Chương 3. Phương trình vi phân cấp hai

Các nội dung sẽ học: 3.1. Các khái niệm cơ bản 3.1.1. Giới thiệu về phương trình vi phân cấp hai 3.1.2. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai 3.2. Cách giải một số dạng phương trình giảm cấp được 3.2.1. Phương trình vi phân cấp hai khuyết y và y’ 3.2.2. Phương trình vi phân cấp hai khuyết x 3.2.3. Phương trình vi phân cấp hai khuyết y 3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng số 3.3.1. Khái niệm 3.3.2. Cách giải dạng phương trình thuần nhất 3.3.3. Cách giải dạng phương trình có vế phải dạng đặc biệt

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

98 / 138

3.1. Các khái niệm cơ bản

3.1.1. Giới thiệu về phương trình vi phân cấp hai Định nghĩa 3.1. Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng

(29)

F (x, y , y 0, y 00) = 0,

trong đó x là biến số độc lập, y = y (x ) là hàm cần tìm và y 0, y 00 lần lượt là đạo hàm cấp một và cấp hai của y . Nếu từ phương trình trên giải được y 00 theo x, y , y 0 thì phương trình vi phân cấp 2 có dạng

(30)

y 00 = f (x, y , y 0),

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

99 / 138

trong đó f là một hàm cho trước theo ba biến số độc lập.

3.1.1. Giới thiệu về phương trình vi phân cấp hai

Định nghĩa 3.2. Nghiệm của phương trình vi phân (29) hoặc (30) trên khoảng I = (a, b) là một hàm số y = ϕ(x ) xác định trên I sao cho khi thay vào (29) hoặc (30) ta được đồng nhất thức trên I :

x I ,

(31)

F (x, ϕ(x ), ϕ0(x ), ϕ00(x )) = 0,

2

8

hoặc

x I .

(32)

ϕ00(x ) = f (x, ϕ(x ), ϕ0(x )),

8

2 Ví dụ 3.1. Giải phương trình vi phân y 00 = 6x + 2. Giải. Đặt y 0 = Z , ta có Z 0 = y 00 = 6x + 2. Suy ra

Z

Z = Z 0dx + C1 = 3x 2 + 2x + C1,

tức là

y 0 = 3x 2 + 2x + C1.

3x 2 + 2x + C1

dx + C2 = x 3 + x 2 + C1x + C2 .(cid:4)

Vậy y =

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

100 / 138

(cid:1)

R (cid:0)

3.1.1. Giới thiệu về phương trình vi phân cấp hai

Từ ví dụ trên, ta thấy phương trình vi phân cấp 2 có nghiệm phụ thuộc vào hai hằng số, nên để xác định một nghiệm cụ thể ta cần có hai điều kiện nào đó. Định nghĩa 3.3. Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp hai là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân (29) hoặc (30) thỏa điều kiện

(33)

y (x0) = y0, y 0(x0) = y 00.

với x0, y0, y 00 là những số cho trước. 3.1.2. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai Ta thấy nghiệm của phương trình vi phân cấp hai thường phụ thuộc vào hai hằng số thực C1, C2 và có dạng

(34)

y = ϕ(x, C1, C2).

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

101 / 138

3.1.2. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai

R3, nếu với mọi điểm (x0, y0, y 00)

(cid:26)

2

sao cho y = ϕ(x, C 0 C 0 1 , C 0 2 D, tồn tại duy nhất một 1 , C 0 2 ) là nghiệm của (cid:1)

Định nghĩa 3.4. Hàm số y = y = ϕ(x, C1, C2) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (29) hoặc (30) trong miền D cặp hằng số (cid:0) phương trình vi phân (29) hoặc (30) thỏa các điều kiện đầu y (x0) = y0, y 0(x0) = y 00. Định nghĩa 3.5. Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x, C1, C2) bằng cách cho các hằng số C1, C2 các giá trị cụ thể, được gọi là nghiệm riêng.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

102 / 138

3.2. Cách giải một số dạng phương trình giảm cấp được

Xét các phương trình vi phân cấp hai có dạng

(35)

y 00 = f (x, y , y 0)

mà ta có thể đưa chúng về cấp một. 3.2.1. Phương trình vi phân cấp hai khuyết y và y 0

(36)

y 00 = f (x ).

Cách giải. Vì y 00 = (y 0)0 nên từ (36) ta có f (x )dx + C1.

y 0 =

R

Lấy tích phân một lần nữa, ta được

y = f (x )dx dx + C1x + C2.

(cid:1)

R (cid:0)R

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

103 / 138

trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý.

