Bài giảng môn Giải tích nâng cao

Khoa Khoa học Ứng dụng Trường Đại học Công Thương TP. HCM

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

1 / 138

SÁCH, GIÁO TRÌNH CHÍNH Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Toán học cao cấp, tập 3, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Bài tập Toán học cao cấp, tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010. 2. Nguyễn Văn Ý (chủ biên), Toán cao cấp A1, Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh, 2020. 3. Nguyễn Văn Kính (chủ biên), Toán cao cấp A3-C3, Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh, 2013. 4. James Stewart, Calculus, eight edition, Cengage Learning, 2015.

NỘI DUNG MÔN HỌC Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số (5 buổi học) Chương 2. Tích phân bội hai (5 buổi học) Chương 3. Phương trình vi phân cấp hai (5 buổi học)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

2 / 138

CHUẨN ĐẦU RA HỌC PHẦN

1. CLO1(*) gồm có: 1.1. CLO1.1: Giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm riêng, vi phân của hàm số nhiều biến số thực (Chương 1). 1.2. CLO1.2: Giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị của hàm hai biến số (Chương 1). 1.3. CLO1.3: Giải quyết các bài toán liên quan đến tính tích phân bội hai trong hệ tọa độ Đề-các và hệ tọa độ cực (Chương 2). 1.4. CLO1.4: Giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vi phân cấp hai (Chương 3). 2. CLO2 (*): Thực hiện thuần thục kỹ năng tự học, nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến nội dung môn học. 3. CLO3: Thể hiện được kỹ năng hợp tác, tổ chức và làm việc theo nhóm.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

3 / 138

KIỂM TRA VÀ ĐÁNH GIÁ

Điểm tổng kết môn = Điểm QT* 0,5 + Điểm thi CK* 0,5.

1. Điểm quá trình (QT): (tạm gọi là A) được tính như sau: A = (chuyên cần, nhận thức, thái độ) x 0, 2 + điểm bài tiểu luận của cá nhân x 0, 8. Chú ý. Cách tính điểm bài tiểu luận của cá nhân và điểm CLO_ĐQT của từng cá nhân được tính theo quy định của Rubric I.15 khoa KHUD (sẽ gửi cho SV). 2. Thi cuối kỳ (CK): (thi trắc nghiệm trên máy, đề thi có 25 câu, thời gian: 60’, nội dung thi cụ thể sẽ phổ biến sau).

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

4 / 138

PHƯƠNG PHÁP DẠY VÀ HỌC

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

5 / 138

F Phương pháp giảng dạy: Thuyết trình, Vấn đáp, Bài tập tình huống (Bài tập nhóm), Hướng dẫn người học tìm kiếm tài liệu liên quan đến nội dung môn học, đọc hiểu và kiểm tra kiến thức. F Phương pháp học tập: Lắng nghe, ghi chép, ghi nhớ và đặt câu hỏi, Vấn đáp, Đọc tài liệu, thảo luận và giải quyết tình huống, Tìm kiếm tài liệu, đọc tài liệu và đặt câu hỏi thảo luận làm rõ vấn đề mới.

Chương 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ

NHIỀU BIẾN SỐ

CÁC NỘI DUNG SẼ HỌC: 1.1. Các khái niệm cơ bản 1.2. Giới hạn, sự liên tục của hàm số nhiều biến số (tham khảo) 1.3. Đạo hàm riêng, vi phân hàm số nhiều biến số 1.4. Ứng dụng: tìm cực trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm hai biến số, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng và bị chặn

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

6 / 138

Ch1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU

BIẾN SỐ

1.1. Các khái niệm cơ bản 1.1.1. Khoảng cách trong mặt phẳng, trong không gian Tập hợp trong Rn (n = 2, n = 3)

Miền phẳng R2.

, với hệ trục tọa

R =

(x, y ) : x, y

(cid:2)

Ox đgl

Mặt phẳng R2 = R f độ Descertes vuông góc Oxy . Trục ngang Ox đgl trục hoành. Trục thẳng đứng Oy trục tung. Điểm M

R2, M = (x, y ), x, y

R, ta cũng viết M(x, y ). R2. Khoảng cách

Khoảng cách: Cho M(x, y ), M 0(x 0, y 0) giữa M và M 0, ký hiệu là MM 0 cho bởi

(1)

MM 0 =

x 0)2 + (y

y 0)2.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

7 / 138

(x (cid:0) (cid:0)

0, MM 0 = 0

(cid:17)

Với ba điểm M, M 0, M 00 2 , MM 00 + M 00M 0.

R2, ta có M 0, M

: hình tròn mở tâm M0 bán

: hình tròn đóng tâm M0 bán

R2 : MM0 (cid:20) R2 : MM0 = r

: đường tròn đóng tâm M0

MM 0 (cid:21) MM 0 = M 0M, MM 0 (cid:20) Lân cận: Cho M0 2 Br (M0) = M 2 kính r , Br (M0) = kính r , Sr (M0) = f bán kính r .

Chú ý:

R2 và r > 0, ta đặt R2 : MM0 < r

x0)2 + (y

y0)2 < r 2

1/ Br (M0) = 2/ Br (M0) = Br (M0)

(cid:9)

lân cận (hay lân cận) của điểm

(cid:8) Ta cũng gọi Br (M0) là r

M0.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

8 / 138

(x, y ) : (x (cid:0) (cid:0) Sr (M0). [ (cid:0)

Các khái niệm mở đầu

Ω đgl điểm trong của Ω nếu

Điểm M0 2 Ω.

R2.

(cid:14) (cid:26)

Ω

r > 0.

R2 đgl điểm biên của Ω nếu 9 (cid:14) (cid:14) (cid:14)

Ω)

Cho Ω (cid:26) Định nghĩa 1.1. r > 0: Br (M0) Tập hợp Ω đgl mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. Tập hợp Ω đgl đóng nếu phần bù R2(cid:31)Ω là mở. Điểm M0 2 Br (M0)

Điểm biên của Ω có thể thuộc Ω và cũng có thể không thuộc Ω. Tập hợp tất cả các điểm biên của Ω đgl biên của Ω, được ký hiệu

= ∅, (R2 = ∅ và Br (M0) \ \ n 8 6 6

Tập hợp Ω đgl bị chặn nếu nó chứa trong một hình tròn nào đó.

(cid:14) (cid:14) là ∂Ω.

Ω.

Chú ý: Ω đóng

∂Ω

(cid:14)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

9 / 138

(cid:26) ,

Các khái niệm mở đầu

Ω.

Ω bởi một đường liên tục γ

Tập Ω đgl liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kì của M1, (cid:14) M2 2 Tập hợp liên thông đgl đơn liên nếu nó bị chặn bởi một đường (cid:14) cong kín (hình 1.1), là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau từng đôi một (hình 1.2).

