zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Điện - Điện tử

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.1 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

Chia sẻ: Hung Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Báo xấu

143
lượt xem 33
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.1 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier trình bày các nội dung cơ bản của tích phân Fourier. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.1 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

Chương 2 Tích phân Fourier & biến ñổi Fourier 2.1 Tích phân Fourier 2.2 Phép biến ñổi Fourier 2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến ñổi Fourier 2.4 Các hàm bất thường và biến ñổi Fourier của chúng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1
2.1 Tích phân Fourier Hàm tuần hoàn Chuỗi Fourier Hàm chỉ xác ñịnh Chuỗi Fourier trên khoảng kín Hàm không tuần hoàn Tích phân Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2
2.1.1 Tích phân Fourier Khác biệt giữa hàm tuần hoàn và không tuần hoàn ? Chu kỳ T hữu hạn và vô hạn T →∞ f(t) -T -T/2 T/2 T f(t) -T/2 T/2 f(t) T →∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
2.1.1 Tích phân Fourier Cần tìm khai triển Fourier cho f(t) trong khoảng (-∞,+∞) f(t) T →∞ Ta sẽ bắt ñầu từ fΤ(t) fT(t) -T/2 T/2 t Dễ thấy rằng f (t ) = lim fT (t ) T →∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
2.1.1 Tích phân Fourier Hàm tuần hoàn fT(t) 0 − T 2 < t < −1  có ñịnh nghĩa trong fT (t ) = 1 −1 < t < 1 0 1< t < T2 1 chu kỳ là  fT(t) 1 -T/2 -1 1 T/2 t fT(t) có khai triển Fourier là : a0 +∞ 2 +∞ 4 sin(nω0 ) fT (t ) = + ∑ an cos(nω0 t ) = + ∑ cos(nω0 t ) 2 n =1 T n =1 T nω0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
2.1.1 Tích phân Fourier ωn = nω0 4 sin( nω0 ) 2 sin ωn ðặt an = = ∆ω ∆ω = ω0 T nω0 π ωn ðịnh nghĩa hàm biên ñộ A(ω ) 2 2  π ω=0 π A(ω ) =   2 sin ω ω>0  π ω sin(ω ) = sinc(ω )=Sa(ω ) ω ω0 2ω0 π 2π ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
2.1.1 Tích phân Fourier Chu kỳ T kéo dài → các vạch (ñặc trưng cho biên ñộ ) chạy dồn về trục tung trên ñường biên ñộ A(ω) A(ω ) 2 π ω0 2ω0 π 2π ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
2.1.1 Tích phân Fourier 2 +∞ 4 sin(nω0 ) 2 sin ωn fT (t) = + ∑ cos(nω0t) an = ∆ω T n=1 T nω0 π ωn Viết lại fT(t) ∆ω +∞ 2 sin(ωn ) fT (t) = +∑ {cos(ωnt)}∆ω π n=1 π ωn  1 +∞  fT (t) =  + ∑ A(ω){cos(ωnt)} ∆ω  π n=1  Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
2.1.1 Tích phân Fourier ∆ω 2 sin(ωn ) +∞ fT (t) = +∑ {cos(ωnt)}∆ω π n=1 π ωn  1 +∞  fT (t) =  + ∑ A(ω){cos(ωnt)} ∆ω  π n=1  Nếu xét t cố ñịnh và biến ω thay ñổi ta có: T → ∞ ; ω → 0 +∞ f (t ) = lim fT (t ) = T →∞ ∫ A(ω ) cos(ωt)dω 0 Tích phân Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
