Bài tập Điện động lực học: Phần 1 - Nguyễn Văn Thuận

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập Điện động lực học: Phần 1 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Trường điện từ trong chân không; trường điện từ trong môi trường liên tục; điện trường không đổi; từ trường không đổi. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Điện động lực học: Phần 1 - Nguyễn Văn Thuận

NGUYÊN VĂN THUẬN - NGUYÊN QUANG HỌC 1ỈẰI TÂP ĐlệN ĐỘNG LỰC HỌC • • • NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC s ư PHẠM
Mã số: 0 1 .0 1 .5 4 0 /1 5 0 3 . ĐH 2011
MỤC ■ LỤC ■ LỜI NÓI Đ Ầ U ............................................................................................................................ 5 C h ư ơ n g 1. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TRONG CHÂN KHÔNG......................................... 7 Hướng dẫn g iả i.....................................................................................10 C h ư ơ n g 2. TRƯỬNG ĐIỆN TỪ TRONG MÔI TRƯỜNG LIÊN T Ụ C .................. 23 Hướng dẫn g iả i.................................................................................... 26 C hư ơng 3. ĐIỆN TRƯỜNG KHÒNG ĐỒI.................................................................... 37 Hướng dẫn g iả i.................................................................................... 46 C hư ơng 4. TỪ TRƯỜNG KHÒNG ĐỔI........................................................................75 Hướng dẫn g iả i.................................................................................... 80 C hư ơng 5. TRƯỜNG ĐIỆN T ừ CHUẢN D Ừ N G ..................................................... 101 Hướng dẫn g iả i.................................................................................. 109 C hương 6 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ T ự D O .....................................................................133 Hướng dẫn g iả i...................................................................................137 C hương 7 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BỨC XẠ.................................................................. 155 Hướng dẫn g iả i...................................................................................159 C hương 8. VẬT LÍ PLASMA.......................................................................................... 173 Hướng dẫn g iả i...................................................................................177 TÀI LIỆU THAM K H Ả O ................................................................................................ 191 3
jC ò i n ói đ a u Cuốn Bài tập Điện động lực học này nhàm phục vụ cho việc iiiánii dạy và học tập mòn Điện độ nu lực học ờ các trưÒTìii Đại học Sư phạm cũng như các trường đại học khác cỏ học mòn này. Các bài tập có phần hướim dần giái giúp cho sinh viên làm quen với các phươiie pháp iĩiái hài tập điện độn 11 lực học. Ngoài ra, việc siài các bài tạp này còn iỉiup cho sinh viên thuận lợi hơn khi học tập và nghiên cứu một sổ lĩnh vực cùa vật li li thuyết hiện đại. Các bài tạp trone cuốn sách này đà được chọn lọc đê aiảnti dạy trong nhữne năm sần đày cho sinh viên trườn VI Đại học Sư phạm Hà Nội và một số truờnti Đại học Sư phạm khác. Khi biên soạn chúnu tôi đà tham