Hình 1.1

Hình 1.2

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

10 / 138

(cid:26)

Các khái niệm mở đầu

R =

(x, y , z) : x, y , z

(cid:2)

R R3, M = (x, y , z), ta cũng viết M(x, y , z) thay cho

(cid:2) 2

Tập trong R3 R3 = R Điểm M M = (x, y , z). Khoảng cách giữa M(x, y , z) và M 0(x 0, y 0, z 0), ký hiệu là MM 0 cho bởi

(2)

MM 0 =

x 0)2 + (y

y 0)2 + (z

z 0)2.

(cid:0)

Các ký hiệu Br (M0), Br (M0), Sr (M0) dùng để chỉ quả cầu mở, quả cầu đóng, mặt cầu tâm M0 bán kính r , trong R3. Các khái niệm, điểm trong, điểm biên, tập mở, tập đóng, tập bị chặn cũng định nghĩa tương tự như trên.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

11 / 138

1.1.2. Định nghĩa hàm số nhiều biến số

Định nghĩa hàm số hai biến số

Cho D F Một hàm số hai biến số f : D mỗi cặp (x, y ) trong tập D với một số thực duy nhất ký hiệu là z = f (x, y ), trong đó x, y gọi là các biến độc lập, z gọi là biến phụ thuộc. F Tập D được gọi là miền xác định của f và tập

f (D) =

f (x, y )

R2. (cid:26) R là một quy tắc cho tương ứng !

được gọi là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số f . Qui ước: Hàm z = f (x, y ) có miền xác định là D =

(x, y ) 2 j f g

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

12 / 138

R2 : f (x, y ) có nghĩa (x, y ) f 2 g

Ví dụ 1.1

Tìm miền xác định và tập giá trị của hàm số

x 2

y 2.

g (x, y ) =

Giải. Miền xác định của g là

(cid:0) (cid:0)

x 2

y 2

x 2 + y 2

D =

(cid:9)

(cid:8)

R2 R2 = (x, y ) (x, y ) 2 j (cid:20) (cid:21) (cid:0) j

x 2

z =

y 2, (x, y )

(cid:0) 2 và tập giá trị của hàm số g là

p Do z là căn bậc hai, nên z

0. Và cũng có

(cid:0) (cid:0) 2 j

x 2

y 2

x 2

y 2

(cid:21)

(cid:0) (cid:20)

p 3 (cid:20)

(KHUD-HUIT)

z Bài giảng môn Giải tích nâng cao

13 / 138

(cid:0) Nên tập giá trị của g là ) z (cid:20) 0 (cid:0) (cid:0) = [0, 3] . (cid:20) j g f

1.1.3. Biểu diễn hình học của hàm hai biến

Ω. Ta

z = f (x, y ), (x, y )

Cho hàm hai biến f : (x, y ) xem hàm f (x, y )

f : M

(3)

z = f (M)

2 7(cid:0)! f (M), với M(x, y ) : (cid:17)

và có thể biểu diễn hình học như sau:

Ω ứng với một điểm P(x, y , f (x, y )) trong không

Ω

đgl đồ thị của

P(x, y , f (x, y )) : (x, y )

Vẽ hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz. Mỗi điểm M(x, y ) 2 gian Oxyz. Tập hợp Gf = hàm z = f (x, y ) xác định trên Ω. Đồ thị của hàm hai biến nói chung là một mặt cong trong không gian ba chiều.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

14 / 138

7(cid:0)!

1.1.3. Biểu diễn hình học của hàm 2 biến

Hình 1.3

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

15 / 138

Các ví dụ

Ví dụ 1.2. Hàm z = x 2 + y 2 có đồ thị là một mặt paraboloid tròn xoay. Miền xác định là toàn bộ mặt phẳng ( Hình 1.4).

Hình 1.4

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

16 / 138

Các ví dụ

x 2

y 2 có đồ thị là nửa mặt cầu đơn vị, 0. Miền xác định là tập những

9. Đó là hình

Ví dụ 1.3. Hàm z = (cid:0) tâm tại gốc tọa độ, nằm về phía z p y 2 điểm (x, y ) sao cho 9 (cid:0) tròn đơn vị đóng tâm O.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

17 / 138

(cid:0) x 2 (cid:21) 0 hay x 2 + y 2 (cid:0) (cid:21) (cid:20)

1.1.4. Sự hội tụ của dãy điểm trong mặt phẳng, trong không gian

Mk (xk , yk )

Định nghĩa 1.2. Dãy điểm M0(x0, y0), nếu

(4)

R2 đgl hội tụ đến f g (cid:26)

x0)2 + (yk

y0)2 = 0.

lim ∞ k !

Mk M0 = lim ∞ !

Chú ý: Sự hội tụ trong R2 chính là sự hội tụ theo từng thành phần tọa độ.

y0.

(xk (cid:0) (cid:0)

∞

x0 và yk ! ! M0 (0, 1) khi k

∞.

1 khi k

M0 () Ví dụ 1.4. Ta nói Mk (xk , yk ) và yk

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

18 / 138

! () ! ! ! ! Dãy điểm hội tụ trong R3 được định nghĩa một cách tương tự.

1.2. Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến số

Định nghĩa 1.3. Hàm số f (x, y ) xác định trong miền D chứa điểm M0 (x0, y0) , có thể trừ điểm M0, gọi là dần đến L khi M (x, y ) dần đến M0 (x0, y0) nếu với mọi dãy Mk (xk , yk ) (khác M0) thuộc miền D dần đến M0 ta đều có

f (xk , yk ) = L.

lim ∞ k !

Khi đó ta nói giới hạn của f (x, y ) khi (x, y ) dần đến (x0, y0) là L. Ký hiệu

f (x, y ) = L.

(x,y )

(x0,y0)

lim !

Chú ý: Giới hạn của hàm số nếu có là duy nhất.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

19 / 138

1.2. Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến số

Ký hiệu

f (M) = L, hay

f (x, y ) = L,

(x,y )

(x0,y0)

lim !

lim ! lim

hay

f (x, y ) = L,

x y

x0, y0

L khi M

f (x, y )

L khi (x, y )

M0. (5)

Định nghĩa 1.4. Khái niệm giới hạn vô hạn được định nghĩa:

! ! (x0, y0), hay f (M) ! ! ! !

Ω : 0 < MM0 < δ

δ > 0, =

f (M) = +∞ đ/n ,

(cid:18)

(cid:19)

M 8 2 f (M) > A )

lim ! Khái niệm giới hạn hàm nhiều hơn 2 biến cũng được định nghĩa

R, 2 9 8

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

20 / 138

(cid:14) một cách tương tự. (KHUD-HUIT)

Ví dụ 1.5. Tìm

f (x, y ) với f (x, y ) =

x 1 (cid:0) x 2 + y 2

(x,y )

(0,1)

1 khi

0 và yk

lim ! Giải. Lấy dãy (xk , yk ) ∞, ta có k

1.(cid:4)

(0, 1), tức là xk ! ! ! !

f (xk , yk ) =

(xk ,yk )

(0,1)

(x,y )

(0,1)

1 xk (cid:0) k + y 2 x 2 k

f (x, y ) = lim ∞ !

lim !

