Bài tập chuỗi Taylor và xấp xỉ bằng bất đẳng thức Taylor - Vũ Lê Thế Anh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu bao gồm các bài tập về chuỗi Taylor và xấp xỉ bằng bất đẳng thức Taylor kèm theo hướng dẫn giải chi tiết giúp các bạn có thể thực hành và ứng dụng làm bài tập hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm những nội dung chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập chuỗi Taylor và xấp xỉ bằng bất đẳng thức Taylor - Vũ Lê Thế Anh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BTC ÔN THI HỌC KỲ 1 KHÓA 2016 Bài tập Chuỗi Taylor và Xấp xỉ bằng BĐT Taylor  Vũ Lê Thế Anh Cập nhật: 15/02/2017
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 Xấp xỉ 𝒇(𝒙) bằng đa thức Taylor bậc n xung quanh a và uớc lượng độ chính xác của xấp xỉ khi x nằm trong đoạn cho trước: 1/ 𝑓(𝑥) = √ 𝑥, 𝑎 = 4, 𝑛 = 2, 𝑥 ∈ [4,4.2] 2 2/ 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑛 = 3, 𝑥 ∈ [0,0.2] 3/ 𝑓(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑛 = 4, 𝑥 ∈ [−1,1] Câu 1: Có: 𝑓(𝑥) = √ 𝑥, 𝑎 = 4, 𝑛 = 2, 𝑥 ∈ [4,4.2] Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 2 của 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 4: 2 𝑓 (𝑛) (4) 𝑓(𝑥) ~ 𝑇2 (𝑥) = ∑ (𝑥 − 4) 𝑛 𝑛! 𝑛=0 Có: 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 = 𝑥 1/2 ⇒ 𝑓 (0) (4) = 2 1 −1/2 1 𝑓 (1) (𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑓 (1) (4) = 2 8 1 −3/2 −1 𝑓 (2) (𝑥) = − 𝑥 ⇒ 𝑓 (2) (4) = 4 32 Vậy: 1 1 𝑇2 (𝑥) = 2 + (𝑥 − 4) − (𝑥 − 4)2 8 64 Ước lượng độ chính xác của phép xấp xỉ là đánh giá độ lớn sai số |𝑅2 (𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑇2 (𝑥)| trên [4,4.2]: Có: 3 3 5 3 |𝑓 (3) (𝑥)| = | 𝑥 −5/2 | ≤ . 4−2 = = 𝑀, ∀𝑥 ∈ [4,4.2] 8 8 256 Theo Bất đẳng thức Taylor: 𝑀 3 1 1 |𝑅2 (𝑥)| ≤ |𝑥 − 4|3 ≤ . |4.2 − 4|3 = 3! 256 3! 64000 Câu 2: 2 Có: 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑛 = 3, 𝑥 ∈ [0,0.2] Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 3 của 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0:
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 3 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑓(𝑥) ~ 𝑇3 (𝑥) = ∑ 𝑥 𝑛! 𝑛=0 Có: 2 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑓 (0) (0) = 1 2 𝑓 (1) (𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥 ⇒ 𝑓 (1) (0) = 0 2 2 2 𝑓 (2) (𝑥) = 2(𝑒 𝑥 + 2𝑥 2 𝑒 𝑥 ) = 2𝑒 𝑥 (1 + 2𝑥 2 ) ⇒ 𝑓 (2) (0) = 2 2 2 2 𝑓 (3) (𝑥) = 2[2𝑥𝑒 𝑥 (1 + 2𝑥 2 ) + 4𝑥𝑒 𝑥 ] = 4𝑥𝑒 𝑥 (3 + 2𝑥 2 ) ⇒ 𝑓 (3) (0) = 0 Vậy: 𝑇3 (𝑥) = 1 + 𝑥 2 Ước lượng độ chính xác của phép xấp xỉ là đánh giá độ lớn sai số |𝑅3 (𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑇3 (𝑥)| trên [0,0.2]: Có: 2 2 2 |𝑓 (4) (𝑥)| = |4[𝑒 𝑥 (1 + 2𝑥 2 )(3 + 2𝑥 2 ) + 4𝑥 2 𝑒 𝑥 ]| = 4𝑒 𝑥 (4𝑥 4 + 12𝑥 2 + 3) 2 Xét 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥 (4𝑥 4 + 12𝑥 2 + 3) 2 2 2 𝑔′ (𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥 (4𝑥 4 + 12𝑥 2 + 3) + 𝑒 𝑥 (16𝑥 3 + 24𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥 (4𝑥 4 + 20𝑥 2 + 15) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [0,0.2] Vậy 𝑔(𝑥) đồng biến ∀𝑥 ∈ [0,0.2] ⇒ max 𝑔(𝑥) = 𝑔(0.2) ⇒ |𝑓 (4) (𝑥)| = 4𝑔(𝑥) ≤ 4𝑔(0.2) = 𝑀 [0,0.2] Theo Bất đẳng thức Taylor: 𝑀 4 𝑔(0.2) 4 𝑔(0.2) |𝑅3 (𝑥)| ≤ |𝑥| ≤ 0.2 = ≈ 9.676.10−4 4! 