Phương trình vi phân cấp hai khuyết y và y’

Ví dụ 3.2. Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân y 00 = sin x thỏa các điều kiện đầu y (0) = 0, y 0(0) = 1. Giải. Ta có

(37)

sin xdx + C1 =

cos x + C1.

Z

y 0 =

(cid:0)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

(38) y =

(

Z

cos x + C1)dx + C2 = sin x + C1x + C2.

(cid:0)

(cid:0)

Thay x = 0, y = 0 vào (38), ta có C2 = 0. Thay x = 0, y 0 = 1 vào (37), ta có C1 = 2. Vậy nghiệm riêng của bài toán Cauchy đã cho là y =

sin x + 2x.(cid:4)

(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

104 / 138

3.2.2. Phương trình vi phân cấp hai khuyết x

Dạng phương trình

(39)

y 00 = f (y , y 0).

Cách giải. Đặt y 0 = p = p(y ) và xem như là hàm của y . Ta có

.

=

= p

y 00 = p0 = dp dx dp dy dy dx dp dy

Khi đó, phương trình đã cho có dạng

p

= f (y , p).

dp dy

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

105 / 138

3.2.2. Phương trình vi phân cấp hai khuyết x

Đó là phương trình vi phân cấp 1 với ẩn hàm là p = p(y ). Nếu phương trình này giải được, ta có

p = ϕ(y , C1),

hay

= dx.

= ϕ(y , C1),

dy dx dy ϕ(y , C1)

Suy ra tích phân tổng quát của phương trình đã cho là

= x + C2.

Z

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

106 / 138

dy ϕ(y , C1)

Ví dụ 3.3.

2

(y 0)

và

=

= p

Giải phương trình vi phân yy 00 (cid:0) Giải. Đặt y 0 = p = p(y ). Ta có y 00 =

= 0. dp dx

dp dy dy dx dp dy

phương trình đã cho có dạng

yp p2 = 0, dp dy (cid:0)

hay

p(y p) = 0.

dp dy (cid:0)

p = 0.

Do đó ta được hoặc p = 0, hoặc là y

dp dy (cid:0)

Nếu p = 0, ta có y 0 = p = 0, suy ra y = C .

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

107 / 138

Nếu y

p = 0, ta có

Ví dụ 3.3. dp dy (cid:0)

ln

= 0

= C1

dy y dp p (cid:0)

)

p = C2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) p = C2y y 0 = C2y .

1 y

)

)

p y (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) )

y

ln

= C2dx

= C2x + C3.

dy y

)

)

j

j

y = C4eC2x .

) Nếu lấy C2 = 0, ta được y = C4 là nghiệm đã thấy ở trên. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

108 / 138

y = aebx , a, b là các hằng số tùy ý.(cid:4)

3.2.3. Phương trình vi phân cấp hai khuyết y

Dạng phương trình

(40)

y 00 = f (x, y 0).

Cách giải. Đặt y 0 = p, khi đó y 00 = p0 và (40) có dạng

p0 = f (x, p).

Đây là phương trình vi phân cấp 1. Nếu giải được, ta có nghiệm tổng quát là

p = ϕ(x, C1).

Vì y 0 = p, nên ta có

y 0 = ϕ(x, C1).

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (40) là

Z

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

109 / 138

y = ϕ(x, C1)dx + C2.

3.2.3. Phương trình vi phân cấp hai khuyết y

. y 0 x

(cid:0)

Ví dụ 3.4. Giải phương trình vi phân y 00 = x Giải. Đặt y 0 = p, ta có y 00 = p0. Do đó phương trình đã cho có dạng

x = x

p0 = x p0 + p

(cid:0)

p x )

Ta có

1

x dx = 1 x ,

1

A(x ) = e(cid:0)

. xe B(x ) =

R x dx dx =

x 2dx =

x 3 3

R

R

R

Vậy

3 + C1 x . Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

p = A(x )[B(x ) + C1] = x 2

x

+ C2.(cid:4)

y =

( x 2

3 + C1

9 + C1 ln

x )dx + C2 = x 3

j

j

R

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

110 / 138

3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng

3.3.1. Khái niệm Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng là phương trình có dạng

(41)

y 00 + py 0 + qy = f (x ), a < x < b,

0, phương trình trong đó p, q là các hằng số. Ta luôn giả thiết f (x ) hàm liên tục trong khoảng (a, b). Nếu f (x )

(cid:17)

(42)

y 00 + py 0 + qy = 0,

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

111 / 138

được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình (41).