khảo một số bài tập trona các siáo trình và sách bài tập về điện độna lực học của các tác giả trong V à nsoài nư ớ c. Các tác già xin chán thành cam on GS.TS. Vù Văn Hùng, GS.TS. Đặrm Văn Soa, PGS.TS- Lè Viết Hoà đã đóns 2 Óp nhiều V kiến quý báu cho cuốn sách. Lần đầu xuất bàn. cuốn sách chăc chắn không tránh khỏi thiếu sót. các tác ă á mong nhận được nhừnu V kiên đónđ cóp cua các đônc nshiệp và độc iziá, đê cuốn sách được hoàn thiện hon cho nhừne làn tái ban sau. Xin trán trọng cam ơn! Các tác giii 5
Chương 1 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TRONG CHÂN KHÔNG ■ 1.1. Chime minh rằns cặp phương trình Maxwell thứ nhất cỏ thê thu được từ hệ thức 1.2. Chửns minh rănn tạp họp bòn đại luợng xác định bởi \ lập thành một vectơ bổn chiều. > —> 1.3. Gọi / và p là mật độ dòns điện và mật độ điện tích trong hệ K, ị và p là các đại lượng tươns ứng trona hệ K . Hệ K chuyển động với vận tốc khôntĩ đổi V theo phương Ox đối với hệ K. Viết các công thức biến đổi cúa vectơ / và mật độ điện tích p từ hệ K sans hệ K . 1.4. Chứns minh ràng phươns trinh liên tục có thê thu được từ cặp phương trình M axwell thứ hai. 1.5. Chíms minh ràng tenxơ tniờns điện từ sẽ không thay đôi nếu thêm vào thế bốn chiều một lượng ( ~ c a f ) . ơ đây f là một hàm vô hướng tuỳ ý cùa toạ độ và thời gian. 1.6. Hãy thiết lập phương trinh chuyên động bốn chiều của điện tích trong trườns điện từ. 1.7. Từ hàm Lagrange L = -ni c 2y j ì - p~ +CỊVẢ-CỊ(P, hãy thiết lập biểu thức xác định năng lượng và hàm Hamilton cùa điện tích trong trường điện từ. 1.8. Từ hàm Lagrange L = - m rc ' y ị \ - + q v A - q ( p , chứng minh rằng nếu từ trườna không phụ thuộc thời eian và vectơ B song song với mặt phang ộc, v) thì khi một hạt tích điện q chuyên động troníi từ trường đó, đại lượng » r ' —i — + qA, không dòi. (ơ dây V, ;;/n là vận tôc, khôi lirợntì cua hạt tích điện, A là thế vectơ cua từ trườne. /? = —). c 7
Ị-------- , 1.9. Từ hàm Lagrange L = - m 0c 2 Ạ - /32 +CỊV A —qcp, chúng minh răng nêu từ trirờng không phụ thuộc thời gian và có tính đối xúng trục (cụ thể là Ar = 0, A, = 0, Aọ = A ( r , z )), thì khi một hạt tích điện (Ị chuyến động trong từ trường đó, đại lượng - m-~' ^ không dổi. (Ở đây mo là khối lượng tĩnh của hạt /? = - ) . c 1.10. Chứng minh rằng khi từ trường đối xứng trục ( Bx = B X= 0 ; B_ = B ( r , t ) ) biến đổi theo thời gian thì xuất hiện điện trường xoáy mà đường sức là nhữns vòng tròn đồng tâm, có tâm nằm trên trục của từ trường. 1.11. Gọi f iÊ là vectơ lực bốn chiều tác đụntĩ lên hạt, ufl là vectơ vận tốc bốn chiều của hạt, chứng minh rằng 1.12. Ờ trạng thái cơ bản của nguyên tử hiđrô, điện tích cùa electron (-
1.15. Từ phương trình điv B = 0, chứnu minh răng các đườniỉ sức từ là các đường khép kin. 1.16. Từ phương trình dìv E = — , chirnu minh rằnu các tlườnụ sức điện xuất phát *0 từ các điện tích đương và tận cùng ớ các điện tích âm. 1.17. Tìm phươns trình vì phân đoi với thè ọ = q— r 1.18. Tìm quỳ đạo của electron trons trườrm Coulomb cùa hạt nhàn. 1.19. Một electron được đưa vào tro ne một miền có điện trườim và từ trườnsi đều. — * — > — > — > vuòns góc với nhau. Già thiết rans E = E e y, B = B e . . a) Với vận tốc ban đầu như thề nào thi các electron sẽ chuyển độnu với vận tổc khònc đôi? b) Xét một chùm electron được phóng đồnvi thời vào mặt phẳng vuông sóc với điện trườno. Liệu có một thời điêm nào khác mà khi đó tất cà các electron lại ờ trona mặt phãne này nữa không? 