Bài giảng môn Giải tích nâng cao - Chương 2: Tích phân bội hai

Chương 2. Tích phân bội hai

CÁC NỘI DUNG SẼ HỌC: 2.1. Phương trình tham số và tọa độ cực của đường cong 2.1.1. Phương trình tham số của đường cong 2.1.2. Phương trình của đường cong trong toạ độ cực 2.2. Tích phân bội hai 2.2.1. Định nghĩa và tính chất của tích phân bội hai 2.2.2. Cách tính tích phân bội hai trong hệ trục tọa độ Đề-các 2.2.3. Đổi biến trong tích phân bội hai 2.2.4. Cách tính tích phân bội hai trong hệ tọa độ cực 2.3. Ứng dụng của tích phân bội hai 2.3.1. Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất 2.3.2. Mômen quán tính của bản phẳng 2.3.3. Trọng tâm của bản phẳng

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

67 / 138

Chương 2. Tích phân bội hai

2.2. TÍCH PHÂN BỘI HAI 2.2.1. Định nghĩa và tính chất của tích phân bội hai

(Oxy ), giới hạn trên bởi mặt cong

(cid:26)

0 và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ với

(cid:21)

= j,

˚Dj = ?,

\

8

Giả sử cần tính thể tích V của vật thể hình trụ cong Ω, giới hạn dưới bởi miền hữu hạn D S : z = f (x, y ) đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn là biên của D. Hàm số z = f (x, y ) xác định, liên tục và không âm trong miền D. Chia miền D một cách tùy ý thành n miền nhỏ D1, D2, ..., Dn không dẫm lên nhau ( nghĩa là ˚Di n i =1Di = D), có các diện tích tương ứng là ∆S1, ∆S2, ..., ∆Sn, [ và qua biên của các miền nhỏ ấy dựng các mặt trụ đường sinh song song với trục Oz. Như vậy hình trụ cong được chia thành n hình trụ cong nhỏ Ω1, Ω2, ..., Ωn.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

68 / 138

Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép - thể tích vật thể hình trụ cong

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

69 / 138

Hình 2.1

Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép - thể tích vật thể hình trụ cong

f (Mi ). Vậy ta có thể xem V (Ωi ) gần bằng thể tích

’

Để tính thể tích của Ωi , lấy trong miền Di một điểm tùy ý Mi (ξi , ηi ) . Do f (x, y ) liên tục trên miền D, nên trên miền nhỏ Di , f (M) hình trụ đáy Di và chiều cao f (Mi )

(24)

∆Vi = V (Ωi )

f (Mi )S (Di ) = f (ξi , ηi ) ∆Si

(cid:25)

và thể tích V của Ω được tính gần đúng bằng tổng sau

(25) V (Ω) f (ξi , ηi ) ∆Si = Vn

(cid:25)

n ∑ i =1

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

70 / 138

Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép - thể tích vật thể hình trụ cong

0 (khi ấy n 0) thì Vn tiến đến

∞, ∆Si

!

Khi tăng số phần chia n lên sao cho các miền nhỏ Di có đường kính d (Di ) (ở đây d (Di ) ký hiệu là đường kính của mảnh Di bằng khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì thuộc Di ) càng nhỏ lại thì sự khác nhau giữa V và Vn càng ít. Cho max d (Di ) giá trị giới hạn là thể tích của khối Ω. Vậy

V (Ω) =

Vn =

f (ξi , ηi ) ∆Si

n ∑ i =1

max n i 1

(cid:20)

lim d (Di ) lim d (Di )

71 / 138

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

{z } |

2.2.1. Định nghĩa và tính chất của tích phân bội hai

Cho hàm z = f (x, y ) xác định trên miền đóng bị chặn D. Ta thực hiện các bước sau: 1. Chia tùy ý miền D thành n miền nhỏ D1, D2, ..., Dn không dẫm lên nhau có diện tích tương ứng là ∆S1, ∆S2, ..., ∆Sn. 2. Trên mỗi Di lấy một điểm tùy ý Mi (ξi , ηi ) . 3. Thiết lập tổng (được gọi là tổng tích phân kép của hàm f (x, y ) trên miền D)

(26)

Sn =

f (ξi , ηi ) ∆Si

n ∑ i =1

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

72 / 138

Rõ ràng tổng Sn phụ thuộc vào cách chia ( mỗi cách chia miền D được gọi là một phân hoạch của miền D), cách lấy điểm trung gian Mi .