3.3.2. Cách giải dạng phương trình thuần nhất

Bây giờ ta xét phương trình thuần nhất (42)

y 00 + py 0 + qy = 0,

Xét phương trình đặc trưng của (42)

(43)

k 2 + pk + q = 0.

Ta có các trường hợp sau:

i/ Phương trình (43) có hai nghiệm thực phân biệt k1, k2.

Khi đó ta có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (42) là y1 = ek1x , y2 = ek2x .

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (42) là

y = C1ek1x + C2ek2x (C1, C2

R).

2

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

112 / 138

3.3.2. Cách giải dạng phương trình thuần nhất

ii/ Phương trình (43) có nghiệm kép k.

Khi đó ta có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (42) là

y1 = ekx , y2 = xekx .

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (42) là

y = ekx (C1 + C2x )

(C1, C2

R).

2

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

113 / 138

3.3.2. Cách giải dạng phương trình thuần nhất

iii/ Phương trình (43) có hai nghiệm phức k1,2 = α

i β.

(cid:6)

Khi đó ta có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (42) là

y1 = e αx cos βx, y2 = e αx sin βx.

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (42) là

R).

y = e αx (C1 cos βx + C2 sin βx ) (C1, C2

2

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

114 / 138

Các ví dụ

6y 0 + 8y = 0.

Ví dụ 3.5. Giải phương trình vi phân y 00 (cid:0) Giải. Phương trình đặc trưng của nó là

k 2

6k + 8 = 0.

(cid:0)

Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt k1 = 2, k2 = 4. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

y = C1e2x + C2e4x ,

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

115 / 138

trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý.(cid:4)

Các ví dụ

Ví dụ 3.6. Giải phương trình vi phân y 00 + 4y 0 + 4y = 0. Giải. Phương trình đặc trưng của nó là

k 2 + 4k + 4 = 0.

2.

(cid:0)

2x , trong đó C1, C2 là hai hằng số tùy ý.(cid:4)

Phương trình đặc trưng có một nghiệm kép k1 = k2 = Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

y = (C1 + C2x )e(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

116 / 138

Các ví dụ

Ví dụ 3.7. Giải phương trình vi phân y 00 + 2y 0 + 4y = 0. Giải. Phương trình đặc trưng của nó là

k 2 + 2k + 4 = 0.

1 + i p3,

(cid:0)

i p3. 1

(cid:0)

(cid:0)

x (C1 cos p3x + C2 sin p3x ).(cid:4)

Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp k1 = k2 = Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

117 / 138

y = e(cid:0)

3.3.3. Cách giải dạng phương trình có vế phải dạng đặc biệt

Phương pháp giải đặc biệt Bây giờ ta xét phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

(36)

y 00 + py 0 + qy = f (x ), a < x < b,

trong đó p, q là các hằng số và hàm f (x ) hàm liên tục trong khoảng (a, b). Xét phương trình vi phân thuần nhất tương ứng với phương trình (36)

(37) y 00 + py 0 + qy = 0.

Định lý 3.6. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (36) bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (37) với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (36).

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

118 / 138

3.3.3. Cách giải dạng phương trình có vế phải dạng đặc biệt

Định lý 3.7.( Nguyên lý chồng chất nghiệm). Cho phương trình không thuần nhất

(44)

y 00 + py 0 + qy = f1(x ) + f2(x ).

Nếu y1 là nghiệm riêng của phương trình

y 00 + py 0 + qy = f1(x ),

và y2 là nghiệm riêng của phương trình

y 00 + py 0 + qy = f2(x ),

thì y = y1 + y2 là nghiệm riêng của phương trình (44).

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

119 / 138

Cách tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng dạng không thuần nhất Trường hợp 1. f (x ) = e αx Pn(x ), trong đó α là số thực, Pn(x ) là đa thức bậc n. a) Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng (43), thì ta tìm nghiệm riêng yr theo dạng

yr = e αx Qn(x ), với Qn(x ) là đa thức bậc n, với n + 1 hệ số chưa biết.

b) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (43), thì ta tìm nghiệm riêng yr theo dạng

yr = xe αx Qn(x ), với Qn(x ) là đa thức bậc n.

c) Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (43), thì ta tìm nghiệm riêng yr theo dạng

yr = x 2e αx Qn(x ), với Qn(x ) là đa thức bậc n.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

120 / 138

Các trường hợp cụ thể

Pm(x ) sin βx ], trong đó Pm(x ) là các đa thức bậc n, m tương e

e

i β không là nghiệm của phương trình đặc trưng (43), thì

(cid:6)

Trường hợp 2. f (x ) = e αx [Pn(x ) cos βx + α, β là hằng số thực, Pn(x ), ứng. Khi đó: a) Nếu α một nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng

yr = e αx [Qs (x ) cos βx +

Qs (x ) sin βx ],

e . n, m

f

g

Qs (x ) là các đa thức bậc s = max i β là nghiệm của phương trình đặc trưng (43), thì một e

(cid:6)

với Qs (x ), b) Nếu α nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng

yr = xe αx [Qs (x ) cos βx + Qs (x ) sin βx ],

e

.

n, m

với Qs (x ),

Qs (x ) là các đa thức bậc s = max

g

f

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

121 / 138

(KHUD-HUIT) e

Ví dụ 3.8

2y = 4x 2.

y 0 (cid:0)

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y 00 (cid:0) Giải. Xét phương trình thuần nhất tương ứng

2y = 0.

y 00 y 0

(cid:0)

(cid:0)

Phương trình đặc trưng của nó là

k 2

k

2 = 0.

(cid:0)

1,

(cid:0)

(cid:0) Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt là k1 = k2 = 2. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là

x + C2e2x , trong đó C1, C2 là hai hằng số tùy ý.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

122 / 138

ytq = C1e(cid:0)

Ví dụ 3.8

Đối chiếu với dạng của vế phải f (x ) = 4x 2 = e αx Pn(x ), ta có n = 2, α = 0. Vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng yr của phương trình đã cho theo dạng

yr = e0x Q2(x ) = Ax 2 + Bx + C .

rồi thế vào phương trình đã cho Lấy đạo hàm y 0r , y 00r

2A

(2Ax + B)

2(Ax 2 + Bx + C ) = 4x 2,

(cid:0)

(cid:0)

hay B 2A 2Ax 2 + ( 2B)x + 2A 2C = 4x 2.

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

123 / 138

Ví dụ 3.8

Cân bằng các hệ số cùng bậc ở hai vế, ta được một hệ phương trình tuyến tính

2A = 4, 2A

2B = 0,

8 <

(cid:0) B

(cid:0) (cid:0) 2A

2C = 0.

(cid:0)

3. Vậy : Giải hệ nầy, ta được A =

(cid:0) 2, B = 2, C =

(cid:0) 3.

2x 2 + 2x

(cid:0) yr =

(cid:0)

(cid:0)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

x + C2e2x

3.(cid:4) 2x 2 + 2x y = ytq + yr = C1e(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

124 / 138

Ví dụ 3.9

x .

Giải phương trình y 00 + y = xex + 2e(cid:0) Giải. Xét phương trình thuần nhất tương ứng

y 00 + y = 0.

Phương trình đặc trưng

k 2 + 1 = 0 i . có hai nghiệm phức k1,2 = (cid:6) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là

ytq = C1 cos x + C2 sin x, với C1, C2 là hai hằng số tùy ý.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

125 / 138

Ví dụ 3.9.

Sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm ta tìm nghiệm riêng yr của phương trình đã cho theo dạng tổng

yr = y1 + y2,

trong đó y1, y2 lần lượt là các nghiệm riêng của các phương trình vi phân sau

x .

y 00 + y = xex và y 00 + y = 2e(cid:0)

1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên y1, y2

(cid:6)

x .

Do α = có dạng

y1 = (Ax + B)ex , y2 = Ce(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

126 / 138

Ví dụ 3.9.

Vậy yr có dạng

x .

yr = (Ax + B)ex + Ce(cid:0) rồi thế vào phương trình đã cho, ta thu được

Lấy đạo hàm y 0r , y 00r

x .

x = xex + 2e(cid:0)

y 00r + yr = (2Ax + 2A + 2B)ex + 2Ce(cid:0)

Từ đó ta nhận được một hệ phương trình tuyến tính

8 <

2A = 1, 2A + 2B = 0, 2C = 2.

:

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

127 / 138

Ví dụ 3.9.

2, B = (cid:0)

1 2 , C = 1.

Giải hệ nầy, ta được A = 1 Vậy

x ,

(x

yr =

1)ex + e(cid:0)

1 2

(cid:0)

x .(cid:4)

và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

y = C1 cos x + C2 sin x +

(x

1)ex + e(cid:0) 1 2

(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

128 / 138

Ví dụ 3.10.

4x ).

3y 0 + 2y = ex (3

(cid:0)

Giải phương trình y 00 (cid:0) Giải. Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng

k 2

3k + 2 = 0

(cid:0)

có hai nghiệm thực phân biệt là k1 = 1, k2 = 2. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình đã cho là

ytq = C1ex + C2e2x , trong đó C1, C2 là hai hằng số tùy ý.

