VI TÍCH PHÂN 1C

GV:  CAO  NGHI  THỤC

EMAIL:  cnthuc@hcmus.edu.vn

Chương  2 Giới  hạn  và  sự  liên  tục  của  hàm  số   một  biến

I. Hàm số và cách biểu diễn hàm số II. Hàm đơn ánh, toàn ánh, song ánh III. Hàm hợp, hàm ngược IV. Giới hạn của hàm số -­ khử dạng vô định V. Hàm số liên tục VI. Định lý giá trị trung gian VII. Bài tập

Biểu  diễn  hàm  số

Định nghĩa

X

R⊂

Cho Y, . Hàm số f từ X vào Y là 1 quy tắc cho tương ứng với mỗi số thực x thuộc X một số thực y thuộc Y

KH:

Hoặc

Y→ f x ( )

:f X y =

Page  § 3

Biểu  diễn  hàm  số

Biểu diễn hàm số

Có 4 cách

1)Hàm số cho bằng bảng

2)Hàm số cho bằng biểu đồ

3)Hàm số cho bằng công thức

4)Hàm số được mô tả bằng lời

Page  § 4

Biểu  diễn  hàm  số

Định nghĩa

Miền xác định: D(f) = X

Miền giá trị của hàm f

R Y ( )

y R y

Y

|

)}

{ = = ∈ =

f x x D f ( ), ( ∈

Page  § 5

Hàm  số  đơn  ánh,  toán  ánh,  song  ánh

:f X

Y→

Page  § 6

Hàm  số  đơn  ánh,  toán  ánh,  song  ánh

Toàn ánh

Ánh xạ được gọi là toàn ánh nếu

Y→ hay

f X (

)

:

y

:f X Y=

, ∀ ∈ ∃ ∈

( ) y Y x X f x =

Ý nghĩa: một phần tử của Y là ảnh của ít nhất một phần tử của X

VD2:

x

→=

f x ( ) 3 =

N y f N , : không là toàn ánh

Page  § 7

Hàm  số  đơn  ánh,  toán  ánh,  song  ánh

:f X

Y→

Page  § 8

Hàm  hợp  – hàm  ngược

Hàm hợp

:g Y

:f X h

Z→ Z

Cho các ánh xạ , . Hàm Y→ hợp của chúng là được gof X : =→ xác định bởi

h x ( )

g f x [

( )]

=

2

VD4: Cho

f R :

R g R :

,

g x ( )

x

2

→

→=

( ) 2 R f x , +

x 1, =−

Xác định

(

gof

)(4),(

fog

)(2)

Page  § 9

Hàm  hợp  – hàm  ngược

Hàm ngược

là song ánh. Ánh xạ

Cho ánh xạ f x ( )

f X : x

Y → y →=

ngược của f là

1 −

f

:

Y

X

→

1 −

y

f x ( )

x

f

y ( )

=→=

Page  § 10

Hàm  hợp  – hàm  ngược

Hàm ngược

VD5 :

f

:

tan

x

−

R f x ( ) , → =

π π , 2 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

1 ??

f − VD6 :

f

R f x , ( )

cot

x

( : 0,

) π →=

f −

1 ??

Page  § 11

Hàm  hợp  – hàm  ngược

Hàm ngược

VD7 :

f

:

sin

x

( ) f x =

[ → −

] 1,1 ,

π π−⎡ , ⎢ 2 2 ⎣

⎤ ⎥ ⎦

1 ??

f − VD8 :

f

cos

x

( ) f x =

[ : 0,

[ ] π → −

] 1,1 ,

f −

1 ??

Page  § 12

Giới  hạn  của  hàm  số

— Giới  hạn  của  hàm  số — Định  nghĩa  1

Cho  hàm  số  y=f(x)  xác  định  trên  miền  D.  Ta  nói    L

là  giới  hạn  của  hàm  f  khi  x  tiến  tới  x  0 nếu  với  bất

nx

x→ 0

kỳ  dãy  xn trong  D\{x  0}  mà

L

=

f x lim ( )n n →∞

Page  § 13

thì

Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 14

Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 15

Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 16

Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 17

Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 18

Giới  hạn  của  hàm  số

B

=

=

x 0

=

— Các  tính  chất  của  giới  hạn

c A . i.                                                                                    với  c  là  hằng  số

x 0

f x ( )

g x ( )]

A B

+

= +

◦ Định  lý  1   g x , lim ( ) A f x lim ( ) Cho                                                                          .  Khi  đó x x x → → 0 c f x lim . ( ) x →

lim[ x x → 0

f x g x

( ). ( )]

A B .

=

lim[ x x → 0

ii.

,

B

0

lim x x → 0

f x ( ) g x ( )

A =≠ B

iii.

Page  § 19

iv.

Giới  hạn  của  hàm  số

2

n

... + +

a x n

§Nhận  xét

a x a x + 1 2 P x ( ) = n 0

P x ( ) a + = n 0 P x lim ( ) n x →

3

x

1)

2 1

1 1) 3

§Cho Khi  đó

2 x x +−+ =

x 0 lim(2 x 1 →

3 lim(2.1 +−+ = 1 x →

R x

( )

=

§VD9:

=

R x lim ( ) x →

x 0

) )

Page  § 20

P x ( ) n Q x ( ) m P x ( n 0 Q x ( m 0

§Cho Khi  đó

Giới  hạn  của  hàm  số

B , = +∞ =−∞ §Khi                                                                thì g x f x ( )] ( ) +→ ∞ −∞

A lim[ x x → 0

2

dạng  vô  định  thứ  nhất

x

x

x

]

4 +−

lim[ x →+∞

§VD10: Tính

x

x

x

+−

lim x →+∞

§VD11:Tính

)

(

3

3

3

x

2

x

4

x

4

x

2

x

+

3 1 + + − −

lim x →+∞

§VD12:Tính

)

(

Page  § 21

Giới  hạn  của  hàm  số

A

0

B , =∞ =

A

0, B= =∞

f x g x ( ). ( )]

0. → ∞

§Khi                                            hoặc

lim[ x x → 0

Page  § 22

thì                                                          dạng  vô  định  thứ  hai

Giới  hạn  của  hàm  số

A

A

=

B , =∞ =∞

§Khi                                            hoặc

lim x x → 0

B= 0, f x ( ) g x ( )

0 0 → ⎜ 0

thì                                                          dạng  vô  định  thứ  ba(tư)

∞⎛ ∞⎝ 1

lim x 0 →

⎞ ⎟ ⎠ x +− x x

§VD13: Tính                                                 1

lim x →+∞

+ x

x 1

+

3

§VD14: Tính

x 2

lim x→ x 1

1 − 1 −

Page  § 23

§VD15: Tính

Giới  hạn  của  hàm  số

f x ( )

g x ( )

h x ( ),

a b ( , )

≤

A

A

=

=

x ∀ ∈ g x lim ( ) x →

x 0

≤ Nếu                                                                thì h x lim ( ) = x x → 0

f x lim ( ) x x → 0

§Định  lý  2    Cho  3  hàm  số  f(x),  g(x),  h(x)  thỏa

x

1

=

lim x 0 →

sin x

Page  § 24

§Áp  dụng  ĐL2,  ta  CM  được

Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 25

Giới  hạn  của  hàm  số

x

lim x 0 →

tan x

x

VD16: Tính

2

lim x 0 →

1 cos − x

VD17: Tính

lim x 0 →

sin 4 sin 3

x x

Page  § 26

VD18: Tính

Giới  hạn  của  hàm  số

§Định  lý  3:

f x lim ( ) x →+∞ x ( ) →−∞

Cho  f(x)  là  hàm  số  xác  định  trên  R.  Khi  đó  nếu  f(x)   tăng(giảm)  và  bị  chặn  trên  (dưới)  thì  tồn  tại

x

e

+

=

lim 1 x →∞

1 x

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Page  § 27

Áp  dụng  ĐL  này,  ta  CM  được

Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 28

Giới  hạn  của  hàm  số

x

2

2

lim x →∞

x x

1 1

x + + x − −

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

2cot

x

VD19: Tính

x

)

( lim cos x 0 →

Page  § 29

VD20: Tính

Giới  hạn  của  hàm  số

§Giới  hạn  một  phía

x

x→ §Giới  hạn  bên  trái  của  f(x)  tại  x0 là  giới  hạn  khi                               0 mà

x

x< 0

−

)

=

f x 0(

f x lim ( ) x →

− x 0

x

x→ §Giới  hạn  bên  phải  của  f(x)  tại  x0 là  giới  hạn  khi                               0 mà

x

+

)

=

x> 0 f x 0(

f x lim ( ) x →

+ x 0

Page  § 30

§Định  nghĩa

Giới  hạn  của  hàm  số

A

A =⇔

f x lim ( ) x →

lim ( ) f x = x →

x 0

lim ( ) f x = x →

+ x 0

_ x 0

§

=

f

+− (0 ),

f

(0 )

x x

f

+ (0 )

=

+

0

f x lim ( ) x →

f

− (0 )

=

−

0

f x lim ( ) x →

Page  § 31

VD21: Cho                                      Tìm f x ( )

Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

§Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

§Định  nghĩa  vô  cùng  bé(VCB)

=

f x lim ( ) 0 x →

x 0

Hàm  f(x)  được  gọi  là  VCB  khi  x→x0 nếu

VD22: sinx  là  VCB  (x→0)

x

0

=

lim sin x 0

→

Page  § 32

Vì

Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

§Các  tính  chất

Page  § 33

§Nếu  f(x),  g(x)  là  các  VCB  (x→x0 )  thì f(x)±g(x),  f(x).g(x)  là  các  VCB  (x→x0 )   §Nếu  f(x)  là  VCB  (x→x0 )  và  g(x)  bị  chặn  trong  lân  cận   x0 thì f(x).g(x)  là    VCB  (x→x0 )

Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

k

=

lim x x → 0

f x ( ) g x ( )

Page  § 34

Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

Page  § 35

Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

Page  § 36

Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

2

2 sin

x

x 2

=

lim x 0 →

lim x 0 →

1 cos − sin x

x 2 sin cos 2

x 2

sin

0

=

=

lim x 0 →

cos

x 2 x 2

Page  § 37

§VD24: 1-­cosx  là    VCB  bậc  cao  hơn  sinx  (x →0)

Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

x →+∞

Page  § 38

Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

Page  § 39

Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

Chú  ý    TTt

n m =

n

n

a n b m n

m

=

m

lim x →∞

lim ∞> = x →∞

+ +

L + L +

a 0 b 0

a x 1 b x 1

a x + n m b x + m

a x n b x m

0 n

m

<

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩

Page  § 40

Ta  có  quy  tắc  ngắt  bỏ  VCL  bậc  thấp  và  thay   thế  VCL  tương  đương

Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn

3

4

lim x →∞

2 4

x x

5 6

x x

+ −

Page  § 41

VD26: Tính

Sự  liên  tục  của  hàm  số

a b∈ ( , )

=

§Sự  liên  tục  của  hàm  số

f x lim ( ) x →

x 0

0

§Định  nghĩa: Cho  f(x)  là  hàm  số  xác  định  trong  (a,b),   ta  nói  rằng  f(x)  liên  tục  tại                          nếu                                           x f x ) ( 0 0

x

sin 0 0

x = nên  sin  x  liên  tục  tại         0

=

=

limsin x 0 →

Page  § 42

§VD27:

Sự  liên  tục  của  hàm  số

)

− = ) + = )

f x ( 0 f x ( 0

f x ( ) 0 f x ( 0

§Sự  liên  tục  của  hàm  số

)

)

−+ = )

=

f x ( 0

f x ( 0

f x ( 0

Page  § 43

§Hàm  f(x)  được  gọi  là  liên  tục  trái  tại  x0 nếu   §Hàm  f(x)  được  gọi  là  liên  tục  phải  tại  x0 nếu § Hàm  f(x)  liên  tục  tại  x0 khi  và  chỉ  khi

Sự  liên  tục  của  hàm  số

§Sự  liên  tục  của  hàm  số trong  khoảng  (a,b)

Page  § 44

§Hàm  f(x)  được  gọi  là  liên  tục  trong  khoảng  (a,b)  nếu  nó   liên  tục  tại  mọi  điểm  thuộc  khoảng  đó

Sự  liên  tục  của  hàm  số

§Sự  liên  tục  của  hàm  số trong  khoảng  đóng[a,b]

Page  § 45

§Hàm  f(x)  được  gọi  là  liên  tục  trong  khoảng  đóng  [a,b]   nếu  nó  liên  tục  tại  mọi  điểm  thuộc  khoảng  mở  (a,b)  và   liên  tục  trái  tại  điểm  b,  liên  tục  phải  tại  điểm  a

Sự  liên  tục  của  hàm  số

§Các  tính  chất  của  hàm  liên  tục

§Tổng,  hiệu,  tích,  thương  của  các  hàm  liên  tục  thì  liên   tục

Page  § 46

§Hàm  số  liên  tục  trên  khoảng  đóng  [a,b]  thì  đạt  giá  trị   lớn  nhất  và  giá  trị  nhỏ  nhất  trên  đoạn  đó

Sự  liên  tục  của  hàm  số

§VD28:

2

x

sin

x

x

,

x

0

<

2 tan 2

y

2

cos

x

a x 2 ,

0

+ x +≥

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

§Với  giá  trị  nào  của  a  thì  hàm  số

Page  § 47

liên  tục tại  x  =  0

Sự  liên  tục  của  hàm  số

§VD29:

§Với  giá  trị  nào  của  a  thì  hàm  số

Page  § 48

liên  tục tại  x  =  9

Định  lý  giá  trị  trung  gian

Page  § 49

Định  lý  giá  trị  trung  gian

Page  § 50

Bài  Tập

Page  § 51

Bài  Tập

Page  § 52

Bài  Tập

Page  § 53

Bài  Tập

Page  § 54

Bài  Tập

Page  § 55

Bài  Tập

Page  § 56

Bài  Tập

Page  § 57

Bài  Tập

Page  § 58

Bài  Tập

§ Bài  9:  Cho  A  là  tập  hợp  các  sinh  viên  trường  Đại  học  Khoa   học  tự  nhiên  TPHCM.  Sự  tương  ứng  nào  sau  đây  xác  định   một  ánh  xạ  trên  tập  A

a) Sự  tương  ứng  mỗi  sinh  viên  với  tuổi  của  sinh  viên  đó

b) Sự  tương  ứng  mỗi  sinh  viên  với  thầy  giáo  của  sinh  viên

đó

c) Sự  tương  ứng  mỗi  sinh  viên  với  giới  tính  của  sinh  viên  đó

d) Sự  tương  ứng  mỗi  sinh  viên  với  vợ  hoặc  chồng  của  sinh

viên  đó

Page  § 59

Bài  Tập

1

x

f

4

a

g

2

h

5

b

3

y z t

6

c

X

Y

Z

W

Page  § 60