2.2.1. Định nghĩa và tính chất của tích phân bội hai

Nếu

R sao cho S không phụ thuộc vào cách

Sn = S

lim d (Di )

9

2

max n i 1

(cid:20)

chia miền D và cách lấy điểm trung gian Mi , thì ta nói hàm f (x, y ) khả tích trên D. Số thực S đgl tích phân bội hai (hay tích phân kép)

Z ZD

của hàm f (x, y ) trên miền D và được ký hiệu f (x, y ) dxdy hay

f (x, y ) dxdy .

Z ZD (cid:14) thức dưới dấu tích phân, D là miền lấy tích phân.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

73 / 138

Hàm số f (x, y ) đgl hàm dưới dấu tích phân, f (x, y ) dxdy đgl biểu

Chú thích

1 Trở lại bài toán tính thể tích hình trụ cong, ta có

Z ZD

2 Xét đường cong (C ) với phương trình tham số

V = f (x, y ) dxdy

x = x (t), y = y (t).

2 > 0.

(cid:26) (C ) được gọi là trơn, nếu x 0(t), y 0(t) liên tục và

(cid:14) (x 0(t))

+ (y 0(t))

(C ) được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành hữu

(cid:14) hạn cung trơn.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

74 / 138

Các tính chất

Tính chất 1. Hàm liên tục trên miền đóng, bị chặn, có biên trơn từng khúc thì khả tích trên miền ấy. Tính chất 2. (Tính tuyến tính)

Z ZD

dxdy = S (D) (diện tích miền D)

Cf (x, y ) dxdy = C

f (x, y ) dxdy

Z ZD

[f (x, y ) + g (x, y )] dxdy =

Z ZD

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

75 / 138

f (x, y ) dxdy + g (x, y ) dxdy

Các tính chất

4. Nếu D được chia thành 2 miền D1 và D2 không dẫm lên nhau thì

Z ZD

Z ZD1

Z ZD2

f (x, y ) dxdy = f (x, y ) dxdy + f (x, y ) dxdy

0 trong D thì 5. Nếu f (x, y )

(cid:21)

0 f (x, y ) dxdy

(cid:21)

Z ZD

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

76 / 138

Các tính chất

6. Nếu f (x, y )

g (x, y ) trong D, thì

(cid:20)

Z ZD

f (x, y ) dxdy g (x, y ) dxdy

(cid:20) Z ZD

7. Nếu M, m là giá trị lớn nhất và bé nhất của f (x, y ) trên D, thì

mS (D) f (x, y ) dxdy MS (D)

(cid:20)

(cid:20) Z ZD

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

77 / 138

Các tính chất

8. ( Định lý giá trị trung bình) Nếu f (x, y ) liên tục trong D thì trong miền đó tìm được ít nhất một điểm M0(ξ0, η0) sao cho

(27)

Z ZD

f (x, y ) dxdy = f (ξ0, η0)S (D).

Z ZD

f (x, y ) dxdy được gọi là giá trị Khi ấy đại lượng α = 1 S (D)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

78 / 138

trung bình của hàm f (x, y ) trên D.

b, x

(x, y ) : a

[c, d ] =

(cid:20)

(cid:2)

f là hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ

d y

(cid:20)

g

2.2.2. Cách tính tích phân bội hai trong hệ trục tọa độ Đề-các 1 0 Xét trường hợp D = [a, b] c độ

. f (x, y ) dxdy =

i/ Nếu f (x, y ) = X (x )Y (y ) thì b a X (x )dx

d c Y (y )dy

D RR

(cid:17) (cid:16)R (cid:17) (cid:16)R ii/ Nếu f (x, y ) tùy ý thì

dx =

f (x, y ) dxdy =

d c f (x, y )dy

b a dx

d c f (x, y )dy

b a

(cid:17)

R

(cid:16)R

R

D RR hay

dy =

b a f (x, y )dx.

d c dy

b a f (x, y )dx

d c

f (x, y ) dxdy =

R

(cid:16)R

R

D RR

(KHUD-HUIT)

79 / 138

(cid:17) Bài giảng môn Giải tích nâng cao

2.2.2. Cách tính tích phân bội hai trong hệ trục tọa độ Đề-các

, trong

g2(x )

(cid:20)

f

g

Xét các trường hợp miền D là hình thang cong. 2 0 Trường hợp D = (x, y ) : a b, g1(x ) y đó y = g1 (x ) là biên dưới, y = g2 (x ) là biên trên.