6 3750 Câu 3: Có: 𝑓(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑛 = 4, 𝑥 ∈ [−1,1] Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 4 của 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0: 4 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑓(𝑥) ~ 𝑇4 (𝑥) = ∑ 𝑥 𝑛! 𝑛=0 Có: 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (0) (0) = 0 𝑓 (1) (𝑥) = sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (1) (0) = 0 𝑓 (2) (𝑥) = 2cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (2) (0) = 2
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 𝑓 (3) (𝑥) = −3 sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (3) (0) = 0 𝑓 (4) (𝑥) = −4 cos 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (4) (0) = −4 Vậy: 1 4 𝑇4 (𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 6 Ước lượng độ chính xác của phép xấp xỉ là đánh giá độ lớn sai số |𝑅4 (𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑇4 (𝑥)| trên [−1,1]: Có: |𝑓 (5) (𝑥)| = |5 sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥| Xét 𝑔(𝑥) = |5 sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥| trên 𝐷 = [−1,1] có 𝐷 là miền đối xứng do ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⇒ −𝑥 ∈ 𝐷. 𝑔(−𝑥) = |5 sin(−𝑥) − 𝑥𝑐𝑜𝑠(−𝑥)| = |5 sin 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥| = 𝑔(𝑥) Vậy 𝑔(𝑥) là hàm chẵn ⇒ đồ thị 𝑔(𝑥) đối xứng qua trục tung Oy. ∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑔(𝑥) = 5 sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 , 𝑔′ (𝑥) = 6 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 ≥ 0 (𝑑𝑜 ∀𝑥 ∈ [0,1], cos 𝑥 > sin 𝑥). Vậy 𝑔(𝑥) đồng biến ∀𝑥 ∈ [0,1] ⇒ max 𝑔(𝑥) = max 𝑔(𝑥) = 𝑔(1) ⇒ |𝑓 (5) (𝑥)| = 𝑔(𝑥) ≤ 𝑔(1) = 𝑀 [−1,1] [0,1] Theo Bất đẳng thức Taylor: 𝑀 5 𝑔(1) 5 sin 1 + cos 1 |𝑅4 (𝑥)| ≤ |𝑥| ≤ = ≈ 0.03956 5! 120 120 Ước lượng chính xác đến 5 chữ số thập phân: 1/ cos 85° 2/ 𝑒 0.1 Câu 1: 𝜋 17𝜋 𝜋 Xét 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 quanh 𝑎 = 2 với 𝑥 ∈ [ 36 , 2 ]. 𝜋 𝑓 (𝑛) (𝑥) = cos (𝑥 + 𝑛 ) , ∀𝑛 ≥ 0 2 𝜋 17𝜋 𝜋 Có: |𝑓 (𝑛+1) (𝑥)| = |cos [𝑥 + (𝑛 + 1) 2 ]| ≤ 1 = 𝑀, ∀𝑥 ∈ [ 36 , 2 ] Theo Bất đẳng thức Taylor: 𝑀 𝜋 𝑛+1 1 17𝜋 𝜋 𝑛+1 1 𝜋 𝑛+1 17𝜋 𝜋 |𝑅 𝑛 (𝑥)| ≤ |𝑥 − | ≤ | − | = ( ) , ∀𝑥 ∈ [ , ] (𝑛 + 1)! 2 (𝑛 + 1)! 36 2 (𝑛 + 1)! 36 36 2 Để đảm bảo luôn thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta cần chọn n nhỏ nhất thỏa:
