ) = π ∫ 0 2 (a + ω ) 2 dω +∞ 2 ω sin ω t f (t ) = π ∫ 0 2 (a + ω )2 dω +∞ 2 a cos ω t f (t ) = π ∫ 0 2 (a + ω )2 dω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản