Bài giảng Toán T1: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

80
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 4 trang bị cho người học những kiên thức về vi phân hàm một biến. Các nội dung chính trong chương này gồm: Đạo hàm và các tích chất, vi phân, quy tắc L’Hospital, định lý giá trị trung bình và ks hàm số, công thức Taylor, Mac Laurin. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán T1: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 4 VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 26
Nội dung 1 Đạo hàm và các tích chất Đạo hàm, đạo hàm một phía và tính chất 2 Vi phân 3 Quy tắc L’Hospital 4 Định lý giá trị trung bình và ks hàm số Định lý giá trị trung bình Đơn điệu, cực trị, điểm uốn 5 Công thức Taylor, Mac Laurin Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 26
Đạo hàm Định nghĩa Cho f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b), giới hạn f (x0 + ∆x) − f (x0 ) lim (nếu có) được gọi là đạo hàm ∆x→0 ∆x của f tại x0 . Ký hiệu: f 0 (x0 ). f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f+0 (x0 ) = lim + được gọi là đạo ∆x→0 ∆x hàm phải của f tại x0 . f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f−0 (x0 ) = lim − được gọi là đạo ∆x→0 ∆x hàm trái của f tại x0 . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 2 / 26
Nếu f có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a, b) thì f 0 là một hàm số f 0 : (a, b) → R x 7→ f 0 (x) Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) thì ta nói f có đạo hàm cấp hai tại x0 . Ký hiệu: f 00 (x0 ) = (f 0 )0 (x0 ) Nếu f có đạo hàm cấp n là f (n) thì đạo hàm cấp n + 1 được định nghĩa là: f (n+1) (x) = (f (n) )0 (x) Các đạo hàm của y = f (x) còn được ký hiệu: df dy 00 d2 f d2 y f 0 (x) = (x) = , f (x) = 2 (x) = 2 , · · · dx dx dx dx Nếu f có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 3 / 26
Các tính chất của đạo hàm Nếu f , g có đạo hàm tại x ∈ (a, b) thì: 1. (f + g )0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) 2. (αf )0 (x) = αf 0 (x), với α ∈ R 3. (fg )0 (x) = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x) 0 f f 0 (x)g (x) − f (x)g 0 (x) 4. (x) = g g 2 (x) 5. (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x) 6. Nếu f đơn ánh và f 0 (x) 6= 0 thì f −1 cũng có đạo hàm tại y = f (x) và: 1 1 (f −1 )0 (y ) = 0 = 0 −1 f (x) f (f (y )) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 4 / 26
Đạo hàm các hàm sơ cấp f (x) f 0 (x) f (x) f 0 (x) 1 ex ex ln x x 1 ax ax ln a loga x x ln a xα αx α−1 1 sin x cos x tan x 2 = 1 + tan2 x cos x −1 cos x − sin x cot x 2 = −(1 + cot2 x) sin x 1 −1 arcsin x √ arccos x √ 1 − x2 1 − x2 1 arctan x 1 + x2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 5 / 26
Ví dụ cos x 1. f (x) = . Tính f 0 (x). 2 + sin(x) 1 2. f (x) = arctan . Tính f 0 (x). x 1 3. f (x) = . Tính f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x), f (n) (x) và 1 + x 1 f (20) . 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 6 / 26
Khả vi – Vi phân Hàm số y = f (x) được gọi là khả vi tại x0 nếu số gia hàm số tại điểm x0 có thể viết dưới dạng: ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x). Trong đó A là hằng số và o(∆x) là một vô cùng bé so với ∆x khi ∆x → 0. Khi đó đại lượng A∆x được gọi là vi phân của f tại x0 và được ký hiệu là df hay dy . f khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x. Và khi đó: df = f 0 (x)dx Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 7 / 26
Ví dụ: √ 1. Tìm df , biết f (x) = e x . 2. Cho f (x) = cos(x + sin x). Tính df (0). Vi phân cấp 2 của f là: d 2 f = f 00 (x)dx 2 Tương tự, vi phân cấp n của f là: d n f = f (n) (x)dx n Ví dụ: 3. Tìm d 2 y , biết y = arcsin x. √ 4. Cho y = 2x + 1. Tính d n y và d n y (0). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 8 / 26