Định lý 1.5.Giả sử

g (M) = L2. Khi đó

f (M) = L1,

lim !

(i)

(ii)

= (cid:0)

(iii)

lim ! [f (M) + g (M)] = L1 + L2, [f (M)g (M)] = L1L2, kf (M) = kL1, k

Ω.

(iv)

f (M) g (M)

L1 L2

lim M0 ! lim M0 ! lim ! lim ! (KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

21 / 138

= = 0 = g (M), 2 , nếu L2 6 8 2 6

Các ví dụ

(dạng

Ví dụ 1.6. Tính L =

0 0

(x,y )

(0,0)

sin xy p4 0.

lim 2 (cid:0) ! (0, 0), ta có xy

(cid:0)

Giải. Khi (x, y ) Do đó sin xy

! ! xy ,

xy 4

xy 4 (cid:0)

1 +

p4 = (cid:24) xy = 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:16) 1)

(cid:17) 1 2. 2

xy 4

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

= = (cid:0) xy 4 (cid:0) (cid:0) (cid:24) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Vậy

L =

(x,y )

(0,0)

(x,y )

(0,0)

sin xy p4

lim !

= 4. =

xy xy 4

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

22 / 138

(cid:0) (cid:0)

Định lý giới hạn kẹp

Định lý 1.6. Cho f , g , h : D

f (x, y )

R2 R. Giả sử

Nếu

(x,y )

(x0,y0)

lim !

(x0,y0) g (x, y ) = L.

(x,y )

(x0,y0)

(x,y ) lim !

Ví dụ 1.7. Tìm giới hạn

x 2y x 2 + y 2

(x,y )

(0,0)

lim !

x 2y

0, khi x

0 và y

(cid:26) g (x, y ) ! h (x, y ) , (x, y ) 8 2 h (x, y ) = L, thì tồn tại (cid:20) f (x, y ) = (cid:20) lim !

Giải. Ta có x 2y x 2 + y 2

x 2y x 2 = (cid:12) (cid:12)

x 2 + y 2 (cid:20) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Do đó theo định lý giới hạn kẹp

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= ! ! (cid:20) j j !

x 2y x 2 + y 2

x 2y x 2 + y 2 = 0.

(x,y )

(0,0)

(x,y )

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) lim !

(KHUD-HUIT)

lim ! Bài giảng môn Giải tích nâng cao

23 / 138

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(0,0) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= 0 nên

Chứng minh hàm số không có giới hạn

∞ f (xk , yk ) = L1;

∞ f (x 0k , y 0k ) = L2.

f (x, y ) .

(x,y )

Ngoài ra, khi cần chứng minh giới hạn hàm số không tồn tại tại điểm M0 (x0, y0) ta có thể làm như sau. Hàm số f (x, y ) xác định trong miền D chứa điểm M0 (x0, y0) . - Xét dãy Mk (xk , yk ) (khác M0) thuộc miền D dần đến M0 và limk - Xét dãy M 0k (x 0k , y 0k ) (khác M0) thuộc miền D dần đến M0 và limn - Nếu L1 6

(x0,y0)

lim !

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

24 / 138

= L2 thì không tồn tại

Ví dụ 1.8. Chứng minh rằng không tồn tại

xy x 2 + y 2

(x,y )

(0,0)

lim !

. Lấy hai dãy

Giải. Ký hiệu f (x, y ) =

xy x 2 + y 2

với (xk , yk ) =

Mk (xk , yk )

(cid:19)

(cid:18)

với

+∞ (0, 0) , khi k ! ! g f

x 0k , y 0k

M 0k

1 k 1 k

1 k 2 k

(cid:19)

(cid:18)

(cid:1)

(cid:1)(cid:9)

(cid:0)

(cid:8) Ta có

, khi k

+∞ = (0, 0) , khi k ! !

f (Mk ) = f (xk , yk ) =

2 =

1 2

1 1 k k 2 +

2 (cid:0)

1 k 2 1 (cid:1) k 2

1 k

(cid:1)

và f

, khi k

+∞ ! !

(cid:0) = f (x 0k , y 0k ) =

M 0k

(cid:0) 2 =

2 5

2 (cid:1) k 2 5 k 2

(cid:1)

(cid:0)

1 k

2 k

(cid:1)

(cid:0)

(cid:1)

(cid:0)

(cid:1)

(cid:0)

(cid:1)

1 2 (cid:0) (cid:1) k k 2 + tức là với hai dãy điểm Mk (xk , yk ) và M 0k (x 0k , y 0k ) cùng hội tụ về (0, 0), ta có hai giới hạn khác nhau, nên không tồn tại giới hạn.(cid:4)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

25 / 138

+∞ ! !

1.2.2. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

Định nghĩa 1.7. Cho f : Ω

Ω. f (M) = f (M0).

Ta nói f liên tục tại điểm M0, nếu lim !

Ω.

R2 (cid:26) ! R và M0 2 (cid:14)

8 2

Ω, Mk

f (Mk )

M0)

f (M0)) Ω. Nếu f , g liên tục

M0 Ta nói f liên tục trên Ω, nếu f liên tục tại (cid:14) Định lý 1.8. f liên tục tại M0 , (cid:0)! 8f Định lý 1.9. Cho f , g xác định trên Ω, M0 2 tại M0 (trên Ω) thì

g liên tục tại M0 (trên Ω)

( g(cid:26) !

f fg liên tục tại M0 (trên Ω) kf (k

(cid:6)

Ω), thì

liên tục tại M0 (trên

Nếu g (M0)

f g

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

26 / 138

R) liên tục tại M0 (trên Ω) 2 (cid:14) (cid:14) (cid:14) = 0 (g (M) = 0 8 2 6 6 (cid:14) Ω).

Các tính chất

Định lý 1.10. Cho f : Ω chặn Ω. Khi đó

R2 R là liên tục trên tập đóng và bị !

Ω.

C > 0 :

f (M)

(cid:26) f bị chặn trên Ω, nghĩa là: (cid:14)

Ω

2 8 9 j (cid:20)

M1, M2 2

f (M)

f (M1)

f (M2)

f (M),

f (M).