1.20 . Một hạt mans điện tích dưcms. chuyèn động phi B tưcms đối tính trona miền có điện trườns và từ © tnrờns đều, vuôn« eóc với nhau, ơ một thời điểm nào đó. vận tốc cua hạt bans v0 , v0 _LE, v0 _LB (hình 1.1). Hỏi ở thời điẻm vectơ vận tốc cùa hạt tạo với vectơ v0 một góc ISO và E = v(,£ thì độ Hình 1.1 lớn vận tốc cua hạt bane bao nhiêu? 1.21 Một hạt có khối lượns m và điện tích q được sia tốc trorm một thời ìỉian bời m ộ t đ iệ n trư ờ n g đ ều tớ i m ộ t v ậ n tố c V n ào d ó. a) Tính xung lượng của hạt ở cuối thời 2 Ĩan cia tốc. b) Tôc độ cua hạt ờ cuối thời gian đó bans bao nhiêu? 1.22 . Gia thiêt rang sự tồn tại cua từ tích có quan hệ với từ trường banu phươim trinh div B = ụ uPm ơ dây p m là mật độ từ tích. a) Hãy tim từ trường cua một từ tích đật tại uốc toạ độ. 9
b) Khi không có từ tích, tính xoáy của điện trường được cho bời định luật Faraday dt Chime minh rằng định luật này không tương thích với mật độ từ tích là một hàm cua thời gian. c) Già thiết từ tích được bảo toàn, hãy tìm hệ thức giữa mật độ dòng từ tích jm và mật độ từ tích p m. d) Hãy sửa đổi định luật Faraday nêu trong phần b) đế nhận được một định luật phù hợp với sự có mặt của một mật độ từ tích là hàm của vị trí và thời gian. Chứng minh sự phù họp của định luật đã sửa đối đó. HƯỚNG DẪN GIẢI 1.1. Thay hệ thức Fụv = c ( õ /lẠ , - d vAM) vào biểu thức d aFp ỵ + õ pFya + d ỵFap ta được c d a ( d p A y - d yA p ) + c d p (d y Aa ~ d a A y ) + c õ r [ d a A p - õp Aa ) Vì các toán tử nabla bốn chiều có thể hoán vị cho nhau nên biểu thức trên đồns nhất bằng không. Do đó d aFP r + dpFya + d r Fap = Q Từ phương trình trên, khi cho « , / ? , / = 0,1,2,3; a * p * Ỵ , ta được õB . _> rotE - - —— ; d iv 5 = 0 õt 1.2. Nếu p là mật độ điện tích thỉ dq = p d V (1) là điện tích trong yếu tố thế tích (IV. Nhân hai vế của (1) với vectơ bốn chiều dxơ , ta có dqdxa = p d V d x a = pdV dt (2) Vì dv.clt là bất biến (dVcỉt = dVữdt0, do (IV =clVữẠ - j 3 2 , dt = - f i ì = ) V I -/? 2 nên íiv.dt là một vô hướng. Ở vế trái của (2), dq là một vô hướng, dxa là
Ị a vectơ bốn chiều, nên ờ vế phái cùa (2) /■>-—— cíinu phái là một vectơ bốn (It í l\ ư chiều. Nếu đãt /" = p —— . thì / “ là môt vectơ bốn chiều. Ta có (It ì \ dxa dx° dx' í/.Y dx r =p p ‘p- dt lit iỉt dt dt ( hay f = { c p . p \ \ . p \ \ , . p \ \ )}== c p . p v — cpy j \ \ / 1.3. Vì j “ là vectơ bốn chiều nèn nó phải biến đổi theo quy luật ị ụ = a f\, f , trong đó a fẤt. là ma trận bièn đòi toạ độ. í 1 -p 0 0 Ạ -P '- -p 1 a 0 0 với p - —. Ạ -p'- Ạ -p' c 0 0 1 0 0 0 0 1 Từ đây ta có p - 2 j, _ Ã - VP . p = - Ị —-; A = 7 ’ ./ = Ậ Ỉ 1.4. Lấy dive hai vế của phươns trinh: £, cc F'v = ỹ'", ta được e 0c d Md vF ' * = õ tlj “ Vì tenxơ F'v phản đối XÚT12 nên vế trái của phương trình trên bàng không. Do đó ta rút ra phươne trinh liên tục ỗ / = 0. 1.5. Thêm vào thế bổn chiêu một ' lượnu * ^ (V- ổ CíJJ n , ta có /í CẮ= A (X - õ ưfJ (1) Khi đó: Fa p = c ( õ aÁp - õ pAa ) = c ( õ a Áp - õpAa ) + õ fiõ j - d ad pf Vì các toán tử nabla bôn chiêu có thẻ hoán vị cho nhau, nên Kft = c ( d aAp - 0 flAa ) = c ( õ aAfi - d p Aa ) - Fafl. Vậy, tenxơ trường điện từ bất biến đối với phép biến đối (1).
Hàm tác ilium cúa một cliện tích chuyền động tro ne trường điện từ có dạng V •> /— ” s = - I m0c 2 1- J3' + (Ị(p -
I-------- "* 1.7. Từ L = - m ưc 2 ự l - p~ + ợ V A - q(p. ta tính xuns lượn a suy rộng cùa hạt mang điện tích (/ tron? trườmi điện từ: n cL /H V * -* ; P = -L^. = _ p > == f + (/.4 = /7 + t/,i ổv v l~ /> —> V ờ đày ta ki hiệu p = - Y=*== là xuni: lượng cùa hạt tự do. Nãnu lượng của hạt mane diện tích (/ tronII trườn2 điện từ là ... _ cL m 0c ' H = y ^ -L = - ■ ■ - +ỌỌ dv Ạ -p- Vỉ hàm Hamilton cùa một hạt batm nãnsi lượnỉỉ cùa nó biểu diễn qua xung lượns nên H = J u r e 4 + c 2 P - q A I +q
1.9. Vì từ tnrờng không phụ thuộc thời gian, nên E = 0, ẹ - const. Mặt khác, A, = 0, A. = 0, Av = A ị r , z ), suy ra L = -m 0c 2a /Ĩ - /? 2 + qv^Ay - qq> ÒL_ D o đ ó Ỉ L = J!Ị£JL dtp ôọ ỉ ỒL c)ĩJ Từ phươniì trình Lagrange - Euler: —r —T ~ ~ ~ = 0 , dễ dàng thấy rằng ắ ' d ọ 52 1.11. Ta có: f j i u = u „ —J- = inữu,l — — {li ) Mặt khác: u II c - const Vì vây — ( » ) ’ = 0 ; từ đó suy ra f i t = 0 . (l ĩ ■f‘ " 14
1.12. Vì p = p ( r ) nên E = E ( r ) . Ta áp dụng phương trình Maxwell dạng tích phân (ỊỈ/ĩ = — j> (/; ỵ-(ỉr{ *0 I *0 0 (ve trải có dau - đ o E ngược chiều với í/ s ) Thav pp bans bièu thức của cùa nó và lav tích phàn, ta được £ •(/•) = —J y J" Ể*": ' er ; d r x - 7T£0a r 0J r r ) 1- e 2r" 4 7T£0r l ư a- £__2x _2_ (ơ đày ta đà áp dụns tích phàn Ị.yV V y = e a a a í/3 1.13. Ap dụnơ phương trình Maxwell = hay V Ỉ ^ Ĩ Ế i H ( 1) Mặt khác f r í ẽr ) A = v .v í 1 ì = V = - 4 nỏ (/•) (2 ) U , { r~ ) ơ đây e là vectơ đơn vị theo phươnc r. Từ (2), ta có thể viết v í =ổ(r) 4/Tr J CỊỏự) Suy ra V (3) So sánh (1) và (3), ta rút ra E = .