2.1.1 Tích phân Fourier Lý luận tương tự khi dùng khai triển số mũ ta ñược tích phân Fourier mũ phức T +∞ • • 1 2 fT (t ) = ∑De n =−∞ n jnω0 t Dn = ∫ f (t )e− jnω0t dt T −T 2 +∞  1 T 2  jω t fT (t ) = ∑  ∫ − jωn t f (t )e dt e n ∆ω n =−∞  2π   −T 2 +∞ ∫ D(ω )e jω t f (t ) = lim fT (t ) = dω T →∞ −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
2.1.1 Tích phân Fourier ðịnh lý : Nếu f(t) thỏa ñiều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn ∞ và nếu ∫ −∞ |f(t)|dt hội tụ thì: +∞ 1 +∞  jωt ∫−∞  2π −∞∫ f(t)e dt e dω = 2 f(t ) + f(t ) − jωt 1 + − Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
Tích phân Fourier mũ phức +∞ f (t ) = ∫ −∞ D ( ω ) e jω t d ω +∞ 1 ∫ − jωt D(ω) = f (t)e dt 2π −∞ F (ω ) = 2π D(ω ) Miền t: F Miền ω: f(t) F(ω) F−1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
Tương ñồng giữa chuỗi phức và tích phân phức Chuỗi Tích phân Fourier phức Fourier phức +∞ +∞ ∑ n =−∞ ∫ dω −∞ • Dn D(ω) nω0 ω T +∞ 1 2 1 ∫ T −T dt ∫ 2π −∞ dt 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
Ví dụ tích phân Fourier mũ phức Cho hàm f(t) ñịnh nghĩa bởi 0 t 0) e t >0 Tìm tích phân Fourier mũ phức biểu diễn cho f(t) ? Giải +∞ +∞ 1 1 −1 +∞ ∫ ∫e − jωt − at − jωt D(ω ) = f (t )e dt = e dt = e − ( a + jω )t 2π −∞ 2π 0 2π (a + jω ) 0 +∞ 1 e jωt D(ω ) = ⇒ f (t ) = ∫ dω 2π ( a + jω ) −∞ 2π (a + jω ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
2.1.2 Tích phân Fourier dạng chuẩn Nếu ñịnh nghĩa +∞ 1 A (ω ) = π ∫ −∞ f ( t ) c o s (ω t ) d t +∞ 1 B (ω ) = π ∫ −∞ f ( t ) s i n (ω t ) d t Thì tích phân Fourier dạng chuẩn là +∞ f (t ) = ∫ [ A(ω ) cos(ωt ) + B(ω ) sin(ωt )] dω 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
Ví dụ tích phân Fourier dạng chuẩn Tìm tích phân Fourier 0 t 0) Giải e t >0 +∞ +∞ 1 1 ∫ cos(ωt )dt ∫ sin(ωt )dt − at − at A(ω ) = e ; B (ω ) = e π 0 π 0 +∞ 1 1 a + jω A(ω ) + jB(ω ) = ∫ e e dt = − at = jω t π 0 π (a − jω ) π (a 2 + ω 2 ) a ω A(ω ) = 2 2 ; B (ω ) = π (a + ω ) π (a 2 + ω 2 ) +∞ a cos ω t + ω sin ω t ⇒ f (t ) = ∫ 0 2 π (a + ω )2 dω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16
2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin Nếu f(t) chẵn +∞ 2 A (ω ) = π ∫ 0 f ( t ) c o s (ω t ) d t Thì tích phân Fourier cos là +∞ f (t ) = ∫ A(ω ) cos(ωt )dω 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin Nếu f(t) lẻ +∞ 2 B (ω ) = π ∫ 0 f ( t ) s in ( ω t ) d t Thì tích phân Fourier sin là +∞ f (t ) = ∫ B(ω ) sin(ωt )dω 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 18
2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin ðịnh lý Nếu hàm f(t) = 0 khi t < 0 thì tích phân Fourier cos và tích phân Fourier sin lần lượt bằng hai lần số hạng thứ nhất và thứ hai trong tích phân Fourier dạng chuẩn. Gợi ý :Thêm hàm ϕ(t) ñể f(t) thành chẵn hoặc lẻ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19
Ví dụ tích phân Fourier cos và Fourier sin Tìm tích phân Fourier 0 t 0) Giải e t >0 +∞ 1 a cos ω t + ω sin ω t f (t ) = π ∫ 0 2 (a + ω ) 2 dω +∞ 2 ω sin ω t f (t ) = π ∫ 0 2 (a + ω )2 dω +∞ 2 a cos ω t f (t ) = π ∫ 0 2 (a + ω )2 dω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.