Giá trị f (M1) gọi là GTNN trên Ω, đạt tại điểm M1, ký hiệu là min Ω M 2 Giá trị f (M2) gọi là GTLN trên Ω, đạt tại điểm M2, ký hiệu là max Ω M 2

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

27 / 138

j f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên Ω, tức là, (cid:14) sao cho 9 Ω. (cid:20) (cid:20) 8 2

Ví dụ 1.9. Xét tính liên tục của hàm

, (x, y )

f (x, y ) =

x 2 y 2 (cid:0) px 2+y 2 0,

(

Giải. Ta có f xác định trên R2.

liên tục trên

Tại (x, y )

y 2 (cid:0) px 2+y 2

= (0, 0), 6 (x, y ) = (0, 0).

(cid:0)

x 2 + y 2

6 (0, 0) nf = (0, 0), ta có f (x, y ) = x 2 R2 . g Tại (x, y ) = (0, 0), ta có

f (x, y )

x 2+y 2 px 2+y 2

x 2 y 2 px 2+y 2 (cid:20)

khi (x, y ) p

f (x, y ) = 0 = f (0, 0)

f liên tục tại (0, 0).

(x,y )

= j = j (cid:20) j j ! (0, 0). !

lim !

)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

28 / 138

) (0,0) Vậy f liên tục trên R2.

Ví dụ 1.10.

Tìm a

, (x, y )

R để hàm số sau liên tục tại (0, 0)? 2

f (x, y ) =

y 2 x 2 (cid:0) (cid:0) x 2 + y 2

p a,

8 <

Giải. Ta có f xác định trên R2. Ta có

f (0, 0) = a,

ta cần tính

f (x, y ).

(x,y ) Nhắc lại. Ta có

0 nên

lim (0,0) ! (1 + x )α

= (0, 0), (cid:0) 6 (x, y ) = (0, 0).

αx (α

(cid:2)

(cid:3)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

29 / 138

= 0) khi x (cid:0) (cid:24) ! 6

Ví dụ.

f (x, y ) =

y 2 x 2 (cid:0) (cid:0) x 2 + y 2

(x,y )

(0,0)

(x,y )

(0,0)

lim !

(cid:0)

2( 3 r

x 2 + y 2 8 (cid:0) x 2 + y 2

(x,y )

(0,0)

lim !

1/3

1 +

(cid:0) =

(cid:19)(cid:19)

"(cid:18)

(cid:18)

x 2 + y 2 8 x 2 + y 2

(x,y )

(0,0)

lim !

(cid:0) (cid:0) =

1 3

1 12

x 2 + y 2 8 (cid:0) x 2 + y 2

(x,y )

(0,0)

lim !

Vậy f liên tục tại (0, 0)

f (x, y ) = f (0, 0)

a =

1 12

(x,y )

(0,0)

( ) = = (cid:0)

lim !

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

30 / 138

, , (cid:0)

1.3. Đạo hàm riêng, vi phân hàm số nhiều biến số

Ω, lấy ∆x, ∆y

Ω.

1.3.1. Đạo hàm riêng 1.3.1.1. Đạo hàm riêng cấp một Định nghĩa 1.11. Cho tập mở Ω M0(x0, y0) 2 (x0, y0 + ∆y ) 2 1. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

f (x, y )

R. Cho ! (cid:26) R2 và f : Ω R sao cho (x0 + ∆x, y0), 2

f (x + ∆x, y ) ∆x

lim ∆x !

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm f (x, y ) theo biến x tại điểm (x, y ) và được chỉ bởi một trong các kí hiệu

(cid:0)

∂f ∂x

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

31 / 138

(x, y ) , f 0x (x, y ) , f 0x , fx .

1.3.1.1. Đạo hàm riêng cấp một

Định nghĩa 1.11. 2. Tương tự, nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

f (x, y )

f (x, y + ∆y ) ∆y

lim ∆y !

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm f (x, y ) theo biến y tại điểm (x, y ) và được chỉ bởi một trong các kí hiệu

(cid:0)

∂f ∂y

Nhận xét. Quy tắc tính đạo hàm riêng của z = f (x, y ) . 1. Để tìm fx (x, y ) , xem y như là hằng số và chỉ đạo hàm f (x, y ) theo biến x. 2. Để tìm fy (x, y ) , xem x như là hằng số và chỉ đạo hàm f (x, y ) theo biến y .

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

32 / 138

(x, y ) , f 0y (x, y ) , f 0y , fy .

Đạo hàm riêng cấp một

Ví dụ 1.11. Cho hàm f (x, y ) = x 3y

3x 2y + y 3. Tính

∂f ∂x

∂f ∂y

Giải. Ta có

6xy ,

3x 2 + 3y 2.(cid:4)

(cid:0)

∂f ∂x

∂f ∂y

= 3x 2y = x 3 (cid:0) (cid:0)

Ví dụ 1.12. Cho hàm f (x, y ) = cos

. Tính f 0x (1,

π 2

y x

(cid:17)

(cid:16)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

33 / 138

). ), f 0y (1,

1.3.1.2. Đạo hàm riêng cấp cao

đgl các

Cho hàm hai biến z = f (x, y ). Các đạo hàm riêng

∂z ∂x

∂z ∂y

∂

(6)

đhr cấp một, và là các hàm theo hai biến x, y . Các đạo hàm riêng (nếu có) của đhr cấp một đgl các đhr cấp hai của z.Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai: ∂x ( ∂f

∂

(7)

∂x ) = ∂2f ∂y ( ∂f

∂x 2 = f 00xx (x, y ) = f 00x 2(x, y ), ∂x ) = ∂2f ∂x ∂y = f 00xy (x, y ),

∂

(8)

∂x ( ∂f

∂y ) = ∂2f

∂y ∂x = f 00yx (x, y ),

∂

(9)

∂y ( ∂f

∂y 2 = f 00yy (x, y ) = f 00y 2(x, y ),

3 một cách tương

∂y ) = ∂2f Người ta cũng định nghĩa đạo hàm riêng cấp n tự.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

34 / 138

(cid:21)

Ví dụ 1.13.

xy 4. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của

Cho hàm f (x, y ) = x 2y f . Giải. Ta có

y 4,

4xy 3,

(cid:0)

∂f ∂x

∂f ∂y

= 2xy = x 2 (cid:0) (cid:0)

y 4) = 2y ,

4y 3,

) = (2xy ( (cid:0)

y 4) = 2x

∂ ∂x ∂ ∂y

∂f ∂x ∂f ∂x

∂ ∂x ∂ ∂y

4y 3,

= ( ) = (2xy (cid:0) (cid:0)

4xy 3) = 2x

∂ ∂x

∂f ∂y

∂ ∂x

12xy 2.