Giả sử g1(x ), g2(x ) liên tục trên [a, b], hàm f (x, y ) liên tục trên miền D. Khi đó

g2(x )

dx f (x, y )dy

f (x, y ) dxdy =

g (x )

Z ZD

a (cid:18)Z b

g2(x )

(cid:19)

=

g1(x )

a Z b

g2(x )

f (x, y )dydx

=

g1(x )

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

80 / 138

f (x, y )dy

2.2.2. Cách tính tích phân bội hai trong hệ trục tọa độ Đề-các

x y

,

h2(y ), c

(cid:20)

f

g

3 0 Trường hợp D = (x, y ) : h1(y ) d (cid:20) trong đó x = h1 (y ) là biên trái còn x = h2 (y ) là biên phải.

Giả sử h1(y ), h2(y ) liên tục trên [c, d ], hàm f (x, y ) liên tục trên miền D. Khi đó

h2(y )

dy

h1(y )

f (x, y )dx f (x, y ) dxdy =

Z ZD

c (cid:18)Z d

h2(y )

(cid:19)

=

h1(y )

c Z d

h2(y )

f (x, y )dxdy

=

h1(y )

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

81 / 138

f (x, y )dx

Các ví dụ

2.1. Tính tích phân I =

x py dxdy với

R2

Z ZD x

1

4

D =

(x, y )

3, 2 2

2 j

(cid:20) 4

y (cid:20) (cid:20) xy 2 + y

(cid:20) 2.2. Tính tích phân I =

dxdy . (cid:9)

(cid:0)

(cid:8)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

82 / 138

(cid:0) (cid:1)

Các ví dụ

x 2ydxdy , D là tam giác với các đỉnh

2.3. Tính tích phân I =

Z ZD O (0, 0) , A (2, 0) , B (2, 4) .

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

83 / 138

Các ví dụ

sin ydxdy , với D là miền giới hạn bởi các

2.4. Tính tích phân I =

Z ZD

đường y = x, 2y = x, y = 2.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

84 / 138

Đổi thứ tự lấy tích phân

(x, y ) : a

(cid:20)

y2(x ) g y d x

(cid:20)

g

Giả sử miền D trong mặt phẳng có thể viết dưới các dạng b, y1(x ) D = f hoặc D = thì I =

D RR

x (cid:20) (cid:20) (cid:20) (x, y ) : x1(y ) x2(y ), c f f (x, y ) dxdy có thể đưa về một trong hai tích phân lặp

sau đây:

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

85 / 138

Ví dụ 2.5

Hãy viết cận lấy tích phân I =

Z ZD

f (x, y ) dxdy theo hai thứ tự khác

nhau tương ứng trên miền D là tam giác OAB với O (0, 0) , A (1, 0) , B (1, 1) .

dx dy

a. I =

f (x, y ) dy = f (x, y ) dx.

dy dx b. I =

f (x, y ) dx

f (x, y ) dy =

0 1

0 x

0 y

c. I = f (x, y ) dy = f (x, y ) dx dx 1 dy 1

dx

dy

d. I =

f (x, y ) dx

f (x, y ) dy =

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

86 / 138

Giải. Ta vẽ tam giác OAB trong hệ tọa độ Descartes

x

.

x y

y x

1, 0 1, y

D = =

Lúc này miền D được xác định (x, y ) : 0 (x, y ) : 0

(cid:20) (cid:20)

f f

g 1 g

(cid:20) (cid:20) Nên cận của tích phân được viết theo hai thứ tự khác nhau như sau

1 0 dy

x 0 f (x, y ) dy =

1 0 dx

1 y f (x, y ) dx.

I =

R

R Ta chọn đáp án a.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

87 / 138

2.2.3. Đổi biến trong tích phân bội hai

Công thức đổi biến số tổng quát

Giả sử điểm M (x, y ) trong Dxy có thể được xác định bởi (u, v ) trong D 0uv như sau

x = x (u, v ) y = y (u, v ) (cid:26)

trong đó, x (u, v ) và y (u, v ) là các hàm khả vi liên tục, thỏa

J = D(x,y )

= 0 in D 0uv .

D(u,v ) =

x 0u y 0u

Định thức trên được gọi là định thức Jacobi của các hàm (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

x 0v y 0v (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:14) x (u, v ) và y (u, v ). Khi đó, ta có

D(x,y ) D(u,v )

D RR

D 0 RR

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

88 / 138

dudv . f (x, y ) dxdy = f (x (u, v ) , y (u, v ))

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Công thức đổi biến số tổng quát

dxdy với D là Ví dụ 2.5. Tính tích phân I =

(x + y )

(x

y )

(cid:0)

Z ZD miền phẳng giới hạn bởi các đường y = 2, x x + y = 1, x + y = 3, x

y = 5.