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 1 𝜋 𝑛+1 ( ) < 0.00001 ⇒ 𝑛 = 3 (𝑛 + 1)! 36 𝜋 Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 3 của 𝑓(𝑥) với 𝑎 = 2 : 𝜋 1 𝜋 3 𝑓(𝑥) ~ 𝑇3 (𝑥) = − (𝑥 − ) + (𝑥 − ) 2 6 2 Vậy: 17𝜋 17𝜋 𝜋 𝜋3 𝑓( ) ~ 𝑇3 ( )=− − ≈ 0.08715 36 36 36 139968 𝜋4 Với sai số |𝑅3 (𝑥)| ≤ ≈ 2.6 ∗ 10−6. 40310784 Câu 2: Xét 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 quanh 𝑎 = 0 với 𝑥 ∈ [0,0.1]. 𝑓 (𝑛) (𝑥) = 𝑒 𝑥 , ∀𝑛 ≥ 0 Có: |𝑓 (𝑛+1) (𝑥)| = 𝑒 𝑥 ≤ 𝑒 0.1 < 𝑒 < 3 = 𝑀, ∀𝑥 ∈ [0,0.1] Theo Bất đẳng thức Taylor: 𝑀 3 |𝑅 𝑛 (𝑥)| ≤ |𝑥| 𝑛+1 ≤ 0.1 𝑛+1 , ∀𝑥 ∈ [0,0.1] (𝑛 + 1)! (𝑛 + 1)! Để đảm bảo luôn thỏa điều kiện đề bài, ta cần tìm n nhỏ nhất thỏa: 3 0.1 𝑛+1 < 0.00001 ⇒ 𝑛 ≥ 4 (𝑛 + 1)! Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 4 của 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0 là: 1 2 1 3 1 4 𝑓(𝑥) ~ 𝑇4 (𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 2 6 24 Vậy: 𝑓(0.1) ~ 𝑇4 (0.1) = 1.10517 Với sai số |𝑅4 (𝑥)| ≤ 2.5 ∗ 10−7. Ước lượng miền giá trị của x để các xấp xỉ có độ chính xác tương ứng: 𝑥3 1/ sin 𝑥 ≈ 𝑥 − , |𝑠𝑎𝑖 𝑠ố| < 0.01 6 𝑥 2 𝑥4 2/ cos 𝑥 ≈ 1 − 2 + 24 , |𝑠𝑎𝑖 𝑠ố| < 0.005
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 Câu 1: Xét 𝑓(𝑥) = sin 𝑥. Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 4 của 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0: 4 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑓(𝑥) ~ 𝑇4 (𝑥) = ∑ 𝑥 𝑛! 𝑛=0 Có: 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (0) (0) = 0 𝑓 (1) (𝑥) = cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (1) (0) = 1 𝑓 (2) (𝑥) = − sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (2) (0) = 0 𝑓 (3) (𝑥) = − cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (3) (0) = −1 𝑓 (4) (𝑥) = sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (4) (0) = 0 Vậy: 1 3 𝑇4 (𝑥) = 𝑥 − 𝑥 6 Có: |𝑓 (5) (𝑥)| = |cos 𝑥| ≤ 1 = 𝑀, ∀𝑥 ∈ ℝ Theo Bất đẳng thức Taylor: 𝑀 5 |𝑥|5 |𝑅4 (𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑇4 (𝑥)| ≤ |𝑥| = 5! 120 Sai số đề bài chính là sai số Lagrange 𝑅3 (𝑥) của xấp xỉ Taylor trên. Để thỏa yêu cầu: |𝑥|5 5 5 < 0.01 ⇒ − √1.2 < 𝑥 < √1.2 120 Câu 2: Xét 𝑓(𝑥) = cos 𝑥. Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 5 của 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0: 5 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑓(𝑥) ~ 𝑇5 (𝑥) = ∑ 𝑥 𝑛! 𝑛=0 Có: 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (0) (0) = 1 𝑓 (1) (𝑥) = −sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (1) (0) = 0
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 𝑓 (2) (𝑥) = − cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (2) (0) = −1 𝑓 (3) (𝑥) = sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (3) (0) = 0 𝑓 (4) (𝑥) = cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (4) (0) = 1 𝑓 (5) (𝑥) = −sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (5) (0) = 0 Vậy: 1 2 1 4 𝑇5 (𝑥) = 1 − 𝑥 + 𝑥 2 24 Có: |𝑓 (6) (𝑥)| = |− cos 𝑥| ≤ 1 = 𝑀, ∀𝑥 ∈ ℝ Theo Bất đẳng thức Taylor: 𝑀 6 𝑥6 |𝑅5 (𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑇5 (𝑥)| ≤ |𝑥| = 6! 720 Sai số đề bài chính là sai số Lagrange 𝑅3 (𝑥) của xấp xỉ Taylor trên. Để thỏa yêu cầu: 𝑥6 6 6 < 0.005 ⇒ − √3.6 < 𝑥 < √3.6 720