= ( ) = (x 2 (cid:0) (cid:0)

4xy 3) =

∂2f ∂x 2 = ∂2f ∂x ∂y ∂2f ∂y ∂x ∂2f ∂y 2 =

∂ ∂y

∂f ∂y

∂ ∂y

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

35 / 138

( ) = (x 2 (cid:0) (cid:0)

.(cid:4)

(10)

Định lý Schwartz. Cho hàm hai biến f (x, y ) có các đạo hàm riêng đến cấp hai và chúng liên tục trong tập mở U. Khi đó ∂2f ∂x ∂y

∂2f ∂y ∂x

x 3y 3 = cos (x + y )

x 3y 3 = sin (x + y ) d. z (6)

b. z (6) cos (x + y ) .

sin (x + y )

x 3y 3 =

Ví dụ 1.14. Cho hàm số z = f (x, y ) = sin (x + y ) .Khẳng định nào sau đây đúng: a. z (6) c. z (6) x 3y 3 = Giải. Ta có

cos (x + y )

(cid:0) (cid:0)

sin (x + y ) .

sin (x + y ) , z 000x 3 = (cid:0) x 3y 3 =

x 3y 2 = cos (x + y ) , z (6)

z 0x = cos (x + y ) , z 00x 2 = x 3y = sin (x + y ) , z (5) z (4)

(cid:0)

xy 4. Tính các đạo hàm

(cid:0)

Ta chọn đáp án c. Ví dụ 1.15. 1. Cho hàm f (x, y ) = x 2y riêng cấp hai của f . 2. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm f (x, y ) = x 2exy 2.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

36 / 138

(cid:0)

1.3.1.3. Đạo hàm của hàm hợp (tham khảo)

Cho z = f (u, v ), trong đó u, v là hai hàm theo hai biến độc lập x, y : u = u(x, y ), v = v (x, y ). Khi đó ta nói rằng z là một hàm hợp của x, y thông qua hai biến trung gian u, v :

z = f (u(x, y ), v (x, y )) .

liên tục, thì tồn tại các đạo hàm riêng

và

∂u ∂y

∂v ∂x

∂v ∂y

∂z ∂x

∂z ∂y

Định lý 1.12. Nếu hàm f khả vi và nếu u, v có các đạo hàm riêng ∂u ∂x ta có

= +

∂z ∂x ∂z ∂y

∂f ∂u ∂f ∂u

∂u ∂x ∂u ∂y

∂f ∂v ∂f ∂v

∂v ∂x ∂v ∂y

8 >>< >>:

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

37 / 138

= +

Ví dụ 1.16.

Cho z = eu ln v , u = xy , v = x 2 + y 2. Tính

∂z ∂x

∂z ∂y

Giải. Ta có

eu 1 v

∂z ∂x

∂z ∂u

∂u ∂x

∂z ∂v

∂v ∂x

(cid:19)

(cid:18) ,

y ln(x 2 + y 2) +

= + = (eu ln v ) y +

2x x 2 + y 2

(cid:21)

(cid:20)

= exy

eu 1 v

∂z ∂y

∂z ∂u

∂u ∂y

∂z ∂v

∂v ∂y

(cid:19)

(cid:18) .(cid:4)

= + = (eu ln v ) x +

x ln(x 2 + y 2) +

2y x 2 + y 2

(cid:20)

(cid:21)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

38 / 138

= exy

1.3.1.4. Đạo hàm riêng của hàm ẩn (tham khảo)

y 0 (x ) =

Fx Fy

y ) = xey . Tính y 0 (x ) .

= F Giả sử ta có phương trình F (x, y ) = 0, ta xem y là một hàm ẩn khả vi theo biến x, nghĩa là y = f (x ) , với F (x, f (x )) = 0 với mọi x trong tập xác định của f . Khi đó dy dx (cid:0)

Ví dụ 1.17. Cho hàm ẩn y = y (x ) xác định từ phương trình cos (x Giải. Ta viết lại phương trình trên

xey = 0,

cos (x

y )

(cid:0)

và đặt

xey .

F (x, y ) = cos (x

y )

(cid:0) (cid:0)

y 0 =

dy dx

sin (x sin (x

y ) + ey xey y )

Fx Fy

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

39 / 138

= = (cid:0) ey xey = (cid:0) y ) (cid:0) y )) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1.3.1.4. Đạo hàm riêng của hàm ẩn

∂z ∂x

Fy Fz

4xz + y 2

2, 2) .

= = F Giả sử ta có phương trình F (x, y , z) = 0, ta xem z là một hàm ẩn khả vi theo biến x và y . Nghĩa là F (x, y , f (x, y )) = 0 với mọi x, y trong tập xác định của f . Khi đó ∂z ∂y (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

4xz + y 2 4z

4. Khi đó 4z

(cid:0)

z 0x =

3z 2

z 0y =

3z 2

Fx Fz Ví dụ 1.18. Cho hàm số z = z (x, y ) xác định từ phương trình z 3 4 = 0. Tính z 0x , z 0y tại M0 (1, Giải. Đặt F (x, y , z) = z 3 Fx Fz Fy Fz

Cho x = 1, y =

2, z = 2, ta được z 0x = 1 và z 0y =

1 2

(cid:0) = = (cid:0) 3z 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2y = (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

40 / 138

(cid:0)

1.3.2. Vi phân

Ω. Lấy ∆x,

Ω.

1.3.2.1. Vi phân cấp một Định nghĩa 1.13. Cho hàm f : Ω ∆y

Nếu số gia toàn phần ∆f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y )

∆f = A∆x + B∆y + α∆x + β∆y = A∆x + B∆y + o(ρ),

0, β

R và M0(x0, y0) ! R khá bé s/c (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) 2 2 2 f (x0, y0) có (cid:0) (cid:14) thể biểu diễn được dưới dạng

! !

trong đó A, B là hằng số, còn α 0, khi (∆x )2 + (∆y )2 0 thì ta nói f khả vi tại M0(x0, y0), biểu ρ = thức A∆x + B∆y đgl vi phân toàn phần của hàm z = f (x, y ) tại điểm M0(x0, y0), ký hiệu là

df (x0, y0) = A∆x + B∆y .

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

41 / 138

Các tính chất

Nếu hàm f khả vi tại mọi điểm thuộc Ω thì ta nói rằng nó khả vi trên Ω. Vi phân của hàm nhiều hơn hai biến cũng được định nghĩa tương tự. Chú thích. Nếu hàm f khả vi tại điểm (x0, y0), thì f liên tục tại (x0, y0).

Định lý 1.14. Nếu hàm f khả vi tại điểm M0(x0, y0), thì

∂f ∂x

∂f ∂y

(x0, y0), (x0, y0) và 9

df (x0, y0) =

∂f ∂x

∂f ∂y

Chú thích. Điều ngược lại của định lí trên, là không đúng.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

42 / 138

(x0, y0)∆x + (x0, y0)∆y .

Vi phân cấp một

trong một

Định lý 1.15. Nếu hàm f có các đạo hàm riêng

∂f ∂x

∂f ∂y

liên tục tại điểm

lận cận của (x0, y0) và các đạo hàm riêng

∂f ∂x

∂f ∂y

Chú thích. Cũng như đối với hàm số một biến số, nếu x, y là biến số độc lập thì dx = ∆x, dy = ∆y , do đó

dz = f 0x dx + f 0y dy .