(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

89 / 138

2.2.4. Cách tính tích phân bội hai trong hệ tọa độ cực

Trong mặt phẳng Oxy , xét miền D. Vẽ hai tia OA, OB tiếp xúc với miền D và

= β. Khi đó

= α,

(cid:0)!Ox, (cid:0)!OB

(cid:0)!Ox, (cid:0)!OA

(cid:16) OM1 OM2 (cid:17) D (cid:16) M (x, y ) β α (cid:17) OM (cid:20) (cid:20) (cid:0)!Ox, (cid:0)!OM

2 , (

(cid:20)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

90 / 138

(cid:17) (cid:16)

Công thức tọa độ cực

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, (cid:26)

là bán kính

trong đó O là gốc cực, Ox là trục cực và r =

(cid:0)!OM

góc cực, r

0, ϕ

[0, 2π] hoặc

(cid:0)!Ox, (cid:0)!OM

(cid:21)

2

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

cực, ϕ = [ ϕ

(cid:17) π, π]. (cid:16)

(cid:0)

(cid:14)

. r

2 Khi đó, miền D trở thành (r , ϕ) : r1(ϕ)

r2(ϕ), α ϕ β Dr ϕ =

(cid:20)

f

g

và

J = D(x,y )

=

= r .

D(r ,ϕ) =

cos ϕ sin ϕ r sin ϕ (cid:0) r cos ϕ x 0r y 0r

Công thức

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

x 0ϕ y 0ϕ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:14)

f (x, y ) dxdy =

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdrd ϕ.

Z ZD

Z ZDr ϕ

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

91 / 138

2.2.4. Cách tính tích phân bội hai trong hệ tọa độ cực

Cụ thể, ta có các trường hợp

Nếu cực (gốc) của hệ tọa độ nằm ngoài D thì

r2(ϕ)

ϕ2

r1(ϕ)

ϕ1

I = d ϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr .

2π

r (ϕ)

Nếu cực nằm trong D và mỗi tia đi ra từ cực cắt biên D không quá một điểm thì

I = d ϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr .

r (ϕ)

ϕ2

Nếu cực nằm trên biên D thì

I =

ϕ1

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

92 / 138

d ϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr .

Các ví dụ

Z ZD giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm O bán kính lần lượt là 1 và 2.

dxdy , với D là phần Ví dụ 2.6. Tính tích phân I = y 2 x 2 + y 2

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

93 / 138

Ví dụ 2.6.

Giải. Đổi sang tọa độ cực

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (cid:26)

. r

2

(r , ϕ) : 0

2π, 1

(cid:20)

g

f

Khi đó miền D biến thành Dr ϕ = Vậy

2π

ϕ

dr

dxdy = I =

rd ϕ

Z 2

Z ZD 2

2 r 2 sin pr 2 2π

y 2 x 2 + y 2 2π

r 2dr

r 2

2 sin

p dr

=

ϕd ϕ ϕd ϕ =

=

1 Z 7 3

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

94 / 138

π.

2.3. Ứng dụng của tích phân bội hai

2.3.1. Ứng dụng hình học 10 Diện tích hình phẳng

Diện tích miền phẳng

Z ZD

dxdy . S (D) = (28)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

95 / 138

Ví dụ 2.8. 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x, y = x 2 trong góc phần tư thứ nhất. 2. Tính diện tích giới hạn bởi các đường y = 0, y = x, x 2 + y 2 = 2x.

2.3.1. Ứng dụng hình học 20 Thể tích vật thể

(cid:21)

Thể tích khối trụ cong Ω giới hạn trên bởi mặt z = f (x, y ) 0, giới hạn dưới bởi mặt phẳng z = 0 và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục Oz và đường chuẩn là biên miền D được tính bởi công thức:

Z ZD

V (Ω) = f (x, y ) dxdy .

f2 (x, y )) và giới hạn xung 0 (f1 (x, y )

(cid:21)

Trụ cong Ω giới hạn trên bởi mặt z = f2(x, y ), giới hạn dưới bởi mặt z = f1(x, y ) (cid:20) quanh bởi mặt trụ song song với trục Oz và đường chuẩn là biên miền D được tính bởi công thức:

V (Ω) = f1 (x, y )] dxdy .