1.14. a) Mặt dộ diện tích được tính theo phương trình M axwell V£ =il => p = eoS7E *0 -* ( > V Ể = A v ( e - br) ^ r + e ' brv £s_ •> r \ / Khi sir dụniỉ hàm Dirac 0 với r * 0 / \ ) 00 với r = 0 ta có / -> \ 'V er 1 V- í l> = v .v =V II V r V 1 V / Từ đó suy ra be h' -* - p = £«-4 — —7-c,. .e,.+4/r
1.16. Từ phươne trình đ iv £ = — , nhân cà hai vế với d v rồi lẩy tích phân, ta *0 được jdiv E LỈV = — I'pt iV hay vị Etỉ s = — ị p d v * 0 Y £0 r S £ 0 I' ư on s đó 5 là mặt kín bao quanh thè tích V. Thông lượng của vectơ cường độ —* điện trườn S E qua mặt kín 5 bao quanh thê tích í7 khác không. - Trường họp mật độ điện tích p dương, vectơ E và vectơ pháp tuyến n của mặt 5 họp với nhau một sóc nhọn (chiều của vectơ pháp tuyến n của —* mặt 5 hướna, ra nsoài. Như vậy. vectơ E hướne ra neoài mặt s. Hay nói cách khác, các đườn« sức điện đi ra từ điện tích dươns. - Trườnc họp mật độ điện tích p âm, vectơ E và vectơ pháp tuyến n của mặt 5 họp với nhau một cóc tù. Như vậy, vectơ E hướng vào trong mặt s. Hay nói cách khác, các đưònc sức đi vào điện tích âm. 1.17. Phươns trinh vi phân đổi với thè vô hướng (Ọ có dạng = -A n q ô r \ Cl V ) 1.18. Chọn aốc toạ độ cực ( r , 0 ) tại hạt nhân. Trên cơ sở định luật bảo toàn năng iượnơ và xung lượnc. ta có mưc 2 Ze2 = const = w Vl - p 2 47ĩ£or m0r 2 d 6 - const = mrh sị\ - p 2 dt ở đây e là điện tích của electron. ( - Z e ) là điện tích của hạt nhân. ( cirỴ rìr Ỹ ,(d Q ': v- = c i p ' - = \ ĩ L \ + r \ dt ) dt Khư t và p khỏi các phưcmg trình trên, ta được f z
Đặt I/ = —, — = — — . Khi đó (1) trở thành r dỡ r- de Ze u N 1 w + 4 7ĩ£n + 1 21 = -e— dỡ, h2 m0c Lấy đạo hàm theo 6 , ta được \2 d~u z
b) Gia thiết tất cả các electron lúc bát đầu phóng ụ = 0) ơ trong mặt phăng vơr. Xét một electron ờ vị trí ban đầu (.Y 0 , v 0 , r 0 ) và tốc độ ban đầu ( Vuv, V, ,v0. ). Khi đó, các phương trình chuyên động cua nó là (xét trường họp phi tưcmg đối tinh) m ch^ = - e ( E + B v y) (3) cừ tiv. ììì - = e\\ B (4) lừ (/V- . IU— = 0 (5) lit Làv = vt + /v ( . khi đó từ (?) và (4) suy ra /H— ỉ- = - e E + ieBv dt E eB Nó có nshiệm là V = ce‘" - i — : trons đó co = - — . B m E + i V11\, H---- B E_ Vậy V = v0 COS(Ot - sin (út + i v0t sin (út + COSù)t B '°' + B B Từ đày ta nhận được E) vt ( /) = v0tcosfttf --- sin (Ot B E £ V ) = v0 sin (Of + --- COS(út - B B \': ( t ) = + v0;/ Lảy tích phân các biêu thưctrẽn, ta có / V_ v0 1 E\ 1 x ị t ) = - ^ s i n (Oí H— V + — cos&>/- — V,V H---- co co B) co B E V0 v y { t ) = - — cos(ot + - V + = - s in w f-----t + + v„ co (0 \ B, B co z {t ) = z n + V')-J ' ' 2ĩĩì\ Đê . \ ị t ) = 0 thì cân phai thoa mãn diẻu kiện t = —— (/7 = 1, 2, 3,...). Do đó O) 2/ni tất ca các electron sẽ lại ơ trong mặt phăng yOz một lần nữa tại thời diêm tú 19