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

43 / 138

(x0, y0), thì hàm f khả vi tại điểm (x0, y0).

Các tính chất của vi phân

Quy tắc tính vi phân:

dg ,

g ) = df

1 d (f 2 d (fg ) = gdf + fdg , fdg

gdf

3 d

(cid:6) (cid:6)

f g

(cid:18)

= = 0). (g 6

x 2 + y 2.

Ví dụ 1.19. 1. Tính vi phân toàn phần của hàm số z = 2. Tính vi phân toàn phần của hàm số u = xeyz .

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

44 / 138

(cid:0) g 2 (cid:19) 4 df (u(x, y )) = df du (u(x, y ))du(x, y )

1.3.2.2. Ứng dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng

Nếu hàm f khả vi tại điểm (x0, y0), ta có

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y )

f (x0, y0) = ∂f

∂x (x0, y0)∆x + ∂f

∂y (x0, y0)∆y + o(̺), (11)

với ̺ =

(cid:0)

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y )

f (x0, y0) +

(∆x )2 + (∆y )2. Khi ∆x, ∆y khá bé, ta có

∂f ∂x

∂f ∂y

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

45 / 138

(x0, y0)∆x + ’ (x0, y0)∆y . (12)

Xấp xỉ tuyến tính

Kí hiệu x = x0 + ∆x, y = y0 + ∆y , ta có

f (x, y )

x0) + ∂f

f (x0, y0) + ∂f

∂x (x0, y0)(x

∂y (x0, y0)(y

y0). (13)

(cid:0) (cid:0) ’

(x, y ). Như Vế phải của (13) là một hàm bậc nhất, ta kí hiệu nó là vậy, trong lân cận của (x0, y0) thì hàm f (x, y ) được xấp xỉ bằng một hàm tuyến tính (x, y ). Hàm số L

x0) +

y0)

∂f ∂x

∂f ∂y

(14)

được gọi là xấp xỉ tuyến tính của f (x, y ) trong lân cận của điểm (x0, y0).

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

46 / 138

(x0, y0)(x (x0, y0)(y (x, y ) = f (x0, y0) + (cid:0) (cid:0) L

Ví dụ 1.20.

1. Tính gần đúng A =

x 2 + y 2.

x0 = 0, 012,

(3, 012)2 + (3, 997)2.

Giải. Đặt x = 3, 012 và y = 3, 997. Xét hàm f (x, y ) = Chọn (x0, y0) = (3, 4), ∆x = x ∆y = y 0, 003. Khi đó y0 = A = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y )

f (x0, y0) + ∂f

∂x (x0, y0)∆x + ∂f

∂y (x0, y0)∆y .

f (3, 4) + ∂f

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

∂y (3, 4)∆y .

Hay A Ta có: f (3, 4) = p32 + 42 = 5, ∂f

∂f ∂x (3, 4) = 3

’ ∂x (3, 4)∆x + ∂f ’

.Vậy

∂f ∂y (x, y ) =

∂x (x, y ) = ∂f ∂y (3, 4) = 4

px 2+y 2 )

0, 012 + 4

0, 003) = 5, 0048.(cid:4)

5 (cid:2)

0, 69.

5 (cid:2) (cid:0) 2. Tính gần đúng B = 2, 033,04, biết ln 2

px 2+y 2 ) 5 + 3 ( ’

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

47 / 138

’

1.3.2.3. Vi phân cấp cao

Xét hàm số z = f (x, y ). Vi phân cấp một

(15)

dz = f 0x dx + f 0y dy ,

nếu tồn tại, cũng là một hàm số của x, y . Vi phân cấp hai của z được kí hiệu là d 2z, được định nghĩa là

d 2z :đ/n

Cứ tiếp tục như vậy ta định nghĩa các vi phân cấp cao hơn

d 3z = d (d 2z) ...

d nz = d (d n

1z).

(cid:0)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

48 / 138

= d (dz) = d (f 0x dx + f 0y dy ).

Vi phân cấp cao

Định lý 1.16. Công thức vi phân cấp 2 của f là

d 2z = f 00x 2(dx )2 + 2f 00xy dxdy + f 00y 2(dy )2

fxx dx 2 + 2fxy dxdy + fyy dy 2.

4x 2y 2. Tính d 2z.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

49 / 138

(cid:0) (cid:17) Ví dụ 1.21. 1. Cho hàm số z = x 4 + y 4 2. Cho hàm số f (x, y ) = (x + y )exy . Tính d 2f (1, 1).

1.4. Ứng dụng

Ω.

1.4.1. Cực trị hàm hai biến số Định nghĩa 1.17. Cho hàm hai biến f : Ω M0(x0, y0)

R2 R và cho (cid:26) !

Ta nói hàm f đạt cực tiểu (địa phương) tại M0 nếu có Br (M0)

(16)

f (x, y )

2 Ω sao cho (cid:14) 9 (cid:26)

f (x0, y0),

Br (M0).

Ω sao cho

Ta nói rằng hàm f đạt cực đại (địa phương) tại M0 nếu Br (M0)

(x, y ) (cid:21) 8 2

(17)

f (x, y )

(cid:14) 9 (cid:26)

f (x0, y0),

Br (M0).

(x, y ) (cid:20) 2

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

50 / 138

8 Nếu hàm f đạt cực tiểu hay cực đại (địa phương) tại M0 thì ta nói (cid:14) hàm f đạt cực trị (địa phương) tại M0.

Qui tắc tìm cực trị không điều kiện (cực trị tự do)

Ω và nếu f có các đạo hàm riêng tại

∂y (x0, y0) = 0 hoặc ít nhất một trong

Định lý 1.18. (Điều kiện cần). Nếu hàm f đạt cực trị (địa phương) tại M0(x0, y0) M0(x0, y0) thì ∂f các đhr ∂f

∂y (x0, y0) không tồn tại.

∂x (x0, y0), ∂f

2 ∂x (x0, y0) = ∂f

Định lý 1.19. Điểm (x0, y0) mà tại đó

∂f ∂x

∂f ∂y

được gọi là điểm dừng.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

51 / 138

(x0, y0) = (x0, y0) = 0,

Qui tắc tìm cực trị không điều kiện (cực trị tự do)

Định lý 1.20. (Điều kiện đủ của cực trị). Giả sử hàm hai biến f có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0). Đặt:

∂x ∂y (x0, y0), C = ∂2f

∂x 2 (x0, y0), B = ∂2f

∂y 2 (x0, y0),

A = ∂2f ∆ = B 2

Khi đó: a) Nếu ∆ < 0 và A > 0 (hay C > 0) thì f đạt cực tiểu tại M0, b) Nếu ∆ < 0 và A < 0 (hay C < 0) thì f đạt cực đại tại M0, c) Nếu ∆ > 0 thì f không đạt cực trị tại M0, d) Nếu ∆ = 0 ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

52 / 138

(cid:0)

Qui tắc tìm cực trị tự do của hàm hai biến Để tìm điểm cực trị tự do của z = f (x, y ), ta thực hiện các bước: Bước 1. Tìm điểm dừng của hàm số bằng cách giải hệ

f 0x (x, y ) = 0 f 0y (x, y ) = 0

(cid:26)

(cid:16)

AC .