4x ) = e αx Pn(x ), ta

(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

129 / 138

Đối chiếu với dạng của vế phải f (x ) = ex (3 có n = 1, α = 1.

Ví dụ 3.10.

Vì α = 1 trùng với một nghiệm của phương trình đặc trưng tìm nghiệm riêng yr được tìm của phương trình đã có theo dạng

yr = xex (Ax + B) = ex (Ax 2 + Bx ).

Thay vào phương trình đã cho và rút gọn, ta thu được

2Ax + 2A

B) = ex (

4x + 3), 3y 0r + 2yr = ex (

y 00r (cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

hay 2Ax + 2A

B =

4x + 3.

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

130 / 138

Ví dụ 3.10.

Từ đó ta nhận được một hệ phương trình tuyến tính

2A =

(cid:0) 2A

4, (cid:0) B = 3.

(cid:26)

(cid:0)

Do đó A = 2, B = 1. Vậy

yr = ex (2x 2 + x ),

và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

y = C1ex + C2e2x + ex (2x 2 + x ).(cid:4)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

131 / 138

Ví dụ 3.11.

3y = f (x ) với f (x ) là các hàm số sau:

Hãy tìm một nghiệm riêng của các phương trình y 00 + 2y 0 (cid:0) a) 2 cos 3x b) 3xex c) (x + 1) cos x d ) 3xex sin x + ex cos x.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

132 / 138

Ví dụ 3.11.

Giải. Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng

k 2 + 2k

3 = 0

(cid:0)

3.

(cid:0) 3i không là nghiệm

(cid:6)

(cid:6)

có hai nghiệm thực phân biệt là k1 = 1, k2 = a) α = 0, β = 3, n = m = 0. Vậy α i β = của phương trình đặc trưng, nên ta tìm một nghiệm riêng theo dạng

yr = A cos 3x + B sin 3x.

Thay vào phương trình đã cho, ta được sau khi rút gọn

6A 12A + 6B) cos 3x + ( 12B) sin 3x = 2 cos 3x. 3yr = ( y 00r + 2y 0r (cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

133 / 138

Ví dụ 3.11.

Cân bằng các hệ số hai vế của phương trình ta được hệ

12A + 6B = 2, 12B = 0. 6A

(cid:26)

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

. Vậy một nghiệm riêng của phương trình , B = 1 15 2 Suy ra A = (cid:0) 15 đã cho là

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

134 / 138

sin 3x. cos 3x + 2 yr = (cid:0) 15 1 15

Ví dụ 3.11.

b) α = 1, n = 1.(trường hợp 1). Vì α = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, nên ta tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng

yr = x (Ax + B)ex = (Ax 2 + Bx )ex .

Thay vào phương trình đã cho, sau khi rút gọn, ta được

3yr = ex (8Ax + 2A + 4B) = 3xex .

y 00r + 2y 0r (cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

135 / 138

Suy ra 8Ax + 2A + 4B = 3x.

Ví dụ 3.11.

Ta thu được hệ

8A = 3, 2A + 4B = 0.

(cid:26)

. Vậy một nghiệm riêng của phương Giải ra ta được A =

3 8

3 , B = (cid:0) 16

trình đã cho là

x 2 x )ex .

yr = (

3 8 3 16

(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

136 / 138

Ví dụ 3.11.

i β =

(cid:6)

(cid:6)

c) α = 0, β = 1, n = 1, m = 0. Vậy α i không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng

yr = (Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x.

Thay vào phương trình đã cho, sau khi rút gọn, ta có

[(

4A + 2C )x + 2A

4B + 2C + 2D] cos x

(cid:0) 2A

2A

(cid:0) +[(

4C )x 2B + 2C 3D] sin x = (x + 1) cos x.

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0) Cân bằng các hệ số hai vế của phương trình ta được hệ

(cid:0)

2A

(cid:0)

8 >><

2A

4A + 2C = 1, 4B + 2C + 2D = 1, 4C = 0, 3D = 0. 2A (cid:0) 2B + 2C

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

>>:

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

137 / 138

Ví dụ 3.11.

. , C = , D =

3 , B = (cid:0) 20

1 10

3 10

1 Giải hệ này ta được A = (cid:0) 5 Vậy một nghiệm riêng của phương trình đã cho là

(

x +

) cos x + (

x +

) sin x.

yr =

1 5

3 20

1 10

3 10

(cid:0)

i không là i β = 1

(cid:6)

(cid:6)

d) α = 1, β = 1, n = 0, m = 1. Vậy α nghiệm của phương trình đặc trưng, nên ta tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng

yr = ex [(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ].

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

138 / 138