Tính gần đúng (xấp xỉ tuyến tính) Khi f khả vi tại x0 thì: f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )∆x + o(∆x). Cho nên ta có thể xấp xỉ: f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x Vế phải được gọi là xấp xỉ tuyến tính của f tại x0 . Ký hiệu: L(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Ví dụ: Dùng vi phân tính xấp xỉ các giá trị sau √ 1. 3 28. 2. tan 44o . 3. arctan(0.97). p 4. (0.1)2 + 4e 0.1 . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 9 / 26
Quy tắc L’Hospital Quy tắc L’Hospital Giả sử các hàm f , g khả vi và g 0 (x) 6= 0 trên một khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Và giả sử một trong hai điều sau là đúng: lim f (x) = lim g (x) = 0, hoặc x→a x→a lim f (x) = lim g (x) = ±∞. x→a x→a f (x) f 0 (x) Thì khi đó: lim = lim 0 , miễn là giới hạn vế x→a g (x) x→a g (x) phải tồn tại (hoặc bằng ±∞). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 10 / 26
Chú ý: Nếu thay “x → a” bằng x → a+ , x → a− , x → +∞, hoặc x → −∞ thì vẫn đúng. Ví dụ: ln x 1. lim = (a) 1 (b) −1 (c) 0 (d) +∞ x→1 1 − x ex 2. lim 2 = (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 1 x→+∞ x sin x 3. lim− = x→π 1 − cos x (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃ 4. lim x e 1/x − 1 = x→+∞ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 11 / 26
x 1 5. lim − = x→1 x − 1 ln x (a) 0 (b) 1/2 (c) 1 (d) 2 6. lim+ (1 + sin 2x)cot x = x→0 (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e 2 7. lim (e x + x)1/x = x→+∞ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e 2 2x+1 2x − 3 8. lim = x→+∞ 2x + 5 (a) 1 (b) e −3 (c) e 5 (d) e −8 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 12 / 26
cos mx − cos nx 9. lim = x→0 x2 (a) m (b) n − m (c) m2 − n2 (d) (n2 − m2 )/2 cos x ln(x − a) 10. lim+ = x→a ln (e x − e a ) (a) cos a (b) a cos a (c) e sin a (d) a sin a √3 8 + 5x − 2 11. lim √ √ x→0 1+x − 1−x e x − e −x − 2x 12. lim x→0 x − sin x ln x 13. lim+ x→0 1 + 2 ln sin x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 13 / 26
πx ln(1 − x) + tan 14. lim− 2 x→1 cot(πx) 15. lim [(π − 2 arctan x) ln x] x→+∞ 1/x 2 tan x 16. lim x→0 x 1/x πx 17. lim tan x→+∞ 2x + 1 x 1/x 2 a − x ln a 18. lim x→0 b x − x ln b Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 14 / 26
Định lý giá trị trung bình Định lý Fermat Nếu f đạt cực trị tại c, và nếu f 0 (c) tồn tại thì f 0 (c) = 0. Định lý Rolle Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Khi đó nếu f (a) = f (b) thì sẽ có c ∈ (a, b) sao cho: f 0 (c) = 0. Tổng quát, ta có định lý giá trị trung bình sau đây. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 15 / 26
Định lý GTTB (Lagrange) Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). f (b) − f (a) Khi đó có c ∈ (a, b) sao cho: f 0 (c) = . b−a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 16 / 26
Đơn điệu và cực trị 1. Nếu f 0 (x) > 0 trên [a, b] thì f tăng trên [a, b]. 2. Nếu f 0 (x) < 0 trên [a, b] thì f giảm trên [a, b]. 3. Nếu f 0 (x) = 0 trên [a, b] thì f là hằng số trên [a, b]. Giả sử f 0 (c) = 0, ta có: 1. Nếu f 0 đổi dấu từ dương sang âm tại c thì f đạt cực đại (địa phương) tại c. 2. Nếu f 0 đổi dấu từ âm sang dương tại c thì f đạt cực tiểu (địa phương) tại c. 3. Nếu f 0 không đổi dấu tại c thì f không đạt cực trị tại c. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 17 / 26
Ngoài ra, có thể xét cực trị bằng đạo hàm cấp 2. 1. Nếu f 0 (c) = 0 và f 00 (c) > 0 thì f đạt cực tiểu tại c. 2. Nếu f 0 (c) = 0 và f 00 (c) < 0 thì f đạt cực đại tại c. Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + 5. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 18 / 26
Tiếp tuyến Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm x0 có phương trình là: y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ). Ví dụ: 1. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + 5 tại điểm x0 = 1. 2. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số f (x) = x ln x tại điểm x0 = e. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 19 / 26