Giả sử ta tìm được các điểm dừng Mi (xi , yi ) , i = 1, ..., n. f 00x 2, f 00xy và f 00y 2 Bước 2. Tính các ĐHR cấp 2 của hàm f (cid:17) Bước 3. Tính giá trị các ĐHR cấp 2 tại các điểm dừng và đặt A = f 00x 2 (Mi ) , B = f 00xy (Mi ) , C = f 00y 2 (Mi ) , ∆ = B 2 Bước 4. Kết luận.

- Nếu

thì Mi là điểm cực đại của hàm số f .

(cid:26)

- Nếu

thì Mi là điểm cực tiểu của hàm số f .

∆ < 0 A < 0 ∆ < 0 A > 0

(cid:26)

- Nếu ∆ > 0 thì Mi không phải là điểm cực trị của hàm số f . - Nếu ∆ = 0 thì ta chưa thể kết luận.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

53 / 138

(cid:0)

Cực trị tự do-Ví dụ

3xy .

Ví dụ 1.22. Tìm cực trị của hàm số z = x 3 + y 3 Giải. Giải hệ

3y = 0, 3x = 0.

(cid:26)

(cid:0)

y = x 2, x 3 x

(cid:0) (cid:0)

x = 0. ,

(cid:26)

x = 0 (cid:0) x = 1

y = 0 (cid:1) y = 1.

z 0x (x, y ) = 3x 2 z 0y (x, y ) = 3y 2 y = x 2, 2 x 2 (cid:0) y = x 2, (cid:0) (cid:1) x = 0

= 0. , (cid:0)

x = 1. ,

(cid:26)

(cid:20)

ta được hai điểm dừng M1(1, 1) và M2(0, 0).

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

54 / 138

, ) ) _

5.4.1.2. Cực trị không điều kiện-Ví dụ

3x.

3y , z 0y (x, y ) = 3y 2

Ví dụ 1.22. z 0x (x, y ) = 3x 2 Ta có

3, z 00yy (x, y ) = 6y .

z 00xx (x, y ) = 6x, z 00xy (x, y ) =

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

B 2 = 27 > 0 và A = 6 > 0. Vậy 1.

) (cid:0)

3, C = 0,

B 2 =

9 < 0. Vậy hàm z không đạt cực trị tại M2.(cid:4)

Tại M1(1, 1) ta có: A = z 00xx (1, 1) = 6, B = z 00xy (1, 1) = ∆ = AC C = z 00yy (1, 1) = 6 hàm z đạt cực tiểu tại M1 và zmin = z(1, 1) = Tại M2(0, 0) ta có: A = 0, B = ∆ = AC Ví dụ 1.23. Tìm cực trị của hàm số z = x 3 + y 3 + 3xy .

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

55 / 138

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1.4.2. Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)

Định nghĩa 1.21. Cho đường cong (γ) : ϕ(x, y ) = 0.

Ta nói rằng hàm f (x, y ) với điều kiện ϕ(x, y ) = 0 đạt cực tiểu tại Ω sao cho

(18)

f (x, y )

(cid:14) điểm M0(x0, y0) nếu tồn tại một hình tròn mở Br (M0)

f (x0, y0),

Như vậy ta chỉ so sánh f (M0) với f (M) khi M nằm trên (γ)

Br (M0).

(x, y ) (γ) (cid:26) Br (M0). 8 2 \ (cid:21)

Ta cũng định nghĩa cực đại có điều kiện một cách tương tự. Cực tiểu có điều kiện và cực đại có điều kiện được gọi chung là cực

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

56 / 138

(cid:14) (cid:14) trị có điều kiện.

Các phương pháp tìm cực trị có điều kiện

1/ Đưa về bài toán tìm cực trị của hàm một biến

Từ điều kiện ϕ(x, y ) = 0, rút ra y = y (x ) hoặc x = x (y ). Thay y = y (x ) vào hàm z = f (x, y ), ta được z = h(x ) = f (x, y (x )). Tìm cực trị của hàm một biến h(x ). Lưu ý rằng nếu h đạt cực trị tại x0 thì hàm hai biến f đạt cực trị tại (x0, y (x0)).

x 2

y 2

3xy + 12x với điều kiện

(cid:0) (cid:0)

Ví dụ 1.24. 1. Tìm cực trị của hàm z = f (x, y ) = 1 = 0. với điều kiện x + y (cid:0) 2. Tìm cực trị của hàm z = f (x, y ) = x 2 2x + 3y = 6.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

57 / 138

(cid:0)

2/ Phương pháp nhân tử Lagrange. ĐK cần của cực trị có điều kiện

Bài toán. Tìm cực trị của hàm z = f (x, y ) với điều kiện ϕ(x, y ) = 0.

Điểm M0(x0, y0) được gọi là điểm kỳ dị của đường cong (γ) : ϕ(x, y ) = 0 nếu

∂ϕ

(19)

∂x (x0, y0) = ∂ϕ

∂y (x0, y0) = 0.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

58 / 138

Phương pháp nhân tử Lagrange

Định lý 1.22. (Nhân tử Lagrange). Cho điểm M0(x0, y0) thỏa i) Điểm M0 không là điểm kỳ dị của đường cong (γ). ii) Các hàm số f (x, y ), ϕ(x, y ) và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong lân cận của M0. iii) Hàm f (x, y ) đạt cực trị có điều kiện tại M0. Khi đó tồn tại một số thực λ sao cho (x0, y0, λ) là nghiệm của hệ phương trình

(20)

fx (x, y ) + λϕx (x, y ) = 0, fy (x, y ) + λϕy (x, y ) = 0, ϕ(x, y ) = 0.

8 <

Số thực λ được gọi là nhân tử Lagrange Hàm L(x, y , λ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) được gọi là hàm Lagrange.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

59 / 138

(cid:14) (cid:14)

Tìm cực trị có ĐK bằng PP nhân tử Lagrange

Bước 1. Lập hàm Lagrange

(21)

L(x, y , λ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ).

Bước 2. Giải hệ phương trình

L0x = 0 L0y = 0 L0λ = 0

8 <

: tìm điểm dừng M0(x0, y0) ứng với nhân tử Lagrange λ0. Bước 3. Tính vi phân cấp hai của hàm L(x, y ) tại (x0, y0):

d 2L(M0) = L00xx (M0)(dx )2 + 2L00xy (M0)dxdy + L00yy (M0)(dy )2, (22)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

60 / 138

Tìm cực trị có ĐK bằng PP nhân tử Lagrange

với dx, dy thỏa điều kiện

(23)

ϕ0x (x0, y0)dx + ϕ0y (x0, y0)dy = 0, (dx )2 + (dy )2 > 0.

(cid:26)

Khi đó,

Nếu d 2L(M0) > 0, thì hàm f đạt cực tiểu tại M0.

Ví dụ 1.25. 1. Tìm cực trị của hàm z = x + y với điều kiện xy = 1. 2. Tìm cực trị của hàm f (x, y ) = x + y với điều kiện x 2 + y 2 = 1.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

61 / 138

Tìm cực trị có ĐK bằng PP nhân tử Lagrange

với dx, dy thỏa điều kiện

(23)

ϕ0x (x0, y0)dx + ϕ0y (x0, y0)dy = 0, (dx )2 + (dy )2 > 0.

(cid:26)

Khi đó,

Nếu d 2L(M0) > 0, thì hàm f đạt cực tiểu tại M0. Nếu d 2L(M0) < 0, thì hàm f đạt cực đại tại M0.

Ví dụ 1.25. 1. Tìm cực trị của hàm z = x + y với điều kiện xy = 1. 2. Tìm cực trị của hàm f (x, y ) = x + y với điều kiện x 2 + y 2 = 1.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

61 / 138

Tìm cực trị có ĐK bằng PP nhân tử Lagrange

với dx, dy thỏa điều kiện

(23)

ϕ0x (x0, y0)dx + ϕ0y (x0, y0)dy = 0, (dx )2 + (dy )2 > 0.

(cid:26)

Khi đó,

Nếu d 2L(M0) > 0, thì hàm f đạt cực tiểu tại M0. Nếu d 2L(M0) < 0, thì hàm f đạt cực đại tại M0. Nếu d 2L(M0) thay đổi dấu, thì hàm f không đạt cực trị tại M0. Ví dụ 1.25. 1. Tìm cực trị của hàm z = x + y với điều kiện xy = 1. 2. Tìm cực trị của hàm f (x, y ) = x + y với điều kiện x 2 + y 2 = 1.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

61 / 138

BÀI TẬP

1 Tìm cực trị của hàm số z = 2x + y với điều kiện x 2 + y 2 = 5. 2 Tìm cực trị của hàm số z = x 2 + y 2 với điều kiện

x 2 + y 2 = 3x + 4y .

3 Tìm cực trị của hàm số z = xy với điều kiện

x 2 8

y 2 2

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

62 / 138

+ = 1.

1.4.3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng và bị chặn

Định lý 1.23. Nếu f liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D trong R2, thì f đạt giá trị lớn nhất f (x1, y1) và giá trị nhỏ nhất f (x2, y2) tại các điểm (x1, y1) và (x2, y2) trong D. Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f liên tục trên một tập đóng và bị chặn D.

tại các điểm dừng của f

trong

trên biên

trên D; giá trị nhỏ nhất của các giá trị

Bước 1. Tìm các giá trị của f D. Bước 2. Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f của D. Bước 3. Giá trị lớn nhất của các giá trị hàm f ở bước 1 và 2 là giá trị lớn nhất của f hàm f ở bước 1 và 2 là giá trị nhỏ nhất của f

trên D.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

63 / 138

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến

x + 2y + 3 trên

Ví dụ 1.26. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z = tập D = [0, 1] Giải. Ta xét phần trong miền D là miền (0, 1)

(cid:0) [0, 1] . (cid:2) (0, 1) , (cid:2)

zx = (cid:0) zy = 2

(cid:26) Hàm số không có điểm dừng ở phần trong của miền D. Ta xét 4 cạnh của hình vuông D.

1. Khi đó z =

x + 3, ta có zmax = 3,

6 = 0 1 = 0. 6

1. Khi đó z =

x + 5, ta có zmax = 5,

(cid:20) (cid:20) (cid:0)

1. Khi đó z = 2y + 3, ta có zmax = 5,

(cid:20) (cid:20) (cid:0)

1. Khi đó z = 2y + 2, ta có zmax = 4,

(cid:20) (cid:20)

Với y = 0, 0 zmin = 2. Với y = 1, 0 zmin = 4. Với x = 0, 0 zmin = 3. Với x = 1, 0 zmin = 2.

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

64 / 138

Vậy giá trị lớn nhất của z =

x + 2y + 3 trên tập

(cid:20) (cid:20)

(cid:0)

Ví dụ 1.27.

6 trên

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm z = x + 2xy + 3y tập D = [0, 1] Giải. Ta xét phần trong miền D là miền (0, 1)

(cid:0) [0, 2] . (cid:2)

(cid:26)

không thuộc phần trong của miền

1 2

(cid:2) x = y = (0, 2) , 3 . 2 1 . 2 (cid:0) (cid:0)

zx = 1 + 2y = 0 zy = 2x + 3 = 0. , 3 , 2 .

(cid:0) (cid:0)

(cid:1)

1. Khi đó z = x

6, ta có zmax =

Hàm số có điểm dừng A 3 , D. Ta loại điểm A (cid:1) 2 Ta xét 4 cạnh của hình chữ nhật D. (cid:0) (cid:20)

(cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:0)

(cid:20) (cid:0)

2. Khi đó z = 3y

6, ta có zmax = 0,

(cid:0) 1. Khi đó z = x + 4x = 5x, ta có (cid:20)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

65 / 138

Với y = 0, 0 zmin = (cid:0) Với y = 2, 0 (cid:20) zmax = 5, zmin = 0. Với x = 0, 0 zmin = Với x = 1, 0

2. Khi đó z = 1 + 2y + 3y

6 = 5y

(cid:20) (cid:20) (cid:0) (cid:0) (cid:20) (cid:20) (cid:0) (cid:0)

4.3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến

6 trên tập

Ví dụ 1.27. Vậy giá trị lớn nhất của z = x + 2xy + 3y D = [0, 1] [0, 2] là maxD z = 5 tại (1, 2) . Giá trị nhỏ nhất của z = x + 2xy + 3y D = [0, 1]

(cid:0) (cid:2)

(KHUD-HUIT)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao

66 / 138

(cid:0) 6 tại (0, 0) . [0, 2] là minD z = (cid:2) (cid:0)

Bài giảng môn Giải tích nâng cao - Chương 1: Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

Chương 1 của bài giảng "Giải tích nâng cao" trình bày các nội dung chính sau: Vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội hai, phương trình vi phân cấp hai. Ứng dụng và phương pháp giải chi tiết.

Chủ đề: